ESTADÍSTICA AVANZADA EN CIENCIAS DE LA SALUD: Modelos Lineales. Andreu Nolasco

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1 ESTADÍSTICA AVANZADA EN CIENCIAS DE LA SALUD: Modlos Lnals Andru Nolasco

2 El autor Est documnto ha sdo publcado n l Rpostoro d la Unvrsdad d Alcant bajo Lcnca d dstrbucón no xclusva Dcmbr d 6

3 Introduccón Est matral prsnta métodos stadístcos avanzados para l ntorno d las cncas d la salud. Provn d la xprnca docnt d su autor, profsor n asgnaturas, cursos y smnaros mpartdos n l ntorno d las cncas d la salud, drgdos a profsonals qu dsarrollan su labor asstncal, d gstón, d docnca o d nvstgacón n st ámbto. Los contndos aquí rcogdos tratan d los modlos multvarants d caráctr probablístco más frcunts n l ámbto d la nvstgacón n studos obsrvaconals n l ntorno d las Cncas d la Salud. Dan rspusta a las prguntas d nvstgacón clínco-pdmológca qu plantan l análss d s una o más varabls (xplcatvas) aportan capacdad xplcatva rlvant sobr una varabl rsultado (rspusta) bajo una structura lnal. Los modlos lnals aquí rcogdos prmtn utlzar varabls rspusta d tpo cuanttatvo (rgrsón lnal múltpl), o basadas n varabls d tpo dcotómco, a través d modlzar la ncdnca acumulada d un rsultado (rgrsón logístca), la tasa o dnsdad d ndcdnca dl rsultado (rgrsón d Posson) o la tasa nstantána d ncdnca n l tmpo dl rsultado (rgrsón d Cox). Los contndos d st txto stán spcalmnt orntados como matral d apoyo tórco-práctco n cursos, smnaros, tc. cuyo objtvo sa l d profundzar n stos modlos. Estos matrals han vndo mostrando su utldad como soport docnt n asgnaturas mpartdas n las ttulacons d mástr d Cncas d la Salud d la Unvrsdad d Alcant, como Invstgacón d Cncas d la Salud, Salud Públca, Óptca,.., y n numrosos cursos d posgrado mpartdos por l autor. El matral s structura n cnco capítulos, partndo d un capítulo ntroductoro n l qu s xponn las caractrístcas gnrals dl análss multvarant y las propdads y caractrístcas comuns d los modlos qu s dsarrollan. A contnuacón s prsnta un capítulo ddcado a cada uno d los modlos. La prsntacón d los modlos sgu l squma structura, construccón-stmacón, rqurmntos nfrncas con l modlo. El matral s prsnta n un formato d dos columnas, la prmra d llas (zqurda) stá ddcada a prsntar los contndos tórcos d apoyo, mntras qu la sgunda (drcha) s ddca a aplcacons d rvsónjmplfcacón para qu l alumno aplqu los contndos tórcos. Alcant, otoño d 6 El autor

4 Andru Nolasco Bonmatí s profsor dl Dpartamnto d Enfrmría Comuntara, Mdcna Prvntva y Salud Públca Hstora d la Cnca d la Unvrsdad d Alcant n l qu ha vndo dsarrollando su labor como docnt nvstgador. Ha mpartdo docnca n dvrsas ttulacons d Cncas d la Salud (Mdcna, Enfrmría, Nutrcón humana y dtétca, Óptca, tc.) tanto n studos d grado como n posgrado (mástr y doctorado), n matras y/o asgnaturas como Bostadístca, Estadístca Avanzada, Dmografía y Salud, Mtodología d la Invstgacón, Dsgualdads n Salud, Análss d la mortaldad, tc.. Ha vndo dsarrollando nvstgacón n línas como: Análss d la Mortaldad, Gografía Santara, Estadístcas Santaras, Encustas d salud, Dmografía y salud, Dsgualdads n salud y otras. Su xprnca n la aplcacón dl método stadístco n l ntorno d las Cncas d la Salud provn y s rflja n la drccón d numrosos proyctos d nvstgacón, tss doctorals, publcacons cntífcas y l contnuo contacto con l contxto santaro a través dl assoramnto mtodológco a dvrsas nsttucons santaras (Admnstracón santara, Cntros d Salud y Salud Públca, Hosptals y otras).

5 SUMARIO Introduccón al análss multvarant. Los modlos lnals...6 El modlo d rgrsón lnal múltpl...6 El modlo d rgrsón logístca...39 El modlo d rgrsón d Posson...67 El modlo d rgrsón d Cox...8 Bblografía...95

6 Introduccón al análss multvarant. Los modlos lnals IINTTRODUCCIION ALL ANALLIISIIS MULLTTIIVARIIANTTE.. LLOS MODELLOS LLIINEALLES Una dfncón d análss multvarant Conjunto d técncas stadístcas basadas n l studo conjunto d varas varabls (3 o más) con l objtvo d dscrbr o hacr nfrncas sobr las caractrístcas ndvduals o colctvas d tals varabls Sugra alguna stuacón d análss multvarant P.j. Estudo d prvalnca d cálculos blars n poblacón gnral y su rlacón con l sxo, la dad y l consumo d cítrcos Una rflxón Con sta dfncón l análss multvarant abarcará la mayor part d las aplcacons stadístcas Podmos construr una clasfcacón d los métodos multvarants? Dvrsos autors proponn clasfcacons dfrnts d los métodos multvarants: UNA CLASIFICACION ESENCIALMENTE TEORICA METODOS MULTIVARIANTES NO PROBABILISTICOS METODOS MULTIVARIANTES PROBABILISTICOS S fundamntan n rsultados S fundamntan n rsultados no probablístcos. No suponn drvados d la toría d la dstrbucons d probabldad probabldad, suposcons probablístcas sobr las varabls a subyacnts. Utlzan rsultados basados n álgbra lnal studo y/o análss d la (gométrcos). Tnn poca funcón d vrosmltud. Son capacdad para producr dónos para producr nfrncas nfrncas Enumr aqullas técncas d análss stadístco unvarant qu rcurd P.j. Estmacón por ntrvalos d confanza d un parámtro dsconocdo 6

7 Introduccón al análss multvarant. Los modlos lnals UNA CLASIFICACION ESENCIALMENTE OPERATIVA METODOS MULTIVARIANTES QUE CONSIDERAN A TODAS LAS VARIABLES EN EL MISMO STATUS En orgn no asgnan un tratamnto dfrnt a unas u otras varabls. Gnralmnt stos métodos concdn con la dfncón no probablístca METODOS MULTIVARIANTES QUE PARTEN DE DOS CONJUNTOS DE VARIABLES: EXPLICATIVAS Y RESPUESTA Partn d qu las varabls nvolucradas prtncn d forma clara (o modradamnt clara) a dos conjuntos, las qu s vn nfludas (varabls rspusta) y las qu nfluyn (varabls xplcatvas). Concdn n su mayor part con la dfncón probablístca S l ocurr alguna stuacón n la qu pudéramos aplcar métodos no probablístcos? Coméntla Un pquño rsumn d métodos multvarants no probablístcos Forman part dstacada d stos métodos los llamados métodos d stadístca dscrptva multdmnsonal: METODOS FACTORIALES - Análss factoral clásco - Análss d componnts prncpals - Análss d corrspondncas - Análss canónco, d los rangos METODOS DE CLASIFICACION - Clustr jrárquco - Clustr no jrárquco - Análss dscrmnant 7

8 Introduccón al análss multvarant. Los modlos lnals Métodos multvarants probablístcos: La tpología d las varabls a studo Clasfqu las varabls dl studo dscrto sgún su tpo Para ntroducr stas das, consdr como jmplo un studo n l qu las varabls a studo son: Tabla COLESTOT Nvl d colstrol mddo n mg/ml QUETELET Indc d qutlt n sus undads EDAD Edad n años ALCOHOL Consumo d alcohol: nunca bajo modrado/alto Suponga qu l nvstgador prsgu avrguar s l consumo d alcohol s un factor d rsgo con fcto sobr l colstrol pro tnndo n cunta la dad d los ndvduos. Clasfcacón por l tpo d varabls: Clasfcacón sgún l tpo Varabls cuanttatvas: S prsntan n forma d valors numércos fruto d procsos d mdda o rcunto Contnuas: Son puramnt rsultados d procsos d mdda, ntr cualsqura dos valors smpr cab otro Dscrtas: Surgn d procsos d rcunto. Tnn un númro fnto o nfnto numrabl d valors Varabl cualtatva: S prsnta n forma d modaldads o stados. En ocasons pud procdr d la catgorzacón d varabls cuanttatvas Fgura.- Clasfcacón sgún l tpo d varabls 8

9 Introduccón al análss multvarant. Los modlos lnals Clasfcacón por l papl d las varabls: Varabl rspusta: Aqulla sobr la qu s produc l fcto d las dmás. Sus varacons son conscunca d las varacons d las dmás. Tambén s dnomnada varabl dpndnt Tnndo n cunta l objtvo dl nvstgador, clasfqu las varabls dl studo dscrto sgún su papl n l análss Clasfcacón sgún l papl n l análss Varabls xplcatvas: El rsto d varabls. S trata d dtrmnar n qu forma afctan a la rspusta. Tambén s llaman ndpndnts o prdctors Factors: El ntrés dl studo strba n dtctar caractrzar su rlacón y fcto con la varabl rspusta. Covarabls: Son varabls ncludas n l análss por su posbl rlacón con la rspusta y los factors. Fgura.- Clasfcacón d varabls sgún su papl n l análss Clasfcacón d las covarabls (varabls d control) D confusón: La rlacón ntr l factor y la rspusta s dfrnt d tnr n cunta n l análss a la covarabl a no hacrlo. Para qu una covarabl sa d confusón s ncsaro y sufcnt qu s rlacon con ambas, l factor y la rspusta. Db tnrs n cunta qu lo qu s confund s la rlacón ntr factor y rspusta D ntraccón: La rlacón ntr l factor y la rspusta s modfca sgún los valors o nvls d la covarabl. Drmos qu l fcto y/o rlacón ntr factor y varabl rspusta s nsparabl d la covarabl. S hay covarabls, clasfíqulas Fgura 3.- Clasfcacón d las covarabls 9

10 Introduccón al análss multvarant. Los modlos lnals Los modlos stadístcos Qué s un modlo stadístco? Es mposbl hablar d técncas multvarants sn rcurrr al concpto d modlo stadístco. Podríamos dcr qu un modlo stadístco no s más qu una cuacón matmátca con la qu ntntamos rprsntar lo más flmnt posbl la raldad a partr d la nformacón qu nos prov un conjunto d datos. Suponga qu qurmos modlzar la posbl rlacón xstnt ntr la proporcón d pzas con cars y la dad n nños (mnors d 6 años). Proponga componnts structural y alatora para su construccón y dscusón Pro convn matzar o stuar sta dfncón. Así, convn pnsar n un modlo stadístco como l rsultado d la composcón d dos lmntos: Componnt structural (sstmátca): Part dtrmnsta dl modlo. Con lla nosotros asgnamos a pror cual s la structura sprada d la raldad. Gnralmnt s una cuacón Componnt alatora (stocástca): Part n la qu ntrvn l azar a través d los datos d una mustra alatora. Con sta componnt hmos d valuar la bondad d la structura propusta

11 Introduccón al análss multvarant. Los modlos lnals El marco para las componnts structural y alatora San y Proporcón d cars x Edad El marco para las componnts structural y alatora srá: El gráfco adjunto mustra l dagrama d dsprsón y rcta d rgrsón sobr una mustra d n4 nños Poblacón 5 y α + β x 5 Mustra EDAD { x, y } ŷ α ˆ + βˆx n Ecuacón stmada: ŷ 9,8 +,8x Cómo sría un gráfco con: y α + β x Modlo propusto ŷ α ˆ + βˆ x Modlo stmado a x, partr d { } n y Mustra alatora d n obsrvacons d x y α, β Parámtros dsconocdos αˆ, βˆ Estadístcos mustrals conocdos - Mucha vdnca d qu la rlacón no s lnal habéndola supusto lnal - Poca vdnca d una rlacón lnal qu ralmnt no lo s Dscuta stas custons

12 Introduccón al análss multvarant. Los modlos lnals Pro, Cómo s la raldad? Dsd la prspctva stadístca s muy poco probabl qu la raldad rsponda a un únco modlo. Quzás convn partr dsd la crnca d qu la naturalza s báscamnt smpl, s dcr, lnal, smpr qu pud. Aunqu algunos autors proponn lo contraro, la lccón d una u otra forma structural para nustro modlo pud vnr guada por aspctos tals como: Sugra algunas stuacons para las qu conozca qu xst rlacón más o mnos dmostrada ntr las varabls mplcadas. S lo sab, dga l modlo bajo l qu s rlaconan (P.j., pso y talla, modlo lnal) - El tpo d varabls - El rango d las varabls - La vrosmltud d los datos - La oportuna ntrprtacón d los parámtros dl modlo (qu nos dgan algo sncllo d ntndr) - El objtvo dl studo (dtccón d asocacons/rlacons, prdccons, ambos, tc...) Estos aspctos pudn ayudarnos a dcdr cual pud sr l modlo propusto (su structura). Así, tras vrfcar la bondad d tal modlo nos ncontrarmos n una d las dos stuacons sgunts: El modlo no s acptabl En st caso dbmos pnsar n qu las varabls studadas no s rlaconan bajo l modlo propusto. Quzás lo hagan bajo otro modlo El modlo s acptabl Las varabls s rlaconan bajo l modlo propusto, pro nada garantza qu s sa n l únco n l mjor modlo para rlaconarlas

13 Introduccón al análss multvarant. Los modlos lnals Los modlos lnals gnralzados (GLM) Famla d modlos cuya componnt structural s: dond: f(y) β + + βx + βx + + βx + βx y Varabl rspusta. Aqulla varabl sobr la qu dsamos mdr l fcto d otras varabls (tasa d mortaldad, probabldad d frmar, nvl d ácdo úrco,...) x (x, x,..., x,...,x) Varabls xplcatvas. Varabls ncludas n l modlo qu suponmos qu tnn capacdad para xplcar las modfcacons qu s producn n la varabl rspusta. Pudn sr factors d rsgo o covarabls f(y) funcón nxo. Es una funcón a través d la cual proponmos qu s rlacona la varabl rspusta con las xplcatvas (β, β, β,...,β,...,β ) Parámtros dl modlo. Son cofcnts dsconocdos d cuya stmacón nfrncas obtndrmos una cuantfcacón d las ntrrlacons ntr las varabls xplcatvas y la varabl rspusta 3

14 Introduccón al análss multvarant. Los modlos lnals Algunos modlos d la clas GLM La sgunt tabla mustra las caractrístcas más dstacabls d algunos modlo d sta clas ( * ndca los qu s vrán n st curso) Dscrba alguna stuacón d análss n las qu la varabl d ntrés sa como las varabls rspusta d los modlos d la tabla Dnomnacón Modlo Varabl rspusta (y) Funcón nxo (f(y)) Rgrsón lnal Múltpl * y varabl cuanttatva - < y < Idntdad f(y) y Rgrsón logístca bnara * Modlo loglnal Rgrsón d Posson * Rgrsón d Cox * y probabldad < y < y frcunca < y y tasa mda (dnsdad d ncdnca) < y y(t) tasa nstantána, varía n l tmpo < y Funcón logístca f(y) y log y Logartmo f (y) log y Logartmo f (y) log y Logartmo f t (y) log y(t) 4

15 Introduccón al análss multvarant. Los modlos lnals Caractrístcas más mportants d los modlos GLM Rvs la da d adtvdad. Contrástla frnt a la da d multplcacón d fctos El fcto d las varabls xplcatvas s supusto adtvo sobr la funcón nxo. En fcto, las (x, x,..., x,...,x) suman su fcto para producr cambos n la funcón nxo. En gnral, st fcto valuado sobr la varabl rspusta dpndrá d la funcón nxo. S vrá para cada modlo partcular Los parámtros dl modlo mdn l cambo (ncrmnto) d la funcón nxo por undad d cambo n cada varabl xplcatva, mantnndo constant l rsto d varabls (ajustado por l rsto d varabls xplcatvas). La ntrprtacón sobr la varabl rspusta db sr dducda para cada modlo a través d la funcón nxo Dmustr la ntrprtacón d los parámtros dl modlo. Qué ntrprtacón tn β La mcánca n l procso d stmacón d modlos, nfrncas o slccón d modlos óptmos s smjant para todos llos. Aunqu vararán los lmntos concrtos d unos a otros modlos, los prncpos d valuacón d los modlos son los msmos. Compartn crtros d stmacón d parámtros 5

16 El modlo d rgrsón multpl Ell MODELLO DE REGRESIION LLIINEALL MULLTTIIPLLE Modlo GLM con funcón nxo la dntdad. Est modlo rspond a la prgunta d qué forma afctan varabls xplcatvas (cualtatvas o cuanttatvas) a una varabl rspusta cuanttatva?. Dbmos tnr n cunta qu l objtvo pud sr: Ejmplo.- Suponga un studo n l qu l qu s dspon d las varabls dscrtas n la tabla. Sugra algunas prguntas d ntrés qu pudran sr contstadas con un modlo d rgrsón lnal múltpl. - Dtctar qu varabls, d ntr las consdradas, afctan o xplcan a la varabl rspusta (dtctar asocacons o rlacons) y cuantfcar l fcto - Construr un modlo para prdcr l valor d la varabl rspusta n funcón d las varabls xplcatvas - Ambos Dbmos tnr n cunta qu aunqu las varabls xplcatvas studadas afctn l comportamnto d la rspusta, probablmnt xstan otras varabls no ncludas ntr llas qu tambén tngan fcto sobr la rspusta. La razón para no nclurlas n l modlo pud provnr d qu no las conocmos o d qu no qurmos nclurlas. S l ocurr alguna varabl no ncluda ntr las studadas qu pudra tnr fcto sobr l nvl d colstrol? EL INVESTIGADOR ES QUIEN DECIDE CUALES SON LAS VARIABLES A ESTUDIO (EXPLICATIVAS Y RESPUESTA) Carga d subjtvdad n la structura propusta 6

17 El modlo d rgrsón múltpl Estructura dl modlo d rgrsón La structura dl modlo s: Exprs n térmnos d modlos d rgrsón las prguntas sugrdas n l jmplo y β + βx + βx + + βx + + βx + u y Varabl rspusta x (x, x,..., x,...,x) Vctor d varabls xplcatvas (β, β, β,...,β,...,β ) Parámtros dl modlo u f(x+,...,xh) Prturbacón o rror, funcón d otras varabls no ncludas n l modlo Rqurmntos/Hpótss dl modlo d rgrsón La utlzacón nfrncal plna dl modlo d rgrsón rqur:. Para cada conjunto fjo d x la dstrbucón d y db sr normal con mda E(y / x) β + βx + βx + + βx + + βx. La varanza d y s constant para cualqur valor d x 3. Las obsrvacons d y son ndpndnts ntr sí 4. El númro d varabls xplcatvas s mnor qu l d obsrvacons 7

18 El modlo d rgrsón múltpl Comntaros a los rqurmntos. El rqurmnto stablc qu la cuacón lnal s prtnnt. El rqurmnto d normaldad tn fundamntalmnt dos objtvos: Rflxon y dscuta acrca d los rqurmntos dl modlo d rgrsón. Cr qu stos rqurmntos srían acptabls sobr l jmplo? - Hacr concdr l tpo d stmacón mínmo cuadrátca con la stmacón máxmo vrosíml - Srvr d bas para las nfrncas. Es l soport probablístco dl modlo. El rqurmnto s dnomna homocdastcdad. Su fcto s produc sobr la ralzacón d nfrncas 3. El rqurmnto 3 stablc qu l conocmnto d unos valors d y no proporcona nformacón para l conocmnto d otros valors 4. Rqurmnto ncsaro para podr stmar l modlo sn ambgudads 5. Los rqurmntos nuncados suln xprsars sntétcamnt n térmnos d rqurmntos sobr los rrors u: - Los rrors u sgun una dstrbucón: u Normal(, σ ) - Los rrors u son ndpndnts ntr sí (ausnca d autocorrlacón) 8

19 El modlo d rgrsón múltpl Comprobacón d los rqurmntos dl modlo Pud consultar los datos d st jmplo n l Anxo. La prtnnca dl modlo lnal srá comprobada a través d prubas d bondad d ajust Las hpótss d normaldad, homocdastcdad ndpndnca s rsolvrán a través dl análss d los rrors o rsduos Construccón d un modlo d rgrsón lnal múltpl. Etapas Suponga qu sobr una mustra d sujtos slcconados alatoramnt d crta poblacón s dspon d las varabls ya dscrtas n la tabla : COLESTOT Nvl d colstrol mddo n mg/ml QUETELET Indc d qutlt n sus undads EDAD Edad n años ALCOHOL Consumo d alcohol: nunca bajo modrado/alto Etapa : Espcfcacón d varabls y modlo propusto S dsa avrguar s las varabls Qutlt y Edad xplcan l Colstot. S dnotamos por Modlo propusto y Colstot x Qutlt y β + βx + βx x Edad 9

20 El modlo d rgrsón múltpl Etapa : Estmacón dl modlo Notas A partr d los datos dsponbls, una mustra alatora d n obsrvacons d las varabs: { y, x, x,, x} n S trata d calcular los stmadors mustrals d los parámtros dl modlo: βˆ, βˆ, βˆ (, β ˆ, ) stmadors d los parámtros β, β, β ) (,, β El método utlzado para llo sul sr l d mínmos cuadrados. Est método s basa n mnmzar la funcón: n ( y ŷ ) dond ŷ β ˆ + βˆ x + βˆ x + + βˆ x S los rqurmntos dl modlo s cumpln, l torma d Gauss-Marov garantza qu los stmadors obtndos son nssgados, óptmos (d mínma varanza) y concdn con los obtndos por máxma vrosmltud. S obtn así l modlo stmado: ŷ β ˆ + βˆ ˆ ˆ x + βx + + β x

21 El modlo d rgrsón múltpl La aplcacón d st método al jmplo sugrdo da como rsultado l modlo stmado: Cofcnts a Intrprt los parámtros dl modlo construdo ntr colstrol, dad y qutlt Modlo (Constant) EDAD QUETELET Cofcnts no standarzados a. Varabl dpndnt: COLESTOT Cofcnts standarzad os B Error típ. Bta t Sg. 8,4 3,96 4,56,,989,33,3 4,47,,74,97,97,784,6 ŷ 8,4+,989 Edad +,74 Qutlt Etapa 3.- Valdacón d la hpótss d lnaldad. Bondad d ajust dl modlo La valuacón d la bondad d ajust dl modlo pud hacrs a través d las varabldads asocadas al modlo propusto: n ( y y) Varabldad d la varabl rspusta. No dpnd dl modlo n ( y ŷ ) Varabldad dl rror. Es la part no xplcada por l modlo n ( ŷ y) Varabldad d la rgrsón. Es la xplcada por l modlo

22 El modlo d rgrsón múltpl Pud dmostrars sn dfcultad qu: Profundc n l rsultado R,78 y su ntrprtacón n ( y n n y) (ŷ y) + (y ŷ ) Podmos cuantfcar la bondad d ajust dl modlo (capacdad para xplcar la varabldad d la varabl rspusta a través d las varabls consdradas y l modlo lnal supusto) a través d: Cofcnt d dtrmnacón R n n (ŷ (y y) y) Varabldadxp lcada Varabldad total ( R ) R s l stmador mustral dl cofcnt d dtrmnacón poblaconal, ρ. Sobr l jmplo R,78 Est rsultado nos ndca qu la capacdad xplcatva (a través dl modlo lnla) d la dad y l índc d qutlt sobr l nvl d colstrol n los datos d la mustra s d,78 (7,8% d la varabldad total dl colstrol)

23 El modlo d rgrsón múltpl La gnralzacón nfrncal d la bondad d ajust dl modlo pud ralzars a través d la pruba d hpótss: H : ρ Ha : ρ Profundc n la ntrprtacón d las hpótss dl contrast d bondad dl modlo. Proponga algún nuncado quvalnt. con la qu contrastarmos s las varabls carcn d capacdad xplcatva a través dl modlo lnal n la poblacón (H) frnt al rsultado d qu tnn alguna capacdad xplcatva a través dl modlo lnal n la poblacón (Ha). La solucón al contrast s obtn a través d la tabla dl análss d la varabldad (ANOVA) d la rgrsón: Funt d varabldad Rgrsón Error o rsdual Total Suma d cuadrados n n n ŷ y) Grados d lbrtad (gl) ( ( n-- y ŷ ) ( n- y y) Cuadrado mdo ŝ ŝ r n n n (ŷ (y y) ŷ n (y ŝ y n ) y) Estadístco d contrast F ŝ ŝ r Sgu una F d Sndcor con y n-- grados d lbrtad 3

24 El modlo d rgrsón múltpl Sobr l jmplo s tn: ANOVA b Profundc n la ntrprtacón dl rsultado dl contrast d hpótss d la bondad dl modlo. Modlo Rgrsón Rsdual Total Suma d Mda cuadrados gl cuadrátca F Sg. 976, ,734,7, a 4874, , ,79 98 a. Varabls prdctoras: (Constant), QUETELET, EDAD b. Varabl dpndnt: COLESTOT Rsultado qu conduc al rchazo d la hpótss nula Etapa 4.- Vrfcacón d rqurmntos. Análss d rsduos Una vz stmado l modlo, los rqurmntos dl modlo pudn sr dscutdos a través d los rsduos: o sus transformacons: y ŷ z Var( ) S r S h r S h Rsduo standarzado Rsduo studntzado Rsduo por lmnacón h lmnto d la dagonal d X(X X) - X, S-Dsvacón stándar rsdual calculada cuando la obsrvacón s lmnada 4

25 El modlo d rgrsón múltpl S los rqurmntos dl modlo s cumpln los rsduos standarzados studntzados y por lmnacón sgun una dstrbucón t d studnt con n-- gl (studntzados) y n-- gl (por lmnacón). A poco qu n sa grand, n 3, su dstrbucón pud aproxmars por una normal. En gnral los rsduos por lmnacón suln sr más utlzados por sus mjors propdads d comportamnto dstrbuconal. Intrprt l gráfco y tabla adjuntas La normaldad d los rsduos pud sr comprobada grafcamnt y/o a través d una pruba d normaldad: Gráfco P-P normal d rgrsón Rsduo tpfcado Varabl dpndnt: COLESTOT, Pruba d Kolmogorov-Smrnov para una mustra Prob acum sprada,8,5,3,,,3,5 Prob acum obsrvada,8, N Parámtros normals a,b Dfrncas más xtrmas Z d Kolmogorov-Smrnov Sg. asntót. (blatral) Mda Dsvacón típca Absoluta Postva Ngatva a. La dstrbucón d contrast s la Normal. b. S han calculado a partr d los datos. ZRE_ Standardzd Rsdual 99,, ,6,6 -,3,849,467 5

26 El modlo d rgrsón múltpl La homocdastcdad u homogndad d varanzas pud sr dscutda aproxmadamnt mdant l gráfco d los rsduos frnt a los valors stmados: Intrprt l gráfco y l valor dl stadístco d Durbn Watson 3 Gráfco d dsprsón Varabl dpndnt: COLESTOT Rgrsón Valor pronostcado tpfcado El gráfco no db prsntar dstrbucón n forma d mbudos, dbndo sr más o mnos homogéno. La ndpndnca o ausnca d autocorrlacón s pud dscutr con l stadístco d Durbn-Watson, qu contrasta la hpótss nula d ausnca d autocorrlacón (ndpndnca) frnt a lo contraro: Durbn-Watson,7 El valor db sr contrastado n las tablas spcífcas para st stadístco. Un valor crcano a s ndcatvo d acptacón d la hpótss nula 6

27 El modlo d rgrsón múltpl Los rsduos pudn sr útls para la dtccón d valors atípcos (outlrs), s dcr, ndcduos tals qu una vz stablcdo l modlo,s apartan d la tndnca gnral dl modlo. Como jmplo obsrv l gráfco adjunto: 4 El lstado adjunto ncluy los casos para los qu l rsduo standarzado s supror a o nfror a. Dscuta st crtro para los valors atípcos. Rvs los casos atípcos n l anxo Dagnóstcos por caso a Númro d caso Valor Rsduo tp. COLESTOT pronostcado, ,7, ,9 -, ,76, ,7, ,, ,8, ,65 -, ,3 5 a. Varabl dpndnt: COLESTOT Y - 4 X 6 8 n l qu pud obsrvars como l ndvduo 4 prsnta un valor d y atípco dado su valor d x n l modlo. S los rsduos son normals, un tst aproxmado para la dtccón d stos valors s pud obtnr a partr d los rsduos standarzados qu sgurán una normal d mda y dsvacón típca. Así, por jmplo, s stablcmos colas d probabldad,5, los valors suprors a,96 o nfrors a,96 tndrán una probabldad nfror o gual a,5. El crtro d rarza db stablcrlo l nvstgador (db aplcars Bonfrron). Est crtro sul sr utlzado prfrntmnt con rsduos studntzados o por lmnacón 4 6 Cómo sría la aplcacón dl método d Bonfrron para dtctar outlrs con nvl d sgnfcacón,5 7

28 El modlo d rgrsón múltpl Etapa 5.- Infrncas con l modlo S las hpótss dl modlo s acptan, podmos nfrr (gnralzar a la poblacón) a partr d nustro modlo Infrncas sobr los parámtros dl modlo Los parámtros pudn sr ntrprtados como mddas d la magntud dl fcto d cada varabl xplcatva sobr la varabl rspusta (ncrmnto n y por undad d ncrmnto n x, ajustado por l rsto). Las nfrncas posbls son: Pruba d hpótss para comprobar la sgnfcacón dl fcto d cada varabl: rsulta a través dl stadístco: H : β Ha : β,..., t βˆ (t d studnt n-- gl) Var(ˆ β ) Las tablas adjuntas prsntan los rsultados d las nfrncas sobr los parámtros dl modlo (prubas t ntrvalos d confanza). Intrprtlos Cofcnts a Modlo t Sg. (Constant) 4,56, EDAD 4,47, QUETELET,784,6 a. Varabl dpndnt: COLESTOT Modlo (Constant) EDAD QUETELET Cofcnts a Intrvalo d confanza para B al 95% Límt Límt nfror supror 6,856 55,5,53,449,789 4,6 a. Varabl dpndnt: COLESTOT Intrvalo d confanza para cada β I ˆ α ( β ) β ± t Var(ˆ ) α β con t-α/ cofcnt d una t d studnt con n-- gl 8

29 El modlo d rgrsón múltpl Infrncas sobr las prdccons Para un valor concrto d x (conjunto d valors para las varabls xplcatvas), dgamos x (x, x,..., x ) Compar los ntrvalos d prdccón. Justfqu las dfrncas qu obsrv ntr llos podmos ralzar dos class d prdccons: Prdccón ndvdual. S trata d pronostcar l valor d la varabl rspusta para un sujto con valors x. La solucón s obtndrá a través dl ntrvalo d confanza para la prdccón ndvdual En l jmplo, para un sujto d Edad59 y Qutlt3, tnmos I, 95 (y) [ 56,; 339,] Prdccón a la mda. S trata d pronostcar lvalor d la mda d la varabl rspusta para la poblacón d sujtos con valors x. La solucón s obtndrá a través dl ntrvalo d confanza para la prdccón a la mda En l jmplo, para un sujto d Edad59 y Qutlt3, tnmos I,95 ( µ y ) [ 38,5 ; 56,7] 9

30 El modlo d rgrsón múltpl Algunas custons adconals La multcolnaldad Qué rgón dl gráfco adjunto rprsnta l grado d multcolnaldad ntr las varabls x y x? El grado d multcolnaldad dfn l grado n l qu alguna o algunas varabls xplcatvas s ntrrlaconan. En la mayoría d los studos obsrvaconals las varabls xplcatvas prsntan un crto grado d rlacón, hcho qu sul formar part d los objtvos d análss (dtccón d confusons, ntraccons, tc.), no sndo sto un problma sno un objtvo d análss. Así, n la fgura adjunta podmos obsrvar una rprsntacón d la dstrbucón d varabldads xplcadas y no xplcadas n un modlo d rgrsón con dos varabls xplcatvas y Varabldad total y Varabldad xplcada por x +3 X X 4 Varabldad xplcada por x 3+4 Varabldad xplcada por x y x +3+4 Varabldad rsdual no xplcada 3

31 El modlo d rgrsón múltpl Una forma d valuar l grado d multcolnaldad srá comparando mddas qu rfljn la capacdad xplcatva d cada varabl sóla con la capacdad xplcatva dl modlo qu añad la otra varabl. A través dl cofcnt R tndrmos, por jmplo: / x R Cofcnt d dtrmnacón dl modlo sólo con x R y / x,x y Cofcnt d dtrmnacón dl modlo con x y x pudndo xprsar la capacdad xplcatva qu añad x a través d la dfrnca n R : H R R / x,x y / x y y contrastando la sgnfcacón dl ncrmnto d capacdad xplcatva d j varabls H : H Ha : H Las tablas adjuntas mustran rsultados d modlos d rgrsón añadndo varabls. Dscuta l ncrmnto d varabldad xplcada y su sgnfcacón R Cambo n R Estadístcos d cambo Cambo Sg. dl cambo Modlo cuadrado cuadrado n F gl gl n F Uno a,46,46 33,635 97, Dos b,78,33 7,753 96,6 a. Varabls prdctoras: (Constant), EDAD b. Varabls prdctoras: (Constant), EDAD, QUETELET Estadístcos d cambo Modlo R cuadrado Cambo n R cuadrado Cambo n F gl gl Sg. dl cambo n F Uno a,3,3,554 97, Dos b,78,76 8,36 96, a. Varabls prdctoras: (Constant), QUETELET b. Varabls prdctoras: (Constant), QUETELET, EDAD a través dl stadístco F d cambo, para l contrast d hpótss: F R H j n con R dtrmnacón con todas las varabls () 3

32 El modlo d rgrsón múltpl La multcolnaldad s un problma cuando s xtrma. D hcho s mposbl stmar los parámtros dl modlo cuando alguna d las varabls xplcatvas s combnacón lnal d las dmás. En gnral, la multcolnaldad lvada s traduc n: - Estmacons poco prcsas (mucho rror stándar) - Valors p lvados n las prubas d hpótss Evalu la colnaldad para l modlo d la tabla adjunta Modlo (Constant) EDAD QUETELET Cofcnts a a. Varabl dpndnt: COLESTOT Estadístcos d colnaldad t Sg. Tolranca FIV 4,56, 4,47,,833,,784,6,833, La dtccón dl grado d colnaldad pud ralzars a través d: R x j / x...x Cofcnt d dtrmnacón d la rgrsón d xj sobr l rsto Factor d nflacón d la varanza d la varabl xj (j,...,) FIV j R x j / x...x En la tabla adjunta s mustra rsultados con las varabls Qutlt y Qutlt. Dscuta la colnaldad y su fcto n los rsultados Tolranca d la varabl xj (j,...,) Cofcnts a Tolranca j FIV j R x j / x...x Modlo (Constant) QUETELET QUET Estadístcos d colnaldad t Sg. Tolranca FIV -,488,66,67,96,7 37,377 -,69,6,7 37,377 a. Varabl dpndnt: COLESTOT S habla d lvada colnaldad cuando Tolrancaj <, R >,9, FIVj >, x / x...x j 3

33 El modlo d rgrsón múltpl Otra forma d valuar la colnaldad, spcalmnt ndcada cuando las varabls dl modlo han sdo transformadas a undads standarzadas, s a través d los índcs d condconamnto (IC) y proporcons d varanza (%Var)(vr jmplo a margn). S dntfca colnaldad lvada cuando IC > 3 y %Var >,9 n al mnos dos varabls. La slccón dl modlo óptmo Exstn dfrnts formas d abordar la slccón dl modlo óptmo. En gnral dpnd dl objtvo dl studo. Así, tndrmos: Dscuta la colnaldad dl modlo con Edad, Qutlt y Qutlt con los rsultados d la tabla adjunta Dmnsón 3 4 Dagnóstcos d colnaldad a Indc d Proporcons d la varanza condcón QUETELET QUET EDAD,,,, 7,996,,,95,499,,,,35,,99,4 a. Varabl dpndnt: COLESTOT Slccón forzada. Dfndo l modlo con todas las varabls xplcatvas a studo s nspccona los contrasts ndvduals rducndo l modlo n aqullas qu no son sgnfcatvas. Útl como procdmnto xploratoro Rgrsón jrárquca. El nvstgador dfn un ordn d ntroduccón d las varabls (prmro l factor d rsgo, sgundo varabls confundnts, trcro ntraccons, tc.) y valúa las sgnfcacons a través d los stadístcos y contrasts d cambo. Rspond a una scunca d análss y objtvos bn dfndos Rgrsón por stpws o tapas. Modaldad d rgrsón jrárquca pro djando qu las varabls ntrn o salgan por crtros xclusvamnt stadístcos. Útl cuando buscamos l mjor modlo prdctvo pro pud conducr a modlos ncohrnts. 33

34 El modlo d rgrsón múltpl Rgrsón sobr todos los subconjuntos posbls. Sría l dal. S trata d construr la rgrsón sobr todas las combnacons d varabls xplcatvas, slcconando l modlo óptmo atndndo a razons d ajust dl modlo y cohrnca xplcatva. Pud sr muy costosa s l númro d varabls xplcatvas s lvado. Los cofcnts d corrlacón Intrprt los cofcnts d dtrmnacón corrgdo, d corrlacón múltpl, smpl y parcals d la tablas adjuntas Modlo R cuadrado R R cuadrado corrgda,4 a,78,7 a. Varabls prdctoras: EDAD, QUETELET La magntud d la rlacón lnal ntr la varabl rspusta y las xplcatvas pud sr cuantfcada a través d cofcnts d corrlacón lnal (mddas standarzadas ntr y ): r Corrlacón lnal smpl y.x Grado d la rlacón lnal ntr la varabl rspusta (y) y una varabl xplcatva cualqura (x) Modlo QUETELET EDAD Corrlacons Ordn cro Parcal,3,95,38,9 Corrlacón multpl y.(x...x y / x ) R...x conjunta ntr la varabl rspusta (y) y todo l conjunto d xplcatvas R Grado d la rlacón lnal Corrlacón parcal R y.x / x...x,x,... x Grado d la rlacón lnal ntr la + varabl rspusta (y) y una xplcatva (x) ajustado por l rsto d varabls Cofcnt d dtrmnacón corrgdo R y / x...x ŝ. Corrg la ŝ y dtrmnacón n funcón dl númro d varabls xplcatvas 34

35 El modlo d rgrsón múltpl Varabls xplcatvas cualtatvas Todo lo xpusto hasta ahora s váldo cuando las varabls xplcatvas son cuanttatvas. La varabl rspusta db sr smpr cuanttatva. Comprub y dscuta qu la ntrprtacón d los parámtros d una varabl cualtatva dcotómca s dpndnt d la codfcacón lgda Podmos nclur varabls cualtatvas ntr las xplcatvas? La rspusta s sí, pro con prcaucón. S no ralzamos nguna modfcacón sobr las vrabls podmos volar fáclmnt la hpótss d lnaldad. Como jmplo consdr la varabl alcohol, dfnda n la págna 5: ALCOHOL Consumo d alcohol {,, } {Nunca, Bajo, Modrado/Alto} D ntroducr la varabl tal cual n un modlo d rgrsón lnal, La lnaldad s traducría n qu l fcto sobr la varabl rspusta por pasar d (nunca) a (Bajo) fura l msmo qu por pasar d (bajo) a (modrado/alto), algo qu s cuanto mnos dudoso. Sn mbargo, s nos rfrmos a una varabl cualtatva dcotómca (dos stados o catgorías), no xst ambgüdad sobr la lnaldad, pusto qu sólo xst un fcto o salto posbl. Por jmplo, s nos rfrmos a la varabl: SEXO {, } {Hombr, Mujr} Podmos ntroducr la varabl tal cual, pusto qu sólo hay un paso posbl, d (hombr) a (mujr) y l parámtro d la varabl rprsntará l fcto sobr la varabl rspusta por comparar mujrs vs. hombrs 35

36 El modlo d rgrsón múltpl Una solucón posbl sría analzar los datos por sparado (n cada catgoría d la varab cualtatva) pro sto s gnralmnt poco fcnt Ponga algunos jmplos d varabls cualtatvas dcotómcas Procdmnto gnral d ntroduccón d varabls cualtatvas Supongamos una stuacón con xvarabl cualtatva, xvarabl cuanttatva. Dbmos dstngur dos casos: Caso d varabls dcotómcas. Codfcacón. Lo más sncllo s codfcar la varabl, x, con códgos qu dstn undad, por jmplo: x {,}. Modlo rsultant. Intrprtacón d parámtros.- El modlo rsultant srá: y β + + βx βx y l parámtro β rprsnta l cambo n y por comparar las dos catgorías d x 36

37 El modlo d rgrsón múltpl Caso d varabls con más d dos catgorías Cracón d varabls dummy o ndcador. S trata d gnrar tantas varabls auxlars como l númro d catgorías d la varabl mnos : Supongamos xconsumo d alcohol{nunca, Bajo, Modrado/Alto} Suponga la varabl Nvl d studos con 5 catgorías Nvl d studos{analfabto, Lr y scrbr, Prmaros, Scundaros, Unvrstaros} Cr structura d dummys tomando como rfrnca la catgoría Unvrstaros. S lg una catgoría d rfrnca, p. j. Nunca. La lccón d la catgoría d rfrnca no nfluy n l ajust y sgnfcacons dl modlo, pro s nfluy n la ntrprtacón, sndo rcomndabl lgr la catgoría d mnor rsgo o más favorabl cuando la varabl rspusta rprsnta un rsultado ngatvo o lo contraro cuando rprsnta un rsultado postvo Catgoría d rfrnca Modrado/Alto. Codfcacón d las varabls dummy. En st caso habrán varabls dummy (nº d catgorías -3 ): Tabla.- Codfcacón d dummys CONSUMO DE X ALCOHOL Codfcacón DUMMY X DUMMY Nunca Bajo Modrado/Alto X 37

38 El modlo d rgrsón múltpl. Modlo rsultant. El modlo rsultant srá: + βx + βx βx y β + rsultando la sgunt ntrprtacón: Comprub la ntrprtacón d parámtros n las varabls dummy. En l jmplo sgudo, cómo s pud stmar l fcto por comparar consumo d alcohol Modrado/alto vs. Bajo? v. β Incrmnto sobr y por comparar consumo Bajo vs. Nunca β Incrmnto sobr y por comparar consumo Modrado/alto vs. Nunca Con varabls dummy la sgnfcacón d parámtros y valdz dl modlo s compruba d forma habtual. Es muy mportant tnr n cunta qu l fcto d una varabl db sr valuado con todas sus dummys. Con otras palabras, las dummys son nsparabls n l modlo, no podmos ntroducr sólo una part n lmnar dl modlo nnguna cuando la varabl stá n él. La valuacón dl conjunto d dummys pud hacrs a través d los stadístcos y sgnfcacón dl cambo La tabla adjunta mustra los rsultados al ajustar l modlo con Edad y Qutlt y l modlo qu añad las dummys Alcohol y Alcohol, como dfndas n tabla. Comprub l fcto sgnfcatvo d la varabl Alcohol complta Rsumn dl modlo Estadístcos d cambo Modlo Cambo n R cuadrado Cambo n F Sg. dl cambo n F Uno a,78,7, Dos b,65 8,35, a. QUETELET, EDAD b. QUETELET, EDAD, ALCOHOL, ALCOHOL 38

39 El modlo d rgrsón logístca Ell MODELLO DE REGRESIION LLOGIISTTIICA Introduccón. Mddas d frcunca y asocacón n análss pdmológco Suponga una cohort d ndvduos (tabla 3), sgudos durant dfrnts tmpos (varabl TIEMPO, n mss), a la spra d obsrvar s s ls prsnta (ncd) crto rsultado (varabl EVENTO, s prsnta l rsultado, no s prsnta l rsultado), tnndo n cunta qu al nco dl sgumnto 5 d stos ndvduos prsntan crta caractrístca (varabl GRUPO) y 5 vrfcan otro stado n sta caractrístca (varabl GRUPO): Tabla 3. Rsultados n una cohort d ndvduos Indvduo Tmpo Evnto Grupo Qué mddas utlzamos para cuantfcar a) La magntud d ocurrnca dl vnto n la cohort al fnal dl sgumnto y sus dfrncas (o asocacón) con la varabl GRUPO, sn tnr n cunta l tmpo spcífco d sgumnto d cada ndvduo. Calcúllas b) Idm a a) pro tnndo n cunta los tmpos d sgumnto d los sujtos. Calcúllas c) La magntud d ocurrnca dl vnto n dfrnts momntos dl tmpo y su asocacón con l GRUPO. Calcúllas Para rvsar dfrnts mddas pdmológcas, contst las prguntas adjuntas 39

40 El modlo d rgrsón logístca El modlo logístco dcotómco. Análss smpl Suponga una stuacón como la dscrta n l apartado a) d la columna d aplcacons d la págna antror: - Sgumnto d una cohort d n ndvduos durant un prodo [t, t] - S obsrva la ocurrnca (E) o no (E) d un vnto E - En l nstant t cada ndvduo pud star xpusto (x) o no (x) a un factor d rsgo, dgamos x - Qurmos stmar la probabldad d ocurrnca dl vnto (p(e)) y su asocacón con l factor x Podmos consdrar la sgunt tabla d probabldads condconals: Rvs l concpto d odds. Aplíqulo al vnto E condconado por x (odds(e/x); odds(e/x) Rvs l concpto d odds rato. Aplíqulo al vnto E condconado por x Tabla 4.- Probabldads condconals n funcón dl factor x E p (E / x ) x x p (E / x ) E p (E / x ) p (E / x ) Rcurda l concpto d cross product rato (cocnt d productos cruzados)? 4

41 El modlo d rgrsón logístca El modlo logístco consst n modlzar las probabldads dl vnto como: () p(e ( β + βx) / x) (x,) β + β x) ( β + β x) + ( + Cómo srían las xprsons d las probabldads condconals d E dado x s x stuvra codfcada con códgos y? o, quvalntmnt () log t(p(e / x)) logodds(e / x) p(e / x) log β + p(e / x) β x sndo log l logartmo nprano (d bas ). Utlzando la formulacón d (), podmos xprsar las probabldads condconals d la tabla 4 como: p(e / x ) ( β + + β ) ( β + β ) p(e / x ) + ( β +β ) p(e / x ) ( β + ) ( β ) p(e / x ) + ) ( β 4

42 El modlo d rgrsón logístca Pudndo comprobar qu l odds rato d E condconado por x s: Obtnga la ntrprtacón dl parámtro β dl modlo d rgrsón logístca OR E / x p(e / x ) p(e p(e / x ) p(e / x / x ) ) ( β + + β ) ( β ( β + + β ) ) ( β ) + + ( β ( β + β ) ) ( β ( β + β ) ) β Obtnndo una rlacón funconal drcta ntr odds rato y cofcnt dl modlo: OR E / x β (3) 4

43 El modlo d rgrsón logístca El modlo logístco. Gnralzacón a varabls xplcatvas La gnralzacón dl modlo para un vctor d varabls xplcatvas, dgamos x(x, x,..., x) tn la formulacón: En l Anxo pud consultar los datos d las varabls dscrtas n la tabla 5. (4) p(e / x) + ( β + β x β x ( β + βx βx ) ( β + βx βx ) + ) o, quvalntmnt (5) log t(p(e / x)) logodds(e / x) p(e / x) log β + p(e / x) + βx +... β x A partr d la varabl rspusta INFARTO, formul un modlo d rgrsón logístca como funcón d las varabls TABACO, ECG y PAS Sndo x,..., x varabls catgórcas o cuanttatvas. A modo d jmplo consdr obsrvacons sobr 99 sujtos d las varabls d la tabla adjunta: Tabla 5.- Varabls n un studo d factors d rsgo n nfarto INFARTO No S EDAD En años TABACO No fuma Fumador SEXO Hombr Mujr PAS Prsón sstólca (mmhg) PAS < >5 ECG Normal Anormal PAS <5 >5 43

44 El modlo d rgrsón logístca La gnralzacón n la ntrprtacón d parámtros rspcto al modlo smpl pud ralzars consdrando la sgunt stuacón: San x (x,..., x,..., x ) vctor d valors o catgorías d las varabls xplcatvas (un prfl dtrmnado, por jmplo no fumador, cg normal, pas mmhg) Cuántos prfls dstntos xstn con las varabls xplcatvas TABACO, ECG y SEXO? Exprs algunos d llos. Y cuántos OR d asocacón ntr dos prfls s pudn construr? x * * * * (x,..., x,..., x ) vctor d otros valors o catgorías d las varabls xplcatvas (otro prfl dtrmnado, por jmplo fumador, con cg anormal y pas6 mmhg) S dfn l odds rato d asocacón ntr la varabl rspusta dcotómca (nfarto) y la varabl dcotómca (x, x*) como l odds rato d la tabulacón: OR * E /(x,x ) p(e / x*) p(e / x*) p(e / x) p(e / x) E (E / x) x x* p p (E / x*) E (E / x) p p (E / x*) S alguna d las varabls xplcatvas s contnua, por jmplo PAS, Cuántos prfls dstntos xstn? Mdda qu rprsnta l grado d asocacón ntr la rspusta (nfarto) y dos prfls dstntos d las xplcatvas ([no fumador, cg normal, pas] vs. [fumador, cg anormal, pas6]) 44

45 El modlo d rgrsón logístca S modlzamos las probabldads d E sgún l modlo logístco (4) tndrmos: OR * E /(x,x ) p(e / x*) p(e / x*) p(e / x) p(e / x) Escrba la xprsón dl odds rato d asocacón ntr nfarto y los prfls (no fuma, cg normal, pas) vs. (fuma, cg anormal, pas5) + + β + + β + β x + β x β x * β + β x * β + β x * * β x β x β x * * β + β x β x β + β x β x β + β x β x * * β + β x β x β (x x ) * Escrba la xprsón dl odds rato d asocacón ntr nfarto y los prfls n los qu sólo camba la varabl tabaco (no fuma, cg, pas) vs. (fuma, msmo cg, msmo pas). Cómo s llama s odds rato? Intrprétlo OR E/(x,x*) * β (x x ) * β (x x ) (6) El modlo d rgrsón logístca s consdrado un modlo d fctos multplcatvos. Dscuta st concpto a partr d la xprsón (6) Pudndo xprsar l odds rato como funcón d los parámtros dl modlo a través d los cambos n las varabls xplcatvas. Nóts qu no dpnd d β. 45

46 El modlo d rgrsón logístca Rqurmntos n l modlo d rgrsón logístca A dfrnca dl modlo d rgrsón lnal, las nfrncas no rqurrán suposcón dstrbuconal alguna. S drá qu las nfrncas son asntótcas, s dcr, váldas para un n sufcntmnt grand. D acurdo con la cuacón (6) s supon composcón multplcatva d fctos (adtva n la scala logarítmca) En su opnón, cuál o cuals d las varabls rstants son canddatas a nflur sobr la probabldad d nfarto? S l ocurrn otras qu no stén ntr las studadas? Construccón d un modlo d rgrsón logístca. Etapas Suponga l jmplo dscrto antrormnt, con obsrvacons sobr 99 ndvduos d las varabls dscrtas n la tabla 5 Etapa : Espcfcacón d varabls y modlo propusto S dsa avrguar s las varabls TABACO y PAS nfluyn sobr la probabldad d INFARTO. S dnotamos por E Infarto No nfarto Modlo propusto p(x) p(x) x No fuma Fumador log β + βx + βx x PAS (mmhg) p(x)p(e/x,x) 46

47 El modlo d rgrsón logístca Etapa : Estmacón dl modlo A partr d los datos dsponbls, una mustra alatora d n obsrvacons d las varabls: { E, x, x,, x} n Rcurda n qué s traducía gráfcamnt l crtro d mínmos cuadrados n rgrsón lnal smpl? S trata d calcular los stmadors mustrals d los parámtros dl modlo: βˆ, βˆ, βˆ (, β ˆ, ) stmadors d los parámtros β, β, β ) (,, β El método d stmacón utlzado s l d máxma vrosmltud. Est método prsnta dfrncas con l método d mínmos cuadrados. El prncpo d máxma vrosmltud Partndo d la da d qu a partr d los datos mustrals qurmos obtnr una funcón qu nos produzca un valor (stmador mustral) qu s aproxm al d un parámtro poblaconal, d forma qu sa acptabl (cohrnt y d bunas propdads) y opratvo (prmta su cálculo matmátco), podmos utlzar dfrnts crtros. El crtro d mínmos cuadrados utlzado n rgrsón lnal s basa n argumntos gométrcos, partndo d la da d mnmzar: n ( y ŷ ) 47

48 El modlo d rgrsón logístca Frnt a sta da gométrca, l crtro d máxma vrosmltud s basa n la dstrbucón d probabldad d los datos obsrvados (dpndnt dl parámtro), construyndo como stmador dl parámtro aqul valor qu asgna mayor probabldad a los datos obsrvados Notas Para comprndr st procdmnto, supongamos la sgunt stuacón: S dsa avrguar l valor poblaconal d la prvalnca d un problma d salud, dgamos θ. Para llo xtrmos una mustra d tamaño n5 y n cada ndvduo s obsrva s pos o no l problma d salud, rsultando qu 4 d llos s vn afctados. Para smplfcar suponamos qu θ sólo pud valr, o,6 (n raldad srá cualqur valor ntr y ) El crtro d máxma vrosmltud rqur lo sgunt:. Suponr una dstrbucón d probabldad para los datos, funcón d l (los) parámtro(s) d ntrés. S dnotamos por Xnº d prsonas qu posn l problma ntr las 5 obsrvadas, tnmos qu: X Bnomal(n, θ ) B(n 5, θ) n p(x ) θ (- θ ) (- θ ) n- 5 θ 5- con θ, o,6. Esta funcón s la vrosmltud, una vz obsrvado 48

49 El modlo d rgrsón logístca. Dcdr como stmacón d θ aqul valor qu maxmza la la funcón antror. En la tabla adjunta s obsrva l valor d la funcón d vrosmltud para los dfrnts valors d. Cuál s l valor d θ qu hac más vrosíml (maxmza la funcón d vrosmltud) al rsultado 4? Rcurda cuál s l stmador máxmo vrosíml d la mda d una varabl? En qué modlo d probabldad d basa? θ Tabla 6.- Valors d la funcón d vrosmltud para dfrnts rsultados (,...,6) y θ, o,6 K p(x) θ,,38,49,5,5,7 <, θ,6,,77,3,346,59,78 En gnral, para <θ<, s trata d maxmzar la funcón d vrosmltud: n n- l(x, θ) θ (- θ ) logl(x, θ) logθ (n )log(- θ ) o quvalntmnt +, drvando gualando a s tn: δ δθ n log l(x, θ) θ θ θ n 4 θ ˆ,

50 El modlo d rgrsón logístca Funcons d vrosmltud n l modlo logístco Notas Exstn dos funcons d vrosmltud posbls n la stuacón d aplcacón dl modlo logístco: Vrosmltud no condconal S trata d xprsar la probabldad dl conjunto d datos obsrvados sn nnguna rstrccón. Así, s partmos d una mustra d n sujtos, cada uno d llos con un vctor d varabls xplcatvas xl (xl, xl,...,xl), d los qu n casos (E), asocados con los vctors d varabls xplcatvas x,...,xn n no casos (E), asocados con l rsto d vctors xn+,...,xn La vrosmltud s la probabldad d obtnr n casos asocados con los n vctors y n no casos asocados con l rsto d vctors, qu, d acurdo con un modlo bnomal srá: l(x, β ) n l p(e / x ) l n l n p(e + / x l ) l n l n (+ β + β x l β + β x β x l β x l l ) 5

51 El modlo d rgrsón logístca Vrosmltud condconal Notas Ordnados los n sujtos y sus corrpondnts vctors d varabls xplcatvas: Casos No casos... n n+... n x, xn, Xn+, xn, x, xn, xn+, xn, x, xn, xn+, xn, Sabndo qu n han sdo casos y n no casos, la vrosmltud rprsnta la probabldad d qu las n prmras columnas corrspondan a los casos. S la llama condconal por sr condconal a qu l numro d casos ha sdo n y su forma s: n β x β x l(x, β ) l n u l l (+ β x l l β x dond u rprsnta un índc qu rcorr todas las combnacons posbls d n lmntos tomados d n n n. Nóts qu l parámtro β no stá n la funcón l ) 5

52 El modlo d rgrsón logístca Usos d ambas vrosmltuds - La vrosmltud no condconal s la forma más natural d xprsón d la probabldad d los datos. El númro d casos y no casos no stá prfjado - La vrosmltud condconal sul rsrvars a stuacons n las qu la no condconal produc rsultados poco fcnts - Esto sucd sobr todo n studos con dsño aparado, n los qu al analzar la nformacón d cada strato, gnralmnt dfndo por l conjunto caso-control(s), la vrosmltud no condconal conduc a stmacons mnos prcsas - Cuando l númro d casos y no casos s alto, la vrosmltud condconal pud rsultar mpractcabl dbdo a qu su dnomnador trabaja con combnacons d xprsons - Rsumndo, la condconal sul utlzars n studos rtrospctvos con aparamnto 5

53 El modlo d rgrsón logístca El procso d stmacón Una vz hmos dcddo la funcón d vrosmltud a utlzar, l crtro d máxma vrosmltud produc los sgunts rsultados: Rcurd los concptos d varanza y rror stándar d un stmador y l d covaranza ntr stmadors Tabla 7.- Rsultados n la stmacón máxmo-vrosíml β ˆ (ˆ β,ˆ β,...,ˆ ) Estmadors d los parámtros β l(ˆ) β logl(ˆ) β Valor d la funcón d vrosmltud para l modlo Log-vrosmltud. Valor dl logartmo d la vrosmltud V s βˆ.. s βˆ βˆ.... s βˆ Matrz smétrca d varanzas covaranzas d los stmadors d los parámtros dl modlo s s s β ˆ β ˆ Var(ˆ β ) Elmnto -ésmo d la dagonal d la matrz V Error Estándar(ˆ β Cov(ˆ β,ˆ β ) ) ˆ ˆ β β j Covaranza ntr los stmadors d los parámtros j 53

54 El modlo d rgrsón logístca Como conscunca dl procso d stmacón dspondrmos dl modlo logístco stmado. Así, para l modlo propusto n la tapa, con los datos dl anxo, stmamos l sgunt modlo (vrosmltud no condconal): Intrprt los parámtros dl modlo. Tradúzcalos a odds ratos d asocacón ntr nfarto y tabaco y pas p(x) log 8,95 +,46x +,54 p(x) x Etapa 3: Bondad d ajust dl modlo La bondad d ajust dl modlo s valuará a través d la log-vrosmltud, concrtamnt a través d la funcón: logl(ˆ) β log vrosmltud dbndo dfnr l concpto d: Modlo saturado: Modlo qu rproduc xactamnt los datos. Tn tantos parámtros como obsrvacons. Est modlo tndrá un valor d log l(ˆ β) qu srá l mínmo posbl,. Cualqur otro modlo con mnos parámtros tndrá mayor valor d logvrosmltud 54

55 El modlo d rgrsón logístca La bondad d ajust d modlos s hará d acurdo con l sgunt squma (l trmómtro d bondad): Modlo Saturado Modlo con h+s varabls -logvrosmltud ntr l modlo con h+s varabls y l modlo saturado Dh+s (7) Con los datos dl jmplo propusto n la tapa, s tn lo sgunt: -logvrosmltud ncal 37,43 -log vrosmltud modlo tabaco y pas vs. modlo saturado 87,7 Stú stos valors n un squma como (7) Cuánto val la dstanca -logvrosmltud ntr l modlo tabaco y pas y l modlo nulo? Modlo con h varabls -logvrosmltud ntr l modlo con h+s varabls y l modlo con h varabls Gh+s/h -logvrosmltud ntr l modlo con h varabls y l modlo nulo Gh/nulo -logvrosmltud ncal (Modlo nulo vs. modlo saturado Dncal Modlo Nulo Dncal Gh/nulo + Gh+s/h + Dh+s 55

56 El modlo d rgrsón logístca El squma (7) s basa n los sgunts lmntos d valuacón d la bondad d un modlo: vrosmltud modlo con s parámtros log vrosmltudmodlo saturado D s (8) Esta cantdad s conocda gnralmnt como dvanc (dscrpanca) dl modlo a studo, y rprsnta la dstanca n bondad d ajust qu l falta al modlo a studo para llgar a un modlo saturado qu rproduc prfctamnt los datos Establzca cómo valuar la sgnfcacón d la bondad d un modlo cualqura n bas a (8) y (9). Aplíqulo al modlo d tabaco y pas dl jmplo. vros. modlo con h + s parámtros vros. modlo con h parámtros G h+ s / h log Ds Dh+ s (9) Esta cantdad s una mdda d la gananca n capacdad xplcatva por añadr s parámtros (varabls) a un modlo con h parámtros (varabls) El contrast d hpótss: H: Las s varabls nuvas no ncrmntan sgnfcatvamnt l ajust dl modlo Ha: Las s varabls nuvas ncrmntan sgnfcatvamnt l ajust dl modlo Pud sr rsulto a través dl stadístco Gh+s/h, qu s dstrbuy bajo H como una J-cuadrado con s grados d lbrtad 56

57 El modlo d rgrsón logístca Etapa 4.- Infrncas con l modlo A partr d los lmntos qu nos produc la stmacón máxmo-vrosíml (vr tabla 7) podmos ralzar las sgunts nfrncas: Infrncas sobr los parámtros dl modlo Los parámtros pudn sr ntrprtados como mddas d la magntud dl fcto d cada varabl xplcatva sobr la varabl rspusta. Las nfrncas posbls son: Pruba d hpótss para comprobar la sgnfcacón d cada varabl: H : β Ha : β,..., La tabla adjunta mustra los rsultados obtndos n l procso d stmacón dl modlo con varabls tabaco y pas. Dscuta la sgnfcacón d las varabls y construya los ntrvalos d confanza d nvl 95% para los parámtros dl modlo (ET Error stándar d la stmacón) a TABACO PAS Constant Varabls n la cuacón a. Varabl(s) : TABACO, PAS. B E.T. Wald,46,568 5,648,54,7,35-8,95,375 4,97 rsulta a través dl stadístco d Wald: z βˆ (normal bajo H) o sβˆ ˆ β χ (J-cuadrado con gl) s βˆ Intrvalo d confanza para cada β con z-α/ cofcnt d una normal I ˆ α ( β ) β ± z s α βˆ 57

58 El modlo d rgrsón logístca Intrvalo d confanza para una combnacón lnal d parámtros dl modlo a Dada una combnacón lnal d los parámtros dl modlo, con { } constants conocdas: C a β Sabndo qu la corrlacón ntr dos stmadors d parámtros s su covaranza dvdda por l producto d sus rrors stándar, a partr d la matrz d corrlacons adjunta, y los rrors stándar utlzados n la pag. antror, calcul la covaranza ntr los stmadors d los parámtros d las varabls tabaco y pas El ntrvalo d confanza para C pud sr obtndo a través d la xprsón: con: I (C) Ĉ ± z α Var(Ĉ) α () TABACO PAS TABACO PAS, -,63 -,63, Ĉ β stmador d C, combnacón lnal d stmadors d los a ˆ parámtros dl modlo Dsarroll la xprsón para l cálculo dl ntrvalo d confanza d la prdccón dl log-odds d nfarto para fumadors con pas d 6 mmhg. Var(Ĉ) a β ) + aa j β β j ) () varanza stmada < j j Var(ˆ Cov(ˆ, ˆ con varanzas y covaranzas obtndas d la matrz d varanzas-covaranzas (tabla 7) 58