DISEÑO ÓPTIMO SIMULTÁNEO DE TOPOLOGÍA Y GEOMETRÍA DE ESTRUCTURAS ARTICULADAS MEDIANTE TÉCNICAS DE CRECIMIENTO

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1 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE CARTAGENA DEPARTAMENTO DE ESTRUCTURAS Y CONSTRUCCIÓN DISEÑO ÓPTIMO SIMULTÁNEO DE TOPOLOGÍA Y GEOMETRÍA DE ESTRUCTURAS ARTICULADAS MEDIANTE TÉCNICAS DE CRECIMIENTO Pdro Jsús Martínz Castón 003

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3 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE CARTAGENA DEPARTAMENTO DE ESTRUCTURAS Y CONSTRUCCIÓN PROGRAMA DE DOCTORADO: ANÁLISIS Y DISEÑO AVANZADO DE ESTRUCTURAS DISEÑO ÓPTIMO SIMULTÁNEO DE TOPOLOGÍA Y GEOMETRÍA DE ESTRUCTURAS ARTICULADAS MEDIANTE TÉCNICAS DE CRECIMIENTO TESIS DOCTORAL Prsntada por: D. Pdro Jsús Martínz Castón Drgda por: Dr. Pascual Martí Montrull Cartagna, ulo d 003

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5 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE CARTAGENA Dpartamnto d Estructuras y Construccón AUTORIZACIÓN DEL DIRECTOR DE LA TESIS D. Pascual Martí Montrull, Profsor Doctor dl Ára d Mcánca d Mdos Contnuos y Toría d Estructuras, n l Dpartamnto d Estructuras y Construccón AUTORIZA: La prsntacón d la Tss Doctoral ttulada Dsño óptmo smultáno d topología y gomtría d structuras artculadas mdant técncas d crcmnto, ralzada por D. Pdro Jsús Martínz Castón, bao su drccón y suprvsón, n l Dpartamnto d Estructuras y Construccón, y qu prsnta para la obtncón dl grado d Doctor por la Unvrsdad Poltécnca d Cartagna. En Cartagna, a 7 d ulo d 003 EL DIRECTOR DE LA TESIS Fdo.: Pascual Martí Montrull

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7 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE CARTAGENA Dpartamnto d Estructuras y Construccón AUTORIZACIÓN DEL DEPARTAMENTO RESPONSABLE D. Pascual Martí Montrull, Drctor dl Dpartamnto d Estructuras y Construccón INFORMA: Qu la Tss Doctoral ttulada Dsño óptmo smultáno d topología y gomtría d structuras artculadas mdant técncas d crcmnto, ha sdo ralzada por D. Pdro Jsús Martínz Castón, bao la drccón y suprvsón d D. Pascual Martí Montrull y qu l Dpartamnto ha dado su conformdad para qu sa prsntada ant la Comsón d Doctorado. En Cartagna, a 9 d ulo d 003 EL DIRECTOR DEL DEPARTAMENTO Fdo.: Pascual Martí Montrull v

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9 v A Funsanta

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11 AGRADECIMIENTOS Quro agradcr al Dr. Pascual Martí Montrull sus nstmabls consos y l contnuo stímulo para llvar a bun térmno sta tss doctoral. Rcurdo d forma spcal muchos momntos n los qu sus sugrncas sutls y razonamntos lgants orntaban fcazmnt st trabao. Quro agradcr tambén a m sposa, Funsanta, su apoyo ncondconal. Espro qu algún día puda rcuprar algunos d los momntos qu prdí con lla por la ralzacón d sta tss. Y, fnalmnt, a m famla, a ms compañros dl ára d Mcánca d Mdos Contnuos y Toría d Estructuras, spcalmnt a Conchta y Santago, y a ms amgos, por su ánmo y apoyo dsntrsados.

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13 Índc LISTA DE TABLAS... LISTA DE FIGURAS... LISTA DE SÍMBOLOS... CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN Y OBJETIVOS 1.1 INTRODUCCIÓN DISEÑO ÓPTIMO DE TOPOLOGÍA Y GEOMETRÍA DE ESTRUCTURAS ARTICULADAS Métodos dl unvrso structural (ground structur) Métodos d crcmnto Métodos d homognzacón OBJETIVOS DE LA TESIS ORGANIZACIÓN DE LA TESIS... CAPÍTULO FORMULACIÓN Y RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA DE DISEÑO ÓPTIMO DE ESTRUCTURAS.1 INTRODUCCIÓN FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE DISEÑO ÓPTIMO DE ESTRUCTURAS Varabls d dsño Funcón obtvo Rstrccons TIPOS DE OPTIMIZACIÓN ESTRUCTURAL... 9

14 DISEÑO ÓPTIMO SIMULTÁNEO DE TOPOLOGÍA Y GEOMETRÍA DE ESTRUCTURAS ARTICULADAS Optmzacón d propdads d la sccón transvrsal Optmzacón d gomtría Optmzacón d topología FORMULACIÓN MATEMÁTICA DEL PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN Introduccón Crtros d optmaldad Caractrístcas dl método FSD Programacón matmátca Búsquda undmnsonal Drccón d búsquda Problmas con rstrccons Programacón cuadrátca sucsva Introduccón Dscrpcón gnral Algortmo d Schttows Dscrpcón Algortmo... 3 CAPÍTULO 3 DISEÑO ÓPTIMO DE TOPOLOGÍA DE ESTRUCTURAS ARTICULADAS. MÉTODOS DEL UNIVERSO ESTRUCTURAL 3.1 INTRODUCCIÓN ANTECEDENTES UNIVERSO ESTRUCTURAL Introduccón Gnracón Introduccón Mapado d puntos nodals Ordn d vcndad Gnracón d barras Implmntacón Emplos MÉTODOS DE SOLUCIÓN Introduccón Método strss-rato... 33

15 ÍNDICE Formulacón Algortmo d rsolucón Implmntacón Elmnacón d barras Método d la complanc Formulacón Algortmo d rsolucón Implmntacón Método d Pdrsn Formulacón Algortmo d rsolucón Varabls postvas y ngatvas Funcón obtvo no lnal Implmntacón Gnracón automátca d la topología ncal Varos stados d cargas Dgnracón dl smpl Método d Achtzgr Formulacón Algortmo d rsolucón Implmntacón Método d búsquda haustva Introduccón Procdmnto Gnracón d topologías Dtccón d topologías nstabls Dtccón d topologías quvalnts Análss y obtncón d la funcón obtvo Elccón dl dsño óptmo Emplo Introduccón Voladzo con carga puntual CAPÍTULO 4 DISEÑO ÓPTIMO DE TOPOLOGÍA Y GEOMETRÍA DE ESTRUCTURAS ARTICULADAS. MÉTODOS DE CRECIMIENTO 4.1 INTRODUCCIÓN ANTECEDENTES... 65

16 v DISEÑO ÓPTIMO SIMULTÁNEO DE TOPOLOGÍA Y GEOMETRÍA DE ESTRUCTURAS ARTICULADAS MÉTODOS DE SOLUCIÓN Método d Rul Formulacón Algortmo d rsolucón Método d McKown Formulacón Algortmo d rsolucón Método d Boczu y Mróz Formulacón Algortmo d rsolucón CAPÍTULO 5 DISEÑO ÓPTIMO SIMULTÁNEO DE TOPOLOGÍA Y GEOMETRÍA DE ESTRUCTURAS ARTICULADAS. MÉTODO PROPUESTO 5.1 INTRODUCCIÓN DISEÑO ÓPTIMO SIMULTÁNEO DE TOPOLOGÍA Y GEOMETRÍA OBTENCIÓN DE LA TOPOLOGÍA INICIAL Introduccón Dfncón y/o gnracón d los nudos ncals Obtncón d la topología ncal OPTIMIZACIÓN DE TOPOLOGÍA Introduccón Optmzacón d topología mdant los métodos basados n l unvrso structural OPTIMIZACIÓN DE GEOMETRÍA Introduccón Formulacón dl problma d optmzacón d gomtría Varabls d dsño Funcón obtvo Rstrccons d dsño Formulacón matmátca dl problma d optmzacón d gomtría Cálculo d las drvadas analítcas d la funcón obtvo Cálculo d las drvadas sgundas analítcas d la funcón obtvo Rsolucón dl problma d optmzacón d gomtría CRECIMIENTO DE LA TOPOLOGÍA Introduccón... 91

17 ÍNDICE v 5.6. Dfncón d los nuvos nudos Método gnral Puntos d una rlla n l domno d dfncón d la structura Puntos alatoros n l domno d dfncón d la structura Entorno d los puntos mdos d las barras Entorno d los crucs d las barras Método basado n las drccons prncpals d tnsón Mora d la ortogonaldad d las barras Dvsón d una barra Dvsón d dos barras qu s cruzan Elccón d la poscón dl nuvo nudo Dvsón d una barra Dvsón d dos barras qu s cruzan Elccón d las nuvas barras a añadr Dvsón d una barra Dvsón d dos barras qu s cruzan Crtros práct para lmtar l númro d barras a añadr al nuvo nudo Lmtar l númro d crucs d barras Lmtar l númro mámo d barras n cso Elccón d la barra o cruc d barras a dvdr Rsumn dl procso d crcmnto d la topología COMPROBACIÓN DE LA TOPOLOGÍA ÓPTIMA EN LA NUEVA GEOMETRÍA EJEMPLOS Vga con apoyos fos Vga con dsco crcular rígdo CAPÍTULO 6 DISEÑO ÓPTIMO SIMULTÁNEO DE TOPOLOGÍA Y GEOMETRÍA DE ESTRUCTURAS ARTICULADAS. APLICACIÓN INFORMÁTICA 6.1 INTRODUCCIÓN CLASES DEFINIDAS Introduccón Archvo: Prncpal.h Archvo: Mf.h

18 v DISEÑO ÓPTIMO SIMULTÁNEO DE TOPOLOGÍA Y GEOMETRÍA DE ESTRUCTURAS ARTICULADAS Archvo: Analss.h Archvo: Optmzacon.h Archvo: Matrz.h Archvo: Eprson.h Archvo: Punto.h Archvo: Lna.h Archvo: Ara.h Archvo: Volumn.h Archvo: Matral.h Archvo: Propdad.h Archvo: Nodo.h Archvo: Elmnto.h Archvo: Forma.h Archvo: Gauss.h Archvo: Numracon.h Archvo: Smpl.h Archvo: OpnGL.h APLICACIÓN INFORMÁTICA Dscrpcón gnral Análss Optmzacón ORDENADOR UTILIZADO CAPÍTULO 7 EJEMPLOS DE APLICACIÓN DEL MODELO DE DISEÑO ÓPTIMO PROPUESTO 7.1 INTRODUCCIÓN EJEMPLOS DE VALIDACIÓN Introduccón Voladzo d Mchll Longtud admnsonal L = 0, Longtud admnsonal L = 1, Longtud admnsonal L = 3, Vga d Mssrschmdt-Bölow-Blohm

19 ÍNDICE v Longtud admnsonal L =, Longtud admnsonal L = 5, Vga con dsco crcular rígdo APLICACIONES Introduccón Estructuras d barras artculadas Introduccón Voladzo d Mchll con carga varabl Método d blas y trants para l hormgón armado Introduccón Ménsula corta Optmzacón d topología y gomtría d mcansmos Introduccón Método d Frcr Método d crcmnto propusto Mcansmo tractor d dsquts CAPÍTULO 8 CONCLUSIONES Y TRABAJOS FUTUROS 8.1 INTRODUCCIÓN TRABAJOS REALIZADOS CONCLUSIONES TRABAJOS FUTUROS REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS... 09

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21 Lsta d tablas Tabla 3.1 Tabla 3. Voladzo con carga puntual. Dsños óptmos obtndos mdant l método strss-rato (sn pando) Voladzo con carga puntual. Dsños óptmos obtndos mdant l método d la complanc (sn pando) Tabla 3.3 Voladzo con carga puntual. Dsños óptmos obtndos mdant l método d Pdrsn (sn pando) Tabla 3.4 Voladzo con carga puntual. Dsños óptmos obtndos mdant l método d Achtzgr (sn pando) Tabla 3.5 Voladzo con carga puntual. Dsños óptmos obtndos mdant l método d búsquda haustva (sn pando) Tabla 7.1 Voladzo d Mchll ( L = 1, 8196 ). Dsños óptmos obtndos mdant l método strss-rato Tabla 7. Voladzo d Mchll ( L = 1, 8196 ). Dsños óptmos obtndos mdant l método d la complanc Tabla 7.3 Voladzo d Mchll ( L = 1, 8196 ). Dsños óptmos obtndos mdant l método d Pdrsn Tabla 7.4 Voladzo d Mchll ( L = 1, 8196 ). Dsños óptmos obtndos mdant l método d Achtzgr Tabla 7.5 Voladzo d Mchll ( L = 1, 8196 ). Dsños óptmos obtndos mdant l método d búsquda haustva Tabla 7.6 Voladzo d Mchll ( L = 1, 8196 ). Dsños óptmos obtndos mdant l método d crcmnto propusto Tabla 7.7 Voladzo d Mchll ( L = 3, ). Dsños óptmos obtndos mdant l método d la complanc Tabla 7.8 Voladzo d Mchll ( L = 3, ). Dsños óptmos obtndos mdant l método d crcmnto propusto (añadndo los nudos d uno n uno y d dos n dos) Tabla 7.9 Vga MBB ( L =, ). Dsños óptmos obtndos mdant l método d la complanc

22 DISEÑO ÓPTIMO SIMULTÁNEO DE TOPOLOGÍA Y GEOMETRÍA DE ESTRUCTURAS ARTICULADAS... Tabla 7.10 Vga MBB ( L =, ). Dsños óptmos obtndos mdant l método d crcmnto propusto Tabla 7.11 Vga MBB ( L = 5, ). Dsños óptmos obtndos mdant l método d la complanc Tabla 7.1 Vga MBB ( L = 5, ). Dsños óptmos obtndos mdant l Tabla 7.13 Tabla 7.14 método d crcmnto propusto Vga con dsco crcular rígdo. Dsños óptmos obtndos mdant l método d la complanc Vga con dsco crcular rígdo. Dsños óptmos obtndos mdant l método d crcmnto propusto

23 Lsta d fguras Fgura.1 Dsño por pruba y rror... 5 Fgura. Dsño optmzado... 6 Fgura.3 Método Stpst Dscnt Fgura.4 Efcto d las rstrccons sobr l mínmo. Mínmos rlatvos Fgura 3.1 Procso d mapo y transformacón (bdmnsonal)... 7 Fgura 3. Dfrnts órdns d vcndad d un nudo (bdmnsonal)... 8 Fgura 3.3 Gnracón d barras n las línas (bdmnsonal)... 8 Fgura 3.4 Gnracón d barras para órdns d vcndad 1, y 3 (bdmnsonal)... 9 Fgura 3.5 Modlado d un domno con cuadrlátros cuadrát (8 nodos)... 9 Fgura 3.6 Unvrso structural para un domno cuadrado Fgura 3.7 Unvrso structural para un domno cuadrado con un aguro Fgura 3.8 Unvrso structural para una ménsula... 3 Fgura 3.9 Unvrso structural para una torr... 3 Fgura 3.10 Funcón ára Fgura 3.11 Unvrso structural d 15 barras y 1 grados d lbrtad Fgura 3.1 Unvrso structural d 15 barras y 1 grados d lbrtad. Topología sostátca ( ) Fgura 3.13 Unvrso structural d 15 barras y 1 grados d lbrtad. Topologías nstabls por falta d vínculos ndpndnts ( 00 ) Fgura 3.14 Unvrso structural d 15 barras y 1 grados d lbrtad. Topologías nstabls por hprstatcdad local ( ) Fgura 3.15 Unvrso structural d 15 barras y 1 grados d lbrtad. Topologías quvalnts (msma funcón obtvo)... 5 Fgura 3.16 Voladzo con carga puntual n la part nfror dl trmo lbr (Achtzgr, 1999b) Fgura 3.17 Voladzo con carga puntual n la part nfror dl trmo lbr. Evolucón dl dsño óptmo obtndo mdant l método strss-rato y un unvrso 153 (sn pando)... 54

24 DISEÑO ÓPTIMO SIMULTÁNEO DE TOPOLOGÍA Y GEOMETRÍA DE ESTRUCTURAS ARTICULADAS... Fgura 3.18 Voladzo con carga puntual n la part nfror dl trmo lbr. Dsños óptmos obtndos mdant l método strss-rato (sn pando) Fgura 3.19 Voladzo con carga puntual n la part nfror dl trmo lbr. Dsños óptmos obtndos mdant l método d la complanc (sn pando) Fgura 3.0 Voladzo con carga puntual n la part nfror dl trmo lbr. Dsños óptmos obtndos mdant l método d Pdrsn (sn pando) Fgura 3.1 Voladzo con carga puntual n la part nfror dl trmo lbr. Dsños óptmos obtndos mdant l método d Achtzgr (sn pando) Fgura 3. Voladzo con carga puntual n la part nfror dl trmo lbr. Evolucón dl dsño óptmo obtndo mdant l método d búsquda y un unvrso 511 (sn pando) Fgura 3.3 Voladzo con carga puntual n la part nfror dl trmo lbr. Dsños óptmos obtndos mdant l método d búsquda haustva (sn pando)... 6 Fgura 3.4 Voladzo con carga puntual n la part nfror dl trmo lbr (sn pando). (a) Evolucón tmpo/nº barras; (b) Evolucón funcón obtvo/tmpo Fgura 3.5 Voladzo con carga puntual n la part nfror dl trmo lbr. Dsños óptmos obtndos (con pando) Fgura 4.1 Estructuras bas ncals: (a) apoyos, 1 carga; (b) apoyos, 3 cargas; (c) 3 apoyos, cargas Fgura 4. Estratgas para añadr nuvos nudos y barras: (a) barra tror; (b) barra ntror Fgura 4.3 Modos d varacón topológca: (a) gnracón d un nuvo nudo y barra d conón; (b) nudo d sparacón ntroduccón d una barra d conón; (c) ntroduccón d dos nudos y barras d conón Fgura 5.1 Dagrama d fluo para l dsño óptmo smultáno d topología y gomtría Fgura 5. Emplos d gnracón d los nudos ncals, a partr d los datos ncals, para dfrnts casos d dsplazamntos mpddos y d tpos d cargas Fgura 5.3 Dagrama d fluo para la obtncón d la topología ncal Fgura 5.4 Emplos d obtncón d las topologías ncals, a partr d los nudos ncals, para dfrnts casos d dsplazamntos mpddos y d tpos d cargas Fgura 5.5 Dagrama d fluo para la optmzacón d topología Fgura 5.6 Emplos d obtncón d las topologías ncals óptmas para dfrnts casos d dsplazamntos mpddos y d tpos d cargas Fgura 5.7 Dagrama d fluo para la optmzacón d gomtría Fgura 5.8 Entorno d los puntos mdos d las barras... 9 Fgura 5.9 Entorno d los crucs d las barras... 9 Fgura 5.10 Mora d la ortogonaldad al dvdr una barra. En cada uno d los nudos d la barra stán undas dos barras con sfurzos aals d dfrnt sgno al suyo... 94

25 LISTA DE FIGURAS Fgura 5.11 Mora d la ortogonaldad al dvdr una barra. En cada uno d los nudos d la barra stá unda una barra con sfurzo aal d dfrnt sgno al suyo Fgura 5.1 Mora d la ortogonaldad al dvdr una barra. En uno d los nudos d la barra no hay nnguna barra conctada con sfurzo aal d dfrnt sgno al suyo y n l otro hay una Fgura 5.13 Mora d la ortogonaldad al dvdr dos barras qu s cruzan Fgura 5.14 Valor mdo para una apromacón polnómca cúbca Fgura 5.15 Valor mámo para una apromacón polnómca cúbca Fgura 5.16 Emplos dond la mor barra a añadr no s la más prpndcular o la más corta Fgura 5.17 Unvrso structural complto dl nuvo nudo al dvdr una barra Fgura 5.18 Unvrso structural dl lado opusto dl nuvo nudo al dvdr una barra Fgura 5.19 Topología óptma al dvdr una barra Fgura 5.0 Topologías al dvdr dos barras qu s cruzan Fgura 5.1 Unvrso structural dl nuvo nudo con un cruc Fgura 5. Unvrso structural dl nuvo nudo con un cruc y un grado d hprstatcdad mámo d Fgura 5.3 Topología n la qu al dvdr dos barras qu s cruzan, alguna d las barras n las qu s dvdn las orgnals no forma part d la topología óptma Fgura 5.4 Emplos dond la mor barra a dvdr no s la más larga Fgura 5.5 Mor barra o cruc d barras a dvdr para obtnr la nuva topología óptma. Cuatro prmras tracons dl voladzo d Mchll Fgura 5.6 Dagrama d fluo para l procso d crcmnto d la topología Fgura 5.7 Dagrama d fluo para la comprobacón d la topología óptma n la nuva gomtría Fgura 5.8 Cambo d la topología óptma al optmzar la gomtría Fgura 5.9 Evolucón dl dsño óptmo n las trs prmras tracons. Vga con apoyos fos Fgura 5.30 Evolucón dl dsño óptmo n las trs prmras tracons. Vga con dsco crcular rígdo Fgura 6.1 Clas bas Analss y sus class drvadas Fgura 6. Clas bas Optmzacon y sus class drvadas Fgura 6.3 Clas bas Lna y sus class drvadas Fgura 6.4 Clas bas Ara y sus class drvadas... 1 Fgura 6.5 Clas bas Volumn y sus class drvadas Fgura 6.6 Clas bas Elmnto y sus class drvadas Fgura 6.7 Clas bas Numracón y sus class drvadas Fgura 6.8 Clas bas Smpl y sus class drvadas Fgura 6.9 Pantalla prncpal d TTO sn datos Fgura 6.10 Pantalla prncpal d TTO con un problma d barras artculadas

26 v DISEÑO ÓPTIMO SIMULTÁNEO DE TOPOLOGÍA Y GEOMETRÍA DE ESTRUCTURAS ARTICULADAS... Fgura 6.11 Pantalla prncpal d TTO con un problma d barras d nudos rígdos Fgura 6.1 Pantalla prncpal d TTO con un problma d lastcdad plana Fgura 6.13 Pantalla prncpal d TTO con un problma d campos Fgura 6.14 Pantalla prncpal d TTO con un problma d optmzacón d barras artculadas Fgura 6.15 Mallado gnrado para un dnt d ngrana Fgura 6.16 Matrz d rgdz sn y con rnumracón d los nodos dl problma d la Fg Fgura 6.17 Rsultados dl análss dl problma d la Fg Fgura 6.18 Rsultados dl análss dl problma d la Fg Fgura 6.19 Rsultados dl análss dl problma d la Fg Fgura 6.0 Rsultados dl análss dl problma d la Fg Fgura 6.1 Rsultados d la optmzacón dl problma d la Fg sn optmzacón d gomtría Fgura 6. Rsultados d la optmzacón dl problma d la Fg con optmzacón d gomtría Fgura 7.1 (a) Voladzo d Mchll. (b) Solucón analítca. (c) Valors óptmos d la masa (Rozvany, 1998) Fgura 7. Voladzo d Mchll ( L = 0, 5 ). Dsños óptmos obtndos mdant todos los métodos dl unvrso structural y optmzacón fnal d gomtría Fgura 7.3 Voladzo d Mchll ( L = 0, 5 ). Dsño óptmo obtndo mdant l método d crcmnto propusto Fgura 7.4 Voladzo d Mchll ( L = 1, 8196 ). Dsños óptmos obtndos mdant métodos dl unvrso structural Fgura 7.5 Voladzo d Mchll ( L = 1, 8196 ). Dsños óptmos obtndos mdant l método d crcmnto propusto Fgura 7.6 Voladzo d Mchll ( L = 1, 8196 ). Métodos dl unvrso structural (sn optmzacón d gomtría) y d crcmnto propusto. (a) Evolucón rror/nº nudos; (b) Evolucón rror/tmpo Fgura 7.7 Voladzo d Mchll ( L = 1, 8196 ). Métodos dl unvrso structural (con optmzacón d gomtría) y d crcmnto propusto. (a) Evolucón rror/nº nudos; (b) Evolucón rror/tmpo Fgura 7.8 Voladzo d Mchll ( L = 3, ). Dsños óptmos obtndos mdant l método d la complanc Fgura 7.9 Voladzo d Mchll ( L = 3, ). Dsños óptmos obtndos mdant l método d crcmnto propusto, añadndo los nudos d uno n uno Fgura 7.10 Voladzo d Mchll ( L = 3, ). Dsños óptmos obtndos mdant l método d crcmnto propusto, añadndo los nudos d dos n dos Fgura 7.11 Voladzo d Mchll ( L = 3, ). Método d la complanc (sn y con optmzacón d gomtría) y d crcmnto propusto

27 LISTA DE FIGURAS v (añadndo los nudos d uno n uno y d dos n dos). (a) Evolucón rror/nº nudos; (b) Evolucón rror/tmpo Fgura 7.1 (a) Vga MBB. (b) Solucón analítca. (c) Valors óptmos d la masa (Rozvany, 1998) Fgura 7.13 Vga MBB ( L =, ). Dsños óptmos obtndos mdant l método d la complanc Fgura 7.14 Vga MBB ( L =, ). Dsños óptmos obtndos mdant l método d crcmnto propusto Fgura 7.15 Vga MBB ( L =, ). Método d la complanc (sn y con optmzacón d gomtría) y d crcmnto propusto. (a) Evolucón rror/nº nudos; (b) Evolucón rror/tmpo Fgura 7.16 Voladzo d Mchll ( L = 5, ). Dsños óptmos obtndos mdant l método d la complanc Fgura 7.17 Voladzo d Mchll ( L = 5, ). Dsños óptmos obtndos mdant l método d crcmnto propusto Fgura 7.18 Vga MBB ( L = 5, ). Método d la complanc (sn y con optmzacón d gomtría) y d crcmnto propusto. (a) Evolucón rror/nº nudos; (b) Evolucón rror/tmpo Fgura 7.19 (a) Vga con dsco crcular rígdo. (b) Solucón analítca (Rozvany, 1998) Fgura 7.0 Vga con dsco crcular rígdo. Suprfcs a mapar para crar l unvrso structural Fgura 7.1 Vga con dsco crcular rígdo. Dsños obtndos mdant l método d la complanc Fgura 7. Vga con dsco crcular rígdo. Dsños obtndos mdant l método d crcmnto propusto Fgura 7.3 Vga con dsco crcular rígdo. Método d la complanc (sn y con optmzacón d gomtría) y d crcmnto propusto. (a) Evolucón rror/nº nudos; (b) Evolucón rror/tmpo Fgura 7.4 Voladzo d Mchll con carga varabl Fgura 7.5 Voladzo d Mchll ( L = 0, 5 ). Dsño óptmo: α = 0º (sn pando) Fgura 7.6 Voladzo d Mchll ( L = 0, 5 ). Dsño óptmo: α = 15º (sn pando) Fgura 7.7 Voladzo d Mchll ( L = 0, 5 ). Dsño óptmo: α = 30º (sn pando) Fgura 7.8 Voladzo d Mchll ( L = 0, 5 ). Dsño óptmo: α = 45º (sn pando) Fgura 7.9 Voladzo d Mchll ( L = 0, 5 ). Dsño óptmo: α = 60º (sn pando) Fgura 7.30 Voladzo d Mchll ( L = 0, 5 ). Dsño óptmo: α = 75º (sn pando) Fgura 7.31 Voladzo d Mchll ( L = 0, 5 ). Dsño óptmo: α = 90º (sn pando) Fgura 7.3 Voladzo d Mchll ( L = 0, 5 ). Evolucón masa admnsonal/ángulo (sn pando) Fgura 7.33 Voladzo d Mchll ( L = 1, 8196 ). Dsño óptmo: α = 0º (sn pando) Fgura 7.34 Voladzo d Mchll ( L = 1, 8196 ). Dsño óptmo: α = 15º (sn pando)

28 v DISEÑO ÓPTIMO SIMULTÁNEO DE TOPOLOGÍA Y GEOMETRÍA DE ESTRUCTURAS ARTICULADAS... Fgura 7.35 Voladzo d Mchll ( L = 1, 8196 ). Dsño óptmo: α = 30º (sn pando) Fgura 7.36 Voladzo d Mchll ( L = 1, 8196 ). Dsño óptmo: α = 45º (sn pando) Fgura 7.37 Voladzo d Mchll ( L = 1, 8196 ). Dsño óptmo: α = 60º (sn pando) Fgura 7.38 Voladzo d Mchll ( L = 1, 8196 ). Dsño óptmo: α = 75º (sn pando) Fgura 7.39 Voladzo d Mchll ( L = 1, 8196 ). Dsño óptmo: α = 90º (sn pando) Fgura 7.40 Voladzo d Mchll ( L = 1, 8196 ). Evolucón masa admnsonal/ángulo (sn pando) Fgura 7.41 Voladzo d Mchll ( L = 0, 5 ). Dsño óptmo: α = 0º (con pando) Fgura 7.4 Voladzo d Mchll ( L = 0, 5 ). Dsño óptmo: α = 15º (con pando) Fgura 7.43 Voladzo d Mchll ( L = 0, 5 ). Dsño óptmo: α = 30º (con pando) Fgura 7.44 Voladzo d Mchll ( L = 0, 5 ). Dsño óptmo: α = 45º (con pando) Fgura 7.45 Voladzo d Mchll ( L = 0, 5 ). Dsño óptmo: α = 60º (con pando) Fgura 7.46 Voladzo d Mchll ( L = 0, 5 ). Dsño óptmo: α = 75º (con pando) Fgura 7.47 Voladzo d Mchll ( L = 0, 5 ). Dsño óptmo: α = 90º (con pando) Fgura 7.48 Voladzo d Mchll ( L = 0, 5 ). Evolucón masa admnsonal/ángulo (con pando) Fgura 7.49 Voladzo d Mchll ( L = 1, 8196 ). Dsño óptmo: α = 0º (con pando) Fgura 7.50 Voladzo d Mchll ( L = 1, 8196 ). Dsño óptmo: α = 15º (con pando) Fgura 7.51 Voladzo d Mchll ( L = 1, 8196 ). Dsño óptmo: α = 30º (con pando) Fgura 7.5 Voladzo d Mchll ( L = 1, 8196 ). Dsño óptmo: α = 45º (con pando) Fgura 7.53 Voladzo d Mchll ( L = 1, 8196 ). Dsño óptmo: α = 60º (con pando) Fgura 7.54 Voladzo d Mchll ( L = 1, 8196 ). Dsño óptmo: α = 75º (con pando) Fgura 7.55 Voladzo d Mchll ( L = 1, 8196 ). Dsño óptmo: α = 90º (con pando) Fgura 7.56 Voladzo d Mchll ( L = 1, 8196 ). Evolucón masa admnsonal/ángulo (con pando) Fgura 7.57 Ménsula corta Fgura 7.58 Ménsula corta. Dsño óptmo obtndo por Adbar Fgura 7.59 Ménsula corta. Dsños óptmos obtndos mdant l método d crcmnto propusto Fgura 7.60 Mcansmo. (a) Dsño a flbldad; (b) Dsño a rgdz Fgura 7.61 Mcansmo tractor d dsquts Fgura 7.6 Mcansmo tractor d dsquts. Estados d cargas Fgura 7.63 Mcansmo tractor d dsquts. Dsño óptmo obtndo por Frcr Fgura 7.64 Mcansmo tractor d dsquts. Dsño óptmo obtndo mdant l método d crcmnto propusto... 0

29 Lsta d símbolos Escalars Caractrs latnos (mnúsculas) c cadna d barras c t d una barra d númro s dmnsons dl problma cota supror f funcón d transformacón ~ f, f funcón obtvo f p funcón obtvo pnalzada g rstrccón d dsño d dsgualdad h rstrccón d dsño d gualdad h altura dl domno d stnca d una structura m pndnt d una barra m númro d barras m númro total d rstrccons m d númro d rstrccons d dsgualdad m númro d rstrccons d gualdad n númro d nudos n númro d grados d lbrtad d una structura n númro d varabls n númro d stados d cargas r pso d la pnalzacón d f p sobr las funcons d las rstrccons r rado s cofcnt d sgurdad s númro d grados d lbrtad con dsplazamntos mpddos s parámtro topológco u multplcador d Lagrang d la rstrccón g v G

30 v DISEÑO ÓPTIMO SIMULTÁNEO DE TOPOLOGÍA Y GEOMETRÍA DE ESTRUCTURAS ARTICULADAS... u, v, w dsplazamntos n las drccons d los s globals v ordn d vcndad n la gnracón dl unvrso structural, y, z s d rfrnca n coordnadas locals varabl d dsño I S límt nfror d la varabl d dsño límt supror d la varabl d dsño Caractrs latnos (mayúsculas) A ára d la sccón transvrsal d una barra A E ára corrspondnt a la carga crítca d Eulr ~ C, C, Cˆ complanc C t d la structura C conunto d cadnas 0 C conunto d cadnas actvas E módulo d Young G funcón d la rstrccón g para la pnalzacón d G I L L L L M M M P P E t unvrso structural momnto d nrca d la sccón d una barra funcón lagrangana longtud d una barra longtud dl domno d stnca d una structura longtud admnsonal dl domno d stnca d una structura masa total d una structura masa admnsonal total d una structura momnto torsor carga puntual carga crítca d Eulr V volumn d una structura X, Y, Z s d rfrnca n coordnadas globals Caractrs grgos (mnúsculas) α longtud d movmnto n la drccón d búsquda d para la tracón β nrca / ára d una barra α, β, γ ángulos con rspcto a los s globals δ ε ε ε λ tolranca para las rstrccons constant postva d valor muy pquño rror rlatvo conunto d conons sbltz mcánca d una barra f p

31 LISTA DE SÍMBOLOS µ, µ' varabls asocadas a los multplcadors d Lagrang ρ σ T σ σ C P dnsdad d la barra límt lástco a traccón límt lástco a comprsón límt d proporconaldad ϑ conunto d poscons nodals ξ, η, ζ s d rfrnca n coordnadas normalzadas Caractrs grgos (mayúsculas) Γ conunto d nudos ntrmdos d una cadna Ω,Ω' domnos d stnca d una structura Vctors y matrcs Caractrs latnos (mnúsculas) a vctor d áras d las barras b vctor d nos drctors d la barra b, b ~ vctors d cofcnts ndpndnts c d vctor d ts drccón d búsquda para la tracón f vctor d cargas nodals d una structura matrz d rgdz por undad d ára d una barra q vctor d sfurzos aals u vctor d dsplazamntos nodals d una structura u,u' vctors d multplcadors d Langrang v varabls asocadas a los multplcadors d Lagrang v vctor para modfcar l hssano, ~ vctors d varabls d dsño Caractrs latnos (mayúsculas) A, A ~ matrcs d cofcnts I J K N R matrz dntdad matrz acobana d una transformacón gométrca matrz d rgdz d una structura vctor funcón d forma para la transformacón gométrca matrz d nos drctors d una structura Caractrs grgos (mnúsculas) λ vctor d multplcadors d Lagrang

32 DISEÑO ÓPTIMO SIMULTÁNEO DE TOPOLOGÍA Y GEOMETRÍA DE ESTRUCTURAS ARTICULADAS... Símbolos spcals oprador nabla (gradnt) oprador laplacano (hssano) ncrmnto

33 Capítulo 1 Introduccón y obtvos 1.1 INTRODUCCIÓN La optmzacón structural ha progrsado d forma mportant n los últmos años y ahora s rconocda como una hrramnta d dsño práctca. Hay trs tpos d problmas d optmzacón structural: d propdads, d gomtría y d topología. Un consdrabl númro d trabaos han sdo ralzados n las trs últmas décadas, la mayoría d llos stán rlaconados con la optmzacón d propdads y d gomtría pro pocas contrbucons han sdo ddcadas al dsño d topología óptma dbdo a su compldad, a psar d qu s rconocdo qu la optmzacón d topología y gomtría pud morar l dsño n gran mdda. 1. DISEÑO ÓPTIMO DE TOPOLOGÍA Y GEOMETRÍA DE ESTRUCTURAS ARTICULADAS Hay trs formas d abordar la optmzacón d topología d structuras d barras artculadas Métodos dl unvrso structural (ground structur) La mayoría d los autors rcurrn a métodos basados n l unvrso structural (ground structur) qu consst n crar una rlla d nudos n l domno d stnca d la structura y colocar barras n todas o n algunas d las posbls conons ntr los nudos. El algortmo d optmzacón dbrá dtrmnar cuals son las barras qu consttuyn la topología óptma. Para qu los rsultados san bunos la rlla db sr sufcntmnt tupda, lo qu mplca qu l númro d barras (nudos (nudos 1) / ) db sr muy alto, con lo qu l t computaconal tambén lo s. 1

34 DISEÑO ÓPTIMO SIMULTÁNEO DE TOPOLOGÍA Y GEOMETRÍA DE ESTRUCTURAS ARTICULADAS Métodos d crcmnto Los métodos llamados d crcmnto partn d una structura muy snclla y van modfcando la topología añadndo n cada tracón nudos y barras d forma qu la funcón obtvo dsmnuya. Est método s usado por Rul (1994), McKown (1998), y Boczu y Mróz (1998 y 1999) Métodos d homognzacón La optmzacón d structuras artculadas s posbl usando l método d homognzacón, para llo s rsulv como s fura un problma d lastcdad y la solucón s aproma a una structura artculada (normalmnt s parcn). Est método s usado por Díaz y Bldng (1993). 1.3 OBJETIVOS DE LA TESIS Aunqu la optmzacón d topología d structuras artculadas mdant métodos basados n l unvrso structural ha prmntado un notabl avanc n los últmos años, no s ha producdo l msmo avanc n los métodos d crcmnto para la optmzacón d topología y gomtría d structuras artculadas. El obtvo d la tss s dsarrollar un nuvo método d crcmnto para l dsño óptmo smultáno d topología y gomtría d structuras artculadas. 1.4 ORGANIZACIÓN DE LA TESIS La tss s ha structurado n ocho capítulos, ncluyndo st prmr capítulo ntroductoro. En l capítulo 1 s ha ralzado una ntroduccón gnral al problma d dsño óptmo, y n partcular al problma d dsño óptmo d topología y gomtría d structuras artculadas, y s han plantado los obtvos y dscrto la organzacón d la tss. El capítulo planta l problma dl dsño óptmo d structuras dsd un punto d vsta gnral y rcog algunos d los métodos actuals d rsolucón dl problma d optmzacón. El capítulo 3 studa l dsño óptmo d topología d structuras artculadas mdant métodos basados n l unvrso structural. El capítulo 4 trata sobr l dsño óptmo d topología y gomtría d structuras artculadas mdant métodos d crcmnto. El capítulo 5 prsnta l método d crcmnto propusto para la optmzacón d structuras artculadas. El capítulo 6 hac una brv dscrpcón d la aplcacón nformátca dsarrollada para la ralzacón d sta tss.

35 INTRODUCCIÓN Y OBJETIVOS 3 El capítulo 7 mustra mplos numér para dmostrar la valdz dl método d crcmnto propusto y compararlo con los métodos dl unvrso structural, y mustra dfrnts aplcacons d la optmzacón d topología d structuras artculadas. Fnalmnt, l capítulo 8 rcog las conclusons d la tss y algunas sugrncas para trabaos futuros.

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37 Capítulo Formulacón y rsolucón dl problma d dsño óptmo d structuras.1 INTRODUCCIÓN Ants d la aplcacón d las modrnas técncas d optmzacón al dsño, l procso d dsño óptmo rquría fundamntalmnt una gran prnca por part dl dsñador, l cual dbía utlzarla n cas todas las tapas dl procso d dsño. El método qu s mplaba ra l sgunt: l ngnro dfnía un dsño ncal cuyo comportamnto ra analzado numércamnt; d los rsultados d dcho análss s podían dducr (por prnca o ntucón) los cambos a ralzar para morar dcho dsño. S fnalzaba l procso cuando s consdraba qu l dsño ra lo sufcntmnt buno. NECESIDADES Y OBJETIVOS DISEÑO INICIAL Eprnca Lys físcas Normatva Condcons d dsño ANÁLISIS Váldo? SÍ NUEVO DISEÑO NO Ordnador Eprnca Eprnca DISEÑO FINAL Fgura.1 Dsño por pruba y rror Tal método, dnomnado d pruba y rror (Fg..1), prsntaba l nconvnnt d qu las modfcacons dpndían totalmnt d la prnca dl dsñador, lográndos solucons bunas, pro no las mors, y admás con un alto prco n tmpo por part dl dsñador. 5

38 6 DISEÑO ÓPTIMO SIMULTÁNEO DE TOPOLOGÍA Y GEOMETRÍA DE ESTRUCTURAS ARTICULADAS... Para consgur una rsolucón dl problma más conómca n tmpo mplado, pudéndos practcar un mayor númro d solucons d forma qu l rsultado s acrqu al óptmo, s ntntó formular l problma d forma qu fus apto para rsolvrs automátcamnt. Así, s rformó l procso d dsño hasta l squma mostrado n la Fg... NECESIDADES Y OBJETIVOS DISEÑO INICIAL Eprnca Lys físcas ANÁLISIS Ordnador NUEVO DISEÑO Normatva Condcons d dsño Váldo? SÍ NO Técncas d optmzacón Ordnador DISEÑO FINAL Fgura. Dsño optmzado Un paso prvo a la tara d dsño s l d dfnr una dalzacón dl obto a dsñar, a fn d obtnr un modlo qu ncluya un númro fnto d los aspctos más mportants dl dsño y sa más sncllo d manar qu l obto ral. Tal procso d dalzacón db ralzarlo l dsñador, utlzando para llo la prnca adqurda n dsños prcdnts. Sn mbargo, los d ncontrars dsasstdo n tal labor, l dsñador cunta con una sr d pautas stablcdas y gnralzadas qu, como s vrá más adlant, no pud rchazar arbtraramnt.. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE DISEÑO ÓPTIMO DE ESTRUCTURAS El problma d dsño óptmo s ntnd actualmnt como aquél qu s planta dtrmnar l valor d una sr d varabls d manra qu s mnmc l valor d una funcón obtvo a la vz qu s cumpln una sr d rstrccons mpustas. Con st plantamnto qudan pustas las trs caractrístcas fundamntals dl problma: (1) las varabls d dsño, () la funcón obtvo, y (3) las rstrccons. A contnuacón s van a dfnr y dscrbr cada uno d stos aspctos dl procso d dsño.

39 FORMULACIÓN Y RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA DE DISEÑO ÓPTIMO DE ESTRUCTURAS 7..1 Varabls d dsño Las magntuds qu ntrvnn n un dsño s pudn dvdr n: Parámtros dl problma. Varabls dl problma. Los parámtros dl problma rprsntan magntuds cuyo valor s fo para todo l dsño y son conscunca, n gnral, d una sr d condcons mpustas trnamnt al problma. Las varabls, por contra, hacn rfrnca a magntuds cuyos valors camban conform volucona l dsño. En l caso más gnral, s dstngun cuatro tpos d varabls, n funcón d la compldad qu planta la optmzacón: Propdads d la sccón transvrsal d la pza (áras, spsors, momntos d nrca). Gomtría d la structura (dmnsons, contornos). Topología d la structura. Propdads dl matral qu consttuy la pza. El tpo d optmzacón a ralzar dpndrá d cuals d stas varabls s consdrn. Actualmnt no stn técncas d optmzacón qu consdrn fcntmnt los cuatro tpos d varabls. Por llo, lo habtual s consdrar como parámtros al matral ncluso a la topología. Sgún su campo d stnca, las varabls s pudn clasfcar n: Contnuas. Dscrtas. Los métodos d optmzacón dsponbls actualmnt trabaan, n su mayoría, sólo con varabls contnuas. Por lo qu l uso d varabls dscrtas stá lmtado a algunos métodos aún no muy stablcdos... Funcón obtvo La funcón obtvo sul sr una funcón scalar d las varabls qu ntrvnn n l dsño, y la condcón habtual qu s l g a dcha funcón s qu para la solucón óptma tom un valor mínmo. Hasta la fcha, la funcón obtvo qu s ha utlzado con más frcunca s la masa d la pza, dbdo a qu las prmras optmzacons structurals s nvstgaron n l campo d la aronáutca, n l cual la masa s un condconamnto sncal. El plantamnto tradconal s, pus, prsar la masa d la pza n funcón d las varabls d dsño, y tratar d obtnr l mínmo valor d dcha masa.

40 8 DISEÑO ÓPTIMO SIMULTÁNEO DE TOPOLOGÍA Y GEOMETRÍA DE ESTRUCTURAS ARTICULADAS... Esta práctca s sgu ralzando actualmnt con una gran fcaca, pusto qu la masa d la structura stá drctamnt rlaconada con l t dl matral d la msma. Cuanto mnos matral s utlc más barata srá la pza n gnral. Sn mbargo, n la valuacón dl t total ntran n ugo aspctos tals como ts d fabrcacón, mano d obra, tc. Estos aspctos pudn llgar a sr dcsvos a la hora d valuar la rntabldad d uno u otro dsño, y s por llo qu convn tnrlos n cunta al plantar la funcón obtvo. El t d la pza s una d las funcons obtvo más usuals, qu s dfn por mdo d unos cofcnts d pondracón qu suln sr ts untaros d matrals o procsos d fabrcacón. Asmsmo, pudn mplars como funcón obtvo otras cantdads, tals como la fabldad, l dsplazamnto d algún punto, la rgdz, la frcunca fundamntal, tc...3 Rstrccons Las rstrccons son condcons qu db cumplr l dsño para qu puda sr consdrado váldo. Estas condcons s plantan como funcons d las varabls, a las qu s ls g tnr algún valor o mantnrs dntro d unos límts. Una prmra clasfcacón d las rstrccons las dvd n: Eplíctas. Implíctas. Las prmras actúan drctamnt mponndo condcons a una varabl (o un grupo d llas), mntras qu las sgundas mponn condcons sobr magntuds qu dpndn a su vz d las varabls. Es mportant la dstncón ntr ambas porqu las plíctas tnn un tratamnto más sncllo n la mayoría d los métodos d dsño. Otra clasfcacón agrupa a las rstrccons n: Rstrccons d gualdad. Rstrccons d dsgualdad. Las rstrccons d gualdad suln star asocadas a las rlacons qu fan l comportamnto d la structura, tals como condcons d qulbro, compatbldad, ly d comportamnto dl matral, tc. Otras rlacons d gualdad stán asocadas a las rlacons ntr las varabls d dsño dl problma (condcons d smtría, tangnca, curvaturas, tc.). Las rstrccons d dsgualdad suln star asocadas a lmtacons mpustas a la rspusta dl lmnto structural, tals como tnsons mámas, dformacons mámas, frcuncas d vbracón, tc. Otro tpo d rstrccons d dsgualdad son las qu dlmtan l rango d posbls valors d las varabls.

41 FORMULACIÓN Y RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA DE DISEÑO ÓPTIMO DE ESTRUCTURAS 9.3 TIPOS DE OPTIMIZACIÓN ESTRUCTURAL Los dfrnts tpos d optmzacón structural dpndn d cuáls san las varabls d dsño utlzadas. D los cuatro tpos d varabls comntados antrormnt, l matral d la structura sul plantars como parámtros d la structura, sndo fado por l dsñador. Qudan pus, como varabls d dsño más habtuals, las propdads d la sccón, la gomtría y la topología d la structura. Estos trs tpos d varabls son l orgn d trs tpos d optmzacón structural dstntos, cuyas caractrístcas s pasan a ponr..3.1 Optmzacón d propdads d la sccón transvrsal En st tpo d optmzacón structural, las varabls d dsño stán asocadas a propdads gométrcas d la sccón transvrsal d los lmntos qu ntgran la structura, tals como áras d barras, spsors d placas, tc. Ést s l tpo más sncllo d optmzacón structural y sus fundamntos stán bastant bn stablcdos. Para la slccón d las varabls d dsño hay qu dstngur ntr sstmas dscrtos y sstmas contnuos. En l caso d sstmas contnuos, las varabls d dsño suln sr los spsors d las pzas. Ahora bn, dado qu l análss s sul ralzar por lmntos fntos, hay qu asgnar una varabl a cada uno d los lmntos. Esto oblga a adoptar algún tpo d rlacón qu rduzca l númro d varabls d dsño. En los sstmas dscrtos las varabls d dsño suln sr varas propdads d la sccón transvrsal (áras, momntos d nrca, módulos d torsón, tc.) por cada uno d los lmntos d la structura. Esto produc dos problmas: un lvado númro d varabls, y unos rsultados qu no s corrspondn con los prfls normalzados. Con l fn d rsolvr stos problmas, s rcurr a dfrnts técncas. Una d stas técncas consst n rlaconar los parámtros dl modlo d análss (X) con un númro más rducdo d varabls d dsño (D). Una forma d hacrlo s a través d la rlacón lnal: = 0 D D + TX sndo D 0 un vctor d constants y T una matrz. En l caso d los sstmas dscrtos, admás d utlzars l agrupamnto antror, sul mplars otro tpo d agrupamnto, qu consst n asgnar una varabl d dsño a una d las propdads d la sccón transvrsal (l ára gnralmnt), consdrando al rsto como varabls dpndnts (momntos d nrca, módulo d torsón pura, tc.), qu s obtnn a partr d austs utlzando parámtros obtndos a partr d los datos d los prfls normalzados.

42 10 DISEÑO ÓPTIMO SIMULTÁNEO DE TOPOLOGÍA Y GEOMETRÍA DE ESTRUCTURAS ARTICULADAS Optmzacón d gomtría En la optmzacón d gomtría, admás d las varabls mpladas n la optmzacón d propdads, s utlzan varabls asocadas a la forma gomtría d la structura. Estas varabls controlan la gomtría d la structura y rqurn un modlo d análss qu camb durant l procso d optmzacón. El ntrés crcnt por la optmzacón d gomtría s db a dos causas: n prmr lugar, la optmzacón d gomtría proporcona dsños mucho mors qu la optmzacón d propdads; n sgundo lugar, la mayor dsponbldad actual d hrramntas d análss y optmzacón prmt rsolvr los problmas qu planta st tpo d optmzacón..3.3 Optmzacón d topología En los últmos años ha habdo un notabl progrso n la optmzacón d topología d structuras tanto dscrtas como contnuas. Las técncas d optmzacón d topología actuals stán consgundo un nvl d aplcabldad práctco n spcal n problmas d la vda ral. La optmzacón d topología ha comnzado un procso qu pud cambar l dsño structural clásco n l futuro. En la optmzacón d topología, admás d las varabls mpladas n la optmzacón d propdads, s utlzan varabls asocadas a la topología d la structura, sto s, al númro d lmntos y a su ntrconón. El ntrés crcnt por la optmzacón d topología s db a qu s vta la ncsdad d qu l dsñador tnga qu dfnr la topología, lo qu supon qu db tnr una crta prnca para sabr cuál s la topología óptma..4 FORMULACIÓN MATEMÁTICA DEL PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN El obtvo dl dsño óptmo d structuras s obtnr un dsño, s dcr, un conunto d valors d las varabls d dsño, qu haga mínma una funcón obtvo, por mplo l t, y cumpla una sr d rstrccons qu dpndn d las msmas varabls. En térmnos matmát, l problma s pud formular como: Encontrar l vctor d varabls d dsño qu mnmc : suto a : h g I f ( ) ( ) = ( ) 0 0 S = 1,,..., m = 1,,..., m = 1,,..., n d (.1)

43 FORMULACIÓN Y RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA DE DISEÑO ÓPTIMO DE ESTRUCTURAS 11 sndo: Vctor n-dmnsonal d varabls d dsño. f ( ) Funcón obtvo, rprsnta l crtro óptmo. h Rstrccón d dsño d gualdad. ( ) ( ) g Rstrccón d dsño d dsgualdad. m m d Númro d rstrccons d gualdad. Númro d rstrccons d dsgualdad. n Númro d varabls. Varabl d dsño. I Límt nfror d la varabl d dsño. S Límt supror d la varabl d dsño. Al spaco n-dmnsonal dfndo por l vctor d varabls s l dnomna spaco d dsño. Las rstrccons dfnn hprsuprfcs qu acotan un ntorno n l spaco d dsño. Un conunto d varabls d dsño dfn un punto n l spaco d dsño. S un punto dl spaco s tal qu s cumpln todas las rstrccons, s punto s un dsño váldo; s, por l contraro, vola alguna rstrccón, l punto dl spaco d dsño corrspond a un dsño no váldo..5 RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN.5.1 Introduccón En la actualdad stn trs apromacons para la rsolucón dl problma d optmzacón formulado n.4: Crtros d optmaldad. Programacón matmátca. Algortmos gnét. La prmra apromacón s la formada por los métodos llamados ndrctos. Esto s dbdo a qu lo qu s busca n dchos métodos s obtnr un dsño qu satsfaga un crtro spcfcado, qu a su vz, mplqu l cumplmnto dl obtvo buscado. El crtro pud sr ntutvo o dducdo matmátcamnt a partr d las caractrístcas partculars dl problma a tratar. La sgunda apromacón s más gnral. En lugar d basars n aspctos fís dl problma, trata d llgar a una formulacón matmátca dl msmo, ntntando qu dcha formulacón matmátca sa gnral y suscptbl d mplmntacón n computadors. La tnca d ambas tndncas s db a qu los rsultados obtndos con los crtros d optmaldad dpndn dl problma y no pudn sr gnralzados, por lo cual s rqur un método para cada tpo d problma y un mínmo d prnca

44 1 DISEÑO ÓPTIMO SIMULTÁNEO DE TOPOLOGÍA Y GEOMETRÍA DE ESTRUCTURAS ARTICULADAS... para lgr l método apropado. Por l contraro, los métodos dsarrollados hasta la fcha a partr d la formulacón matmátca son capacs d rsolvr problmas gnrals, pro rsultan mnos fcnts qu los basados n crtros d optmaldad para los casos n qu stos últmos tnn solucón..5. Crtros d Optmaldad Los crtros d optmaldad son formas d soluconar problmas concrtos d optmzacón, drgndo la solucón por mdo d la aplcacón d crtros qu s sab (o s cr) qu son apropados para l problma tratado. Algunos d los crtros d optmaldad tnn un claro sntdo físco; tal s l caso dl dsño FSD (Fully Strssd Dsgn), qu s aquél n l cual cada lmnto d la structura soporta una tnsón límt bao, al mnos, uno d los stados d cargas spcfcados. El FSD s uno d los concptos tradconals n l dsño óptmo d structuras, y mantn su ntrés por su caráctr ntutvo y por sr un procdmnto rápdo y fácl d mplmntar n comparacón con los basados n programacón matmátca Caractrístcas dl método FSD El FSD s un dsño óptmo a rsstnca, con varabls d propdads d los lmntos. Incalmnt, l método no consdra otro tpo d rstrccons, s bn s pud gnralzar para tratar rstrccons d dsplazamnto. La caractrístca más dstacada dl FSD s la ausnca d funcón obtvo; por tanto no st una cantdad a mnmzar, y no s pud asgurar qu un algortmo para calcular FSD convra al dsño d mínma masa, ya qu no s pud plctar dcha condcón. Para una structura somtda a un únco stado d cargas l FSD ofrc la solucón d mínma rlacón masa/rsstnca (Mchll, 1904). Sn mbargo, sta condcón no s gnralzabl para más stados d cargas. Esto s db a qu un dsño FSD no s únco para dfrnts stados d cargas. Por tanto, un FSD pud conducr a una solucón óptma n crtos casos pro tambén pud llvar a una solucón no óptma o ncluso pud no ncontrars solucón. En gnral, la prnca ha dmostrado qu salvo n los casos d structuras con comportamntos traños, l FSD da un dsño a tnsón qu s l óptmo o muy crcano a él. La posbldad d qu la solucón obtnda no sa la óptma quda compnsada por la facldad d mplmntacón dl método y la rapdz con qu convrg. Una rfrnca más dtallada dl método s pud ncontrar n la bblografía sobr l tma, spcalmnt n los trabaos d Gllatly y Br (1973).

45 FORMULACIÓN Y RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA DE DISEÑO ÓPTIMO DE ESTRUCTURAS Programacón matmátca La programacón matmátca obtn la solucón al problma d dsño aplcando métodos numér d mnmzacón (o mamzacón) d funcons obtvo sutas a rstrccons. En la mayoría d las aplcacons d dsño d structuras la funcón obtvo a mnmzar s la masa d la msma y las rstrccons qu s l mponn suln drvars d lmtacons d tnsón, d pando o d dsplazamntos d puntos d la structura. Rcordando lo pusto n l pígraf.4, l problma d optmzacón s plantaba d la forma: Encontrar l vctor d varabls d dsño qu mnmc : suto a : h g I f ( ) ( ) = ( ) 0 0 con la notacón utlzada n l ctado pígraf. S = 1,,..., m = 1,,..., m = 1,,..., n Sgún san las varabls d dsño, la funcón obtvo ( ) d (.1) f y las rstrccons d dsño s tnn dfrnts problmas d programacón matmátca. Atndndo al tpo d varabls s tn la programacón contnua, cuando las varabls pudn adoptar cualqur valor; programacón ntra, cuando las varabls sólo pudn adoptar valors ntros, y programacón dscrta cuando las varabls sólo pudn adoptar valors, ntros o no, d una gama prdfnda. Otras clasfcacons s ralzan atndndo a la lnaldad o no lnaldad d las funcons. S la funcón obtvo y todas las rstrccons son funcons lnals, l problma s d programacón lnal. S cualqura d las funcons dl problma s no lnal, l problma s d programacón no lnal. El problma plantado n (.1) s un problma d programacón conva cuando f s una funcón conva y cada una d las rstrccons s una funcón cóncava. ( ) Est caso tn gran ntrés, ya qu l spaco d dsño s un conunto convo, y cualqur mínmo local n st spaco d dsño, s un mínmo global. Nnguno d los métodos d programacón matmátca propustos hasta la fcha s capaz d rsolvr fcntmnt todos los problmas dl tpo (.1). La solucón habtual s la d mplar varos métodos, qu s adaptn mor a dfrnts tpos d problmas, y lgr n cada caso l más apropado. Las caractrístcas dl problma d optmzacón d structuras son las qu condconan l método numérco más apropado para obtnr la solucón. Estas caractrístcas son: El problma s n-dmnsonal (pudndo sr n muy grand). La funcón obtvo y las rstrccons no son lnals, gnralmnt.

46 14 DISEÑO ÓPTIMO SIMULTÁNEO DE TOPOLOGÍA Y GEOMETRÍA DE ESTRUCTURAS ARTICULADAS... Las varabls no pudn tomar cualqur valor (stn límts d las varabls). La mayoría d los algortmos d optmzacón rsulvn l problma (.1) d una forma tratva sgún la prsón +1 = + α d (.) s dcr, qu l vctor d varabls d dsño (punto d dsño) para la tracón +1 s obtn a partr dl punto d dsño antror ( ). La actualzacón vn dada por l producto α d. En st producto, d s una drccón d búsquda n l spaco n- dmnsonal d las varabls d dsño y α s la longtud dl movmnto n sa drccón. Así pus, la actualzacón consta d dos parts: Dtrmnacón d la drccón d búsquda d. Cálculo d la longtud α dl movmnto. Concptualmnt l procso tratvo s l sgunt: s l dsño actual s un dsño váldo, la drccón d búsquda rduc l valor d la funcón obtvo sn volar las rstrccons. S l dsño actual no s váldo (vola alguna rstrccón), la drccón d búsquda s drgrá haca la zona válda, aún a ta d aumntar la funcón obtvo Búsquda undmnsonal La obtncón dl valor d α s lo qu s llama búsquda undmnsonal porqu concd con la búsquda d la solucón óptma para un problma con una sola varabl. S trata n sta búsquda d obtnr l valor d α qu mor l dsño lo mámo posbl. S l dsño actual stá n la zona válda s busca l valor d α qu rduzca f ( ) lo mámo posbl sn volar nnguna d las rstrccons. S l dsño actual stá fura d la zona válda s busca l valor d α qu lmn o rduzca al mámo la volacón d rstrccons. Dado qu la búsquda undmnsonal supon valuar las funcons dl problma, y n l caso dl análss por lmntos fntos stas valuacons son tosas, s ha dsarrollado una nuva tndnca n la búsquda undmnsonal qu consst n buscar una solucón qu smplmnt mor a la antror sn gr qu sa la óptma Drccón d búsquda Encontrar una drccón d búsquda d consst n lgr una drccón n l spaco d dsño d forma qu, partndo dl punto d dsño actual, sgún sa drccón, s puda hacr una búsquda undmnsonal qu conduzca a un nuvo punto d dsño. Los métodos qu s mplan para dtrmnar la drccón d búsquda s dfrncan ntr sí n funcón dl tpo d nformacón qu utlzan para lograr su propósto. Sgún llo s tnn: