3. DINÁMICA DEL SÓLIDO RÍGIDO

Transcripción

1 3. DINÁMICA DEL SÓLIDO RÍIDO 3.1. Dnámca la partícula La sguna ly Nwton stablc qu n una partícula masa constant m sobr la qu actúa una furza F s vrfca F p (3.1) on p s l momnto lnal qu s fn como l proucto la masa m por la vloca v p m v (3.) Pusto qu hmos supusto la masa m constant, s vrfca qu mv F m a (3.3) on a s la aclracón la partícula. El orma consrvacón l momnto lnal s uc nmatamnt la cuacón (3.1) y stablc qu cuano la rsultant las furzas qu actúan sobr la partícula s nula, l momnto lnal p s consrva. El momnto angular una partícula alror un punto O, notao como L, s fn como L r p (3.4) on r s l vctor qu va s O hasta la partícula. Prmultplcano vctoralmnt por r a ambos laos la cuacón (3.3), obtnmos mv r F N r (3.5) sno N l momnto la furza F rspcto O. Esta cuacón s pu transformar tnno n cunta la nta vctoral ( ) m v m m m v r v v v+ r r (3.6) on l prmr sumano s, obvamnt, nulo. Por tanto, pomos rscrbr la cuacón (3.5) como N ( r m ) v L (3.7) Esta cuacón prmt tambén stablcr l orma consrvacón l momnto angular, qu stablc qu cuano l momnto las furzas qu actúan sobr una partícula s nulo, l momnto angular L s consrva. Alo Avllo, cnun (Unvrsa Navarra).

2 48 Cap. 3: Dnámca l sólo rígo 3.. Dnámca l sólo rígo Ecuacons Nwton En st apartao consrarmos qu un sólo rígo masa total m stá compusto por un sstma contnuo partículas matrals masa m. Dstngurmos ntr furzas xtrnas, qu actúan sobr las partículas y qu son bas a causas xtrnas al sólo, y furzas ntrnas o furzas ntraccón ntr las partículas, qu mpn su splazamnto rlatvo unas otras. Llamarmos F a la suma total las furzas ntrnas rcas sobr una partícula por las partículas ayacnts y F a la furza xtror qu actúa sobr la partícula. A frnca las furzas ntrnas, qu actúan sobr toas las partículas l sólo, las furzas xtrnas sólo actúan sobr unas cuantas partículas (aquéllas qu llvan ínc ). Pomos scrbr la cuacón l movmnto una partícula sobr la qu no actúa una furza xtror como F a m (3.8) y para una partícula sobr la qu actúa una furza xtror 1 F + F a m (3.9) Suponrmos qu las furzas ntrnas cumpln la trcra ly Nwton (prncpo accón y raccón) y qu, por lo tanto, las furzas qu s rcn mutuamnt os partículas llvan la rccón la rcta qu las un y son guals y sgnos contraros. Sumano las cuacons l movmnto toas las partículas qu componn l sólo llgamos a F + F a m (3.10) El prmr sumano la zqura s cro, ya qu las furzas ntrnas s canclan os a os. El sguno sumano s smplmnt F, rsultant toas las fur- zas xtrors. Por últmo, tnno n cunta qu la masa caa partícula s constant, pomos scrbr r F m rm ( mr) ma (3.11) on r s l vctor qu va l orgn l sstma rfrnca al cntro grava y a s la aclracón l cntro grava. 1 La cuacón (3.9) no s rgurosa matmátcamnt hablano, pus ncluy una furza fnta n una cuacón térmnos nfntsmals. Sn mbargo, la péra rgor matmátco s v compnsaa por una mayor clara n la xposcón. Alo Avllo, cnun (Unvrsa Navarra).

3 3... Ecuacons Eulr ommos momntos n las cuacons (3.8) y (3.9) rspcto al cntro grava, lo qu sguno la notacón utlzaa n la Fgura 3.1 quval a prmultplcarlas vctoralmnt por r ', obtnno F a m (3.1) para las partículas sn furza xtror y F + F a m (3.13) Cap. 3: Dnámca l sólo rígo 49 para las partículas con furza xtror. Summos las cuacons (3.1) y (3.13) corrsponnts a toas las partículas l sólo, lo qu a F + F a m (3.14) Lo msmo qu ants, los momntos corrsponnts a las furzas ntrors s canclan os a os, por lo qu l prmr sumano s nulo. El sguno sumano rprsnta l momnto rsultant las furzas xtrors actuants sobr la partícula, qu nomnarmos N. Por tanto, N a m (3.15) Esta cuacón s pu rscrbr como ' ' m m r N r v v (3.16) Llamano ω a la vloca angular l sólo y tnno n cunta la xprsón l campo vlocas l sólo rígo, la vloca la partícula v s pu scrbr como v v + ω (3.17) S susttumos sta xprsón n la antror y tnmos n cunta qu r r, obtnmos ( r r ) N ( v + ω ) m vm v m + ω m ( v v) vm (3.18) ω m + v vm on la ntgral ( ' m) v m r v 0 (3.19) s cancla por contnr l momnto státco prmr orn rspcto al cntro grava. O r m r Fgura 3.1. r Alo Avllo, cnun (Unvrsa Navarra).

4 50 Cap. 3: Dnámca l sólo rígo Aplcano la fórmula ( ) ( ) ( ) a b c b a c c a b obtnmos N ω m + v vm ω( ) ( ω) m + v vm ( ) ω m ω+ v ( mv) 0 (3.0) on I s la matrz nta 3 3. La ntgral qu aparc n la cuacón (3.0) s, por fncón, l tnsor nrca rfro al cntro grava I. Llamano (x, y, z ) a las componnts l vctor r ', pomos scrbr la xprsón l tnsor nrca como x' x' I [{ x' y' z' } y' y' { x' y' z' }] m z' z' y' z' x' y' x' z' (3.1) + Ix Ixy Ixz x' y' x' + z' y' z' m Iyx Iy Iyz x' z' y' z' x' + y' Izx Izy I z Fnalmnt, la cuacón (3.0) s pu scrbr n la forma N I ω I α+ I ω (3.) Pusto qu las columnas la matrz I son vctors constants cuano stán xprsaos n un sstma rfrnca rígamnt uno al sólo, pomos utlzar la rgla rvacón u ω u con caa columna. Entoncs, la xprsón fnal qu obtnmos s N I α+ω I ω (3.3) Estas trs cuacons s conocn con l nombr cuacons Eulr. Su corrcta utlzacón s uno los tmas funamntals qu s stuan n Mcánca Clásca. Sobr llas s pun hacr las sgunts consracons: Las cuacons Eulr, n la forma xprsaa por la cuacón (3.3), solamnt s pun aplcar al cntro grava. S a al alumno, como rcco, la tara mostrar qu la cuacón (3.3) s pu aplcar tambén a un punto fo O. El tnsor nrca I no s constant, ya qu stá rfro al sstma fo { 0 }. Para qu I sa constant s ncsaro xprsar las cuacons Eulr n l sstma rfrnca l sólo { s }, para lo qu hay qu prmultplcar la cuacón (3.3) por la matrz rotacón s R 0, obtnno s s s s s s N I I ω + ω ω (3.4) La rlacón ntr los tnsors nrca I y s I s uc fáclmnt, y val Alo Avllo, cnun (Unvrsa Navarra).

5 Cap. 3: Dnámca l sólo rígo 51 0 s 0 s s I R I R (3.5) En l caso plano, las cuacons Eulr son spcalmnt smpls. Pomos consrar qu toa la masa stá concntraa n l plano z0, manra qu IxzIyz0. Por tanto, la forma qu aoptan las cuacons s: Ix Ixy 0 0 s s s s s s N I ω+ ω I ω Iyx Iy I z α (3.6) 0 Ix Ixy Iyx Iy ω 0 0 I ω I z z α Como s v, os las trs cuacons son trvals, por lo qu n la práctca sólo s utlza la cuacón scalar N s I z α (3.7) Prncpo D Almbrt En las os Sccons prcnts hmos mostrao qu las lys Nwton conucn rctamnt a las cuacons Nwton-Eulr cuano éstas son aplcaas a un sólo rígo. Dchas cuacons son: F ma (3.8) N I α+ω I ω (3.9) Dfnamos, por convnnca, un sstma furzas fctco qu llamarmos furzas nrca. Prvamnt, rcormos qu para fnr corrctamnt un sstma furzas s ncsaro spcfcar su furza rsultant y su momnto rsultant rspcto un punto cualqura. En nustro caso, fnmos la rsultant las furzas nrca F y l momnto rsultant las furzas nrca rspcto al cntro grava N (tambén llamao a vcs momnto groscópco), como F ma (3.30) N I α ω I ω (3.31) Con sta fncón pomos rscrbr las cuacons Nwton-Eulr como F + F 0 (3.3) N + N 0 (3.33) El prncpo D Almbrt s basa n stas os cuacons, y stablc qu cuano a un curpo qu s muv s l añan como furzas actuants las furzas nrca, l curpo s ncuntra n qulbro státco. amos un mplo qu lustra la aplcacón l prncpo D Almbrt. Alo Avllo, cnun (Unvrsa Navarra).

6 5 Cap. 3: Dnámca l sólo rígo Emplo 1. La Fgura 3. mustra un pénulo compusto por una barra longtu L y masa M, unformmnt strbua, qu stá ncalmnt n rposo a 45º. La barra s a lbr, sn vloca ncal, y ca por fcto la grava. Para calcular la aclracón angular α con la qu comnza su caía, así como las raccons n los apoyos, utlzamos l prncpo D Almbrt. La Fgura 3.3 mustra l agrama sólo lbr la barra, n l qu s han ncluo las furzas nrca. La rsolucón l problma s hac aplcano las cuacons la státca. omano momntos n la artculacón, tnmos L L Izϕ+ Mϕ Mg 0 4 nno n cunta qu Iz 1/1ML, y spano la aclracón angular, rsulta 3g ϕ 4L Y L, M R y 45º Fgura 3.. L R x Mϕ Iz ϕ Mϕ L X Mg Fgura 3.3. Emplo. En l mcansmo bla-manvla la Fgura 3.4, la manvla gra con vloca angular constant ω al sr acconaa por un par motor τ sconoco. Sabno qu la manvla y l acoplaor tnn masa sprcabl y qu la masa la slzara s M, calcular l par motor cuano la manvla forma un ángulo 45º. Fgura 3.4. Mcansmo bla-manvla. En prmr lugar, s ncsaro rsolvr la cnmátca l mcansmo, para lo qu calculamos la vloca l punto B por mo la cuacón vb va + v BA Alo Avllo, cnun (Unvrsa Navarra).