Para hallar la solución homogénea se hacen la siguientes consideraciones: 0, d dx
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- Vicenta Lagos Ávila
- hace 6 años
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1 Elaborao or: Jonn Coquuanca Lizarraga. Rsolvr: Solución: la solución la ED sta aa or, g Para allar la solución omogéna s acn la siguints consiracions: 0, ED orn surior Alicacions Q D m 5 : D D 5 0 D D 5 0 D m m m 5 0 m 5 m 3 0 m D acuro a la forma qu rsnta las raícs, s trmina: C C La solución articular srá trminaa l Métoo Coficints Intrminaos. A B C Q( ) ' A B A B C '' A Rmlazano las rivaas n la cuación ifrncial, s tin: A A B 5 A B C A 5B 4A A B 5C Igualano los coficints obtnmos l siguint sistma cuacions: Rmlazano los coficints n nustra, tnmos: 3. Rsolvr: '' 4 ' Solución: la solución la ED stá aa or, g 5A 5 5B 4A 4 A, B 0, C A B 5C 3 C C 5 3 g Para allar la solución omogéna s acn la siguints consiracions: 0, Q D m 0 : D 4D 0 D 4D 0 D m m 4m 0 m m 4 0 m 4 4 D acuro a la forma qu rsnta las raícs, s trmina: C C La solución articular srá trminaa l Métoo Coficints Intrminaos. 3 A B Q( ) ' A 3 A B 3A A 3B A B '' 3A 3 A 3 A B 9A 6A 9B Rmlazano las rivaas n la cuación ifrncial, s tin: 9A 6A9B 4 3A A3B 3A A3B Igualano los coficints obtnmos l siguint sistma cuacions: Rmlazano los coficints n nustra, tnmos: 3A A, B A3B jn_c@otmail.com
2 Elaborao or: Jonn Coquuanca Lizarraga C C g g 3. Rsolvr: '' cos Solución: la solución la ED stá aa or, g Para allar la solución omogéna s acn la siguints consiracions: 0, Q D : D 0 D 0 D m m 0 m i ED orn surior Alicacions D acuro a la forma qu rsnta las raícs, s trmina: Ccos Csin La solución articular srá trminaa l Métoo Coficints Intrminaos, notmos qu las solucions comljas s ncuntran tanto n la solución omogéna como n Q(), ntoncs s tin. Acos Bsin Q( ) ' Acos Bsin Asin B cos cos Acos Bsin '' Asin B cos Asin B cos Acos Bsin Rmlazano las rivaas n la cuación ifrncial, s tin: Asin Bcos Asin Bcos Acos Bsin Acos Bsin cos Asin Bcos cos Igualano los coficints obtnmos l siguint sistma cuacions: Rmlazano los coficints n nustra 3 4. Rsolvr: '' 3 ' Solución: la solución la ED stá aa or, g A 0 A 0, B B sin C cos C sin sin, tnmos: g g Para allar la solución omogéna s acn la siguints consiracions: 0, Q D m 0 : D 3D 0 D 3D 0 D m m 3m 0 m m 3 0 m 3 3 D acuro a la forma qu rsnta las raícs, s trmina: C C La solución articular srá trminaa l Métoo Coficints Intrminaos, notmos qu una la solucions rals s ncuntran tanto n la solución omogéna como n Q(), ntoncs s tin. 3 A Q( ) 3 3 ' 3 3 A 3 A '' A3 3 3 A6 9 Rmlazano las rivaas n la cuación ifrncial, s tin: A A 3 3A jn_c@otmail.com
3 Elaborao or: Jonn Coquuanca Lizarraga ED orn surior Alicacions Igualano los coficints obtnmos l siguint sistma cuacions: 3A A Rmlazano los coficints n nustra, tnmos: g g C C Rsolvr: cos c Solución: la solución gnral stá aa or: g Don la solución omogéna s: Ccos Csin La solución omogéna srá trminaa or Variación Parámtros, ara llo consiramos qu la forma la solución articular stá aa or: cos sin 0 lcos lsin sin cos cosc Dl sistma cuacions trminamos los valors los arámtros: 0 sin Rmlazano los arámtros n cos c cos sin cos c l sin l cos sin cos sin sin sin cos cos 0 sin cos c cos cos c l cos l ln sin cos sin cos sin sin sin cos, tnmos: cos ln sin sin C cos C sin cos ln sin sin g 6. Rsolvr: 4 4sc Solución: la solución gnral stá aa or: g Don la solución omogéna s: Ccos Csin La solución omogéna srá trminaa or Variación Parámtros, ara llo consiramos qu la forma la solución articular stá aa or: cos sin 0 lcos lsin sin cos 4sc Dl sistma cuacions trminamos los valors los arámtros: jn_c@otmail.com 3
4 Elaborao or: Jonn Coquuanca Lizarraga ED orn surior Alicacions 0 sin 4sc cos sin 4sc cos sin l cos sin sin cos l 4 ln cos sin cos cos 0 sin 4sc cos 4sc cos sin cos sin l cos cos tan sin cos Rmlazano los arámtros n 4ln cos cos tan sin, tnmos: C cos C sin 4ln cos cos tan sin g 7. Rsolvr: sc Solución: la solución gnral stá aa or: g Don la solución omogéna s: Ccos Csin La solución omogéna srá trminaa or Variación Parámtros, ara llo consiramos qu la forma la solución articular stá aa or: cos sin 0 lcos lsin sin cos sc Dl sistma cuacions trminamos los valors los arámtros: 0 sin sc cos sin sc cos sin cos sin l sin cos l sc sin cos cos 0 sin sc cos sc cos sin cos sin l cos cos l ln sc tan sin cos Rmlazano los arámtros n 8. Rsolvr: 5 6 Solución: la solución gnral stá aa or: g Don la solución omogéna s: ln sc tan sin, tnmos: C cos C sin ln sc tan sin C C g 3 La solución omogéna srá trminaa or Variación Parámtros, ara llo consiramos qu la forma la solución articular stá aa or: jn_c@otmail.com 4
5 Elaborao or: Jonn Coquuanca Lizarraga 0 l l Dl sistma cuacions trminamos los valors los arámtros: 3 0 Rmlazano los arámtros n l l l l 3 3 3, tnmos: 9. Rsolvr: 9 8 Solución: la solución gnral stá aa or g D on la solución omogéna s ED orn surior Alicacions C C C C 3 3 g 3 Para allar a solución articular mlarmos lo qu s Métoos Abrviaos, ntoncs ara llo consiramos: D, Q( ) 0 D 9D 8 0 Q( ) F( D) D 9D 8 F( D) a a a Ya qu la última rsión rsnta la forma: si Q( ), F( a) 0 F( D) F( a) Q( ) F( D) D 9D Por lo tanto, la solución gnral stá aa or: g C C Rsolvr: 6 8 Solución: la solución gnral stá aa or g D on la solución omogéna s C C 4 3 Para allar a solución articular mlarmos lo qu s Métoos Abrviaos, ntoncs ara llo consiramos: 4 D, Q( ) 0 D 6D 8 0 Q( ) F( D) D 6D 8 F( D) jn_c@otmail.com 5
6 Elaborao or: Jonn Coquuanca Lizarraga ED orn surior Alicacions Para st jrcicio no omos utilizar l torma antrior a qu tnríamos ivisión ntr cro, ntoncs rcurrimos al a a siguint torma: si F( D) F '( D) 4 4 Q( ) F( D) D 6D 8 D 6 a a a Aora mlano l torma: si Q( ), F( a) 0 F( D) F( a) D Por lo tanto, la solución gnral stá aa or: g C C 4 4. Rsolvr: 5 sin 3 Solución: la solución gnral stá aa or g D on la solución omogéna s C cos5 C sin 5 Para allar a solución articular mlarmos lo qu s Métoos Abrviaos, ntoncs ara llo consiramos: D, Q( ) 0 D 5 0 Q( ) sin3 F( D ) D 5 F( D ) Ya qu la última rsión rsnta la forma: si Q( ) sin a b sin a b sin a b, F( a ) 0 F( D ) F( a ) Q( ) sin3 sin3 sin3 ( ) 5 3 F D D 5 6 Por lo tanto, la solución gnral stá aa or: g Ccos5 Csin5 sin3 6. Rsolvr: Rsolvr: 9 sin 3 Solución: la solución gnral stá aa or g D on la solución omogéna s C cos3 C sin 3 Para allar a solución articular mlarmos lo qu s Métoos Abrviaos, ntoncs ara llo consiramos: D, Q( ) 0 D 9 0 Q( ) sin3 F( D ) D 9 F( D ) Para st jrcicio no omos mlar l antrior torma, a qu tnríamos ivisión ntr cro, or llo rcurrimos a: si sin a sin a sin 3 sin 3 D sin 3 F( D) F '( D) D 9 D D Aora rcurrino al torma: si Q( ) sin a b sin a b sin a b, F( a ) 0 F( D ) F( a ) jn_c@otmail.com 6
7 Elaborao or: Jonn Coquuanca Lizarraga ED orn surior Alicacions D sin3 D sin3 Dsin3 D 3 8 Pro rcormos qu l oraor D s la rivaa rscto, ntoncs: D sin 3 cos3 8 6 Por lo tanto, la solución gnral stá aa or: g Ccos3 Csin 3 cos Rsolvr: Rsolvr: Solución: la solución gnral stá aa or g D on la solución omogéna s C C Para allar a solución articular mlarmos lo qu s Métoos Abrviaos, ntoncs ara llo consiramos: D, Q( ) 0 D 3D 0 Q( ) 6 5 F( D) D 3D F( D) m m m Aora rcurrino al torma: m D on l olinomio si Q( ) a0 ad ad... a D, a0 0 FD ( ) D D D 3D 4 8 3DD D D... sal : D D D D D D D D D D D D D D D D D Por lo tanto, la solución gnral stá aa or: g C C Rsolvr: Rsolvr: Solución: la solución gnral stá aa or g jn_c@otmail.com 7
8 Elaborao or: Jonn Coquuanca Lizarraga ED orn surior Alicacions D on la solución omogéna s C C cos C3 sin Para allar a solución articular mlarmos lo qu s Métoos Abrviaos, ntoncs ara llo consiramos: D, Q( ) 0 D 4D 0 Q( ) F( D) D 4D D D 4 F( D) si Q( ) a0 ad ad... a D, a0 0 FD ( )... D D D 4 D 4 6 m m m Aora rcurrino al torma: m D on l olinomio 4 6 D... s l cocint D 4, como a s vio n l antrior jrcicio.... D D 4 6 D 4 6 D 4 8 Intgrano la última rsión (or la ivisión ntr l oraor D). D Por lo tanto, la solución gnral stá aa or: g C C cos C3 sin 8 jn_c@otmail.com 8
9 Elaborao or: Jonn Coquuanca Lizarraga ED orn surior Alicacions a Práctica: Problmas roustos ara l sguno arcial:. Rsolvr la siguints Ecuacions Difrncials omogénas no omogénas a a. '' a ' a b 0 si (0) 0, '(0) Rta: sin b b b. ''' ' si (0) '(0) ''(0) 0 Rta: sin cos 0 5. Rsolvr las siguints cuacions ifrncials or coficints intrminaos: a. '' 3 ' Rta: c c b. '' 4 sin si (0) '(0) 0 Rta: sin sin Rsolvr las siguint Ecuacions Difrncials or Variación Paramtros: a. '' cos c Rta: c cos c sin cos sin.ln sin b. '' sin Rta: ccos csin cos 4. Rsolvr mlano métoos ivrsos: a. '' ' Rta: C C ln Rta: 0 0 cos Rta: cos sin b. '' ' cos c. '' 6 ' 0 3 cos C a a b b sin a a b b APLICACIONES DE LA ECUACIONES DIFERENCIALES 5. Rsolvr los siguints roblmas or coficints intrminaos. Una masa qu sa 64 libras alarga 0.3 is un rsort. Al inicio la masa s libra s un unto qu sta a 8 ulgaas arriba la osicion quilibrio con una vlociaa scnint 5 is/sg. ncuntr la cuacion moviminto? Cuál s la amlitu l riol moviminto? 5 Sol.: ( t) cos0t sin0 t, Amlitu is, T Encuntr la carga n l caacitor un ciricuito LRC n sri cuano: L [ H ], R 0[ ], C 0.00[ f ],, E( t) 50[ V] bajo las siguints conicions inicials q(0) [ C] i(0) 0[ A]. Cual srá la carga n l caacitor sués largo timo?: 0t 3 3 Sol.: q( t) cos0t sin0 t, q( ) [ C] Nota los no asistnts a class auantía brán rsolvr toa la ráctica, los asistnts solo los untos,, jn_c@otmail.com 9
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