PROBLEMAS RESUELTOS DE INTERACCIÓN MAGNÉTICA

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1 PROLEMAS RESUELTOS DE INTERACCIÓN MAGNÉTICA PROEMAS DEL CURSO Una carga q = 2 C y 0,01 g masa, ncalmnt n rposo n un punto A, s aclraa por un campo léctrco horzontal orntao haca la zqura. Al llgar al punto, stuao a 20 cm A, la vloca la partícula s 100 m/s. S p: a) Dbuja la ntnsa l campo léctrco y la furza aplcaa sobr la carga. b) Dtrmna la frnca potncal ntr los puntos A y (V A V ) y la ntnsa l campo léctrco, supusto ést constant. c) Al salr la partícula l campo léctrco, ntra n un campo magnétco unform 0,4 T prpncular a la vloca la carga y orntao haca l papl. Dbuja la furza magnétca qu s jrc sobr la partícula y la trayctora crcular qu scrb. Calcula los valors numércos la furza y l rao l círculo. Apartao a) A Rcura qu, F q E pro q 0, lo qu sgnfca qu F tn snto opusto a E. Esto s, qu s horzontal y rga haca la rcha (vr fgura). Apartao b) Pu rsolvrs os formas frnts: 1ª forma: Consrvacón la nrgía mcánca. Ya qu l campo léctrco s consrvatvo, la nrgía mcánca la carga ha prmancr constant urant su movmnto. Por tanto, E ( A) E ( ) E ( A) E ( A) E ( ) E ( ) m m c p c p Ec ( A ) 0 pus q stá n rposo n l punto A y Ep qv. Entoncs, 2 2 A ½ ( A ) ½ mv 0,0110 kg(100 m / s) 6 q V mv qv q V V mv VA-V 2,510 V 2q 2( 210 C) Ya qu l campo s constant, s cumpl qu E q a v 4 VA V 2,510 V 5 E 1,2510 V m ( N C ) 0,2m Nota: ya qu l campo s horzontal (tn la rccón l j OX), su valor pu rprnsars por un únco númro qu lo trmna. El sgno nca l snto l msmo; n nustro caso st sgno s ngatvo porqu l vctor E stá orntao haca la zqura. 2ª forma: Aplcacón las lys Nwton. Pusto qu l campo s constant, tambén lo son la furza y la aclracón; sto sgnfca qu l movmnto s unformmnt varao (cuyas cuacons conocmos bn). Amás s tambén rctlíno porqu la furza y la vloca tnn la msma rccón (vr f- F 4-1-

2 gura). Por otro lao, al tnr los vctors E, F y v la rccón l j OX, pomos scrbr las cuacons vctorals n su forma scalar. Al sr l movmnto rctlíno unformmnt varao s cumpl qu Por otro lao tnmos qu, A v v 2a v 2a pus 2 2 (100 / ) 2 A v 0 v m s a 2,5 10 m s 2 20,2m 4 2 F qe ma 0,01 10 kg 2,5 10 m / s qe ma 5 E 1,2510 N C 6 F ma q 210 C Obsrva qu la cuacón F qe no s una cuacón móulos vctors. Es una cuacón vctoral xprsaa n su forma scalar porqu los vctors tnn la rccón l j OX. En conscunca, l valor numérco la carga s scrb con su sgno (n st caso ngatvo). Para hallar la frnca potncal, VA V 5 4 E VA-V E 1,2510 V m0,2m 2,510 V Apartao c) Rcura qu la furza magnétca qu jrc un campo magnétco sobr una carga n movmnto vn aa por, v v Fm qv La rgla la mano rcha trmna qu la furza magnétca ha actuar haca arrba. La razón qu n l bujo s aplqu haca abajo s qu la s trata una carga ngatva y n st caso la furza actúa n snto opusto al ncao por la rgla. Ya qu v y son prpnculars, s cumpl, Fm 6 q vsn90 q v 210 C 100 m s0,4t 810 on s l móulo la furza magnétca. Como la s tambén la furza cntrípta qu oblga a la carga a scrbr un círculo, tnmos qu, Fm v mv 0,0110 kg(100 m / s) Fc m R 1250 m 5 R F 810 N m 5 N -2-

3 Dos largos conuctors parallos stán sparaos 10 cm; por uno (1) pasa una corrnt 30 A y por l otro (2) 40 A, pro n snto contraro. Calcula l campo magnétco rsultant n una lína l plano los os conuctors, paralla a llos y a gual stanca ambos y la furza qu s jrcn los conuctors por una longtu T El campo magnétco crao por un conuctor rctlíno n un punto vn ao por, 0I 2 on s la stanca ntr caa conuctor y la lína n la qu samos hallar l campo magnétco. El bujo mustra qu los campos los os conuctors tnn la msma rccón y snto. Ya qu stamos consrano puntos qustants a los os conuctors, l campo magnétco rsultant ( T ) s, n magntu, T m A -4 T ( ) (40 30) A 2,80 10 T m 2 F 2 F * * * * * Para calcular la furza qu un conuctor jrc sobr l otro (por j., 2 sobr 1) hay qu conocr prmro l campo magnétco qu 2 cra n los puntos on s ncuntra 1, La ntnsa la furza qu 2 jrc sobr 1 s, F1 1L2 1 L L 2 2 y la furza por una longtu por, F -3 2,4 10 Nm L 2 2 0,1-3-

4 X Z Un largo hlo conuctor, qu transporta una corrnt 20 A n l snto l j OX, stá n l ntror un campo magnétco unform 10 5 T orntao n la rccón l j OY y n su msmo snto. Calcula l campo magnétco rsultant n l punto (2, 2) cm. 1 Y El punto P (2, 2) al qu s rfr l problma s l ncao n la fgura; s cr, l punto P( x 2, y 2). Obsrva qu stá n l plano XY. Como l campo magnétco unform ( 2) tn la rccón y l snto l j OY, su xprsón vctoral s, j j T En la fgura s han bujao sus línas nuccón. Son parallas gualmnt spacaas porqu l campo s constant. P 2 Para ncontrar la rccón y l snto l campo magnétco crao por l conuctor rctlíno n l punto P, consrmos l plano prpncular al conuctor qu pasa por P (vr fgura). Sabmos qu las línas nuccón n s plano son crcunfrncas con cntro n l conuctor (n la fgura s ha bujao la qu pasa por P). Como l campo crao por l conuctor n P ( 1 ) s tangnt a la lína nuccón qu pasa por l punto (vr fgura), tn qu tnr la rccón l j OZ. Para trmnar l snto las línas nuccón hacmos uso la rgla la mano rcha: con la mano xtna, coloca l pulgar la mano rcha apuntano n la rccón l conuctor y n l snto la ntnsa la corrnt y crra la mano; l snto las línas nuccón s l ncao por los os al crrar la mano (vr fgura). Por lo tanto, l snto 1 s l l j OZ, como s v n la fgura. La magntu l campo ( 1 ) la obtnmos aplcano la fórmula l campo magnétco crao por un conuctor rctlíno, , ,02 on s la stanca l punto P al conuctor; n nustro caso, = 2 cm = 0,02 m. 0 s la prmabla magnétca qu s un ato qu tn qu ar l problma. La xprsón vctoral l campo crao por l conuctor s pus, 4 1 1k 2,00 10 k T El campo magnétco total n P s la suma vctoral los os campo; s cr, ,0 10 k 1,00 10 j T T -4-

5 a E PROLEMAS DE SELECTIVIDAD (UPNA) Un lctrón s aclra s l rposo mant una frnca potncal 1000 V. Dspués s ntrouc n una rgón con un campo magnétco unform rccón prpncular a la vloca l lctrón y móulo 0,5 T. Calcula: (J02) a) La vloca qu aqur l lctrón. b) El rao la trayctora qu scrb. Datos: q = 1, C; m = 9, kg F b v Supongamos qu l campo léctrco E qu cra la frnca potncal tn la rccón horzontal, como s v n la fgura. Como, F q E y q 0 la furza léctrca F qu actúa sobr l lctrón tn snto opusto al campo E ; s cr, s qurmos qu l lctrón aclr haca la rcha, l campo léctrco ha star orntao a la zqura (vr fgura). El campo apunta smpr n l snto los potncals crcnts, así qu, Va Vb Vb Va 0 Como la únca furza qu ralza trabajo s la léctrca (sprcamos l pso l lctrón), qu s consrvatva, la nrgía mcánca l lctrón prmanc constant, E ct E ( a) E ( b) E ( a) E ( a) E ( b) E ( b) m m m c p c p Ya qu l lctrón s aclra s l rposo, E c (a) = 0; ntoncs, 2 E ( a) ½m v E ( b) 2 2q V V qva ½mv qvb v Ep qv m p p a b on V b V a = V (pus V a < V b ) V a V b = 1000 V; por lo tanto, 21, q Va Vb 7 v 1,8710 m s 31 m 9,1110 s la vloca l lctrón cuano ntra n l campo magnétco. La vloca l lctrón s constant cuano ntra n l campo magnétco (ya no hay campo léctrco) y amás s prpncular a cho campo (vr fgura). Entoncs, acuro con la ly Lorntz, la ntnsa la furza magnétca s constant y prpncular n too momnto a la vloca la partícula; por lo tanto, la furza magnétca s tambén la furza cntrípta; s cr, = F c. Amás, al sr constant, oblga al lctrón a scrbr una crcunfrnca rao R comuncánol una aclracón a c = v 2 /R. Así pus, 2,13 10 F 2 31 m q vsn90 v mv 9,1110 1,877 2 m q v R 19 F / R q 1,6 10 0,5 c mv R 4 m -5-

6 Un protón pntra con una vloca v 2 10 m/s n una rgón l spaco on xst un campo léctrco unform E 3 10 j N/C. (S04) 3 c) Hallar móulo, rccón y snto l campo magnétco qu suprpusto al léctrco hac qu l protón no s sví su trayctora. ) Rprsntar gráfcamnt los vctors v, E y furza léctrca y furza magnétca. 6 v X Z k F j E Y 6 3 Ya qu v 210 m/s y E 310 j N/C, l protón s muv n l snto postvo OX y la orntacón l campo léctrco s la l j OY, como s v n la fgura. Como F qpe y qp 0, s sprn qu F tn la msma orntacón qu E ; s cr, la j OY. Para qu l protón pas sn svar su trayctora s ncsaro qu las furzas magnétca y léctrca s anuln; s cr, han tnr la msma magntu (F = ), la msma rccón y sntos opustos, como lustra la fgura. La ly Lorntz stablc qu F qv ; por lo qu, al aplcar la rgla la mano rcha (tnno n cunta la rccón y l snto v ), la orntacón l campo magnétco qu jrc una furza magnétca opusta a la léctrca s la ncaa n la fgura; s cr, l campo magnétco tn qu tnr la orntacón OZ. Pusto qu F =, s tn qu, F 3 qp E E qp E qp v 1,5 10 T 6 F sn90 v 2 10 m qp v m y como la rccón y l snto l campo magnétco son los l j OZ, la xprsón vctoral l campo s, 3 1,510 k T -6-

7 Dos cabls largos, rctos y parallos s colocan a 1 m stanca n l vacío. Las corrnts qu pasan por l cabl van n l msmo snto, sno 2 A la uno llos. La furza ma a lo largo una longtu un mtro cabl s N. (J11) a) Cuál s la corrnt qu pasa por l otro cabl? b) Calcula l valor l campo magnétco n un punto stuao n l plano ambos cabls, ntr llos, a una stanca 0,25 m l cabl 2 A. c) Hacr un bujo n l qu fgurn las furzas por una longtu n los hlos y l campo magnétco n l punto consrao. F A Apartao a): Supongamos qu A = 2 A. En la fgura s ha bujao la lína nuccón l campo magnétco crao por l conuctor A qu pasa por l conuctor. Como pus vr, la aplcacón la rgla la mano rcha pon manfsto qu l campo magnétco crao por l conuctor A n los puntos l conuctor s prpncular a ést y stá rgo haca l papl (vr fgura). Pusto qu l conuctor A s rctlíno, la magntu l campo magnétco crao por A n los puntos l conuctor s, A 2 on s la stanca ntr los conuctors. Y la furza qu s campo magnétco jrc sobr l conuctor s, 0 A F L A on L s un vctor cuyo móulo s la longtu l conuctor, la msma rccón qu l conuctor y snto l la ntnsa la corrnt. Aplcano la rgla la mano rcha al proucto vctoral s uc qu la furza s vrtcal y rga haca arrba (vr fgura); s cr, los conuctors s jrcn furzas atraccón. Como los vctors L y son prpnculars, la ntnsa la furza magnétca sobr l conuctor s, F L sn90 L F L A A A 7 on F L N m s la furza por una longtu. Así qu la ntnsa qu crcula por l cabl s, A T A A A F L F L A A A Apartao b): La fgura mustra las os línas nuccón los campos magnétcos craos por los cabls qu pasan por l punto n l qu nos pn calcular l vctor. Obsrva qu sus orntacons son opustas, por lo qu, al sr tangnt a las línas nuccón n caa punto, A y tnn la msma rccón y sntos opustos n l punto qu nos pn; o sa, la magntu l campo total s, 0A 0 0 A T A 2 A 2 2 A 2 0,25 0,75 8,00 10 T 7-7-

8 Z E X Z X F F v v Un lctrón ntra n una rgón l spaco n la qu xst un campo léctrco unform, parallo al j OX y ntnsa E 1000 (V/m). La vloca l lctrón s paralla al j OY y valor v 1000 j (m/s). a) Calcular la furza léctrca sobr l lctrón. Cómo srá la trayctora scrta? b) La furza léctrca sobr l lctrón pu anulars mant una furza prouca por un campo magnétco suprpusto al antror n sa rgón l spaco. Dtrmna l móulo, la rccón y l snto la ntnsa s campo. c) Hacr un bujo claro qu ncluya los campos y las furzas qu actúan sobr l lctrón, así como la trayctora sgua por l msmo n a) y b). Datos: Carga, q = 1, C, masa, m = 9, kg Obsrva qu actúan os furzas sobr l lctrón: la léctrca y la gravtatora. Vamos a calcular sus ntnsas para compararlas P m g 9,110 9,81 8,93 10 N F q E 1, ,6 10 N Como pus vr F P, moo qu pomos sprcar l pso frnt a F. k Apartao a) La Furza léctrca s, 19 3 F q E 1, ,60 10 N Trayctora scrta: l movmnto l lctrón s la composcón os movmntos npnnts. El prmro rctlíno unform (con vloca v) n l j OY y l Y sguno rctlíno unformmnt aclrao (sn vloca ncal) n l j OX ngatvo (la aclracón la proporcona F ). Como ya sabs, la composcón stos os movmntos a lugar a un movmnto parabólco, como s aprca n la fgura. Obsrva qu la parábola s scrb n l plano XY. El movmnto n l j OZ s sprcabl porqu l pso s sprcabl. Y j Apartao b) Para anular la furza léctrca sobr l lctrón ncstamos una furza magnétca gual y opusta ( F ). D acuro con Fm qv (aplcano la rgla la mano rcha y tnno n cunta qu la carga l lctrón s ngatva) s v qu l campo magnétco ha tnr la rccón l j OZ y snto opusto (vr fgura). Entoncs, D la fgura s sprn qu, F Fm q E q -19 v F q v sn90 q v. m E 10 v 1,00 T 3 v 10-1,00 k T Trayctora scrta: Pusto qu la furza nta s cro, l lctrón s muv con un movmnto rctlíno y unform n la rccón y snto l j OY. 3-8-