Y i, es decir, la. Regresión Simple y Múltiple Parte II Profesor Oscar Millones Borrador, Octubre 12, Supuestos en el modelo de regresión

Transcripción

1 Rgrsón Smpl y Múltpl Part II Profsor Oscar Mllons Borrador, Octubr 1, 8 Supustos n l modlo d rgrsón 1.- Para cada valor d X, xst un grupo d valors d Y qu tnn una dstrbucón normal. (grafcar sta da).- Las mdas d stas dstrbucons normals d valors d Y dbn star sobr la rcta d rgrsón. 3.- Las dsvacons stándar d stas dstrbucons normals son guals. 4.- Los valors d Y son stadístcamnt ndpndnts. Es dcr, qu n la slccón d una mustra, los valors lgdos d Y para un valor partcular d X no dpnd d los valors d Y para otro valor d X. Error stándar d rgrsón Rcordar: Dado l modlo Y a + bx + u, n la mustra s tn: Y a+ b X + con Y a+ b X dond Y Y s l rror d rgrsón S calcularon: bˆ x y aˆ Y bˆ X dond x x X X ; y Y Y El rror stándar d la stmacón md la dsprsón d los valors obsrvados Y alrddor d la rcta d rgrsón dsprsón d los Y Y. Fórmula usada para calcular l rror stándar: Y, s dcr, la Error stándar d rgrsón S y x n Comntar jmplo antror

2 Evaluacón dl modlo d rgrsón 1 (valuacón global) Tabla ANOVA y l R El cuadro o Tabla ANOVA s la colccón d trs tpos d varanzas calculadas n l jrcco d una rgrsón. Estas varanzas o suma d cuadrados totals son: Suma d Cuadrados Totals () Suma d Cuadrados Explcados (SCE) Suma d cuadrados Rsduals (SCR) Suma d Cuadrados Totals () S dfnmos las sgunts varabls n térmnos d sus dsvacons ntoncs, y Y Y y Y Y Esto s pud vr gráfcamnt así: y yˆ + Es fácl dmostrar qu y y + SCE + SCR Osa, la suma d cuadrados totals y s gual a la suma d cuadrados xplcada (SCE) más la suma d cuadrados no xplcada o rsdual (SCR):

3 Ordnando stos cálculos dl jrcco s tn la Tabla ANOVA sgunt Funt d varacón Explcada Rsdual Total Tabla ANOVA Suma d gl Cuadrados SCE 1 y Cuadrados Mdos y /1 SCR n- /(n-) y n-1 Tst F F 1,(n-) El cofcnt d Dtrmnacón R El R s la proporcón d la varacón d Y xplcada por la rgrsón, s dcr cuán bn l modlo d rgrsón rprsnta a los datos. Dvdndo la cuacón y y + ntr y s tn 1 y y + y Dfnndo R y y SCE y rmplazando arrba s tn lugo R SCE SCR 1 R + ó SCR R 1 dond SCR: Suma d Cuadrados Rsduals : Suma d Cuadrados Totals d dsvíos y SCE: Suma d Cuadrados Explcada por la rgrsón y n x 1.5 Entoncs El R s la proporcón d la varacón d Y xplcada por la rgrsón, s dcr l 98.8%

4 Prguntas ntrsants Qué pasaría s la varabl dpndnt fura constant? Qué sgnfca qu un modlo xplqu l 5% y otro l 9% d la varabl d ntrés obsrvada? Intrvalos d confanza n la prdccón (opconal) Estmados los parámtros con la mustra, pud sr d ntrés prdcr l valor Y para algún valor spcífco X. Notar qu X pud star dntro o fura dl rango d los valors mustrals. La prdccón srá y a + b X con un rror d prdccón d Y y sgún sto l IC al 5% d la prdccón s s dcr, y ± t Var(.5 ) ( a + b X ) ± t Var(.5 ) El ntrvalo d confanza para l valor mdo d Y dado X stá dfndo por l IC d arrba pro: Usando 1 x Var( ) ( σ + ) n x El ntrvalo d confanza para un valor ndvdual d Y dado X s dfn por l IC d arrba pro : Usando 1 x Var( ) (1 σ + + ) n x Ejrcco Con la nformacón dl jmplo d costo d lbros: calcul l rror stándar d la stmacón: S y x n dsarroll un ntrvalo d confanza d 95% para los lbros d 65 págnas: [4.3, 3.5]. Vrfqu dsarroll un ntrvalo d prdccón d 95% para un lbro d 65 págnas: [18.9, 36.19] Vrfqu

5 Evaluacón dl Modlo d rgrsón (valuacón ndvdual d factors) Infrnca sobr los parámtros stmados (Pruba t) Por lustrar n Lab Estudar Rport d softwar Por lustrar n Lab. Rgrsón Múltpl Para dos varabls ndpndnts, la fórmula gnral d la cuacón d rgrsón múltpl s: Y ' a + b1 X1 + b X X1 y X son las varabls ndpndnts. a s la ntrcpcón n Y. b1 s l cambo nto n Y por cada cambo untaro n X1, mantnndo X constant. S dnomna cofcnt d rgrsón parcal, cofcnt d rgrsón nta o bn cofcnt d rgrsón. La cuacón gnral d rgrsón múltpl con k varbls ndpndnts s: Y ' a + b X + b X b X 1 1 k k El crtro d mínmos cuadrados s usa para l dsarrollo d sta cuacón. Como stmar b1, b, tc. s muy tdoso, xstn muchos programas d cómputo qu pudn utlzars para stmarlos.

6 Tst t El stadístco d pruba s la dstrbucón t con n - (k + 1) grados d lbrtad. Ejmplo Un studo d mrcado para la cadna d tndas autosrvco Supr Dollar analza la cantdad anual qu gastan n comda las famlas d cuatro o más mmbros. S pnsa qu trs varabls ndpndnts s rlaconan con los gastos n comda. Esas varabls son: ngrso famlar total, tamaño d la famla y s la famla tn hjos n la unvrsdad. Famly Food Incom Famly Collg Expndtur (thousands) Sz Studnt Y ' X X + 565X Qué gastos n comda stma para una famla d 4 ntgrants, sn hjos n la unvrsdad y con ngrsos d $5,? Y (5) + 748(4) () Ejrcco 1 3 Ralc una pruba ndvdual para dtrmnar qué cofcnts son dstntos d cro. Entoncs, H : β H : β 1 Para 5% d nvl d sgnfcanca, s rchaza H s l valor p <.5 Como l valor p.39 <.5, s rchaza H y s concluy qu β

7 . Esto s, l tamaño d la famla y cantdad gastada n comda tnn una rlacón sgnfcatva. Tst F La pruba global s usa para nvstgar s todas las varabls ndpndnts tnn cofcnts sgnfcatvos. Las hpótss son: H : β1 β β3... βk La altrnatva s Ha : al mnos uno d los cofcnts d rgrsón no s cro. El stadístco d pruba s la dstrbucón F con k (númro d varabls ndpndnts) y n - (k + 1) grados d lbrtad, dond n s l tamaño d la mustra. Ejrcco Ralc una pruba global d hpótss para dtrmnar s alguno d los cofcnts d rgrsón s dstnto d cro. H : β1 β β3 H1 : al mnos una β H s rchaza s F > 4.7 A partr d la salda dl output, l valor dl stadístco d pruba calculado s 1.94 Dcsón: como F 1.94 > 4.7, H s rchaza. Entoncs, no todos los cofcnts d rgrsón son cro.