ESTIMADORES DE MÍNIMA DESVIACIÓN ORTOGONAL; CASO LINEAL

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1 GEOS, Vol., No. 3, p. -5 ESIMADORES DE MÍNIMA DESVIACIÓN OROGONAL; CASO LINEAL José Frz C. Dpto. d Ssología, Dvsón d Cncas d la rra, CICESE K 7, Carrtra juana-ensnada Corro Elctrónco: jofrz@ccs. RESUMEN Est artículo ntnta popularzar l crtro sgún l cual l ajust d un odlo a obsrvacons s d por la dstanca ortogonal d los puntos-datos a la suprfc qu rprsnta al odlo atátco. Con llo, s toa n cunta los rrors tanto d las varabls ndpndnts coo d la dpndnt, stuacón qu s prsnta n las Cncas d la r rra. ra. En contrast, la fala d los étodos d cuadrados ínos supon qu sólo la varabl dpndnt tn rror or. El álgbra corrspondnt rspondnt al caso lnal s dsarrolla con dtall, al so tpo qu s dscrbn procdntos nuércos para la dtrnacón dl stador cntral d la varabldad stadístca corrspondnt. rspondnt. D d todas stas técncas, aplcaos una basada n l cálculo d un vctor caractrístco para l stador cntral otra d rustro, para una dda d varabldad. Los procdn- tos s aplcan a un caso toado d la ltratura. S aclara la rlacón ntr l stador d ína dsvacón ortogonal l d áa vrosltud con rrors gaussanos n las obsrvacons. Abos son quvalnts s podos aplcar un factor d pondracón dstnto a cada varabl; st factor s asoca al rror or prodo d las obsrvacons corrspondnts. rspondnts. El étodo d áa vrosltud tn una aor gnraldad cuando los rrors prsntan ucha dsprsón n al nos una d las varabls.. INRODUCCIÓN Estn una gran cantdad d altrnatvas jorantos dl étodo stándar d cuadrados ínos (MCE) para rsolvr sstas sobrdtrnados d cuacons; l objtvo s nfrr los valors d los parátros dl odlo a partr d un conjunto d obsrvacons. Est artículo ntnta dvulgar un crtro qu ha llaado la atncón a los analstas d datos dsd hac ás d años (v. gr., Adcock, 878). En lo qu sgu, s trata l caso d un odlo lnal. Coo noclatura, utlzaos ltras latnas núsculas para rprsntar vctors; ltras latnas aúsculas, para atrcs, ltras grgas, para scalars. La cpcón son las ltras latnas núsculas con subíndcs qu pudn sr vctors o scalars (coponnts d vctors); l contto dja claro l sgnfcado corrspondnt. El supríndc ndca la opracón d transposcón l acnto crcunfljo ndca l valor stado d la varabl sobr la cual stá dcho síbolo. El étodo stándar d cuadrados ínos nza la nora cuadrátca d los rsduals, dond l rsdual -éso s dfn por r u ˆ () dond s un lnto dl vctor d obsrvacons. Las copo- nnts dl vctor corrspondn a los cofcnts (ncógntas) dl hprplano; l subvctor, a las pndnts; l térno ˆ nhoogéno (scalar) s l parátro d poscón; u s l vctor-fla qu corrspond a la ralzacón pírca dl odlo para l dato -éso. En vz d dr l ajust o dsajust dl odlo a los datos a través dl vctor d rsduals, la altrnatva qu anjaros nza la dstanca ortogonal d los puntos-datos al hprplano qu rprsnta al odlo. Suponos adconalnt qu la atrz forada por todos los vctors flas { } u tn sus colunas lnalnt ndpndnts ntr sí con rspcto al vctor ; s dcr, suponos qu tnos sufcnt nforacón para star ndpndntnt los lntos dl vctor d ncógntas. D st odo, nzaos la dstanca dl punto {, u } al hprplano dscrto por u + () El vctor u rprsnta las coordnadas d las varabls ndpndnts ntras qu la ltra dnota ncógnta ; la varabl s toa coo dpndnt aunqu la da básca dl étodo s ntroducr una stría ntr las varabls, a qu todas partcpan n la dcón d dstanca qu s ncsaro nzar; ésto, n contrast con l étodo d cuadrados ínos qu consdra sólo un ajust n la varabl dpndnt.

2 Frz Dsgnaos al crtro coo d ína dstanca ortogonal (MDO); la ltratura stadístca tabén lo llaa d rgrsón ortogonal. Djando plícto l uso d la nora cuadrátca, tabén rcb l nobr d ínos cuadrados total (LS, por las sglas n nglés) dsd qu lo hcran Golub Van Loan (98). Est crtro s rlacona al d rgrsón con rrors n todas las varabls qu consdra qu todas las varabls d la rgrsón stán sujtas a rror; sto plca una pondracón plícta n la stacón; st tópco s dscutdo n la Sccón 6. Hasta sa sccón, no ncluos, por splcdad notaconal d poscón, a una pondracón d las dcons qu s bas n la bondad rlatva d llas. El lctor db rcordar n st rspcto qu l étodo d cuadrados ínos pondrados (v. gr., Lason Hanson, 973) gnralza al stándar (MCE) con una pondracón d las cuacons a través d la atrz d covarancas d los rrors d la varabl dpndnt. Fnalnt, por splcdad, utlzaos la nora cuadrátca n vz d la nos popular, pro ás robusta, l ; una rcnt rfrnca n sta últa drccón s Watson (). En rsun, l crtro MDO a dsarrollar n la sccón sgunt s una vrsón cuadrátca, bn condconada no pondrada. Aunqu stn procdntos coputaconals probados (Späth, 987; Van Huffl Vandall, 99; Knt t al., 99, ntr otras rfrncas), ha pocas aplcacons publcadas n Cncas d la rra dl crtro MDO o, ás n gnral, dl crtro d rgrsón qu consdra rrors n todas las varabls. En su rvsón, Van Huffl Vandall (99) nconan sólo un artículo (Fshr, 989) qu prtnc a stas cncas. Una cpcón a sta aparnt falta d ntrés la consttu l trabajo para construr socronas, dond s ncsaro toar n cunta los rrors d todas las varabls (v.gr., McIntr t al., 966; Knt t al., 99). Pnso qu la dvulgacón dl crtro MDO pud sr bnfcosa, partcularnt s s toa n cunta qu, por jplo, n Gología, Ssología Estadístca Ingnría Sísca s hac un gran uso d rgrsón lnal, a vcs n scalas slog o log-log, n qu todas las varabls stán sujtas a rror. No s la ntncón d st artículo hacr una rvsón haustva dl ta; ás bn s trata d prsntar un étodo poco utlzado, plorar su lógca, copararlo con otros guar al lctor n su aplcacón, ntrgando rfrncas adcuadas. Dado qu l tratanto dl caso d la lína rcta s trval con los rcursos odrnos d coputacón (Sccón 8), trataros l caso ultvarant; l prco s un anjo d álgbra lnal (v.gr., Nobl Danl, 989) con las prsons atrcals n notacón copacta ndcal. Adás d sus propóstos d dvulgacón, la dscrpcón dscusón d los étodos qu s acopañan pudn sr útls n la nsñanza a qu los ttos ás gnrals no nclun los tópcos aquí cubrtos. 3. OBENCIÓN DE LA FUNCIÓN CRIERIO n A () Para ntroducr l crtro MDO, podos gnralzar prsons para los casos n n 3. Para n datos, tnos qu s u u A ; ; Μ Μ Μ (5) u La dstanca d cada punto P (u, ) a la rcta u (6) + u d + Para problas d rgrsón, la varabl dpndnt s ntras qu la ndpndnt s u. nos pars d dcons. En l caso n 3, tnos dos varabls ndpndnts (u u ) l odlo stá dado por + u u (7) + (8) La dstanca ortogonal corrspondnt a (7) rsulta sr u u d + + En l caso ultvarant (s dcr, cuando l vctor d varabls ndpndnts u tn últpls coponnts), las prsons (7) (9) s gnralzan a / ( + ) (9) u d () Por lo tanto, la funcón crtro s () u U + + () Sa l odlo lnal aplcado a un conjunto d datos n n A + > n dond dnota l vctor d rror. El crtro MCE s (3) dond la atrz U contn las coordnadas { u j } d las varabls ndpndnts. Obsrv qu l dnonador no contn al térno nhoogéno. Una nzacón d la funcón crtro () con rspcto a produc 5

3 Estadors d ína dsvacón ortogonal; Caso lnal o sa, ˆ u dond las barras ndcan valors prodos. ˆ u () Rplazando () n (), obtnos [ ( ) ( u u ) ] ( ) (3) + Para l caso d un odlo hoogéno, () ( ) u () + Las cuacons (3) () son atátcant quvalnts s aplcaos transforacons spls. s S dsaos utlzar la nora p-ésa, la gnralzacón d () p p ( ) p u / (5) ( + ). UNA SOLUCIÓN NUMÉRICA PARA LA NORMA CUADRÁICA oos la solucón nuérca qu dscrb l tto d Späth (987) cua lógca, con algunas aclaracons, sguos n sta sccón. La funcón crtro () s pud toar coo la razón ntr dos noras cuadrátcas con la transforacón Por lo tanto, la nzacón d () quval a buscar l valor caractrístco ás grand n l probla ( Z ) λ (8) Z para obtnr l vctor propo corrspondnt, qu s lo qu buscaos. La fora (8) nos prt aplcar l étodo d potncas obtnr l vctor caractrístco drctant; vr, por jplo, Hldbrand (965), Acton (97), Späth (987). Est étodo aplca tratvant la rlacón ( ) ( Z Z ) ( k + ) k (9) dond los supríndcs ntr paréntss ndcan l ordn d la tracón. La ncalzacón pud sr, por jplo, () l o () ˆ para algún, () dond l vctor l tn todas sus coponnts guals a uno {ê } son los usuals vctors bass d un ssta cartsano d coordnadas. Para soluconar l ssta d cuacons (9) para (k+), podos aplcar la dscoposcón d Cholsk a Z Z, nclundo la posbldad d hacrlo coo R DR, dond R s una atrz trangular supror con unos n la dagonal prncpal D s una atrz dagonal. Acton (97) dustra qu l étodo d potncas convrg s los valors caractrístcos no s acuulan crca dl qu s busca. En l caso tro, pud habr ás d un vctor caractrístco asocado a st gnvalor. Coo crtro d convrgnca, parc adcuado utlzar la nora cuadrátca d la dfrnca ntr (k+) (k ) dspués d noralzar los vctors d tal fora qu () k. Esta noralzacón tn la gananca tra d vtar auntos o dsnucons drástcas d los valors nuércos d las coponnts dl vctor al pasar d una tracón a otra; sto sucd n los casos d aplcacón qu dscrbos n la sccón 7. Obtnda la convrgnca, aplcaos la condcón (6) para l últo lnto dl vctor obtndo,.., n+. 5. ALGUNAS PROPIEDADES DEL ESIMADOR con lo qu () quda coo ; Z ; Z ( A ) () Z Z (6) (7) La cuacón (8) quval a A A A ˆ ˆ λ A () o sa, dos cuacons d las cuals podos lnar a λ. El rsultado s El propósto obvo d la transforacón (6) s aslar () a un cocnt d Ralgh (v. gr., Nobl Danl, 989), con lo cual l probla d nzacón quval al cálculo dl vctor caractrístco asocado al gnvalor ás pquño d la atrz postva dfnda Z Z. ( A A r I ) A ˆ () I n s la atrz undad cua dnsón stá ndcada por l subíndc n ; r s l vctor d rsduals. El ssta () no s lnal n las ncógntas pud utlzars para forar un squa tratvo qu n 6

4 Frz dtrn al vctor d ncógntas; la no-lnaldad s vta con l uso dl rsdual d la tracón antror todo l squa s ncado con la solucón MCE. Los rsultados d st procdnto coputaconal son pustos dscutdos n la sccón 7. El ssta d cuacons () tn una stabldad dstnta a la d las cuacons norals para MCE con l qu s dfrnca por l sgundo térno dntro dl paréntss. Obvant, l stador d MDO s ssgado pro, s los lntos d A tnn rror, tabén s sgada la solucón MCE. Otras dos propdads s pudn obtnr con facldad utlzando la cuacón () para l térno lbr. Espcífcant, la sua d los rsduals la sua d las dstancas ortogonals tnn, cada una, valors nulos para los stadors MCE MDO, rspctvant. Para otras propdads d los stadors d MDO MCE, s pud consultar l tto d Van Huffl Vandall (99). Algunos dtalls adconals son pustos n las sccons 6 7. La obtncón d rgons d varabldad d los parátros, dbdo a la propagacón dl rror obsrvaconal a través d un oprador o procdnto d nvrsón, s un probla coplcado pro d portanca crucal. El únco caso rlatvant spl, suponndo stabldad, s l lnal para stadors íno-cuadrátcos a qu l oprador sudonvrso rsulta lnal; n st caso, s posbl calcular fáclnt las atrcs d covarancas dl stador utlzar la propdad d qu l caráctr gaussano dl rror obsrvaconal s transt al dl stador. Para stadors qu no son lnals, por, sn la suposcón d qu los rrors obsrvaconals tnn dstrbucón gaussana, s cunta con las sgunts línas d accón. Una opcón s buscar alrddor d la solucón cntral a las solucons qu satsfacn, dntro d su rror, a los datos. La búsquda haustva tn un alto costo coputaconal a dda qu aunta l núro d ncógntas. Ello llva a aplcar astuca n l odo d barrr l spaco d solucons alrddor d la solucón cntral. La técnca d búsquda purcospín ( hdghog, n nglés; v. gr., Bsas Knopoff, 97) s rcondabl n st caso. Otras táctcas d búsquda utlzan técncas d rustro; la d bootstrap (Efron bshran, 986) ha sdo aplcada a nustro probla por Krb (99); otras técncas d rustro son la d valdacón cruzada (Golub t al., 979) jacknf (Mllr, 97). La da básca dl rustro s slcconar al azar uchos subconjuntos d datos, lugo, calcular la varabldad d los rsultados. Una últa opcón acud al caráctr aproadant gaussano d la varabldad d la solucón ajusta una (hpr)suprfc d sgundo grado alrddor d la solucón cntral n la funcón crtro, con lo qu s dtrna analítca o nuércant la conducta asntótca gaussana corrspondnt; l capítulo 8 d Van Huffl Vandal (99) ofrc prsons útls para sta últa opcón. En nustros jrccos d aplcacón, utlzaos la técnca bootstrap para star la varabldad dl vctor solucón. Esta técnca consst n producr un núro alto d rustros, con rptcón, dl so núro d dcons qu l orgnal. Lugo, podos calcular prodos dsvacons stándars d las stacons obtndas, para lo cual los hstograas corrspondnts son d gran auda. La robustz dl rsultado con rspcto a las obsrvacons s d drctant; por jplo, una rcta qu dpnd crítcant d un punto aslado obtndrá un grado alto d varabldad d sus parátros al utlzar bootstrap a qu habrá casos n qu s punto aslado no s toa n cunta. Ant la stnca d un núro pquño d dcons qu s apartan d la conducta cntral prdcha por l odlo, pudn aparcr áos scundaros n los hstograas por las caractrístcas sñaladas dl rustro. Ello pud plantar la ncsdad d fltrar los hstograas, lnando dchos áos scundaros s s consdra qu no son rprsntatvos. S l áo global tn un valor ucho ás alto qu l d los locals stá clarant sparado d llos, toaos dcho áo global su dsprsón coo rprsntatvos; con llo, vtaos qu datos aslados ssgados prdonn n la stacons. 6. EL CRIERIO DE MDO COMPARADO CON EL DE MÁXIMA VEROSIMILIUD EN QUE ODAS AS LAS AS VARIABLES ESÁN SUJEAS A ERROR GAUSSIANO En sta sccón, usaos los rrors d dcón para forar crtros d stacón. Para llo, ncstaos un odlo d rror un crtro; s coún utlzar l odlo gaussano l crtro d áa vrosltud (MV), rspctvant. Sgundo un procdnto stándar (v. gr., Knt t al., 99), l logarto d la funcón d vrosltud rsulta sr proporconal a con la condcón latral, dada por l odlo, ( u µ ) C ( u µ ) (3) u () hos adoptado u,n+ n+ - para hacr la notacón ás copacta. La cuacón () corrspond al odlo lnal utlzado n la Sccón. La atrz sétrca C s la d covarancas d los rrors d obsrvacón. D st odo, azaos la sgunt prsón con rspcto a los valors prodos µ ( u µ ) C ( u µ ) + λ u (5) dond λ s un ultplcador d Lagrang. La azacón prt obtnr la funcón crtro qu db optzars con rspcto a los cofcnts dl odlo; lla (Knt t al., 99) s proporconal a L u C (6) S los rrors son guals para todas las varabls, rsulta qu L s proporconal a 7

5 Estadors d ína dsvacón ortogonal; Caso lnal + ( u ) (7) dond hos vulto a utlzar la sbología d las sccons antrors. Así, l crtro d MV (con rrors gaussanos) s rduc al d MDO. Otro caso, d aor ntrés, s cuando todas las dcons d la sa varabl tnn l so rror no tnn corrlacón, aunqu cada varabl stá sujta a un rror dstnto. Llaaos k a los rrors d las varabls ndpndnts (u k ) dpndnt (), rspctvant. Así, (6) s pud scrbr coo n k k k + k qu, con las transforacons k n u k k kk uk ; uk ; k kk (8) (9) toa tabén la fora (7). Est s l caso ás gnral qu hac quvalnt los dos stadors consdrados n sta sccón. La condcón gnral para qu sta quvalnca s qu l índc asocado a cada dcón (, n las cuacons 6 8) no pud partcpar n la pondracón d las varabls ndpndnts. Concluíos qu l crtro d MV, undo a la hpótss gausssana para los rrors d obsrvacón, toa jor n cunta a stos rrors n la stacón d los parátros. S los rrors d dcón d una varabl son parcdos, s pud toar l rror prodo para pondrar; s llo s justfca para cada una d las varabls, l étodo d MDO s rcondabl. S los rrors ndvduals tnn ucha varabldad, s prfrbl azar (6); por jplo, con un squa nuérco tratvo dl tpo Nton-Raphson coo lo hacn Knt t al. (99). Est squa pud adaptars opconalnt para calcular l stador MDO; Watson () usa uno dl so tpo al aplcar la nora l para la rgrsón ortogonal. 7. APLICACIÓN ACIÓN Los rsultados d la aplcacón dl étodo d potncas para rsolvr (8) son pustos a contnuacón; lugo, dscrbos los rsultados d la aplcacón dl algorto qu s basa n (). Los rsultados d un étodo d búsquda drcta n l spaco d solucons son pustos al fnal d sta sccón. La abla (Mddlton, ), qu splfca la d Forsth Uda (975), contn valors d una varabl dpndnt (vlocdads d placas) ndpndnts (u : ára total d la placa; u : ára d la part contnntal; u 3 : longtud fctva d la cordllra ocánca, u : longtud fctva d los líts con las trnchras corrspondnts). Las tablas a 5 ustran los rsultados dl ajust d los crtros d ína dstanca ortogonal d cuadrados ínos stándar n los casos qu s dscrbn a contnuacón. No s la ntncón d sta sccón rplazar l tnso análss hcho n la publcacón orgnal. El propósto d utlzar los datos d la abla s dscutr aspctos d plntacón dl crtro MDO copararlos con los rsultados dl crtro MCE. La abla rsu los rsultados d la rgrsón para los étodos MDO MCE cuando s utlzan las cuatro varabls ndpndnts. El étodo MDO ncsta cuatro tracons para obtnr 5 cfras sgnfcatvas n los cofcnts. No s vn dfrncas n los rsultados d abos étodos; sto s plca s s obsrvan los valors d las pndnts obtndas. El hprplano d rgrsón s práctcant prpndcular al j d la varabl dpndnt; por lo tanto, abos étodos (MDO MCE) concdn aproadant. Esto planta l probla d scalanto (sccón 6) l hcho d qu la ortogonaldad qu aplcaos no s nvarant a cabos d scala. Es dcr, un spl cabo d undads n uno d los js pud producr rsultados dfrnts. La scala ás adcuada para las varabls d un probla d rgrsón rsulta al noralzarlas n undads d los rrors d obsrvacón corrspondnts. En la sccón 6, hos justfcado st procdnto s, para cada varabl, los rrors son stocástcant ndpndnts con un so o u parcdo valor. Cuando no tnos nforacón acrca dl rror d una varabl, supondros qu s dl ordn d unas pocas undads n su últa cfra sgnfca- ABLA. Inforacón Procsada Placas Ára otal 6 k Ára Contnntal 6 k u u Longtud Efctva Cordllra Océanca k u 3 Longtud Efctva Zona Subduccón k u Vlocdad Placa c/año NA SA PAC AN IND AF EUR NAZ COC CAR 3.8. PHIL ARAB Varabls ndpndnts (u a u dpndnt () utlzadas n la aplcacón dl procdnto coputaconal. oado d Mddlton () qu a su vz, lo adapta d Forsth Uda (975). 8

6 Frz abla. Coparacón: Métodos MCE MDO MCE MDO hat rs d hat rs d Noras Mdas: Solucons: MCE MDO DE MDO Rsultados dl ajust íno-cuadrátco stándar (MCE) d ína dstanca ortogonal (MDO). El vctor d solucons contn d a (asocados a las colunas u a u d la abla ). hat: obsrvacón prdcha por l odlo l ajust; rs: rsduals; d: dstanca ortogonal. DE: dsvacón stándar stada por bootstrap (Fgura ). tva. Al aplcar st crtro, rsulta qu las vlocdads d placas tnn un factor aproado d n acttud nor qu las varabls ndpndnts. D st odo, podos sular la noralzacón aplcando st factor d. Los rsultados, qu dbn prsntar una stuacón ás ralsta, aparcn n la abla 3, dond s aprcan claras dfrncas, nclundo d sgnos, ntr abas stacons. Coo s d sprar, abos étodos producn valors ínos d las noras das n los valors qu l corrspondn, d rsduals para MCE d dstanca ortogonal para MDO. Con tracons, s obtnn 5 cfras sgnfcatvas n la stacón MDO. El costo n prfrr los rsultados dl crtro MDO son, n nora da d rsduals, d.7 (MCE) a 7.5 (MDO) ntras qu la gananca para las dstancas ortogonals s d 7.9 (MCE) a 6.87 (MDO). Mddlton () prsnta, adás, l rsultado d la rgrsón ntr la vlocdad d placa u, cosa qu tabén hos hcho para agrgar un grado d vsualzacón a las tablas nuércas. La abla la Fgura ntrgan los rsultados (3 tracons para l étodo MDO) para st caso. S aprca, otra vz, qu los rsultados d abos étodos son práctcant ndstngubls pud obsrvars qu las rctas qu rsultan d los ajusts srían cas horzontals s, coo a hos propusto, las dnsons d los js s calculara n undads dl rror d las dcons la undad rror tuvra la sa longtud n abos js. Esto plca aplcar al j vrtcal un factor aproado d. La Fgura nclu curvas sétrcas alrddor d la lína rcta MCE qu corrspondn a ntrvalos d confanza dl 95 % 99 % para l valor cntral stado. La abla 5 la Fgura prsnta los rsultados (5 tracons para l étodo MDO) cuando las vlocdads d placas s ultplcan por un factor d ; llo s hac, nuvant, para sular una noralzacón rlatva d los js n térnos dl rror. En st caso, ha clara dfrnca ntr abas rctas stadas aunqu, para fctos prdctvos, la dfrnca stá dntro d la varabldad prtda d la solucón MCE al nvl dl 95%. Las curvas qu ntrgan los ntrvalos d confanza no caban rlatvant a las d la Fgura abla 3. Coparacón: Métodos MCE MDO MCE MDO hat rs d hat rs d Noras Mdas: Solucons: MCE MDO DE MDO Slar a la abla, salvo qu los valors d la varabl s ultplcan por un factor d. abla. Coparacón: Métodos MCE MDO MCE MDO hat rs d hat rs d Noras Mdas: Solucons: DE MDO.63. Slar a la abla, salvo qu la rgrsón s sólo sobr los valors d u (longtud fctva dl lít con zona d subduccón). a qu s basan n la dsprsón da d los rsduals qu dpndn d la scala d grafcacón dl j vrtcal; sta dsprsón ndca qu l rror do (una dsvacón stándar) d las vlocdads d placa s d.8 [c/año] s s qu acptaos qu la rlacón lnal s structural (basada n la físca dl probla). Sn bargo, sto no s probablnt crto l propósto gofísco d todo l jrcco s sólo scuanttatvo, s dcr, n busca d corrlacons. Obvant, los rrors d las vlocdads no pudn sr tan grands s l odlo l qu sobrsta st rror. Para una dscusón acrca d las ltacons justfcacón dl ajust por rgrsón, véas Wbstr (998). Llaaos al algorto antror A, para dsgnar coo A al qu s drva d aplcar tratvant la cuacón (). La prra aplcacón d A s ndstngubl con los rsultados ostrados n la abla para A; la convrgnca s rápda: n trs tracons s obtn lo so. Cuando lo aplcaos al sgundo prnto (la varabl dpndnt ultplcada por ); sn bargo, los rsultados fluctúan sn alcanzar convrgnca n 5 tracons. Con l objto d ntndr jor l coportanto d st algorto, los valors d las vlocdads d placa s ultplcaron por dvrsos 9

7 Estadors d ína dsvacón ortogonal; Caso lnal 6 6 Vlocdad d Placas (c/año) 8 6 Vlocdad d Placas* (c/año) v: Longtud Efctva Subduccón ( k) Fgura. Rsultado dl ajust MCE (cuadrados) MDO (daants) para n funcón d u (vr tablas ). En st caso, abos ajusts práctcant concdn. Los astrscos rprsntan los datos; los puntos sñalados sobr la rcta d ajust, los valors corrspondnts prdchos, sgún los parátros stados con l odlo lnal. Las curvas sñalan ntrvalos d confanza dl 95% (línas sgntadas) 99% (línas contnuas) alrddor dl valor cntral prdcho por l crtro MCE. factors ntr. Para factors aors a 7.5, no s alcanza convrgnca ntras qu para factors nors a 7. sucd lo contraro. Para un factor d 7., los rsultados osclan furtnt n las prras tracons para lugo, obtnrs o 5 cfras sgnfcatvas n las coponnts dl vctor d ncógntas a 6 tracons. No parcó ncsaro aplcar alguna técnca d rlajacón para tratar d stablzar l squa: l algorto A parc clarant prfrbl. En vz d utlzar étodos nuércos para nzar una funcón crtro s posbl obtnr la solucón por una búsquda drcta n l spaco d solucons. En vz d una búsquda haustva (u costosa o llanant posbl d ralzar), s prfr aplcar una slccón alatora n la búsquda, tal coo n l étodo gnétco. Esta opcón parc ás fcnt qu utlzar técncas d prograacón lnal (spl). La Fgura 3 lustra l ustro abla 5. Coparacón: Métodos MCE MDO MCE MDO hat rs d hat rs d Noras Mdas: Solucons: DE MDO.7.33 Slar a la abla salvo qu s aplca un factor d a las vlocdads d placas. 6 8 v : Longtud Efctva Subduccón ( k) Fgura. Rsultado dl ajust MCE (cuadrados) MDO (daants) para vcs n funcón d u (vr abla 5). Los dás síbolos son guals a los d la Fgura. para l caso prsntado n la abla 5 Fgura ; para l cual basta con aplar un par d vcs la zona dond s ncuntra la solucón para dtrnar gráfcant los cofcnts con las cfras sgnfcatvas ncsaras; sto s spl s s usa MatLab. El caso d trs o ás ncógntas s pud vsualzar n proccons d cobnacons d pars d ncógntas s l núro total d llas no s dasado alto. La gananca adconal s qu las línas d nvl nos ndcan la varabldad d stacons, nclundo la corrlacón ntr llas. Entrgaos, nsguda, dtalls d la dtrnacón d la varabldad d las stacons. En l procdnto nuércocoputaconal, toaos 5 ustras d dcons; bootstrap utlza cada vz l so núro d obsrvacons qu n l conjunto orgnal, pro prt rptcón d llas. Un gnrador d núros (sudo)alatoros lg los lntos d cada ustra. Lugo, s stan los valors d los parátros s obtn la stadístca d los prodos dsvacons stándars. La Fgura 3 contn la aor part d las 5 stacons d los parátros (parátro d poscón pndnt) para l caso d la rgrsón d la vlocdad d placa con u. La Fgura prsnta cnco hstograas con la dstrbucón d los parátros obtndos por bootstrap. Hos fltrado las stacons qu s apartan clarant d la dstrbucón cntral, s dcr, la qu ntrga áos globals; n st caso, l núro d ustros consdrados baja d 5 a 86. El fltro lna un vctor-solucón coplto s por lo nos uno d sus parátros s aparta d la conducta cntral corrspondnt. Las dstrbucons stándars rsultants stán ncludas n las tablas, 3, DISCUSIÓN Y CONCLUSIONES El crtro MDO db aplcars cuando los rrors d las dcons d las varabls ndpndnts son dl so ordn o aor qu los d la varabl dpndnt. El procdnto coputaconal A, basado n la ntrprtacón coo cocnt d Ralgh d la 5

8 Frz.9 Mína dstanca ortogonal n nora L.8 Pndnt érno lbr Míno rsdual cuadrátco n nora L.8 Pndnt érno lbr Fgura 3. Línas d nvl d las funcons crtros MDO (fgura supror) MCE (nfror) para l caso tratado d la Fgura abla 5. S han rotulado las cuatro línas d nvl ás crcanas a la solucón. Nóts la quvalnca ntr los rsultados d sta fgura los qu s ln n la abla 5. La fgura supror nclu las solucons obtndas por bootstrap (crucs). cuacón (7) l uso dl étodo d potncas para rsolvr l probla asocado d valors caractrístco, s fácl d plntar ntrga rsultados stabls s s qu no st una acuulacón d valors caractrístcos crca dl íno corrspondnt. Con la hpótss d qu l probla stá bn propusto o dtrnado, para lo cual basta qu las colunas d la atrz A n (3) san lnalnt ndpndnts, sta condcón stá asgurada. Cuando llo no sucd, la ltratura (Golub Van Loan, 98; Van Huffl Vandall, 99; ntr otras rfrncas) aconsja l uso d la dscoposcón d valors sngulars. Dado l nor aunto n rcursos coputaconals (CPU ora), l uso d étodos d búsquda drcta n l spaco d solucons ha aplado su aplcacón n los últos años, aunqu todavía tn un lít d alrddor d 8 ncógntas. El caso d ajust a una lína rcta s, por su uso frcunt, l ás studado (Ward, 9; Acton, 966; York, 966, ntr otros) para calcular sus cofcnts la varabldad pírcant prtda d llos. Dada la facldad d grafcacón d cálculo n coputadoras odrnas, s posbl dbujar con facldad las línas d nvl d la funcón crtro, sñalar su valor ópto dtrnar la lína d nvl qu lta la rgón d varabldad o confanza. El uso d aplfcacón d los dbujos drctant n pantalla nos ntrga las cfras sgnfcatvas qu ncstaos. Así, l análss dl ajust a una lína rcta s hac ndato sn ncsdad d acudr a rcursos atátco-nuércos propos d o ás años atrás. Al fnal, toda valuacón part dl bun sntdo coún dl analsta. S los datos son tradant bunos (con rspto al odlo), cualqur stador tabén lo srá. Al rvés, para datos con ucha dsprsón (con rspcto al odlo) dond s planta un ro probla d corrlacón coo l jplo tratado n st artículo, s producrán rsultados dfrnts con técncas dfrnts con una sgnfcacón dfícl d star. Sn bargo, la prsnca d rudo n las varabls ndpndnts, a nvl sjant o aor al d la dpndnt, hac prfrbl la solucón MDO o la ás gnral d MV qu stá dscrta n la sccón 6. 5

9 Estadors d ína dsvacón ortogonal; Caso lnal Golub, G.H., M.. Hath and G. Wahba, 979. Gnralzd cross-valdaton as a thod for choosng a good rdg paratr, chnotrcas, Vol., pp Golub, G.H. and Ch. F. VanLoan, 98. An analss of th total last squars probl, SIAM Journal Nurcal Analss, Vol. 7, pp Hldbrand, F.B., 965. Mthods of Appld Mathatcs, scond d., Prntc Hall, 36 pp Lason, C.L. and R.J. Hanson, 97. Solvng Last Squars Probls, Prntc Hall, 3 pp Knt, J.., G.S. Watson and.c. Onstott, 99. Fttng straght lns and plans th an applcaton to radotrc datng, Earth and Plantar Scnc Lttrs, vol. 97, pp. -7. Krb, J.M., 99. Multpl functonal rgrsson. I. Functon nzaton tchnqu, Coputrs and Goscncs, Vol. 7, pp Fgura. Hstograas d las stacons obtndas al aplcar bootstrap (5 solucons) l crtro d MDO para l caso dscrto n la abla. D arrba haca abajo, s ncuntran las dstrbucons d a. S aplcó un fltro qu lnó solucons qu s apartan clarant d la tndnca cntral n por lo nos una d las coponnts dl vctor d ncógntas. AGRADECIMIENOS Est trabajo rsultó d su tratanto n class n l CICESE; adás, fu pulsado por convrsacons con E. Góz. R. Eaton colaboró con la dcón D. Sarracno obtuvo con rapdz varas d las rfrncas qu ncsté. Aprco los contaros d los árbtros qu contrburon a jorar la prsntacón dl artículo pulsaron a aclarar varos d los aspctos tratados. REFERENCIAS Acton, F.S., 966. Analss of Straght-Ln Data, Dovr, 7 pp. Acton, F.S., 97. Nurcal Mthods hat Work, Harpr and Ro, 5 pp. Adcock, R.J., 878. A probl n last squars, h Analst, vol. 5, pp Bsas, M.N. and L. Knopoff, 97. Structur of th uppr antl undr th Untd Stats fro th dsprson of Ralgh avs, Gophscal Journal Roal Astronocal Soct, Vol. 36, pp McIntr, G.M., C. Brooks, W. Copston and A. urk, 966. h statstcal assssnt of Rb-Sr sochrons, Journal of Gophscal Rsarch, Vol. 7, pp Mddlton, G.V.,. Data Analss n th Earth Scncs Usng MatLab, Prntc Hall, N. Jrs, 6 pp. Mllr, R.G., 97. h jacknf: a rv, Botrka, Vol. 6, pp. -5. Nobl, B. J.W. Danl, 989. Algbra Lnal Aplcada, Prntc Hall Hspanoarcana, Méco, 57 pp. Späth, H., 987. Mathatcal Algorths for Lnar Rgrson, Acadc Prss, 37 pp. Van Huffl, S. and J. Vandal, 99. h otal Last Squars Probl. Coputatonal Aspcts and Analss, SIAM, Phladlpha, USA, 3 pp. York, D., 966. Last-squars fttng of a straght ln, Canadan Journal of Phsc, Vol., pp Watson, G.A.,. On th Gauss-Nton thod for l orthogonal dstanc rgrsson, IMA Journal of Nurcal Analss, vol., pp Ward, A., 9. h fttng of straght lns f both varabls ar subjcts to rror, Ann. Math., Vol., pp 8-5. Wbstr, R., 989. Is rgrsson hat ou rall ant?, Sol Us and Managnt, Vol. 5, pp Efron, B. and R. bshran, 986. Bootstrap thods for standar rrors, confdnc ntrvals, and othr asurs of statcal accurac, Statstcal Scnc, Vol., pp (Inclu contaros). Fshr, G.W., 989. Matr analss of taorphc nral assblags and ractons, Contrb. Mnralog and Ptrolog, Vol., pp Forsth, D. and S. Uda, 975. On th rlatv portanc of th drvng forcs of plat tctoncs, Gophscal Journal of th Roal Astronocal Soct, Vol. 3, pp