Máster en Ecología Métodos para el estudio de Sistemas Ecológicos: Diseño, Análisis y Modelización. III. Regresión logística

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1 Mástr n Ecología Métodos para l studo d Sstmas Ecológcos: Dsño, Análss y Modlzacón. III. Rgrsón logístca Rgrsón logístca: ntroduccón - VR bnara p.., prsnca/ausnca, vvo/murto - Los prdctors pudn sr contnuos al mnos uno, d lo contraro análss d frcuncas o catgórcos Cuál s la probabldad d dsarrollar una nfrmdad rspratora sgún la dad, l so y la condcón d fumador o no? Qué factors dtrmnan la prsnca d una spc n partcular n las slas d un archpélago tamaño y dad d la sla, capacdad dsprsva d la spc? S pud plcar l éto rproductor o l abandono d trrtoros d las avs rapacs sgún varabls ambntals promdad a núclos urbanos, dnsdad d prsas?

2 Rgrsón logístca: ntroduccón - Los datos bnaros ó s consdran qu procdn d una proporcón bnomal con tamaño mustral strctamnt: d la ralzacón d una varabl bnomal con tamaño mustral - S la probabldad d qu un ndvduo sobrvva a un prmnto s p, ntoncs la probabldad d obtnr y dond y s sobrvvr o no s dduc d una smplfcacón d la dstrbucón bnomal con n la dstrbucón d Brnoull: Bnomal Bnara P Y con mda: p y varanza: p-p P Y n y y p p y y y p p y n y cómo nfluyn las VE l valor d p? Por qué usar la rgrsón logístca? - La prsnca d lagartjas dl génro Uta n las slas dl golfo d Calforna n rlacón con l cocnt ára/prímtro d tals slas como mdda dl aport d dtrtus por la mara prsnca o ausnca obsrvadas prsnca La sla qu rprsnta st punto tn A/P3 y tn lagartjas La sla qu rprsnta st punto tn A/P6 y carc d lagartjas ausnca probabldad prdcha d aparcon La rgrsón lnal prdc valors ngatvos d probabldad Fotografía: calfornahrps.com cocnt P/A cocnt P/A A/P bajo A/P alto d.38 2

3 Rgrsón logístca smpl: fundamntos - Rspusta bnara, codfcada como y -S modla, qu s PY X MODELO LOGÍSTICO -dond ntrcpta y pndnt son parámtros qu han d stmars - n l jmplo antror, s la probabldad d qu y Uta stá prsnt dado un dtrmnado valor d cocnt A/P -S,. S -,. - Problma: st modlo no s lnal y su ajust mdant técncas no lnals s compljo y tdoso - Para lnarzar l modlo, st prmro s prsa n forma d probabldad rlatva odds -- una forma altrnatva d prsar la probabldad -- una proporcón d,66 ó 2/3 ó p -- n las apustas boo, hípca: odds d 2 a dos acrtos y un fallo /- ó p/q - El modlo quda ntoncs: Rgrsón logístca smpl: fundamntos trrbl! 3

4 4 q p / mnos trrbl Rgrsón logístca smpl: fundamntos q p tomando logartmos naturals... ln ln q p q p ln ya s lnal y tn una pnta famlar! - El rsultado s un prdctor lnal pro no para la probabldad ó p sno para lnp/q lnp/q s la transformacón LOGIT qu hac d funcón vínculo ntr VR y VEs g X 2 X 2... n l jmplo: g A/P Rgrsón logístca smpl: fundamntos d.2

5 Rgrsón logístca smpl: fundamntos - En l jmplo: g A/P, - Las stmas d máma vrosmltud d los parámtros s obtnn mdant un algortmo tratvo con pondracón tratd wghtd last squars, arcano para nosotros, qu gnra rrors stándar apromados asntótcos: tanto mjor cuanto mayor sa l tamaño mustral - s la ntrcpta: l valor d g cuando... d poco ntrés bológco - s l cambo n la probabldad rlatva al aumntar una undad la VR por cada undad qu aumnt A/P, cuánto dsmnuy la probabldad rlatva, p/q, d qu Uta sté prsnt n una sla?. Rgrsón logístca smpl: fundamntos - n l jmplo: g A/P, dond g s l logartmo nprano l logt d la probabldad rlatva u odds d qu Uta sté prsnt n una sla rspcto a qu no sta allí Parámtro Estma ES Wald Lnp/q g A/P odds rato p P H : por cada undad d ncrmnto n A/P una sla tn una probabldad rlatva d.83 d tnr Uta rspcto no tnrla. 5

6 Rgrsón logístca smpl: fundamntos - n l jmplo: g P/A, dond g s l logartmo nprano l logt d la probabldad rlatva u odds d qu Uta sté prsnt n una sla rspcto a qu no sta allí Tnmos todo nustro trunvrato? componnt alatoro dl MLG: Y con una dstrbucón bnomal Uta stá o no stá componnt sstmátco dl MLG: l prdctor contnuo X l cocnt A/P d cada sla funcón d vínculo dl MLG, qu lga l valor sprado d Y al prdctor X: la funcón logt s dcr, l logartmo nprano d qu Uta sté rspcto a qu no sté, o lnp/q d.2 Por qué usar la rgrsón logístca? - La prsnca d lagartos dl génro Uta n las slas dl golfo d Calforna n rlacón con l cocnt prímtro/ára d tals slas como mdda dl aport d dtrtus por la mara logt, s dcr lnp/q La transformacón logt proporcona valors lnars rspcto VE Los valors prdchos stán ahora acotados ntr y probabldad prdcha d aparcon La rgrsón logístca ndca un cambo más acusado para valors ntrmdos d VE cocnt P/A cocnt P/A d.26 6

7 odds y razón d odds Espcs d plantas clasfcadas sgún su tpo d rgnracón tras un ncndo dsprsón y sgún su mcansmo d dsprsón Mcansmo d dsprsón Tpo d rgnracón Hormgas Vrtbrados Smllas 25 6 Vgtatvo 36 2 Probabldad d qu una spc d planta qu s rgnra por smllas sa dsprsada por hormgas n comparacón con la probabldad d qu lo sa por vrtbrados 25/256 25/256 6/256 25/64,6 odds o probabldad rlatva odds y razón d odds Mcansmo d dsprsón Tpo d rgnracón Hormgas Vrtbrados Smllas 25 6 Vgtatvo 36 2 P.r. smllas hormgas/vrtbrados 4,6 Probabldad d qu una spc d planta qu s rgnra vgtatvamnt sa dsprsada por hormgas n comparacón con la probabldad d qu lo sa por vrtbrados 36/362 36/362 2/362 36/2,7 odds o probabldad rlatva 7

8 odds y razón d odds Mcansmo d dsprsón Tpo d rgnracón Hormgas Vrtbrados Smllas 25 6 Vgtatvo 36 2 P.r. smllas hormgas/vrtbrados 4,6 P.r. vgtatva hormgas/vrtbrados,7 Para ambos tpos d rgnracón la dsprsón más probabl s la qu mpla a hormgas pro st tpo d dsprsón s mucho más probabl n plantas con smllas 4,6/,72,43 razón d probabldads rlatvas odds rato odds y razón d odds La prsnca d lagartos dl génro Uta n las slas dl golfo d Calforna n rlacón con l cocnt ára/prímtro d tals slas como mdda dl aport d dtrtus por la mara prsnca/ausnca VE A/P,5 p -p q,6 p 2 -p 2 q 2,7 p 3 -p 3 q 3 p 7 -p 7 q 7 contnua, p 8 -p 8 q 8 2 p -p q 2, p -p q odds p rato /q p /q p-.29 p 2 /q 2.83 p 2 /q 2 por odds cada undad razón d ncrmnto n A/P duna sla tn una odds probabldad rlatva d.83 d tnr Uta rspcto no tnrla dsmnuy ~2% 8

9 Rgrsón logístca smpl: fundamntos - Bn pro s la transformacón logt funcona tan bn, por qué no hacr smplmnt una rgrsón lnal d lnp/q, a mano o con cualqur programa sncllto, n vz d una rgrsón logístca? -- porqu la rgrsón logístca tn n cunta la varanza bnomal d VR, qu no s constant como asum la rgrsón lnar homocdastcdad -- porqu los programas, al hacr rgrsón logístca tnn n cunta qu los logts son nfntos para p crca d ó lnp/q s p -- porqu n varabls bnomals p.. éto n varos ntntos n vz d bnaras ó los algortmos tnn n cunta la dfrnca d tamaño mustral no s lo msmo 5% d qu d. Rgrsón logístca smpl: bondad d ajust - Al construr un modlo prtndmos qu s ajust bn a los datos, s dcr, qu la dfrnca ntr las obsrvacons rals y las prdccons dl modlo sa lo mínma posbl. mdda con los rsduos d un modlo: y yˆ - χ 2 d Parson o 2 n ˆ n n H : los datos obsrvados procdn d una poblacón n la qu l modlo ajustado s crto a mnor valor dl stadístco, mjor ajust p-valor no fabl s la frcunca mínma prdcha para cualqura d los valors bnaros s pquña como χ 2, por lo qu con VE contnua s agrupan los datos n dz grupos stadístco d Hosmr-Lmshow 2 y n ˆ ˆ s construy una tabla d contngnca d 2 valor bnaro d Y n los valors d X y s calcula l stadístco o con la dvanza dl modlo stadístco d la G 2 ~χ 2 gdl rsd. 9

10 - La dvanza? Y so qué s? MLG: dvanza l análogo a la suma d cuadrados rsdual SS rsdual n ANOVA o rgrsón lnal, s dcr, una mdda d la varacón qu l modlo no logra plcar y n y 2 y log n y log yˆ n yˆ Por fortuna, la dvanza, como la varanza, la dan amablmnt los paquts stadístcos trrbl! - Y nos srv para lo msmo. Por jmplo, tablas d dvanza o l análogo a R 2 D 2 - MLG: s pudn hacr rgrsons o análss d dvanza ANDEVA? Rgrsón logístca smpl: hpótss nula y tsts -H : no hay rlacón ntr VR y VE la prsnca/ausnca d Uta no stá rlaconada con l cocnt A/P d las slas - Wald tst smlar al tst d la t: b /s b.d. s dvd l parámtro stmado por su rror stándar s asntótco váldo para grands tamaños mustrals lugo ha d consdrars apromado - tst d razón d mámas vrosmltuds log-lklhood rato tst G 2-2 vrosmltud modlo rducdo/v.m.compljo ~ χ 2 df qu s quvalnt a la dfrnca n dvanza dvanc ntr los dos modlos D compljo D rducdo 2

11 Rgrsón logístca múltpl - La prsnca d rodors autóctonos n fragmntos d hábtat prurbanos n rlacón con la dstanca a caucs qu actúan como funt d ndvduos, 2 l tmpo n años qu l fragmnto llva aslado y 3 la cobrtura d matorral n porcntaj g X 2 X 2 3 X 3 VR: prsnca/ausnca d rodors autóctonos VE: trs varabls contnuas : ntrcpta, cuando todas VE son cro : cofcnt d rgrsón parcal para X mantnndo l rsto constant;.d., l cambo n l logartmo d la probabldad rlatva p/q d qu una spc sté prsnt n l fragmnto cuando s ncrmnta una undad la dstanca a caucs, mantnndo constant la dad dl fragmnto y la cobrtura d matorral n él. g: logartmo natural d la probabldad rlatva d qu una spc sté prsnt n un fragmnto d hábtat H : ; H 2 : 2 ; H 3 : 3 Fotografía: wkpda.org Rgrsón logístca múltpl prsnca o ausnca dstanca a cauc m prsnca o ausnca razón d odds : 2, dad dsd la fragmntacón años CI95% 2 ±2*SE,95-, prsnca o ausnca razón d odds : 3, cobrtura d matorral % - Qué nflunca sugrn stos gráfcos d dsprsón bnaros qu tnn las VE sobr VR? Estmat Std. Error Wald P Intrcpt -5,9 3, -,9,58 DISTX,,,4,69 AGE,3,4,66,57 PERSHRUB,,4 2,36,8 2

12 -Tstsd Wald Rgrsón logístca múltpl Estmat Std. Error Wald P Intrcpt -5,9 3, -,9,58 DISTX,,,4,69 AGE,3,4,66,57 PERSHRUB,,4 2,36,8 - Tsts d cocnt d vrosmltuds dvanzas LRT: D compljo D rducdo 9,36 9,5 -,6 Modlo rducdo 2 años 3 % dst. 3 % dst. 2 años H dst. 2 años 3 % G 2 -,6 -,44-9,56 P χ 2 df,69,5,2 Nóts qu n un modlo lnal t 2 F, pro aquí Wald 2 G 2 Rgrsón logístca: dagnóstcos - El cofcnt d dtrmnacón d los modlos lnals, R 2, ndca cuanta nformacón d los datos plca l modlo. Un análogo adcuado cuando s trabaja con dvanza n MLG s D 2 : D 2 D rsdual /D nula n l jmplo D 2 9,36/34,62,44 o 44% lo qu no s más qu la proporcón plcada d la varabldad total - Parc qu mjor aún s la R 2 d Naglkrk 99: R 2 p D D p D nula nula / n / n 22

13 - Es dfícl comprobar vsualmnt l ajust d rgrsons bnaras. Rgrsón logístca: dagnóstcos..8.8 ncdnc.6.4 R 2,75 ncdnc solaton solaton X: Aslamnto mdo para unas catgorías n las qu podmos dvdr los datos Y: probabldad mda para los casos qu s ncuntrn n sas catgorías Mástr n Ecología Métodos para l studo d Sstmas Ecológcos: Dsño, Análss y Modlzacón. IV. Rgrsón bnomal 23