Sise considera la difusión de calor y masa dentro de un. Cálculo del Factor de Efectividad Utilizando Colocación Ortogonal Sobre Elementos Finitos

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1 94 Rvsta Ingnría Invstgacón No. 44 Dcmbr d 1999 Cálculo dl Factor d Efctvdad Utlzando Colocacón Ortogonal Sobr Elmntos Fntos Javr Fontalvo Alzat*- Lus M. Carballo Suárz** RESUMEN En l prsnt documnto s rsulv l problma dl cálculo dl factor d fctvdad para la transfrnca d masa y calor con raccón químca n un pllt catalítco utlzando una técnca adcuada spcalmnt para númros d Thl lvados n dond la solucón s rstrng a una pquña zona muy crcana a la suprfc. La técnca aprovcha la rapdz d convrgnca d la colocacón ortogonal y la facldad d ubcacón d lmntos n zonas n dond s prsntan grands gradnts dl método para las dfrncas fntas. La fcnca dl método stá basada n la utlzacón dl método LV para la dscomposcón d matrcs. S mustran comparacons con otros métodos numércos d solucón dl problma. INTRODUCCIÓN Ss consdra la dfusón d calor y masa dntro d un pllt catalítco dond ocurr una raccón, la dscrpcón matmátca d la stuacón ndca qu corrspond a un problma d dobl valor d frontra no lnal, l cual s d gran mportanca para un ngnro químco porqu, por jmplo, al dscrbr l dsmpño d un ractor químco s posbl qu tnga qu rsolvr cntos o mls d vcs st problma. Por xprnca s sab qu pquñas varacons n los parámtros qu dscrbn l sstma afctan dramátcamnt los rsultados [3,4,9,12]. En un pllt n dond la dfusón s muy rápda (pquños módulos d Thl), la concntracón d cada spc s muy crcana a sus valors d frontra n todo l pllt. Como l módulo d Thl s ncrmnt, los prfls d concntracón s dsarrollan n una capa crcana a la suprfc dl pllt, y la concntracón n l ntror dl pllt (haca l cntro dl pllt dsd la dlgada capa suprfcal) s ncuntra n qulbro químco (por jmplo s cro para una raccón rrvrsbl). Los métodos d colocacón ortogonal son útls para rsolvr problmas dl factor d fctvdad [5,11]. Por jmplo para pllts sotérmcos una solucón con dos puntos d colocacón ortogonal prmt una prcsón hasta l 1% n l cálculo dl factor d fctvdad. Es prcsamnt sta vntaja, d alta prcsón, la qu hac atractvo l método d colocacón ortogonal. Fnlayson [5] mustra como un ncrmnto n l númro d puntos d colocacón d dos a cnco, causa un dscnso n l rror d vcs. Sn mbargo cuando s tnn, por jmplo, grands valors dl módulo d Thl l prfl d concntracons a lo largo dl pllt prsnta una pquña zona sobr la suprfc n dond la concntracón crc abruptamnt, mntras qu n l rsto d la partícula la concntracón s práctcamnt constant. En st caso la colocacón ortogonal s nadcuada pus s ncstaría una gran cantdad d puntos d colocacón (una cfra alrddor d 80) para qu algún punto d colocacón s ubqu n sta zona n dond la concntracón crc abruptamnt. Para st caso l método d las dfrncas fntas s útl pus s pud tnr una gran cantdad d lmntos qu dtctarían los cambos d concntracón muy crca d la suprfc. Es para problmas d st tpo n dond l método d colocacón ortogonal sobr lmntos fntos tn mportanca pus aprovcha las vntajas d xacttud qu ofrc l método d colocacón ortogonal y la habldad d las dfrncas fntas d ubcar una malla d puntos dond s ncsaro valuar cambos, por jmplo d concntracón. En colocacón ortogonal sobr lmntos fntos s dvd l domno n subntrvalos d dfrnt o gual longtud los cuals s llaman "lmntos fntos", Una prmra vsón d st método fu utlzada por Patrson y Crsswll [7], quns dvdron la longtud caractrístca admnsonal dl pllt n dos zonas, n dond una d llas s ncontraba muy crca d la suprfc dl pllt prsntando varacons aprcabls d concntracón o tmpratura. Ingnro Químco, M.Sc,. Profsor Unvrsdad Naconal d Colomba, Sd Manzals. ** Ingnro Químco, PhD. Unvrsdad Naconal d Colomba Sd Santa F d Bogotá.

2 Cálculo dl Factor d Efctvdad Utlzando Colocacón Ortogonal Sobr Elmntos Fntos 95 l. DESCRIPCIÓN DEL MÉTODO La fgura 1 lustra l sstma d numracón global "" y l sstma d numracón local ''1'' n un lmnto. S ntnd Consdrando la dfusón y raccón d spcs dntro d así qu, s la concntracón n l -ésmo punto d acurdo a un pllt catalítco no-sotérmco, s llga a un sstma la numracón global y c, s la concntracón n l I-ésmo gobrnado por l sgunt conjunto d cuacons (dond sí punto d acurdo a la numracón local. Estos sstmas stán a=1 l pllt s una placa plana, sí a=2 s un clndro y sí a=3 rlaconados por: s una sfra): O<x<l (1) = (k -l)(ncol+ 1) + 1 (7) con condcons d frontra : (0)=0, - dc (1)= Bm[c(l) -1] dx T(x) = -f8[1-c(1)]- f c(x) + f c(l) +1 (2) Condcón d Prontra d ) d.l. (3) = ro Condcón Frnt...I d La últma cuacón rsulta d un acoplamnto d las cuacons d balanc d masa (c. 1) y d balanc d nrgía para l pllt [1]. (a) NCOL- Puntos d colocacón ntror pura l lmnto k Para mpzar a dscrbr l método, s dvd l domno x (O<x<1) d la forma n qu s mustra n la fgura 1. Dntro d cada lmnto s aplca l procdmnto usual d colocacón ortogonal [5,11] y s valúa l rsduo n los puntos d colocacón ntrna. S s tn NE lmntos y NCOL puntos d colocacón ntrna ntoncs s tnn NE x NCOL condcons rsduals. Entr los lmntos s tn qu l flujo d masa qu sal d un lmnto y ntra a otro lmnto s gual; s dcr, qu s pudn gualar las prmras drvadas d concntracón d los lmntos). d cada lmnto n l punto d unón (frontra (b) ]=1 2 u:o NP=NCOL Fgura 1. Puntos d colocacón sobr lmntos fntos. (a) Sstma d numracón global "". (b) Sstma d numracón Local "1". Aplcando colocacón ortogonal a la cuacón (5) sobr l lmnto k, s obtn: I=2,...,NP-l (8) S dfn una varabl admnsonal u para l k-ésmo lmnto: así qu la varabl u va dsd cro hasta uno n l lmnto k. Los puntos d colocacón ntrors n cada lmnto son las raícs dl polnomo d Lgndr Pn(u)=O (O:::;;u:::;;1). La cuacón (1) s pud modfcar para obtnr n térmnos d la varabl u: y las condcons d frontra Dond las matrcs B y A son las aproxmacons a la sgunda y prmra drvada y son dados n dtall n la tabla 4.4 d la rfrnca [5]. Los puntos I=2,...,NP-l rprsntan los puntos d colocacón ntror. La contnudad d flujo ntr los lmntos rqur: [ 1 NP ) [1 NP t: ~ANP,JCJ = t:~al,jcj ) k-l ]-1 lmnto k-l k J -1 lmnto k (9) En la cuacón antror s supon qu l matral s homogéno n sus caractrístcas d tal forma qu la dfusvdad fctva n un lmnto y otro s gual. Para lograr qu s cumplan las condcons d frontra la cuacón (2) s transforma n:!_ dc (O) = O h; du ' - _1_ dc (1) = Bm[c(1) -1] (6) h NE du 1 NP ) - LAl,Jc J =0 [ ~ J =1 lmnto I (10)

3 96 Rvsta Ingnría Invstgacón No. 44 Dcmbr d NP -h J ~ANP.JCJ = Blm(c ( NP -1) NE J -1 lmnto NE (11) F((NCOL+I)(k -1)+1) =0 k = NE, 1 = NCOL+2 (Condcón d frontra) S(NCOL + 2, J, NE) = A NCOL +2.J + Bm hneo NCOL+2,J ; J = 1,..., NCOL + 2 F((NCOL+ I)NE + 1) = Bm h NE k = I ~ NE, 1 = 2,...,NCOL + I (rsdual) Las cuacons antrors son nsambladas dsd l punto d a-l 2 S(l,J,k)= B,J +---h,a, J J = 1,..., NCOL+ 2 vsta global d tal forma qu cada l dl lmnto k tn su, X, +ujh, ' rspctvo c. F((NCOL+ 1)(k -1) + 1) = 11;1/12 f(c((ncol+ I)(k -1)+ J), T) A. SISTEMADEFINALDEECUACIONES dond Su s l dlta d Kronckr [12]. El conjunto d cuacons (8-11) cra un sstma matrcal B. SOLUCIÓNITERATIVADELSISTEMA qu pud sr scrto como: MC=F(C) (12) Dond C s l vctor qu contn los valors dsconocdos d composcón dntro dl pllt n los puntos d colocacón ntror y n los puntos fnals d los lmntos. La matrz M tn una structura d bloqus dagonal como s mustra n la fgura 2, con una suprposcón d un lmnto ntr los bloqus adyacnts y l vctor F con la dstrbucón mostrada n la msma fgura. Para los cálculos, los lmntos d los bloqus sobr la dagonal d la matrz M s almacnan n un arrglo trdmnsonal S(I,J,k). El sstma rprsntado por la cuacón (12) s rsulv por un método tratvo por susttucón sucsva (dond r s la r-ésma tracón). (13) La matrz M s nvrt utlzando una dscomposcón LV (Lowr-Uppr) dscrta n dtall n la rfrnca [5] y, pusto qu la matrz M no dpnd d la solucón n cada tracón, s ralza solo al comnzo dl procso d cálculo. La dscomposcón LV utlza l patrón d cros d la matrz como la mostrada n la fgura 2. Estas matrcs son llamadas dsprsas. Por jmplo un método d dfrncas fntas pud producr una matrz d x con 10 6 lmntos. Solamnt crca d d stos lmntos son dfrnts a cro. Sn mbargo, l trabajo para rsolvr st sstma sn utlzar la vntaja qu prstan los cros tomaría 3 x 10 8 multplcacons. S por jmplo, con una computadora muy rápda una multplcacón mplca 10' 6 sgundos ntoncs l total d la opracón nvolucra un tmpo total d 5 mnutos. S l patrón d cros s tomado n cunta (dscomposcón LV) l sstma pud sr rsulto con multplcacons, s dcr, una rduccón d vcs. Fgura 2. Estructura d la matrz para colocacón ortogonal sobr lmntos fntos. Las zonas más oscuras surgn d las condcons d frontra (Es. 10 Y II l. las zonas achuladas surgn d las cuacons d contnudad d flujo d masa ntr los lmntos (Ec. 9l Ylas zonas claras surgn d las cuacons d los puntos d colocacón ntror. Con I,J=1,...,NCOL+2, y, k= l,...,ne. Los lmntos d S y F stán dados por las sgunts rlacons: k=i,l=1 S(I.J,I)=A'J ;J=I,.."NCOL+2 F(I)=O k =1...NE-I, 1 = NCOL+2 ANCOI,+2.J,J =1,... NCOL+l (Condcon S(NCOL+2,J,k)= h, { ANCOL+2,J --Al) J = NCOL+2 hk+l d Frontra) (Contnudad dla drvada) k = 2...NE, J = 1 (Contnudad d la drvada) _{SCNCOL+2,NCOL+2,k-l), J=1 S(I.J,k)- _ h(-l Al) J = 2,..., NCOL+2 h, La toría d tracón (11) stablc qu l método convrg s s cumpl qu: P = (hmax,iim-llllafl < 1 ac max (14) Pusto qu la norma d la matrz nvrsa d M s funcón d h, s df/dc tn un máxmo, s pud hacr qu P <1 scogndo un valor lo sufcntmnt pquño d h (vr co 4). Exstn casos n los cuals l valor d df/dc s muy grand y s ncsaro tomar valors d h xcsvamnt pquños, por lo tanto n stos casos s ncsaro aplcar un método d solucón d Nwton-Raphson, como s mustra a contnuacón: J(Cr+l-C')=-G(C') (15)

4 Cálculo dl Factor d Efctvdad Utlzando Colocacón Ortogonal Sobr Elmntos Fntos 97 El bloqu dagonal dl sstma algbraco conduc a un En la fgura 4 s ndca como dbn ubcars los lmntos bloqu dagonal Jacobano J qu rqur una dscomposcón fntos para qu la prcsón n l cálculo dl factor d dntro d cada tracón. fctvdad aumnt dsd hasta un valor d EXPERIENCIA NUMÉRICA S aplcó l método d colocacón ortogonal a dos problmas, para una raccón d prmr ordn no sotérmca, sn contar con la rsstnca a la transfrnca xtrna d masa y calor, y para una raccón dl tpo Langmur-Hnshlwood no sotérmca consdrando la rsstnca xtrna a la transfrnca A. PRIMER CASO d masa y calor. S rsolvó l problma para una raccón d prmr ordn n un pllt sférco, cuando l Bm...00 así qu n la frontra c(l)=i, la raccón s: f(c,t)=c T=l+f3-f3c xp[y(l-l/t)] La cuacón (16) corrspond a una raccón d prmr ordn rrvrsbl, no-sotérmca n un pllt sférco. Los valors d los parámtros utlzados son <1>=0,5')'=18 ~=0,3 (s usan stos datos porqu a partr d llos s pudn ncontrar rsultados comparatvos con otros métodos como l d dfrncas fntas, con l fn d mostrar la vracdad dl método d colocacón ortogonal sobr lmntos fntos), stos valors conducn a un valor únco dl factor d fctvdad d 11=1, , lo cual stá compltamnt d acurdo con la rfrnca [4]. Los prfls d concntracón y tmpratura s mustra n la fgura 3. El valor ncal utlzado n todas las tracons s d c(x)=1 y l númro d puntos d colocacón ntrnos utlzado s d 4 (NCOL=4). ~ 1.02,---,----,-~-~-~-~-,----,- r-_, C> '0; Tmpratura ;; 1.01 E :;;; '" '" :; ~ 0.99 '"a. E ~ 0.98 'C> : ~ Concntracón ;; 0.96 '" C> U 0.95L_~,--~:--~-~-~-~-~~-~-_j O Ubcacón Admnsonal Fgura 3. Prfls d Concntracón (lína nfror) y tmpratura (lína supror) para l caso d studo 1. (16) NE Fgura 4. Localzacón d los lmntos para l prmr caso d studo, los astrscos ndcan los puntos fnals d los lmntos. En la fgura 5 s mustra como l númro d puntos d colocacón ntror afcta la prcsón n l cálculo dl factor d fctvdad para dfrnts procdmntos d solucón [5]. S pud vr como n l método d colocacón ortogonal corrnt [11], solo con un punto d colocacón s tn un rror mnor qu l obtndo por 10 dfrncas fntas. Con la dfrnca qu para la colocacón ortogonal s pud utlzar una calculadora manual, mntras qu para las dfrncas fntas s ncsaro un qupo programabl. La colocacón ortogonal s más adcuada, para l prmr caso d studo, qu la colocacón ortogonal sobr lmntos fntos. Esto s db a qu l prfl d concntracons no prsnta un cambo brusco con la dstanca admnsonal (vr fg.3). En la fgura s mustra l tmpo d computo consumdo por dfrnts métodos d cálculo vs l rror n l flux ncontrado para la suprfc (dc/dx n x=l) por dfrnts métodos numércos. NCOl lag (NCOl) O'- T2 4~ 6r- ~8 ~'O f I!! I I I t--- ~--_ : L ! : - t r ',!! Colocacón ortouonal I r I -----J L : : I I ---J I t : ,, : : t-,, I ~:!, I,,, : : : --t ; : : I Fgura 5. Error n l cálculo dl flux n la suprfc dl pllt por trs dfrnts métodos d cálculo dl factor d fctvdad. Para l caso d studo 1.

5 98 Rvsta Ingnría Invstgacón No. 44 Dcmbr d ; 'u 'Eal "-.:.l..4.6 '" x.a c;:: '" o; <: al -10 -":: LU Tmpo d Computo (cpu)(sg) o x\ ~. [ frnca Fntas \, R., r-x '..., -., \ -- ~-_... N OL=2 Irnl ~' '-~ I--~.c.~ \ ~6 ;_ -_ ~V \ ~. Co ocacón ( rtogonal 1\ ~u \ -. r-, V-~ ~,~ ~o~.. o~,.. u~... u~ ~ NCOL= -. j' (lo.~ 10 % 1% 0.1% 0.01% Est caso s ntrsant dsd l punto d vsta numérco dadas las dfcultads qu prsnta. En st sstma l squma d tracón dado por la cuacón 13 no convrg, dbdo a los grands valors d la drvada d la xprsón cnétca (vr co 17 y Crtro d la co 14). El squma d tracón utlzó como valors ncals d concntracón c(x)=o y c(x)= 1. S ncontró una solucón xacta con un rror n l factor d fctvdad d 10-8, corrspondnt a cuatro puntos d colocacón ntrna (NCOL) y 29 lmntos fntos (NE). El valor obtndo s d 11=1, para un módulo d Thl d 20 y los parámtros ndcados n la fgura 7. El método como rspusta a una matrz d tpo no lnal tn múltpls solucons dpndndo d la forma n la qu s ncuntran éstas, s pud hacr qu la matrz dvrja para las solucons ya ncontradas ó s la matrz s rsulv por Nwton-Raphson dpnd d los valors ncals. El método mplmntado s autocontrola para qu l rror sa más bajo, s dcr, qu él scog la mjor solucón para dsmnur l rror (malla adaptva). Fgura 6. Error n l flux n la suprfc dl pllt como una funcón dl tmpo d computo (Rf. [5]). B. SEGUNDO CASO S consdra un problma con una raccón dl tpo Langmur-Hnshlwood, consdrando l cambo con la tmpratura d la constant d adsorcón Y'd' La raccón consdrada s: D.025 f(c,t) = xp[y(l-li T)k!+ o/ (1+ O" xp[yad (l-lit) f y = " ;j Y.d=-0.35 o. ; ~ = 20 s::., (J E D.015 = 3.0 :c lo = 0.02 '0. Bm=250 'é., 0.01 Bh=5 u o U 0:.005 O ) Ubcacón admnsonal (17) La fgura 7 mustra qu l prfl d concntracons n todo l pllt s práctcamnt cro dsd l cntro hasta muy crca d la suprfc n un ntrvalo 0<x<0,9994. Es dcr qu la concntracón aumnta rpntnamnt n un ntrvalo d 0,0006. Estos cambos bruscos d concntracón hacn qu métodos como las dfrncas fntas no logrn l nvl d xacttud qu s ncuntra con la colocacón ortogonal sobr lmntos fntos y procdmntos como la colocacón ortogonal rqur un númro muy grand d puntos d colocacón (mayor a 120) para alcanzar un nvl d rror bajo. En las fguras 8 y 9 s prsnta adconalmnt l prfl d tmpratura y la gráfca dl factor d fctvdad vs l módulo d Thl para la raccón dscrta por la co r---~--~--~---~--~----' F ~_ -; ~" al , lo (t s~ al "- E al t ,.. y =20 Yad= ~= 20 C1 = 3.0 f3 = 0.02 Bm=250 Bh=5 \\ L ~ ~ ~ ~ ~ --' a D.998 o [].9995 Ubcacón admnsonal Fgura 7. Prfl d concntracón para una raccón dl tpo dscrto por la cuacón 17. Fgura 8. Prfl d tmpratura para una raccón dl tpo dscrto por la cuacón 17.

6 Cálculo dl Factor d Efctvdad Utlzando Colocacón Ortogonal Sobr Elmntos Fntos 99 z r ~ 10 y ~20 Y.d~.0.35 ~ ~ 20 (J ~ 3.0 f3 ~ 0.02 Bm~250 Bh~5 Modulo d thl.~ \ OékJ,C Fgura 9. Factor d Efctvdad vs módulo d Thl para una raccón dl tpo dscrto por la cuacón 17. Con )'=20, Y'd=-0,35, 41=20, cr=3, 0, ~=0,02, Bm=250, Bh=5. CONCLUSIONES S dsarrollo la dscrpcón dl método d colocacón ortogonal sobr lmntos fntos. La dscomposcón LU s un método fcnt d solucón d matrcs, con bloqus n la dagonal (fg 2). Cuando l método d susttucón sucsva no convrg pud sr rmplazado por l algortmo d Nwton- Raphson xtosamnt. El método gnra una solucón d gran xacttud n cortos tmpos d cómputo. Para problmas con módulos d Thl pquños l método d colocacón ortogonal sobr lmntos fntos s más fcnt qu l método d dfrncas fntas y mnos fcnt qu la colocacón ortogonal. Para problmas d factor d fctvdad dond xstn marcados gradnts d concntracón dntro dl pllt l método d colocacón ortogonal s nadcuado, mntras qu la colocacón ortogonal sobr lmntos fntos s dsmpña muy bn y mjor qu las dfrncas fntas. J c: x: a: <1>: ~: o: y. 11: 0": f(c,t):. Bm: Bh: NE: NCOL: NP: NOMENCLATURA Concntracón admnsonal Ubcacón admnsonal Parámtro d forma Módulo d Thl Calor d raccón admnsonal BmlBh Númro d Arrhnus Factor d fctvdad Calor d Absorcón admnsonal (constant d Adsorcón)x (Concntracón xtror dl pllt) Vlocdad d raccón admnsonal Númro d Bot d masa Númro d Bot d calor Numro d lmntos fntos Númro d puntos d colocacón ntrna NCOL+2 A: Matrz para la prmra drvada para la colocacón B: ortogonal Matrz para la sgunda drvada para la colocacón ortogonal BIBLIOGRAFÍA. I.ARIS, R., "Th mathmatcal Thory ofdffuson and racton n prmabl catalysts", Vol. 1, Oxford Unvrsty Prss, BIRD, R.B., STEWART, W.E. y L1GHTFOOT, E.N., Fnómnos d Transport, 4 dcón, Rvrté, BOSCH, B.V. y PADMANABHAN, L., Chm. Eng. Sc., Vol. 29,1974, pp CAREY, G.F. Y FINLAYSON, B.A., Chm. Eng. S., Vol. 30,1975, pp F1NLAYSON, BRUCE A., Nonlnar Ana/yss n Chmcal Engnrng, McGraw- HII Intmatonal, MORBIDELLI, M., SERVIDA, A. Y VARMA, A., Ind. Eng. Chm. Fundam., Vol. 21,1982, pp PATERSON, W.R. y CRESSWELL, D., Hm. Eng. S., Vol. 26, 1971, pp PAVLOU, S. y VAYENAS, c., hm. Eng. S., Vol. 45, No. 3,1990, pp TlNKLER, J. D. Y METZNER, A. B., Ind. Eng. Chm., Vol. 53, No. 8,1961, p TRAUB, J.E, Jtractv Mthodsfor th so/uton of cuatons, Prntc hall, 1964 I1.VILLADSEN. J.V. y STEWART, w., hm. Eng. S., Vol. 22, 1967, pp WONG, S.H. y Szép, S., Chm. Eng. S., Vol. 17, 1982, pp