ELEMENTOS FINITOS DE DIFERENTES ÓRDENES PARA PROBLEMAS DE ELASTICIDAD PLANA Y MEZCLAS DE SUS MALLAS

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1 ELEMENTOS FINITOS DE DIFERENTES ÓRDENES PARA PROBLEMAS DE ELASTICIDAD PLANA Y MEZCLAS DE SUS MALLAS Sbastán Toro *, Vctoro Sonzogn, Carlos Numan * GIMNI, Unvrsdad Tcnológca Naconal, F.R. Santa F. Lavas 60, 3000 Santa F. -mal: storo@frsf.utn.du.ar Cntro Intrnaconal d Métodos Computaconals n Ingnría (CIMEC) INTEC, CONICET, Unvrsdad Naconal dl Ltoral Güms 3450, 3000 Santa F, Argntna -mal: sonzogn@ntc.unl.du.ar Dpartamnto d Matmátca, Facultad d Ingnría Químca Unvrsdad Naconal dl Ltoral Santago dl Estro 89, 3000 Santa F, Argntna -mal: cnuman@fqus.unl.du.ar Palabras clav: Elmntos fntos, Error d dscrtzacón, Mallas compustas, Mjoramnto d la solucón numérca. Rsumn. En st trabajo s mustran rsultados d la mplmntacón d lmntos fntos trangulars y cuadrangulars n lastcdad plana, con dfrnts grados d sus funcons d forma. S utlza un problma tstgo con solucón xacta para calcular los rrors xactos d la aproxmacón numérca. S utlza admás la técnca d mallas compustas para obtnr solucons prcsas. En st marco s mustran rsultados para dvrsas mzclas d los lmntos mplmntados. S calculan los cofcnts para combnacón d mallas a partr d la xtrapolacón d Rchardson y tambén s ralzó una búsquda xprmntal d los cofcnts óptmos para cada combnacón. S analzan los rsultados obtndos y las conclusons a las qu s arrba frnt a las posbldads combnacón d mallas d gual o d dfrnt ordn d sus polnomos ntrpoladors. 37

2 MECOM 005 VIII Congrso Argntno d Mcánca Computaconal INTRODUCCIÓN El método d los lmntos fntos s una técnca numérca muy utlzada n ngnría. La solucón numérca qu brnda st método s una aproxmacón a la solucón xacta. El rror d aproxmacón dpnd dl tpo d lmnto y sus funcons d forma, y d la cantdad d nodos ncógntas dl modlo (fgura ). Así solucons qu tngan mnors rrors d dscrtzacón rqurn una mayor cantdad d lmntos fntos y nodos. Esto conllva, para grands problmas numércos, mayors rqurmntos d almacnamnto d varabls y tmpo d procsamnto. El ngnro db ldar con st compromso ntr prcsón (mnor rror) y costo computaconal. Fgura. Error d dscrtzacón d la solucón numérca. Un problma a la hora d ntntar conocr l rror d la solucón numérca s qu la solucón xacta no s conocda. En st sntdo s han dsarrollado métodos d stmacón d rrors, qu busca d dvrsas formas obtnr la magntud dl rror d una dtrmnada solucón d un problma, y con la posbldad d utlzars para dtrmnar, n forma aproxmada, l tamaño d la malla ncsara para obtnr una crta magntud d rror. Así xstn stmadors a pror y a postror. Los prmros tnn utldad tórca al hacr un análss d la convrgnca d dstntos algortmos. Los sgundos s utlzan n la práctca y s basan n utlzar una solucón numérca calculada dl problma. Un avanc n la obtncón d solucons prcsas s ralzar lo qu s conoc como mallado adaptabl. Allí, mdant los stmadors d rror s ubcan las poscons dond s 37

3 Sbastán Toro, Vctoro Sonzogn, Carlos Numan producn los mayors rrors para rfnar la malla prortaramnt n sas zonas (por jmplo, puntos sngulars). Otro camno para dsmnur l rror d aproxmacón s mjorar l lmnto. Esto s pud a vcs ralzar aumntando l grado d los polnomos d ntrpolacón d las funcons d forma o cambándolas d alguna manra, como n los lmntos compustos. En trabajos antrors, s ha ntroducdo l concpto d malla compusta, qu utlza mallas dfrnts cada una con su rror ntrínsco d aproxmacón, qu mzcladas convnntmnt prmtn obtnr una solucón muy prcsa. En st trabajo s han mplmntado (n un programa d cálculo ralzado n l Grupo GIMNI) algunos lmntos fntos qu rsultan d combnacón d dstntos lmntos, sgundo l concpto d las mallas compustas. En lo qu sgu dl trabajo, s prsnta l concpto d mallas compustas y lmntos compustos. MALLA COMPUESTA En los lmntos compustos s hac la suposcón d qu, ocupando l msmo spaco, hay dos o más lmntos suprpustos d dstnto tpo (d dfrnts rrors ntrínscos d aproxmacón), ya sa por su tamaño o por la funcón ntrpolacón, undos n los nodos concdnts. Cada lmnto colabora n la matrz lmntal multplcada prvamnt por un factor d colaboracón sgún l grado d lbrtad corrspondnt d los nodos (poscón n la matrz). Matrcalmnt s pud xprsar d la sgunt forma: ( [ A ] ( α) [ A ])[ u ] = α [ f ] + ( α) [ f ] α, + () dond: [ A ] y [ A ]: Matrcs lmntals d los lmntos qu forman l lmnto combnado. [ u, ]: Dsplazamnto d los nodos dl lmnto combnado. [ f ] y [ f ]: Furzas nodals d los lmntos qu forman l lmnto combnado. α : Factor d partcpacón. En l caso d combnacón d lmntos con dstnto númro d nodos o d falta d concdnca d algunos, las flas y columnas d las matrcs lmntals corrspondnts a los grados d lbrtad d sos nodos s llnan con cros, d tal forma qu qudn con l msmo númro d flas y columnas qu nodos y grados d lbrtad dl lmnto combnado. Lo msmo s pud xprsar n funcón d la matrz global, como s s dscrtzara la msma structura con cada lmnto qu forma l lmnto compusto y dspués s suprpusran. Igual qu ants acá tambén s db llnar con cros las zonas d la matrz global corrspondnts a los nodos qu tn qu tn por xcso la structura dscrtzada con l otro lmnto. α A + ( α) A u = α f + ( α f () sndo: ( [ ] [ ])[ ] [ ] [ ], ) 373

4 MECOM 005 VIII Congrso Argntno d Mcánca Computaconal [ A ] y [ A ] [ u ], [ ] : Matrcs globals d la structura dscrtzada con cada lmnto ndvdual. : Dsplazamnto nodals d la structura. : Furzas xtrors nodals sobr la structura. α : Factor d partcpacón. La da d los lmntos compustos s ha utlzado n l cálculo d structuras consttudas por una mzcla d matrals d caractrístcas dstntas, como por jmplo l sulo saturado, mzcla d sulo y agua, n dond s combna dos lmntos, uno qu rprsnta l sulo y l otro l agua, multplcados por un factor d partcpacón proporconal al volumn d cada matral n la mzcla. Una forma d ntrprtar y analzar l lmnto compusto, sus rsultados y calcular l factor d partcpacón s analzando la técnca d xtrapolacón d Rchardson para dsmnucón dl rror. f y [ f ] 3 EXTRAPOLACIÓN DE RICHARDSON Est s un método dsarrollado para l mjoramnto d rsultados (dsmnucón dl rror) a partr dl cálculo d dos mallas y una xtrapolacón d los valors d las msmas. Consst n calcular una structura con dos mallas dstntas d tal forma qu la dmnsón d los lmntos rsult una proporcón ntra (por jmplo uno la mtad dl otro), por lo qu s tndrá concdnca spacal d algunos d los nodos d los dos mallados. A los rsultados obtndos (por jmplo dsplazamntos) n sos nodos s pudn xtrapolar para obtnr una mjor solucón. La solucón numérca para dos mallas d dstnto tamaño d lmntos s xprsa como: sndo: [ A ] y [ A ] ). [ ] u y [ u ] [ f ] y [ f ] [ A ][ u] = [ f] [ u] = [ A ] [ f] [ A ][ u ] = [ ] [ u ] [ A ] [ ] f = (3) f : Matrcs globals d la structura con los dos tpos d mallados (mallas y : Dsplazamnto nodals d la structura con los dos tpos d mallados. : Furzas xtrors nodals sobr la structura con los dos tpos d mallados. Cada uno d las solucons obtndas tn un rror dstnto, mnor sgún sa más fna la malla (convrgnca monótona). La solucón xacta a partr d la solucón dl M.E.F., bajo crtas condcons (por jmplo d no sngulardad), s pud xprsar como un dsarrollo d la sr d Taylor: sndo: u : Solucón xacta. u: Solucón aproxmada dl M.E.F. p+ q u = u + C h + O( h ) q > p + (4) 374

5 Sbastán Toro, Vctoro Sonzogn, Carlos Numan h: Tamaño d la malla, s l lmnto s cuadrado, o valor rprsntatvo dl tamaño n caso d mallas rrgulars. p: Grado dl polnomo d ntrpolacón dl lmnto. C: Constant qu dpnd dl tpo d problma, d la gomtría, d las cargas, d la forma dl lmnto, d la funcón d ntrpolacón, ntr otras. Es por lo tanto muy varabl y dfícl d calculars, pro s posbl obtnrla xprmntalmnt con crta facldad. O(h q ): Esto ndca qu l térmno faltant (rsto) s dl ordn dl tamaño d la malla lvado a un valor q mayor qu p+, por lo qu l rror d la dscrtzacón s l térmno p+ C h más otro térmno más pquño. Dados dos mallados dstntos, dond hay concdnca d algunos nodos, s pud hacr combnacón lnal con las solucons obtndas n sos nodos (n gual poscón dl spaco s tn la msma solucón xacta). u u u = u + = u + C + C h = u α + u p + h p + q ( ) + O h + O h q ( ) ( α) + C h p + α ( α) α + C h p + ( α) + O h La solucón xtrapolada o ntrpolada s stablc como la sgunt: Por lo tanto l rror s: q q ( ) α + O( h )( α) u R = u α + u ( ) (6), α q ( ) α + O( h )( ) R p + p + q, = C h α + C h ( α) + O h α (7) S los valors d α s dtrmnan d tal forma qu anuln los dos prmros térmnos dl rror (xprsón 7) s tn qu l rror qu s obtn d la solucón ntrpolada s mnor: q q ( ( h h ) = (8) R, O máx, Por lo ndcado l factor d partcpacón α s obtn como: p + p + C h α + C h ( α ) = 0 α = (9) C h C h En l caso d la xtrapolacón d Rchardson, dond s hac la combnacón lnal d lmntos con la msma funcón d ntrpolacón, s tn qu p = p = p, h = d h y C = C, sto últmo dbdo a qu s trata dl msmo punto n l spaco y l msmo grado d la funcón ntrpolacón n los dos lmntos. S tn ntoncs qu: p + p + (5) 375

6 MECOM 005 VIII Congrso Argntno d Mcánca Computaconal α = (0) p+ d En st trabajo s ncorpora lmntos compustos qu combnan lmntos con polnomos d un grado d dfrnca y dmnsons dstntas, por lo qu s dtrmna l factor d partcpacón tambén para cuando p = p -= p- y h = d h = d h: α = () C h p C d Como s djo antrormnt dbdo a la smltud d concptos ntr la xtrapolacón d Rchardson y los lmntos compustos, s pud llgar a usar los valors d los factors d partcpacón dtrmnados para stos últmos, sto s vrfca postrormnt y s v la dfrnca ntr llos. Prmt tambén analzar d qu dpnd l factor d partcpacón, dond s v qu n l prmr caso no dpnd dl tamaño d la malla (rprsntado por h) y n l sgundo sí. En ambos casos, s db ntndr qu l valor p d la sr d Taylor no s smpr gual al grado d polnomo d aproxmacón, sno qu varía d problma a problma y n l msmo problma, dpndndo d la poscón dl nodo. En l caso d puntos sngulars, ya sa d cargas o gométrco, la varacón s mucho más grand, y aumnta a mdda qu s acrca a él. La vntaja qu prsnta los lmntos compustos sobr la xtrapolacón d Rchardson s qu n sta s db rsolvr dos sstmas d cuacons globals, mntras qu n los prmros solo una y, aunqu s tnga qu hacr varas opracons prvas adconals, s ahorra n tmpo d cálculo. Otra s qu n la xtrapolacón d Rchardson, l mjoramnto d los rsultados s ralza úncamnt n los nodos concdnts d los lmntos qu forman l lmnto compusto, mntras qu n l compusto s obtn una mjora n todos los nodos, aunqu n los nodos sn concdnca sta s mnor. 4 ELEMENTOS IMPLEMENTADOS S prsntan los lmntos qu furon ncorporados al programa d cálculo d structuras bdmnsonals. En los lmntos smpls s ndcará las funcons d forma. En los lmntos compustos s mostrará los lmntos qu lo forman y los factors d partcpacón calculados por dos vías: ) obtndos a partr d las fórmulas dducdas d la xtrapolacón d Rchardson; y ) mnmzando l rror. Como rprsntacón dl rror s utlzó la norma d rror L d los valors obtndos úncamnt n los grados d lbrtad (gdl) dl modlo numérco, s dcr n las dos componnts d dsplazamnto n cada nodo. La norma dl rror s obtn como: = NGDLT = () L () 376

7 Sbastán Toro, Vctoro Sonzogn, Carlos Numan dond: NGDLT: Númro d grados d lbrtad total dl modlo numérco. () : Error d la solucón obtndo n l grado d lbrtad, () = (u) - (u ). (u) : Solucón numérca (aproxmada) n l gdl. (u ) : Solucón xacta n l gdl (obtnda por jmplo con las cuacons d la fgura 9). El factor d partcpacón, α, s obtn, xprmntalmnt, calculando varas vcs la L structura d rfrnca con dstntos factors d partcpacón y valuando sus rspctvas normas L dl rror xacto, y adoptando l qu produc l mnor valor d la norma L (rcta tangnt horzontal n la curva norma L - factor d partcpacón). En todos los lmntos compustos s calculó st factor d partcpacón para dos rfnamntos, d 4 y 36 lmntos, para vr la varabldad dl msmo con l tamaño d la malla, custón dnotada n las fórmulas d la ntrpolacón d Rchardson al dpndr d h. A cada lmnto por organzacón s l do un nombr con l qu s dnomna dntro dl programa dl cálculo y d st nform. Est nombr s ndca ntr paréntss al lado d la dscrpcón dl lmnto. En las fguras a 8 s mustran los lmntos mplmntados. En las fguras, 3 y 4 qu sgun, hac rfrnca a la numracón local d los nodos dl lmnto; n la fgura 3 y 4, ( ξ, η ) son las coordnadas naturals dl nodo. Estas coordnadas varían ntr - y, d manra qu l nodo tn coordnadas ( ξ,η ) = (, ), y l nodo 3, ( ξ,η ) = (, ). En la fgura, L son las coordnadas d ára dl trángulo. ( L, L, L3 ) L N = Fgura. Trángulo lnal d 3 nodos (Elmnto tpo ) 377

8 MECOM 005 VIII Congrso Argntno d Mcánca Computaconal N 4 ( ξ η) = ( + ξ ξ ) ( + η η ), Fgura 3. Cuadrángulo lagrangano lnal d 4 nodos (Elmnto tpo 9). Nodos Esqunas ( a 4): Nodos Intrmdos: (5 y 7): (8 y 6): Nodos cntral (9): N ( ξ, η) = ( ξ + ξ ξ ) ( η + η η ) 4 N N ( ξ, η) ( ξ, η) N ( η + η η ) ( ξ ) = ( ξ = + ξ ξ ) ( η ) ( ξ, η) = ( ξ ) ( ) 9 η Fgura 4. Cuadrángulo lagrangano cuadrátco d 9 nodos (Elmnto tpo 0). 378

9 NormaL Sbastán Toro, Vctoro Sonzogn, Carlos Numan 0,0004 0, ,0003 0,0005 0,000 0,0005 0,000 0, ,5 0,6 0,7 0,8 0,9,,,3,4,5 Factor d partcpacón α Factor d partcpacón a partr d la xtrapolacón d Rchardson: p = d = α R = C h C Factor d partcpacón mnmzando la norma L: Con 4 lmntos: α =,09. Con 36 lmntos: α = 0,9999 (varacón d -,89% con α antror). Fgura 5. Cuadrángulo compusto d 9 nodos, con un cuadrátco y un lnal (Elmnto tpo ). 0,0004 NormaL 0, ,0003 0,0005 0,000 0,0005 0,000 0, ,5 0,6 0,7 0,8 0,9,,,3,4,5 Factor d partcpacón α Factor d partcpacón a partr d la xtrapolacón d Rchardson: p= d= αr = C 4h C Factor d partcpacón mnmzando la norma L: Con 4 lmntos: α =,0768. Con 36 lmntos: α =,095 (varacón d -5,3% con α antror). Fgura 6. Cuadrángulo compusto d 9 nodos, con un cuadrátco y cuatro lnals (Elmnto tpo ). 379

10 Norm a L MECOM 005 VIII Congrso Argntno d Mcánca Computaconal 0,0004 0, ,0003 0,0005 0,000 0,0005 0,000 0, ,5 0,6 0,7 0,8 0,9,,,3,4,5 Factor d partcpacón α Factor d partcpacón a partr d la xtrapolacón d Rchardson: p = d = αr = 4 =, 3 3 Factor d partcpacón mnmzando la norma L: Con 4 lmntos: α =,3457 (varacón d -0,9% con αr). Con 36 lmntos: α =,3365 (varacón d -0,68% con α antror). NormaL Fgura 7. Cuadrángulo compusto d 9 nodos, con un lnal y cuatro lnals (Elmnto tpo 3). 0,0004 0, ,0003 0,0005 0,000 0,0005 0,000 0, ,5 0,6 0,7 0,8 0,9,,,3,4,5 Factor d Partcpacón α Factor d partcpacón a partr d la xtrapolacón d Rchardson: p= d = αr = 8 =, Factor d partcpacón mnmzando la norma L: Con 4 lmntos: α =,073 (varacón d 6,58% con αr). Con 36 lmntos: α =,0790 (varacón d 0,6% con α antror). Fgura 8. Cuadrángulo compusto d 5 nodos, con un cuadrátco y cuatro cuadrátcos (Elmnto tpo 4). 380

11 Sbastán Toro, Vctoro Sonzogn, Carlos Numan 5 EJEMPLO Para vrfcar qu l programa d cálculo funconaba corrctamnt s utlzó una structura d la cual s conoc la solucón xacta 3, qu consst n una vga n voladzo apoyada n dos xtrmos d un lado, con cargas trangulars y parabólcas. Tnr stos valors como rfrnca srvó tambén, y como funcón más mportant, para calcular un factor d partcpacón práctco, s dcr con los valors propos dl lmnto compusto, y para ralzar comparacons ntr los lmntos mplmntados. 5. Solucón xacta En la fgura 9 s prsntan las cuacons d la solucón xacta para stablcr a partr d qu problma s obtuvron los factors d partcpacón porqu n l caso d la mzcla con lmntos d dstnto grado dpndn dl tpo d problma al hacrlo d las constants C y C. = H = [ cm] ; t = [ cm] ; L H = 0 [ cm] L 0 = ; [ kg / cm ] E = ; ν = 0, 3 Inrca d la sccón transvrsal: I = H 3 t P L Cargas lnals n drccón x: qx = y I Cargas parabólcas n drccón y: q y P = ± H t 3 x 6 H P + ν 3 + ν Dsplazamnto sgún x: v x ( x, y) = L x y + x y y + H y E I 6 4 P ν Dsplazamnto sgún y: ν ν ν v y ( x, y) = L y x y + L x x + H x L H E I Fgura 9. Problma modlo y solucón xacta. 38

12 MECOM 005 VIII Congrso Argntno d Mcánca Computaconal 5. Rsultados Las gráfcas sgunts mustran l comportamnto mcánco d la structura d rfrnca utlzada. En las fguras 0, y s v, rspctvamnt, la malla dformada, los vctors d dsplazamntos nodals, y un mapa con valors nodals d dsplazamnto sgún l j y. En la fgura 3 s mustra l mapa con los rrors xactos dl dsplazamnto sgún l j x, y n la fgura 4, lo msmo para l dsplazamnto sgún y. Fgura 0. Estructura dformada con los lmntos d la dscrtzacón. Fgura. Vctors d dsplazamntos totals n los nodos. Fgura. Mapa con valors d los dsplazamntos nodals n drccón y. 38

13 Sbastán Toro, Vctoro Sonzogn, Carlos Numan Fgura 3. Error d los dsplazamntos n drccón x (componnt z dl gráfco). Fgura 4. Error d los dsplazamntos n drccón y (componnt z dl gráfco). 5.3 Análss d los rsultados La fgura 5 mustra l comportamnto d los dstntos lmntos mplmntados a mdda qu s aumnta l númro d lmntos con qu s dscrtza la structura d rfrnca. En los lmntos compustos tpo y s utlzaron l factor d partcpacón obtndo mnmzando la norma L, al no podrs calculars un valor por mdo d la xtrapolacón d Rchardson, mntras qu n l lmnto tpo 3 s utlzó l obtndo d sa xtrapolacón. En l caso dl lmnto tpo 4, dbdo a la dfrnca valors obtndos dl factor d partcpacón, s pruba con los dos casos para obsrvar como varía los rrors. El valor dl factor d partcpacón utlzado s ndca ntr paréntss junto al tpo d lmnto. Nnguno d los mallados utlzado n la structura d rfrnca tnn formas rrgulars, sno qu son mallas d cuadrados y trángulos rctángulos sóscls acoplados d a dos n la hpotnusa. El j coordnado vrtcal, n la fgura 5, s la norma L dl rror, calculado úncamnt con los valors nodals, y l j horzontal s l númro total d nodos d la structura. S utlza sta rfrnca, dbdo a qu l númro d nodos s drctamnt proporconal al tamaño d la matrz global, por lo qu a mdda qu aumnta st númro más tmpo d procsador y mmora s va ncstar para rsolvr l problma. El j d nodos stá n scala artmétca, mntras qu l j d la norma L stá n scala logarítmca, por lo qu rsulta dlatada a mdda qu dsmnuy l valor dl rror. 383

14 MECOM 005 VIII Congrso Argntno d Mcánca Computaconal 0,0 0,00 NormaL 0,000 0,0000 l_ l_9 l_0 l_(,09) l_(,0768) l_3(,3333) l_4(,49) l_4(,073) 0, , Nº d nodos d la structura Fgura 5. Error global n norma L, para l jmplo dl voladzo, obtndos con los dfrnts lmntos. S s compara los rsultados obtndos d los lmntos smpls, s obsrva la lógca stuacón d qu al aumntar l grado d polnomo d ntrpolacón dl lmnto fnto, con la msma cantdad d nodos n la structura, s mjora la solucón. Los lmntos tpo y 9, qu tnn polnomos compltos dl msmo grado, sn mbargo para l lmnto 9 (cuadrlátro) los rrors son mnors (,6 a 4,9 vcs más chco n l rango d nodos d la gráfca). La mjora s hac más ostnsbl para l lmnto 0, d mayor grado qu los antrors, dond dsmnuy d 4, a 54, vcs. Utlzando l lmnto tpo 3 s v una gran mjoría d los rsultados s s compara con l otro lmnto con funcons d forma lnal, lmnto tpo 9, d dond provn l compusto, y usando la msma cantdad d nodos n la structura s dsmnuy l rror d 6,7 a 0,8 vcs n l rango d nodos d la gráfca. S obtn mjors rsultados, aún rspcto con l lmnto 0, d un grado mayor, pro la dfrnca s mucho mnor. Los lmntos compustos tpo y qu son mzcla d lmntos lnals y cuadrátcos con dfrnt confguracón, y por lo tanto dstnto factor d partcpacón, s obtn rsultados cas guals y d comportamnto smlar a mdda qu s rfna la malla. Los rsultados son lvmnt mjors al lmnto tpo 0, cuadrátco d dond provn, pro como l factor d partcpacón qu s utlzó s l corrspondnt a un mallado d 4 lmntos (9 nodos) s v qu a mdda qu aumnta l númro d nodos, y n corrspondnca, l númro d lmntos, la solucón mpora sobr la dl lmnto tpo 0. Esto concurda con la cuacón obtnda a partr d la xtrapolacón d Rchardson, dond l factor d partcpacón óptmo dpnd d h (tamaño d la malla). Entoncs l factor d 384

15 Sbastán Toro, Vctoro Sonzogn, Carlos Numan partcpacón utlzado srv para la zona crcana a los 9 nodos úncamnt, dond fu obtndo. El lmnto tpo 4 n qu s utlzó l factor d partcpacón obtndo a partr d la xtrapolacón d Rchardson no tn tan bun rsultado como n l qu s usó l factor d partcpacón mnmzando la norma L, n l cual las solucons obtndas son smlars con las dl lmnto tpo 3. Esto mustra la dfrnca qu pud habr n calcular un problma con l factor d partcpacón ncorrcto y la nflunca n l rsultado, y qu n algunos casos la xtrapolacón d Rchardson da valors dfrnts con la toría d lmntos compustos. En lmnto tpo 4 n comparacón con l lmnto tpo 0, d dond provn, s obtn una lv mjoría dl rsultado (,8 a,3 vcs), bastant mnor con rspcto con l 9 y 3. 6 CONCLUSIONES En st trabajo s dscrb la mplmntacón d lmntos compustos para lastcdad plana, los cuals stán basados n la técnca d malla compusta. S mustra un jmplo d aplcacón para un problma con solucón xacta conocda. Como conclusón fnal, s pud dcr qu los lmntos compustos n gnral mjoran l rsultado d la solucón. Qu con pocos lmntos s pud consgur bunos rsultados, aunqu n l caso d los cuadrátcos la mjoría s muy pquña. S podría a llgar a probar con lmntos con funcons d forma d xponnt mpars, como las cúbcas, aunqu sgún la cuacón d la xtrapolacón d Rchardson, s s ralza lmntos compustos con lmntos d dstnto grado, l factor d partcpacón dpndría n s caso dl tamaño d la malla y d la rlacón d las constants C y C dl dsarrollo n sr d Taylor. Otro problma, qu mustra la xtrapolacón d Rchardson, qu tndrían todos los tpos d lmntos compustos, s qu l factor d partcpacón varía aprcablmnt dond hay puntos sngulars, lo qu pud prjudcar su gnralzacón para l uso n cualqur tpo d problma. 7 REFERENCIAS []. V. E. Sonzogn, M. B. Brgallo y C. E. Numan, Uso d una malla compusta para stmar rrors d dscrtzacón y mjorar la solucón n lmntos fntos. Proc. MECOM'96: V Congrso Argntno d Mcánca Computaconal, 0-3 stmbr 996, Tucumán. Mcánca Computaconal, Vol XVI, pp 3-3, (996). []. M. B. Brgallo, C. E. Numan y V. E. Sonzogn, Compost msh concpt basd FEM rror stmaton and soluton mprovmnt'', Computr Mthods n Appld Mchancs n Engnrng, Vol. 88, pp , (000). [3]. M. Hnz, A. Zantta y V. Sonzogn, Una bblotca d casos d pruba para programas d lmntos fntos., Inform Intrno 98-3, G.I.M.N.I., Santa F Argntna, (998). [4]. Eugno Oñat, Cálculo d Estructuras por l Método d Elmntos Fntos. Análss státco lnal., C.I.M.N.E., Barclona España, (995). [5]. O.C. Znkwcz and R.L. Taylor, Th fnt lmnt mthod, McGraw Hll, Vol. I., (99). 385