TEORÍA DE ESTRUCTURAS

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1 TEORÍA DE ESTRUCTURAS TEMA 5: INTRODUCCIÓN A OS MÉTODOS MATRICIAES DE CÁCUO DE ESTRUCTURAS DRTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA - MNIA INGENIERITZA SAIA ESCU TÉCNICA SUERIOR DE INGENIERÍA DE BIBAO UNIVERSIDAD DE AÍS VASCO EUSA HERRIO UNIBERTSITAT UV/EHU Ingnartza Go Eskola Tknkoa

2 Ingnartza Go Eskola Tknkoa Consdracons gnrals El análss d cualqur structura, ntndndo como tal cualqur sstma rsstnt y dformabl qu prmt la transmsón d sfurzos producdos por un stado d carga, tn como obto prmaro la dtrmnacón d los sfurzos y movmntos qu aparcn n cualqur punto d la msma, pus una vz conocdos, aplcando las lys d la Rsstnca d Matrals, tambén s conocrán los stados d tnsón y dformacón a dtrmnacón d una cualqura d stas dos caractrístcas d la rspusta structural bn sfurzos o bn movmntos- llva al conocmnto d la otra, pusto qu ambas stán lgadas por una ly d comportamnto En todos los métodos d cálculo s sgu uno d los dos camnos Y así, rcordmos qu n l método d la flxbldad s calculaban n prmr lugar los sfurzos, n tanto qu mdant l método d la rgdz, s calculan n prmr lugar los movmntos En st capítulo s hará una xposcón d los fundamntos báscos dl método matrcal d la rgdz S xplcarán concptos d rgdz d la structura y d rgdz d los dstntos lmntos structurals, qu son las magntuds báscas n las qu s fundamnta l método y por lo tanto dbn conocrs ants d procdr al dsarrollo dl msmo Como da gnral, d los métodos matrcals cab dcr qu son d una gran smplcdad y qu no han aportado nnguna da nuva al análss d structuras Son una volucón d las das d autors d fnals dl sglo XIX y prmra mtad dl XX (Maxwll, Mohr, ) Su éxto radca n la adaptacón d unas das stablcdas al funconamnto dl computador TEORÍA DE ESTRUCTURAS: Tma 5: Método matrcal

3 Ingnartza Go Eskola Tknkoa Consdracons gnrals a aparcón d los computadors dgtals do un gran mpu al mplo dl método d la rgdz, ya qu su formulacón matrcal y su naturalza sstmátca lo hacn muy adcuado para su tratamnto mdant un algortmo d cálculo programado n un ordnador: lo qu s hac s trasladar a st últmo la part rutnara y laborosa dl cálculo structural D hcho, una structura mdanamnt complcada no pud rsolvrs con sncllz s no s mplando l método d la rgdz con formulacón matrcal, y tampoco l método d la rgdz pud aplcars con sncllz a casos rals s no s programa n un computador Aunqu s mucho más gnral, l método d la rgdz s aplca aquí al análss d structuras rtculars dscrtas formadas por lmntos qu son pzas prsmátcas, qu pudn trabaar a flxón, traccón y/o torsón, smultánamnt os fundamntos dl método qu s van a xponr pudn xtndrs sn dfcultad al studo d structuras formadas por lmntos d tpología dfrnt como son las structuras lamnars y, n gnral, las structuras contnuas trdmnsonals D hcho, st procso comnzó a ralzars a comnzos d la sgunda década dl S XX, matralzándos n l conocdo método d los lmntos fntos, dl qu pud afrmars qu s ha convrtdo, dsd l últmo cuarto dl sglo pasado n la más podrosa hrramnta d cálculo d la matmátca aplcada Concrtamnt, l MEF surgó como una xtnsón o dsarrollo natural d los métodos matrcals para l cálculo d structuras rtculars, qu s vnían utlzando dsd unos años atrás or lo tanto los tpos d structuras cuyo análss s aborda n st trabao por l método d la rgdz son: closías planas o spacals, pórtcos planos o spacals y mparrllados planos as vgas contnuas pudn tratars como un caso partcular d los pórtcos planos S mplan las suposcons habtuals d matral lástco-lnal, y pquñas dformacons TEORÍA DE ESTRUCTURAS: Tma 5: Método matrcal

4 Ingnartza Go Eskola Tknkoa Dscrtzacón, lmntos y nudos Al utlzar l método matrcal d la rgdz para analzar una structura, ésta s consdra como un conunto d lmntos nsamblados, qu son capacs d rproducr l comportamnto global d dcha structura y cumpln las condcons gnrals d qulbro y compatbldad qu más adlant s analzarán dtalladamnt NUDOS os puntos n los qu los dvrsos lmntos s conctan ntr sí o con los apoyos a structura stá formada por un conunto d lmntos y nudos qu la rproducn físcamnt El concpto d nudo s artfcal porqu, n gnral, su comportamnto no srá dfrnt al d cualqur otro punto d la structura En alguna ocasón s stuará un nudo n un punto ntrmdo d una barra qu, d sta forma, pasará a dsdoblars n dos lmntos alnados B A C D Nudos: A, B, C, D Elmntos:,, Con st plantamnto s pasa dl concpto d solucón contnua d la structura al d solucón dscrta Solucón contnua (movmntos y sfurzos n todos los puntos) Solucón dscrta (movmntos y sfurzos n los nudos) Una vz conocda la solucón dscrta d la structura, utlzando las lys d Rsstnca d Matrals (o d la Toría Elmntal d Estructuras), s posbl conocr los movmntos y los sfurzos n cualqur punto ntrmdo d un lmnto, por lo qu, d forma ndrcta, s dspon d un campo d solucón contnuo TEORÍA DE ESTRUCTURAS: Tma 5: Método matrcal

5 Ingnartza Go Eskola Tknkoa Grados d lbrtad Grado d lbrtad d un punto posbldad qu tn s punto d dsplazars, o bn las cantdads qu s prcso xplctar n un punto para qu su poscón qud dfnda rspcto d una poscón antror n un movmnto cualqura, sgún un crto sstma d rfrnca Grados d lbrtad d una structura conunto d dsplazamntos (dsplazamntos lnals y/o gros), conscunca d las dformacons d sus lmntos, qu dfnn unívocamnt su confguracón dformada EJEMO: 5 8 {} = {,,,,, } vctor d dsplazamntos 9 7 traslacons gros = dsplazamnto sgún l grado d lbrtad En st caso l númro d grados d lbrtad s Cargas n los nudos {F}= {F, F, F, F, F } Otra manra F = Furza o momnto sgún l grado d lbrtad {} = {,,,,, 5 } vctor d dsplazamntos traslacons gros En st caso l númro d grados d lbrtad s 5 TEORÍA DE ESTRUCTURAS: Tma 5: Método matrcal

6 Ingnartza Go Eskola Tknkoa Concpto d rgdz d una structura Tórcamnt s obtn la cuacón fundamntal dl método: Dond {F} = Vctor d furzas xtrors qu actúan sobr la structura {} = Vctor d dsplazamntos d los nudos d la structura [] = Matrz d rgdz d la structura {F}=[]{} Esta cuacón matrcal rprsnta las n cuacons lnals d qulbro d la structura n la drccón d sus n grados d lbrtad, y s la cuacón fundamntal dl método d la rgdz Conocndo los valors d las furzas xtrors qu actúan sobr l sstma, s obtnn sus dsplazamntos por solucón dl sstma d cuacons antror or sr las ncógntas dl problma, st método s nmarca n l grupo d los dnomnados métodos d los dsplazamntos os lmntos d la matrz d rgdz son los cofcnts d rgdz d la structura {F} nx = [] nxn {} nx n númro d grado d lbrtad S rprsntan las n cuacons d qulbro d la structura TEORÍA DE ESTRUCTURAS: Tma 5: Método matrcal

7 Ingnartza Go Eskola Tknkoa Concpto d rgdz d una structura Sgnfcado físco d la matrz d rgdz S mpon n la structura l sgunt stado d dformacón: al grado d lbrtad s l mpon una dformacón d valor undad mntras qu los rstants grados d lbrtad s mantnn fos = (=) = () {} = {,,,,,,,,, } = grado d lbrtad n una drccón Furzas qu s prcso aplcar sgún los dstntos grados d lbrtad para qu st stado d dformacón sa posbl: F Furza ncsara n la drccón F Furza ncsara n la drccón F Furza ncsara n la drccón F Furza ncsara n la drccón = Furza qu hay qu aplcar sgún l grado d lbrtad al ntroducr un dsplazamnto undad sgún l grado d lbrtad, mantnndo fos todos los dmás grados d lbrtad TEORÍA DE ESTRUCTURAS: Tma 5: Método matrcal

8 Ingnartza Go Eskola Tknkoa Concpto d rgdz d una structura Emplo: Supongamos qu n la structura d la fgura s da un dsplazamnto untaro n la drccón dl grado d lbrtad y nulo n los dmás Qu furzas hay qu aplcar para qu la structura s dform d tal manra? k 5 k k 8 k 7 F F F F F 5 F F F F F F F 5 7, ,,, 5 7 8,, ,,, k k 9 k, as furzas a aplcar son los cofcnts d la º columna d la matrz d rgdz k k, k, TEORÍA DE ESTRUCTURAS: Tma 5: Método matrcal

9 Ingnartza Go Eskola Tknkoa Concpto d rgdz d una structura Cálculo d la matrz d rgdz a matrz d rgdz d una structura o d un lmnto structural pud dtrmnars mponndo sucsvos valors untaros a todos y cada uno d los grados d lbrtad d la structura y calculando las furzas qu s ncsaro aplcar dsd l xtror, sobr cada uno d llos, para producr la dformacón dsada Cada vz qu s mpon un dsplazamnto untaro sgún un dtrmnado grado d lbrtad, l cálculo d los corrspondnts cofcnts s n gnral un problma hprstátco, n l qu l dato conocdo s un dsplazamnto mpusto, d valor undad, y n l qu dbn calculars las raccons sobr todos los grados d lbrtad El cálculo la matrz d rgdz mdant st procdmnto y para toda la structura, rsulta muy complcado, pus hay qu calcular tantas vcs la structura como grados d lbrtad tnga, y cada cálculo s un problma hprstátco Est método por lo tanto no pud aplcars d forma drcta a toda la structura a solucón para formar la matrz d forma smpl consst n calcularla ndpndntmnt para cada lmnto, con obto d obtnr la xprsón d la matrz d rgdz dl lmnto aslado A contnuacón s fctúa un procso d unón o nsambla d las matrcs d los dstntos lmntos, a fn d obtnr la matrz d rgdz d toda la structura TEORÍA DE ESTRUCTURAS: Tma 5: Método matrcal

10 Ingnartza Go Eskola Tknkoa 5 Transformacón d coordnadas 5 Coordnadas locals y gnrals Sstma d coordnadas gnral (X G, Y G, Z G ) Y G S xprsarán dfrnts magntuds d la structura: - oscón d los nudos - Drccón d las cargas X G - Forma d los lmntos - Dsplazamntos - Z G Grados d lbrtad d los nudos d un pórtco spacal 8 TEORÍA DE ESTRUCTURAS: Grados d lbrtad d los nudos d una structura plana Tma 5: Método matrcal

11 Ingnartza Go Eskola Tknkoa 5 Transformacón d coordnadas Sstma d coordnadas local (X, Y, Z ) Y G Corrspond a cada lmnto y l X concd con l d la pza Mdant st sstma s logra ndpndnca rspcto d la orntacón dl lmnto Es posbl calcular la Xmatrz d rgdz d cada tpo d lmnto sn tnr n cunta su poscón rspcto G d la structura Z G 8 8 X 7 X X 8 Sstma d coordnadas nodal Ncsaro para xprsar condcons d contorno A y B x El dsplazamnto n la drccón y s nulo TEORÍA DE ESTRUCTURAS: Tma 5: Método matrcal

12 TEORÍA DE ESTRUCTURAS: Ingnartza Go Eskola Tknkoa Tma 5: Método matrcal 5 Transformacón d coordnadas a aplcacón dl método d la rgdz rqur plantar l qulbro d furzas y la compatbldad d dsplazamntos n los nudos d la structura usto qu las matrcs d rgdz d los lmntos stán rfrdas al sstma local, s prcso xprsarlas n un sstma común, qu s l sstma global d coordnadas ara llo srá prcso ralzar la transformacón d matrcs d un sstma d coordnadas a otro Cambo d coordnadas d un vctor n l plano 5 Transformacón d coordnadas O V X G Y G X Y T y x V G G T G y x V Un vctor cualqura {V} tndrá componnts dstntas sgún a qué sstma s rfra, componnts qu s dnomnarán como: Sstma local Sstma global Qurmos hallar la matrz d transformacón d coordnadas d un sstma a otro: G G Y X d c b a Y X S tomamos como vctor {V} l X G c a d c b a sn cos S tomamos como vctor {V} l Y G d b d c b a cos sn º columna º columna Entoncs: G G Y X Y X cos sn sn cos Matrz [T ], ORTONORMA ([T ] - =[T ] T )

13 Ingnartza Go Eskola Tknkoa 5 Transformacón d coordnadas S s tn n cunta l gro ( z ) n l plano: X cos Y sn sn cos X G YG G Entoncs para transformar cualqur vctor: Cambo d coordnadas d una matrz D globals a locals: V T V G D locals a globals: T V T V G El obtvo s hallar una xprsón qu rlacon la matrz d rgdz n coordnadas locals con la msma matrz n coordnadas gnrals Transformacón d los vctors d furza y dsplazamnto d cada nudo d un lmnto Y G Dsplazamntos X Y y x y x X G OCA GOBA T T Furzas X Y G Y F y x y F x X G TEORÍA DE ESTRUCTURAS: OCA GOBA T F T F Tma 5: Método matrcal

14 Ingnartza Go Eskola Tknkoa 5 Transformacón d coordnadas Transformacón d los vctors d furza y dsplazamnto dl lmnto y Dsplazamntos Y y x X x Furzas T T T T T F F T F S ntroducn stas xprsons n las cuacons d qulbro dl lmnto: T T T F T F T T T T G x x /,,, T T T G x x TEORÍA DE ESTRUCTURAS: Tma 5: Método matrcal

15 Ingnartza Go Eskola Tknkoa Matrcs d rgdz d lmntos structurals Tal y como s ndcó al ntroducr l método d la rgdz, l construr la matrz d rgdz para la totaldad d la structura d forma drcta no s sncllo or llo s ralza l análss lmnto a lmnto, construyndo la matrz d rgdz d cada uno d llos n su sstma d s local, para lugo proyctarla sobr l sstma d s global Barra artculada plana Dsplazamntos y Y x No hay gro como grado d lbrtad Y y x X y Y Furzas x No hay momnto X y x X x y x y x y x y TEORÍA DE ESTRUCTURAS: Tma 5: Método matrcal

16 Ingnartza Go Eskola Tknkoa Matrcs d rgdz d lmntos structurals Cálculo d los cofcnts d la matrz Y k k = X F H = Y X (,,,) En pquñas dformacons l nudo s pud movr rspcto al nudo y no s gnran sfurzos TEORÍA DE ESTRUCTURAS: Tma 5: Método matrcal

17 TEORÍA DE ESTRUCTURAS: Ingnartza Go Eskola Tknkoa Tma 5: Método matrcal Matrcs d rgdz d lmntos structurals Ecuacón d qulbro dl lmnto ; ; y x y x y x y x,,,) (

18 Ingnartza Go Eskola Tknkoa Matrcs d rgdz d lmntos structurals Vga flxón n l plano Dsplazamntos Y y y X y Y x M x y Furzas x X M T x y x y Cálculo d los cofcnts d la matrz Y x 5 T M M M M 5 x y x y M 5 M k k = X F H 5 TEORÍA DE ESTRUCTURAS: Tma 5: Método matrcal

19 Ingnartza Go Eskola Tknkoa Matrcs d rgdz d lmntos structurals Y M 5 M os sfurzos axals son nulos para s dsplazamnto or lo tanto: = = = k k k k k k 5 Y = M V + M V X X ara calcular los dmás sfurzos utlzamos l método d la dformacón angular: M M V M M V V TEORÍA DE ESTRUCTURAS: Tma 5: Método matrcal 5 V

20 Ingnartza Go Eskola Tknkoa Matrcs d rgdz d lmntos structurals Y k M 5 M os sfurzos axals son nulos para s dsplazamnto or lo tanto: = = k k k k k 5 Y M = X ara calcular los dmás sfurzos utlzamos l método d la dformacón angular: M M = M M M X V V V V V 5 V Análogamnt suponndo =, 5 = y = s obtnn la º, 5º y º columnas d la matrz TEORÍA DE ESTRUCTURAS: Tma 5: Método matrcal

21 TEORÍA DE ESTRUCTURAS: Ingnartza Go Eskola Tknkoa Tma 5: Método matrcal Matrcs d rgdz d lmntos structurals Ecuacón d qulbro dl lmnto y x y x z z z z z z z z z z z z z z z z y x y x M M Esta cuacón d qulbro s pud ponr sparada para las magntuds d cada nudo :

22 Ingnartza Go Eskola Tknkoa Matrcs d rgdz d lmntos structurals Mulls d sfurzo axal os mulls d sfurzo axal s comportan xactamnt gual qu los lmntos d closía bartculados: sólo pudn absorbr furza axal y sólo la dformacón axal s sgnfcatva El comportamnto dl mull vn caractrzado por su rgdz, qu corrspond al factor / d las barras bartculadas y X y X Y Y y x y x x x x y x y x y x y TEORÍA DE ESTRUCTURAS: Tma 5: Método matrcal

23 Ingnartza Go Eskola Tknkoa 7 Ncsdad d la matrz d rgdz global Mdant un procso d dscrtzacón, la structura ha qudado compusta por una sr d lmntos cuya da s absolutamnt artfcal, pus una msma structura podríamos vsualzarla como formada por dfrnts conuntos d lmntos a) b) c) Vntaa d la dscrtzacón a): las matrcs d rgdz d los trs lmntos son guals D cualqur forma, la structura dscrtzada n la forma (a) quda dfnda cuando s spcfcan: as caractrístcas d los matrals (módulos d lastcdad, osson, tc) as sccons d las barras (áras, momntos d nrca) as coordnadas d los nudos as condcons d apoyo [ ] conocdo TEORÍA DE ESTRUCTURAS: Tma 5: Método matrcal

24 Ingnartza Go Eskola Tknkoa 7 Ncsdad d la matrz d rgdz global A nvl lmntal tnmos la sgunt cuacón: furzas dl lmnto (DESCONOCIDO) {} = [] {} matrz d rgdz dl lmnto n coordnadas locals (CONOCIDO) dsplazamntos dl lmnto (DESCONOCIDO) {} = {} EXTERNO + {} INTERNO Furzas transmtdas por los dmás lmntos al nudo (DESCONOCIDO) Furzas xtrnas aplcadas drctamnt n l nudo (CONOCIDO) NO ES OSIBE RESOVER E SISTEMA EEMENTO A EEMENTO Consdrando la structura n su conunto: or lo tanto: Furzas xtrnas aplcadas drctamnt n l nudo y raccons n los apoyos CONOCIDO {} EXTERNO = [] Estruc {} Estruc {} = {} EXTERNO Matrz d rgdz global d la structura (CONOCIDO) ES OSIBE RESOVER E SISTEMA GOBAMENTE TEORÍA DE ESTRUCTURAS: as furzas ntrnas s anulan ntr sí al sumar las furzas d todos los lmntos d la structura Dsplazamntos d los nudos (DESCONOCIDO) - S pasa la matrz d cada lmnto a coordnadas globals - S suman (nsamblan) las matrcs d todos los lmntos d la structura Tma 5: Método matrcal

25 Ingnartza Go Eskola Tknkoa 8 Ensambla d la matrz d rgdz d la structura unto d partda O Y G X G M F y F x M F y X F x Dond: Vctor d dsplazamntos dl nudo d la structura Vctor d furzas dl nudo d la structura TEORÍA DE ESTRUCTURAS: Tma 5: Método matrcal

26 Ingnartza Go Eskola Tknkoa 8 Ensambla d la matrz d rgdz d la structura Condcons d compatbldad d dformacons Nudo Barra o lmnto = prmr nudo d la barra =sgundo nudo d la barra Nudo Nudo ( = = ) ( = = ) Nudo Ecuacons d qulbro d nudos Nudo A contnuacón s xplca con mayor dtall la cuacón d qulbro dl nudo Nudo Nudo Nudo TEORÍA DE ESTRUCTURAS: Tma 5: Método matrcal

27 Ingnartza Go Eskola Tknkoa 8 Ensambla d la matrz d rgdz d la structura Furzas xtrnas aplcadas n l nudo Furzas dl nudo d la barra Furzas dl nudo d la barra Nudo M F y BARRA F x M F y F x M F y NUDO F y M M F x F y F x F BARRA F x M F y EQUIIBRIO: - F x - F x = - F y - F y = - M - M = F F x = F x + F x = F y + F y = M + M {F } = {F } + {F } TEORÍA DE ESTRUCTURAS: Tma 5: Método matrcal

28 Ingnartza Go Eskola Tknkoa 8 Ensambla d la matrz d rgdz d la structura Introducndo las condcons d compatbldad n la cuacons d qulbro F F F F [] = + + = TEORÍA DE ESTRUCTURAS: Tma 5: Método matrcal

29 Ingnartza Go Eskola Tknkoa 8 Ensambla d la matrz d rgdz d la structura 8 Caractrístcas d la matrz d rgdz Cuadrada: Smétrca: [] nxn n=grados d lbrtad [] = [] T Dsprsa: Tn muchos térmnos nulos Esto s db a qu cada lmnto solamnt aporta rgdz a los grados d lbrtad d aqullos nudos a los qu s un; por lo tanto, s un nudo p no stá rlaconado drctamnt con otro nudo q, n los térmnos d acopl ntr sus grados lbrtad no s añad nnguna rgdz Estructura d banda: Térmnos no nulos alrddor d la dagonal S la numracón d los nudos s adcuada los térmnos no nulos d la matrz s agrupan alrddor d la dagonal Exstn algortmos qu son capacs d rnumrar la numracón ncal y obtnr otra qu gnr un ancho d banda mnor S no s dspon d un algortmo d rnumracón, s convnnt numrar los nudos d tal forma qu cualqur barra conct a dos nudos cuya numracón sa lo más próxma posbl Dfnda postva: a nrgía d dformacón lástca y l trabao ralzado por las furzas xtrnas s postvo {} T []{}> {} U=/ {} T []{}=/ {} T {F} TEORÍA DE ESTRUCTURAS: Tma 5: Método matrcal

30 Ingnartza Go Eskola Tknkoa 9 Condcons d lgadura Sstma d cuacons qu s ha obtndo: {F} = [] {} Vctor d grados d lbrtad d los nudos Furzas xtrnas + Raccons n los apoyos Matrz d rgdz d la matrz obtnda mdant l nsambla Mdant la rsolucón dl sstma hallamos {} y lugo las dformacons y tnsons [] s sngular, = No s posbl obtnr su nvrsa y por tanto no s posbl rsolvr l sstma tal y como s planta Álgbra dmustra qu para qu un sstma d n cuacons lnals con n ncógntas tnga solucón únca, s ncsaro y sufcnt qu las n cuacons san lnalmnt ndpndnts En st caso, las furzas F dbn satsfacr las condcons d qulbro státco En D cuacons or lo qu las cuacons plantadas no son lnalmnt ndpndnts El sgnfcado físco d st hcho s muy claro: s ha stablcdo l sstma d cuacons sn tnr n cunta para nada las condcons d lgadura d la structura, condcons qu mpdn los posbls movmntos d sóldo rígdo dl sstma complto a rsolucón dl sstma d cuacons xg la prva ntroduccón d las condcons d lgadura o condcons d contorno, cuyo númro mínmo ha d sr tal qu s lmn toda posbldad d movmnto d la structura como un sóldo rígdo (D=) TEORÍA DE ESTRUCTURAS: Tma 5: Método matrcal

31 Ingnartza Go Eskola Tknkoa 9 Condcons d lgadura 9 gaduras d dsplazamnto nulo Dfncons B 5 8 C 9 7 Grados d lbrtad lbrs y dsconocdos Grados d lbrtad fos y conocdos Furzas aplcadas n los grados d lbrtad lbrs y conocdas Furzas n los grados d lbrtad fos RCCIONES En gnral no nulas y dsconocdas A D Ecuacón d qulbro (con la rordnacón d la matrz d rgdz) F F FF F F F F conocdo dsconocdo Obtncón d los dsplazamntos lbrs [ ] - Obtncón d las raccons n los apoyos TEORÍA DE ESTRUCTURAS: Tma 5: Método matrcal

32 Ingnartza Go Eskola Tknkoa 9 Condcons d lgadura Emplo Una structura d grados d lbrtad n la qu = 5 = son conocdos y las furzas corrspondnts F y F 5 dsconocdas 5 5 Rordnamnto d la matrz d rgdz F F 5 F 5 F F FF TEORÍA DE ESTRUCTURAS: Tma 5: Método matrcal F

33 Ingnartza Go Eskola Tknkoa 9 Condcons d lgadura 9 gaduras d dsplazamnto conocdo Dfncons Ecuacón d qulbro (con la rordnacón d la matrz d rgdz) Elmnacón d las cuacons corrspondnts a los grados d lbrtad fos Obtncón d los dsplazamntos lbrs 5 Obtncón d las raccons n los apoyos TEORÍA DE ESTRUCTURAS: Tma 5: Método matrcal

34 Ingnartza Go Eskola Tknkoa 9 Condcons d lgadura Forma práctca d ntroducr las condcons d lgadura Emplo Un sstma d grados d lbrtad n l qu: C F F F Ecuacons d qulbro: ; F,, cuacón: rocdmnto: F F, a) Multplcar por un númro muy grand M= (rgdz fctca) l térmno d la dagonal corrspondnt al º grado d lbrtad (k ) b) Susttur F por Δ C M c) S rsulv l sstma d cuacons rsultando qu ~ c Rsulta:, M M C, C C M TEORÍA DE ESTRUCTURAS: Tma 5: Método matrcal

35 Ingnartza Go Eskola Tknkoa 9 Condcons d lgadura 9 Apoyos lástcos Otra forma d apoyo d una structura consst n qu un dtrmnado punto no tn sus dsplazamntos mpustos, como n los casos antrors, n tampoco s totalmnt lbr d movrs, sno qu stá undo a la sustntacón a través d uno o más mulls, d constants conocdas En raldad stos apoyos no dbn consdras condcons d lgadura d la structura n sntdo strcto, pus los mulls dl apoyo son unos lmntos structurals más, y como tals dbn analzars or lo tanto, los pasos para tratar un apoyo lástco son: - Idntfcar los grados d lbrtad dl nudo dond stá l apoyo lástco - Calcular la matrz d rgdz dl mull d apoyo - Ensamblar dcha matrz n la matrz d la structura Est tpo d apoyos no db confundrs con las condcons d contorno d dsplazamnto mpusto En stas últmas, los dsplazamntos dl nudo son d magntud conocda, y no stán controlados por las cargas actuants sobr la structura, mntras qu n los apoyos lástcos la dformacón dl apoyo stá controlada por las furzas actuants y por la rgdz d la structura, ntr la qu s ncluy la dl propo apoyo lástco como una rgdz más TEORÍA DE ESTRUCTURAS: Tma 5: Método matrcal

36 Ingnartza Go Eskola Tknkoa Vctor d cargas Furzas xtrors sobr los nudos as furzas xtrors aplcadas sobr los nudos pasan drctamnt al vctor d furzas nodals {F} Cada furza aplcada n un nudo s añad drctamnt al térmno F corrspondnt al grado d lbrtad sobr l qu actúa Furzas xtrors sobr los lmntos Estas furzas qu no stán aplcadas n los nudos s sustturán por unas furzas nodals quvalnts Fas Fas S mpotran los nudos d la structura V =/ V =/ V V Sólo trabaa la vga horzontal {} = M =/8 M =/8 M M S calculan las furzas d mpotramnto prfcto {F } En la fas, a las furzas xtrors aplcadas drctamnt n los nudos s l rstan las furzas d mpotramnto prfcto d la fas {} TEORÍA DE ESTRUCTURAS: Tma 5: Método matrcal

37 Ingnartza Go Eskola Tknkoa Vctor d cargas CASO RÁCTICO F q F {} F M = Fas Fas a) q F F F M + b) {F } Furzas d mpotramnto prfcto para cada furza { }= c) Furzas xtrors {F N } y Furzas nodals quvalnts -{F } { } {F N } - {F } = []{} TEORÍA DE ESTRUCTURAS: Tma 5: Método matrcal

38 Ingnartza Go Eskola Tknkoa Vctor d cargas CASO MAS GENERA q q { } Y G X G { } {F } = [T ] { } {F } = [T ] { } - {F } q {F } Y G - {F } {F } X G TEORÍA DE ESTRUCTURAS: Tma 5: Método matrcal

39 Ingnartza Go Eskola Tknkoa Vctor d cargas Cargas térmcas Es prcso calcular la furzas nodals quvalnts dbdas a la varacón d tmpratura Furzas d la fas { T } = [ ] (-{ T }) = - [ ] { T } Matrz d rgdz dl lmnto n l sstma local Dformacons n l lmnto n l caso d dlatacón lbr Est vctor s nsambla con l sgno cambado con las dmás furzas nodals quvalnts {F N } Su tratamnto s como l d las furzas d la fas {F N } {F } = [] {} Dbdo a furzas aplcadas n mdo d la barra o por varacón d tmpratura d la barra TEORÍA DE ESTRUCTURAS: Tma 5: Método matrcal

40 TEORÍA DE ESTRUCTURAS: Tma 5: Método matrcal Ingnartza Go Eskola Tknkoa Vctor d cargas EJEMO: Y X,E,A, T Dlatacón lbr: T = T Cualqur otra dstrbucón dl alargamnto sría válda T T T A E T A E T T T T T T T T

41 Ingnartza Go Eskola Tknkoa Vctor d cargas Errors n la forma d los lmntos Supongamos un lmnto structural cuya forma o tamaño natural no concd con la forma o tamaño dl spaco n l qu s va a montar n la structura S st lmnto s monta n su lugar prvsto, forzándolo a adaptars al spaco d monta, s producn sfurzos y dformacons n la structura, ya qu l lmnto trata d volvr a su stuacón natural, arrastrando a la structura Al star los rrors d forma localzados n los lmntos d la structura, su fcto s trata gual qu todas las dmás accons actuants sobr llos: s dbn dtrmnar las furzas d la fas d mpotramnto prfcto producdas por los rrors d forma Furzas d la fas { E } = - [ ] { E } / E En rsumn: {F N } {F } = [] {} + Δ Dbdo a: Furzas aplcadas n mdo d la barra Varacón d tmpratura d la barra Error d longtud d la barra TEORÍA DE ESTRUCTURAS: Tma 5: Método matrcal

42 Ingnartza Go Eskola Tknkoa Esfurzos n los lmntos Una vz rsulto l sstma d cuacons n coordnadas globals s obtnn los dsplazamntos d cada nudo y las raccons n los apoyos Entoncs s posbl obtnr los sfurzos n cada lmnto n l sstma d coordnadas locals, ya qu s conocn los dsplazamntos d sus nudos, su matrz d rgdz y, n caso d xstr, sus furzas d la fas Esfurzos n l lmnto o q 5 Dsplazamntos d los nudos dl lmnto M Matrz d rgdz dl lmnto Y G M Furzas fas Dbdo a: Furzas aplcadas n mdo d la barra Varacón d tmpratura d la barra Error d longtud d la barra X G TEORÍA DE ESTRUCTURAS: Tma 5: Método matrcal

43 TEORÍA DE ESTRUCTURAS TEMA 5: INTRODUCCIÓN A OS MÉTODOS MATRICIAES DE CÁCUO DE ESTRUCTURAS DRTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA - MNIA INGENIERITZA SAIA ESCU TÉCNICA SUERIOR DE INGENIERÍA DE BIBAO UNIVERSIDAD DE AÍS VASCO EUSA HERRIO UNIBERTSITAT UV/EHU Ingnartza Go Eskola Tknkoa