Sistema discreto de promedio móvil como filtro interpolador

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1 Sstma dscrto d promdo móvl como fltro ntrpolador A. Sóñora Asprant a Invstgador. Ing. n Tlcomuncacons y Elctrónca. Cntro d Bofísca Médca. Av. Patrco Lumumba s/n, Santago d Cuba. Emal: alandr@cbm.uo.du.cu. RESUMEN: En st trabajo s prsnta un ntrpolador a bas d dspostvos lógcos programabls qu mpla un sstma d promdo móvl como fltro. Est sstma s un fltro dgtal d rspusta a mpulso fnta (FIR) con cofcnts untaros. El sstma prmramnt s smuló n Matlab y lugo s programó n un FPGA (arrglo d compurtas programabls por campo) mplando las hrramntas ofrtadas por l fabrcant dl msmo. El sstma dsñado prmt ntrpolar sñals cuyo ancho d banda s una fraccón pquña d la frcunca d mustro, logrando razons d ntrpolacón tanto ntras como raconals. El bajo consumo d rcursos dl ntrpolador n un FPGA prmt mplmntar otras funcons n l msmo dspostvo. ABSTRACT: In ths papr thr s an ntrpolator for programmabl logc dvcs usng a movng avrag fltr. Ths fltr has a fnt mpuls rspons wth unty coffcnts. Th ntrpolator was smulatd usng Matlab and dsgnd, mplmntd and downloadd n a fld programmabl gat array (FPGA) usng Xln Foundaton Srs.5. Ths systm allows to ntrpolat narrow band sgnals wth ntgr and non-ntgr ntrpolaton rats. Also t maks possbl to mplmnt othr functons n th sam FPGA du to ts hgh ffcnt mplmntaton. Kywords: ntrpolaton, movng avrag, FPGA, dgtal fltr. Palabras clav: ntrpolador, promdo móvl, FPGA, fltro dgtal. Bongnría y Físca Médca Cubana 4

2 . INTRODUCCION En los qupos d rsonanca magnétca d mágns Gromag construdos n l Cntro d Bofísca Médca s mpla una sñal portadora d hasta 4 MHz gnrada a una razón d MHz. La moduladora s gnra dgtalmnt n una computadora prsonal con una frcunca d mustro qu s ncuntra n 5 khz y 5. Mhz. El modulador db mzclar portadora y moduladora para obtnr la sñal d ctacón. Est procso rqur qu ambas scuncas tngan gual razón d mustro. La frcunca d mustro d la portadora no s pud bajar hasta la d la moduladora, porqu staría ntoncs ncumplndo con l Crtro d Nyqust. Sn mbargo ralzando una ntrpolacón s rmustrar la moduladora hasta MHz sn nnguna mplcacón d st tpo. ( ) En st trabajo s prsnta la mplmntacón d un sstma fcnt para ntrpolar una sñal dgtal d banda strcha mplando un sstma d promdo móvl como fltro. El ntrpolador s dsña para su mplo n un modulador dgtal basado n dspostvos lógcos programabls fundamntalmnt, aunqu pud sr mplado n otros sstmas dgtals. Para llvar a cabo l dsño prmramnt s scogó un squma, qu fu smulado mplando Matlab. Postrormnt s ralzó l dsño con dspostvos lógcos programabls y s dscargó n una tarjta qu contn un dspostvo FPGA (Fld Programmabl Gat Array), un convrsor dgtal analógco y un fltro d rconstruccón.. OBJETIVO Dsñar un sstma fcnt para ntrpolar una sñal dgtal d banda strcha mplando un sstma d promdo móvl como fltro. El ntrpolador s dsña para su mplo n un modulador dgtal basado n dspostvos lógcos programabls fundamntalmnt, aunqu pud sr mplado n otros sstmas dgtals. 3. MATERIALES Y MéTODOS 3. Fundamntos tórcos La da d la ntrpolacón s producr nuvas mustras ntr las stnts n una scunca. Est procdmnto s smlar a la convrsón dgtal-analógca. ( ) La Fgura mustra un sstma para ralzar la ntrpolacón. Fgura. Dagrama n bloqus d un ntrpolador d razón L El pansor aumnta la frcunca d mustro nsrtando L- cros ntr dos mustras adyacnts d la sñal d ntrada. Su salda stá dada por: [ n] [ k] δ[ n kl] = + = k = [ n / L] ; n = ±, ± L, ± L, K ; n ±, ± L, ± L, K () Bongnría y Físca Médca Cubana 5

3 La opracón dl pansor pud sr fáclmnt ntndda n l domno d la frcunca. La transformada d Fourr (TF) d [n] pud sr prsada como: X jω jωlk ( ) [ k] X( j ω = L ) = k= () La TF d la salda dl pansor s una vrsón dl spctro d [n] scalada n frcunca. La frcunca s susttuda por L tal qu s normalzada sgún = T, dond T s l príodo d mustro y s la frcunca analógca (Fgura ). El nsrtar L- cros n [n], provoca qu l spctro d la nuva scunca [n] tnga rptcons no dsadas n múltplos ntros d /L rad. Un fltro cuya mplmntacón s vntajosa, ya qu sus cofcnts son guals a la undad, s l fltro pn (comb fltr). Por llo no s ncsaro l uso d multplcadors, consumndo pocos rcursos lógcos y tmpo d procsamnto. Est fltro s un sstma d promdo móvl, su rspusta a mpulso s d duracón fnta (FIR) y tn forma d vntana 4 rctangular untara. (, ) Un sstma d promdo móvl s caractrza por tnr una banda d paso rlatvamnt plana n un rango lmtado, una pndnt suav n la banda d transcón y clnt atnuacón n frcuncas múltplos ntros d f /L. La prncpal dsvntaja s qu la sñal db sr sobrmustrada, n más d 8 vcs. 5 () La TF d su rspusta a mpulso s una funcón d tpo sn()/. Est spctro tn L- mínmos sparados n /L rad dond L s la duracón d su rspusta a mpulso. () Las corrspondncas ntr las caractrístcas j d ampltud vs frcunca d X ( ) y d un sstma d promdo móvl prmtn ralzar la ntrpolacón d sñals d banda strcha mplando pocos rcursos dl sstma. La salda dl fltro d promdo móvl pud sr dscrta por: L [ n] = [ n k] ' (3) L k= Fgura. Intrpolacón n l domno d la frcunca (L=). El fltro pasabajos s un sstma d tmpo dscrto con una gananca d L vcs y frcunca d cort d /L radans, qu lmna las rptcons no dsadas n l spctro d [n]. Aunqu stn muchas formas d mplmntar l fltro ntrpolador, todas dbn ralzar 3 opracons d multplcacón-acumulacón. ( ) Como la gananca dl fltro db sr L, la cuacón antror quda d la sgunt forma: L [ n] = L' [ n] = [ n k] k= (4) En sta prsón s obsrva qu la salda ntrpolada s pud obtnr d forma snclla ralzando sumas y rtardos n tmpo solamnt. Bongnría y Físca Médca Cubana 6

4 La funcón dl pansor s pud ralzar con un rgstro n l qu s scrb una mustra d [n] y L- cros con un rloj d frcunca f gual a la d salda dl sstma. Cada mustra [n], s la suma d L mustras d [n] (vr cuacón 4) d las cuals solo una s dstnta d cro. Tnndo n cunta sto, basta con rptr L vcs cada mustra d [n] a la frcunca f d salda para obtnr la sñal ntrpolada. Las opracons antrors s pudn ralzar mplando un sstma smlar al d la Fgura 3. Est sstma stá formado por dos rgstros. En l prmro s almacna cada mustra d la sñal a rtmo f y n l sgundo a rtmo f. S f > f ntoncs la salda dl sgundo rgstro s la sñal ntrpolada con una frcunca d mustro f. 4. RESULTADOS El sstma d la Fgura 3 prmt ntrpolar sñals cuyo ancho d banda s una fraccón muy pquña d la razón d mustro. Las razons d ntrpolacón pudn sr ntras o raconals. En las fguras 4 y 5 s mustran los rsultados d la smulacón n MatLab mplando l squma propusto, obsrvándos la alta purza spctral d la sñal ntrpolada. - Frcunca d mustro: 5. MHz Fgura 3. Crcuto para la ntrpolacón con un sstma d promdo móvl. Como sñal d banda strcha s mpló un pulso gaussano normalzado, sñal moduladora n los tomógrafos d rsonanca magnétca Gromag. El funconamnto dl sstma prmramnt s smuló mplando l paqut d programas MatLab 5.3. Para jcutar las prubas s ralzó un dsño squmátco mplando l dtor dl Xln Foundaton Srs.5. Fnalmnt l dsño d dscargó haca una tarjta d crcuto mprso qu contn un FPGA XC43E, un convrsor analógco dgtal HI5735 y un fltro líptco con frcunca d cort 5MHz. Fgura 4. Espctros dl pulso orgnal y dl ntrpolado. Duracón.48ms L=4 - Frcunca d mustro: 5. MHz Fgura 5. Espctros dl pulso orgnal y dl ntrpolado. Duracón.ms y L=3.963 El dsño ocupa apromadamnt un 4% d la lógca dsponbl n l FPGA mplado (para sñals d 8bt) y n las mdcons ralzadas s obtuvron spctros smlars a los d las smulacons. Bongnría y Físca Médca Cubana 7

5 5. DISCUSION DE LOS RESULTADOS La Fgura 4 mustra la ntrpolacón d un pulso gaussano d.48ms d duracón, frcunca d mustro f =5MHz y 8bts d prcsón. Esta ntrpolacón prmt ralzar una modulacón dgtal con razón d mustro f =MHz. La rlacón stnt ntr f y f s d 4. El sstma tambén prmt razons d ntrpolacón no ntras. En la Fgura 5 s mustra la ntrpolacón dl msmo pulso, pro d.ms d duracón y frcunca d mustro d 5.MHz. En st caso la razón d ntrpolacón s Para l pulso d mínma duracón mplado (.ms) y por tanto mayor ancho d banda los rsultados son smlars a los antrors. Como obsrva n los spctros obtndos, l sstma garantza qu l nvl d armóncos s mantnga por dbajo d 6dB, para razons d ntrpolacón tanto ntras como raconals. Estas caractrístcas hacn posbl una adaptacón a dvrsos sstmas con frcuncas d mustro dstntas. Estos rsultados son posbls dbdo a qu la sñal a ntrpolar s d banda strcha (ancho d banda mucho mnor qu f/8) y l nvl d rudo fura d su banda s dsprcabl (vr fguras 4 y 5). Como l sstma solo ncluy rgstros, l rudo d fondo no s afcta por cuantzacons d los cofcnts dl fltro, dbdo a qu son guals a la undad. Producto d sto tambén s cluyn rrors por dsbordamnto o truncado nhrnts a opracons artmétcas d punto fjo o flotant. S la sñal no cumpl con los rqurmntos d ancho d banda y rudo pustos s l pud añadr un bloqu d fltrado postror para mjorar la purza spctral a pnsas d una mayor carga computaconal dl sstma. Como l ntrpolador ocupa solo un 4% d la lógca dl dspostvo s hac posbl su mplmntacón junto con l modulador n un msmo FPGA. 6. CONCLUSIONES El mplo d un fltro d promdo móvl prmt la ntrpolacón d forma fcnt para sñals d banda strcha. El squma prsntado n la Fgura 3 prmt ralzar ntrpolacons para valors d L tanto ntros como raconals. El squma propusto carc d los problmas nhrnts a la cuantfcacón d los cofcnts dl fltro o dsbordamntos d la lógca mplada. La sncllz dl squma prmt mplmntar otras funcons n un msmo dspostvo. AGRADECIMIENTOS A todos aqullos qu contrbuyron, d una forma u otra, a la jcucón y rvsón d st trabajo, spcalmnt, la ayuda dl Lc. Evlo Gonzálz Dalmau y los Ingnros Abl Cruz Vadll y Mgul Albrtrs Campos por facltar los datos rfrnts a la sñal d ctacón d los tomógrafos Gromag. BIBLIOGRAFIA. Mtra SJ, Kasr, JF. Handbook for Dgtal sgnal Procssng. John Nw York, Wly & Sons, 993, , 7-8, Opnhm AV, Schaffr RW. Dscrt-Tm Sgnal Procssng. ENPES 995, Rorabaugh, CB. Dgtal Fltrs Dsgnr's Handbook wth C++ Algorthms. Sgunda dcón, Nw York, McGraw-Hll, 997, Park, S. Prncpls of Sgma-Dlta Modulaton for dgtal-to-analog Convrtrs. Motorola Inc. julo 99, McKnny D, Garca J. Dgtal rado tchnology a ky ngrdnt n your nt wrlss communcaton systm. RF Dsgn, Volumn 4, No., nro, p5-58, 9-94 Bongnría y Físca Médca Cubana 8