Tema 2. Líneas de Transmisión Terminadas
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- Ana Isabel Ramírez Alcaraz
- hace 6 años
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Transcripción
1 Tma. ínas d Transmsón Trmnadas,. Introduccón. Rflxón.3 Ondas staconaras.4 Impdanca d ntrada.5 Dsadaptacón n la cara y n l nrador.6 Rspusta transtora José A. Prda, Dpto. Innría d Comuncacons, Unvrsdad d Cantabra
2 Bblorafía Básca para st Tma: [] R. Nr, ínas d Transmsón, McGraw-Hll, Méxco, 999. [] W. H. Hayt Jr. and J. A. Buck, Ennrn Elctromantcs, 7ª Ed, McGraw-Hll Intrnatonal Edton, 6. [3] D. M. Poar, Mcrowav Ennrn, 3ª Ed, Wly, 5. [4] F. T. Ulaby t. al Fundamntals od Appld Elctromantcs, 6ª Ed, Parson,. Nr Apartados.9 Hayt Apartados.9 Poar Apartados.3,.6 Ulaby Apartados.7,.8,. M Wavs
3 . Introduccón - En l tma antror studamos línas d transmsón d lontud nfnta, lo cuál obvamnt no s ncuntra n la práctca. - El objtvo d st tma s amplar lo vsto n l tma antror consdrando línas d transmsón trmnadas - En nral consdrarmos un nrador modlado mdant su quvalnt Thvnn y una mpdanca d cara undos por una lontud fnta d lína d transmsón. G G ína d Transmsón Gnrador Cara 3
4 . Rflxón (Poar.3-(Hayt.9 - a tnsón y la corrnt n los trmnals d la cara ( = val: r r r I I I -Admás I - Consdramos una lína trmnada n una mpdanca d cara : r r ( r I I I (, r r I - Iualando las dos xprsons para : r r r r 4
5 . Rflxón - Cofcnt d rflxón n la cara: - Dfnmos l cofcnt d rflxón n la cara como - Dvdndo la xprsón ncal por, rsulta r - Tnndo n cunta qu r - Podmos xprsar la tnsón y corrnt totals n la lína como: ( I( - Cuando no hay onda rfljada. Esta stuacón s da cuando y s dc qu la lína stá trmnada n una cara adaptada. - El nral, l cofcnt d rflxón s una cantdad complja. 5
6 -Ejmplo : Una lína d transmsón d mpdanca caractrístca Ohm stá trmnada n una mpdanca d cara formada por una rsstnca d 5 Ohm n sr con una capacdad d pf. Calcular l cofcnt d rflxón n la cara a la frcunca d MH. Ulaby 6ª Ej. -3 Solucón: - a mpdanca d cara val, 5 pf j R c R 5 (5 j59. 8 jc - El cof d rfl. rsulta 5 j59. 5 j59. j j j59. 5 j º 6
7 . Rflxón - Consrvacón d la potnca: - En nral, cuando una part d la potnca ncdnt s rflja y otra part s transmtda (dspada a la cara. I, r r - Sún hmos vsto la tnsón y la corrnt n la lína son: ( I( 7
8 . Rflxón R I P * ( ( ( r r r R I P * ( ( ( - a potnca rfljada rsulta - En los trmnals d la cara ( = : r P P - a potnca transmtda s, luo t P P r t P P P - Como vmos n l tma antror, l valor mdo d la potnca ncdnt s 8
9 - Ejmplo : Una lína d transmsón d mpdanca caractrístca 5 Ohm y sn pérddas sta trmnada n una mpdanca d cara ( 5 j75. S la potnca ncdnt val mw, dtrmnar la potnca dspada n la cara. Solucón: - a potnca dspada vn dada por - El cof. d rfl. n la cara val 5 j j.48 5 j75 5 P t P Hayt 7ª Ej d dond a potnca dspada rsulta mw P t P 9
10 . Rflxón - Cofcnt d rflxón n una poscón arbtrara: - Hmos dfndo l cof. d rfl. n los trmnals d la cara. - Podmos nralar sta dfncón para cualqur poscón d la lína ( = -l ( r ( r - El cof. d rfl. n val, -Entoncs ( r ( ( r r ( - Para una lína sn pérddas, l cof. d rfl. s una funcón pródca d prodo
11 - Ejmplo 3: Una lína d transmsón sn pérddas d mpdanca caractrístca 5 Ohm stá trmnada n una mpdanca d cara d valor Ohm. Dtrmnar l cofcnt d rflxón a una dstanca. d la cara. Solucón: - os datos dl problma son: 5., j, con R - Sún hmos vsto, l cof. d rfl. a una dstanca val: ( -dond: j j. j. -luo j.4 j 7º 3 3
12 .3 Ondas staconaras (Nr.9 - Consdramos una lína sn pérddas trmnada n una mpdanca : r, j j j - a tnsón total n la lína s l rsultado d la ntrfrnca (suma d la onda ncdnt con la rfljada: ( r ( j j - Como conscunca d la ntrfrnca s produc una onda staconara. Para studar sus propdads dbmos obtnr (
13 .3 Ondas staconaras j j ( j j ( - Tnndo n cunta qu j sn( cos( j j y -Rsulta ( sn cos( ( - Oprando cos( ( - Hacndo n cambo cos( ( - a funcón ( (o (l s dnomna patrón d onda staconara d tnsón. 3
14 .3 Ondas staconaras - Propdads dl patrón d onda staconara - ( s una funcón pródca d prodo ya qu cos cos cos - os máxmos d tnsón ocurrn cuando y valn: ( max ( - os mínmos d tnsón ocurrn cuando y valn: ( max cos ( - a dstanca ntr máxmos (o mínmos conscutvos s - a dstanca ntr un máxmo y un mínmo conscutvos s 4 - amos alunos casos: 4
15 .3 Ondas staconaras Cortocrcuto Crcuto Abrto ( ( ,, max mn max mn 5
16 .3 Ondas staconaras Cara Adaptada Cara Arbtrara ( ( ,, max mn 6
17 - Ejmplo 4: Consdérs una lína d transmsón sn pérddas trmnada n una cara. El cofcnt d rflxón n l plano d la 6º cara val y la lontud d onda. Dtrmnar la.5 j 4 cm poscón dl mínmo y l máxmo n tnsón más crcanos a la cara. Solucón: -osmáxmos d tnsón ocurrn para cos Ulaby 6ª Exrcs. - Hacndo l cambo quda cos, d dond max n ( n,,... max n ( n - como, l prmr máxmo s corrspondrá con n = : 3 max cm 4,,... 7
18 -os mínmos d tnsón ocurrn para - Emplando la varabl l: cos cos mn n ( n,3,... mn n ( n,3,... - Para n = : mn cm - S obsrva qu, fctvamnt max mn 4 6 cm, qu s corrspond con 4 8
19 .3 Ondas staconaras - Dfnmos la Raón d Onda Estaconara ROE (tambén S o SWR como l cocnt ntr las tnsons máxma y mínma dl patrón d onda staconara n tnsón. ROE ( ( max mn - amos alunos jmplos: - Cara adaptada. - Corto crcuto y crcuto abrto. - Cara pasva d valor arbtraro. ROE ROE [,] ROE [, 9
20 - Ejmplo 5: Una lína d transmsón sn pérddas y d mpdanca caractrístca 4 Ohm stá trmnada n una mpdanca d cara ( 8 j8. Sabndo qu la lontud d onda n la lína val 7 cm, calcular: a El cofcnt d rflxón n l plano d la cara b a raón d onda staconara c a poscón d los máxmos d tnsón d a poscón d los mínmos d tnsón Solucón: a El cof d rfl n los trmnals d la cara val.439 j j8 4 Ulaby 6ª Exrcs. 8 j8 4 j b a raón d onda staconara n la lína s 9º ROE.5.5 3
21 c ocalacón d los máxmos d tnsón Sún l jmplo antror, los máxmos s stúan a dstancas n max ( n,,... n Tnndo n cunta qu rsulta: max ( n,,... 4 Admás 9º 9 8 rad uo max 4 n n (.9 36n cm ( n,,... d ocalacón d los mínmos d tnsón mn max 4 (.9 36n cm ( n,,...
22 .3 Ondas staconaras - Análoamnt al caso d la tnsón, tambén s posbl dfnr un un patrón d onda staconara rspcto d la corrnt. - Sundo l msmo procdmnto qu con la tnsón s lla a ( cos( I ( I( 3 - os máxmos d corrnt stán n la msma poscón qu los mínmos d tnsón y vcvrsa
23 .4 Impdanca d ntrada (Ulaby Consdramos una lína d transmsón sn pérddas y dsadaptada - Sabmos qu n una lína dsadaptada, tanto la tnsón como la corrnt totals son funcón d la poscón, - Por tanto, l cocnt (/I( tambén srá funcón d la poscón - Entoncs, podmos dfnr la mpdanca vsta n una poscón arbtrara d la lína (, como ( ( I( (, 3
24 .4 Impdanca d ntrada - Sul ntrsar l valor d ( n los trmnals d ntrada d una lína carada. En st caso, s dnomna mpdanca d ntrada n : - a mpdanca d ntrada s pud xprsar como: tan( tan( ( ( ( n j j I j j j j, ( I( n 4 j j ( j j I (
25 .4 Impdanca d ntrada - a xprsón antror ndca qu la mpdanca varía a lo laro d la lína - Al ual qu l patrón d onda staconara, la mpdanca s una funcón d prodo spacal - os máxmos y mínmos d la mpdanca s stúan n las msmas poscons qu los máxmos y mínmos d tnsón, rspctvamnt. 5
26 .4 Impdanca d ntrada - Evaluando la xprsón d n = -l, rsulta tan( tan( ( n j j ( n ROE ( ( ( ( mn max max I ROE ( ( ( ( max mn mn I - os máxmos d mpdanca valn: - y los mínmos: - S obsrva qu los valors d y son rals max mn 6
27 - Ejmplo 6: S dspon d una lína bflar n ar, sn pérddas, d mpdanca caractrístca 5 Ohm y d lontud.5 m. S la lína stá trmnada n una mpdanca d cara ( 4 j a la frcunca d 3 MH, dtrmnar la mpdanca d ntrada. Solucón: - a mpdanca d ntrada val: j tan( n j tan( -dond: f 5.5 m 3 6 H ína n ar n ( 4 j v p c n, Ulaby 6ª P.7 6 f 3 rad/m 8 v p c (s una lína 5( j tan( (4 j j tan( 7
28 .4 Impdanca d ntrada - amos alunos casos partculars d la xprsón para : - ína d mda onda: m con m,,,... n, -uo -Entoncs n m m n m ( m a mpdanca d ntrada s ual a la mpdanca d cara! 8
29 .4 Impdanca d ntrada - ína d cuarto d onda: ( m con m 4,,,... -uo (m -Entoncs 4 (m n 4 ( n, (m 4 -Normalando n ( 4 a mpdanca d ntrada normalada s l nvrso d la mpdanca d cara normalada! - Una aplcacón muy mportant d la lína cuarto d onda s la adaptacón d mpdancas. 9
30 Ejmplo 7: Una lína d mpdanca 5 sta trmnada n una cara d. Como conscunca s producn rflxons n la cara. Para lmnar stas rflxons (adaptar la cara a la lína s mpla un transformador 4 como s ndca n la fura. Dtrmnar la mpdanca caractrístca d dcho transformador. t? 4 Ulaby 6ª Ex - Solucón: - a stuacón ncal (sn transformador s mustra n la fura - En st caso hay rflxón ya qu 3
31 - Para lmnar la rflxón utlamos un transformador como ndca l nuncado t? n 4 - El cof. d rfl. n los trmnals d la lína val - Para lmnar la rflxón db vrfcars n - Por otra part, sún sabmos - Por tanto t 5 n t 7.7 n n t 3
32 .4 Impdanca d ntrada - ína trmnada n cortocrcuto: - Tnsón n la lína: ( j sn( - Corrnt n la lína: I( - Impdanca: cos( ROE n, sc n ( j tan( n - S s nductva n - S s capactva 3
33 .4 Impdanca d ntrada - ína trmnada n crcuto abrto: ROE n, - Tnsón n la lína: ( cos( - Corrnt n la lína: I( j sn( - Impdanca: oc n ( j cot( n - S s capactva n - S s nductva 33
34 - Ejmplo 8: Dtrmnar la lontud físca d una lína d transmsón d 5 Ohm trmnada n cortocrcuto para qu su mpdanca d ntrada a la frcunca d.5 GH sa ual a la mpdanca d un condnsador d 4 pf. a vlocdad d fas n la lína val.75c. Solucón: sc - Db vrfcars: n ( C -luo j tan( jc -d dond tan( C -ntoncs. 34 rad arctan( rad sc n (4º cuadrant (º cuadrant Ulaby 6ª Ex -8, - Tomamos la solucón dl º cuadrant (la d lontud más corta.8.8 v p cm 34
35 .4 Impdanca d ntrada - Rflxón y transmsón n la unón d dos línas d transmsón: - Consdramos la unón d línas smnfntas d dstnta mpdanca:, r r t t, - Una onda ncdnt s propaa por la lína - Cuando la onda ncdnt v un cambo d mpdanca s produc una onda rfljada y otra transmtda - Qurmos calcular los cofs. d rflxón y d transmsón n la unón ( = r T t T 35
36 .4 Impdanca d ntrada - El problma plantado no camba s tomamos una lontud fnta d lína y la trmnamos n su mpdanca caractrístca., t t r r, - Tomamos una lontud nula d lína, r r - Est problma ya lo studamos n l apartado. 36
37 .4 Impdanca d ntrada - El cof. d rfl. val:, r r - Para calcular l cof. d trans. tnmos n cunta qu t r - Dvdndo por rsulta T T - Es usual xprsar, T n dcblos a través d cantdads conocdas como Pérddas d Rtorno R -lo (db (Rturn oss -y Pérddas d Insrcón I -lo T (db (Insrton oss 37
38 - Ejmplo 9: Calcular, n l crcuto d la fura, las potncas ncdnt, rfljada y transmtda a la lína d Ohm. 5 5 P P r P t Solucón: Ulaby 6ª P.44 - Comnarmos calculando la potnca ncdnt. Para llo, consdramos la sunt stuacón 5 5 P 5 R 5 -Entoncs P R 5 mw 38
39 - Tnndo n cunta la lína no tn pérddas, la potnca transmtda s la msma qu la potnca dspada n la mpdanca d ntrada vsta dsd los trmnals dl nrador P P r P t n n -En st caso P t n R n n n - El cof d rfl val ( mw - a potnca rfljada rsulta P r P mw.mw 9 n
40 .5 Dsadaptacón n la cara y n l nrador (Poar.6 - Consdramos una lína sn pérddas trmnada n una mpdanca d cara y almntada mdant un nrador d mpdanca G G I n I G n, n - En nral G - Como ya sabmos: n j j tan( tan( 4
41 .5 Dsadaptacón n la cara y n l nrador - Potnca mda ntrada a la cara: n G R R n G jx jx n G P n n n * n * * n I - Susttuyndo la xprsón d n : P P ( R R n n n Rn ( X X n G n G I n n n n n - amos varos casos: 4
42 .5 Dsadaptacón n la cara y n l nrador. Impdanca d cara adaptada a la lína: -En st caso: G I n I n P G n n,. ína adaptada l nrador: n -En st caso: P 4( R R X - Sur la sunt custón: cuál s la mpdanca n óptma para qu s produca la máxma transfrnca d potnca a la cara? 4
43 .5 Dsadaptacón n la cara y n l nrador - Sún sabmos d la Toría d Crcutos, la rspusta s: * n G!Adaptacón Conjuada! - a potnca máxma transfrda a la cara val - Comntaros: P max G 8R G G G I n (suponmos G fja - Est rsultado no mplca qu los cofs. d rfl. y san nulos - S s ral st rsultado concd con l caso d la hoja antror - Smpr hay pérdda d potnca n l nrador. a mayor fcnca n la transmsón s consu hacndo lo más pquña posbl n n 43
44 -Ejmplo : Calcular la potnca ntrada a la cara n l crcuto d la fura. 5, 75, 75, ( 6 j4,.7. G G Poar 3ª.5 Solucón: - Sún hmos vsto, la potnca ntrada a la cara val n P - a mpdanca d ntrada n s calcula mdant la xprsón: n j j n tan( tan( 44
45 - os datos para calcular son: 75, ( 6 j4,.7. -Entoncs -uo n n 6 j j(6.7.4 j j tan( tan( j75 tan(.4 (48.9 j4 tan(.4 j Susttuyndo n la xprsón d la potnca P n n j W - a máxma potnca ntrabl a la cara s (no lo pdn P max 8R.75 W 45
46 .6 Rspusta transtora (Ulaby - - Hasta ahora hmos studado línas d transmsón n l domno d la frcunca - En st apartado abordamos n studo d la rspusta transtora - Para llo, consdramos un crcuto formado por un nrador d contnua conctado a una lína d transmsón sn pérddas y trmnada n una mpdanca d cara rsstva pura, tal como s mustra n la fura. - Supondrmos qu l ntrruptor s crra n t =. 46
47 .6 Rspusta transtora - Comnarmos studando l crcuto n l nstant t = + - Justo n l nstant n l qu s crra l ntrruptor, la mpdanca vsta dsd los trmnals dl nrador (= s ual a la mpdanca caractrístca d la lína. - Por tanto, l crcuto quvalnt n t = + s: - Entoncs, la tnsón y la corrnt, n la ntrada d la lína, n t = + valn: I R - En conscunca, la sñal comna a propaars con vlocdad v p a lo laro d la lína R 47
48 .6 Rspusta transtora - En un ntrvalo d tmpo T=l/v p la sñal habrá llado hasta la poscón d la cara (=l. - S, por jmplo, hacmos una foto n l nstant t = T/ obsrvamos qu la sñal ha rcorrdo la mtad d la lína -En t = T, la sñal lla a la cara y s produc otra sñal rfljada R R - Dspués d la prmra rflxón, la tnsón n la lína s la suma d la onda ncdnt y la rfljada - d dond ( 48
49 .6 Rspusta transtora - Por jmplo, la tnsón n la lína n t = 3T/ sría la mostrada n la fura. - a onda vaja haca la cara, sumándos a la sñal qu ya xst n la lína -d dond ( - Por jmplo, la tnsón n la lína n t = 5T/ sría la mostrada n la fura -En t = T, la sñal lla a la cara ( = l. S R, s produc una nuva onda rfljada R R 49
50 .6 Rspusta transtora - Est procso d múltpls rflxons contnua ndfndamnt - Dspués d mucho tmpo (t nf s alcana l stado staconaro - a tnsón n la lína n l stado staconaro val Escrbndo sta xprsón n funcón d tnsón ncdnt... ( ( ( El sundo paréntss s una sr ométrca cuya suma val -Entoncs 5
51 .6 Rspusta transtora - Susttuyndo las xprsons d,,, y smplfcando, rsulta R R R - Esta xprsón rprsnta la tnsón n stado staconaro qu, como cab sprar, concd con l rsultado obtndo n un análss d DC n l qu la lína s susttuy por una conxón dal. - a corrnt n stado staconaro val R R R I 5
52 .6 Rspusta transtora Daramas spaco-tmpo - En nral, rsulta dfícl calcular la tnsón y/o corrnt n un punto d la lína dbdo a las múltpls rflxons qu s producn - Esta tara s smplfca consdrablmnt mdant l uso d rprsntacons ráfcas d tpo spaco-tmpo - Un darama spaco-tmpo consta d: -Un j horontal qu s utla para rprsntar la poscón a lo laro d la lína -Un j vrtcal qu rprsnta l tmpo -En = y = l aparcn ndcados los cofs. d rfl. n l nrador y n la cara, rspctvamnt. - El darama consst n una lína n a qu ndca la volucón d la onda d tnsón (o corrnt n la lína 5
53 .6 Rspusta transtora - a prmra rcta (dl a ndca qu la onda comna a propaars haca > n = t =, llando a la cara ( = l n t = T. - a sunda rcta ndca qu la onda rfljada s propaa haca < llando al nrador n t = T y así sucsvamnt - En cada rflxón s multplca por l cof. d rfl. corrspondnt - Est darama prmt calcular la tnsón total n un punto y n un nstant dtrmnados - Así, para calcular (,t hacmos lo sunt: - s traa una vrtcal n =, dsd t = hasta t = t - s suman todas las ondas qu cortn a la vrtcal traada - Por jmplo ( 4,4T ( 53
54 .6 Rspusta transtora - a varacón tmporal d la tnsón n una poscón spcífca d la lína pud dtrmnars dbujando los valors d (,t obtndos al rcorrr la lína vrtcal = dsd t= hasta l nstant dsado - En la fura s mustra la tnsón n = l/4 54
55 -Ejmplo : El crcuto d la fura s xcta con un pulso d tnsón rctanular d altura 5 y d anchura ns. Calcular la forma d onda d la tnsón n los trmnals d la cara sabndo qu la lína d transmsón tn.6 m d lontud y la vlocdad d fas s c. Solucón: - Tratarmos l pulso como la suma d funcons salto Ulaby 6ª Ex.5 5 ns ns Dbmos dbujar l darama spaco-tmpo ncluyndo las funcons salto. 55
56 - Ants hay qu calcular los parámtros ncsaros: - Tmpo ncsaro para rcorrr la lína: - Cofs. d rfl.: R R T c ns R R Tnsón ncal: R 4 (para l scalón postvo - Para l scalón natvo srá -4 56
57 - S obtn l sunt darama spaco tmporal - Con la nformacón d st darama s pud obtnr la rprsntacón d la tnsón n la cara qu s mustra abajo 57
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