FUNCIONES DERIVABLES EN UN INTERVALO

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Marina Torres Alcaraz
hace 7 años
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1 DERIVADAS.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pá. FUNCIONES DERIVABLES EN UN INTERVALO Ls unions qu son ontinus n un intrvlo rrdo [, ] y drivls n un intrvlo irto, tinn propidds importnts. Torm d Roll. S un unión qu vrii ls siuints ipótsis: Es ontinu n l intrvlo rrdo [, ] Es drivl n l intrvlo irto, Tom l mismo vlor n los trmos dl intrvlo, s dir Entons, ist un punto, tl qu s dir, on tnnt orizontl. Torm d Roll Hipótsis: s ontinu n [, ] s drivl n, Tsis:, / Dmostrión: Como s ontinu n un intrvlo rrdo [, ] lnz n dio intrvlo un vlor máimo y otro mínimo. Torm d Wirstrss Pudn drs dos sos: Si l máimo y l mínimo stán n los trmos, stos son iuls, y qu. Entons s trt d un unión onstnt y, por tnto, Si l vlor máimo o mínimo s nuntrn n un punto d, l unión lnz un máimo y un mínimo torm d Wirstrss y omo s drivl n, s umpl qu Ejmplo: L unión : [, ] R dinid por 4 vrii ls siuints ipótsis: Es ontinu n [, ] por sr polinómi Es drivl n, por s polinómi. 8; 8 Entons ist un punto n l intrvlo irto, on drivd nul n dio punto. Vmos: 4; 4 4 El punto st n l intrior dl intrvlo. Torm dl vlor mdio S un unión qu vrii ls siuints ipótsis: Es ontinu n l intrvlo rrdo [, ] Es drivl n l intrvlo irto,

S un unión qu vrii ls siuints ipótsis: Es ontinu n l intrvlo rrdo [, ] Es drivl n l intrvlo irto, Tom l mismo vlor n los trmos dl intrvlo, s dir Entons, ist un punto, tl qu s dir, on tnnt orizontl.

2 DERIVADAS.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pá. Entons, ist un punto, tl qu Intrprtión ométri: Eist un punto n l urv uy tnnt s prll l urd. Dmostrión: Formmos l unión y plimos l torm d Roll y qu: Es ontinu n [, ] por srlo. Es drivl n, por srlo. Admás y s dir, Como s umpln ls ipótsis dl torm d Roll, ist un punto, tl qu, por tnto, si, Ejmplo : L unión s ontinu y drivl n todo R, podmos nontrr un punto, por jmplo, n l intrvlo, 4 uy tnnt l urv s prll l urd qu un los puntos d siss ; 4. 6; 6 ; Torm dl Vlor Mdio Hipótsis: s ontinu n [, ] s drivl n, Tsis:, /

Admás y s dir, Como s umpln ls ipótsis dl torm d Roll, ist un punto, tl qu, por tnto, si, Ejmplo : L unión s ontinu y drivl n todo R, podmos

3 DERIVADAS.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pá. Torm d Cuy. Si y son dos unions ontinus n [. ] y drivls n,, ist un punto n, tl qu Dmostrión: Nos yudmos d l unión uilir [ ] [ ] A st unión podmos plir l torm d Roll y qu Es ontinu n [, ] por sr dirni d unions ontinus Es drivl n, por sr drivl d unions drivls. Drivndo l unión, [ ] [ ] Y si, [ ] [ ] Simpr qu y Ejmplo : Hll l vlor d dl intrvlo, 4 dond s umpl l tsis dl torm d Cuy, sindo y Ls unions son ontinus y drivls n todo R por s unions polinómis ; ; Vlors d ls unions n los trmos dl intrvlo: luo 5; 4 4 ; ;,4 5 8 Rl d L Hôpitl. Es un onsuni dl torm d Cuy y nos prmit otnr áilmnt irtos its qu, sin st rl, rsultrín omplidísimos. Est rl di: Si, y ist ntons s umpl qu

4 DERIVADAS.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pá. 4 Dmostrión: Si y son ontinus n [, ] y drivls n, s umplirá : dond, Torm d Cuy Pro y luo Si ntons y qu, luo Como ist por ipótsis, istirá tmién y mos srán iuls. Qud, por tnto, qu L rl d L Hôpitl tmién pud sr plid l so d indtrminions dl tipo. Ejmplo 4: os Est s un so d indtrminión dl tipo por lo qu podmos plir l rl: os os sn L rl pud plirs un o más vs, mintrs s mntn l indtrminión.

Como ist por ipótsis, istirá tmién y mos srán iuls.

5 DERIVADAS.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pá. 5 Ejriios rsultos.- L unión : [-, ] R dinid por tom l mismo vlor n los - trmos dl intrvlo, ; Enontrr su drivd y ompror qu no s nul nun. Contrdi sto l torm d Roll?. Soluión: ;.. Si intntmos nulr l drivd rsult: surdo! Esto no ontrdi l torm d Roll porqu l sund ipótsis no s vrii. L unión no s drivl n todos los puntos dl intrvlo. Conrtmnt, n l punto, no ist l drivd omo podmos vr lulándol trvés dl it:.- Clul pr qu l unión - 4 umpl ls ipótsis dl torm d Roll n l intrvlo [, ]. Dónd s umpl l tsis?. Soluión: Por sr un unión polinómi, s ontinu y drivl n todo R. y s umpln ls dos primrs ipótsis. Trr ipótsis: ; Cuys soluions son ; ; - : L úni soluión válid s. Dónd s umpl l tsis?: 4; 4 si.- Compru qu l unión 5 Cumpl ls ipótsis dl Torm d Roll. Avriu dónd umpl l tsis. Soluión: si < 4 En d uno d los intrvlos s un unión polinómi qu s ontinu y drivl. El únio punto dudoso s, luo mos d studir l ontinuidd y drivilidd n dio punto:

Conrtmnt, n l punto, no ist l drivd omo podmos vr lulándol trvés dl it:.- Clul pr qu l unión - 4 umpl ls ipótsis dl torm d Roll n l intrvlo [, ]. Dónd s umpl l tsis?

6 DERIVADAS.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pá. 6 Continuidd: 4 ; [ 5 ] 4 Eist it n dio punto y vl 4. Admás l vlor d l unión pr, tmién s 4, luo s ontinu. S umpl l ª ipótsis. Drivilidd: si < 4 si 4 Ls drivds ltrls son iuls, luo s drivl n y s umpl l ª ipótsis. Admás, ; Como tom l mismo vlor n los trmos dl intrvlo, s umpl l ª ipótsis. Vmos dónd s vrii l tsis: si < 4 si 4 Hindo, rsult: qu s surdo. 4, s dir, L tsis s vrii n 4.- Sindo, llr un númro, n l intrvlo, 4 d modo qu s vriiqu l torm dl vlor mdio. Soluión: Como s un unión polinómi, s ontinu y drivl n todo R, luo podmos plir l torm: 4 ; [ ]

4 Como tom l mismo vlor n los trmos dl intrvlo, s umpl l ª ipótsis. Vmos dónd s vrii l tsis: si < 4 si 4 Hindo, rsult: qu s surdo.

7 DERIVADAS.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pá. 7 6 ± ± 84 6 ± L soluión válid s l ª si < 5.- Pru qu l unión si stis ls ipótsis dl torm dl vlor mdio n l intrvlo [, ] y lul l o los vlors vtiindos por l torm. Soluión: L unión s ontinu n l intrvlo [, ] - si < si L unión s drivl n l punto d sis, únio punto dudoso, luo s umpln ls ipótsis dl torm dl vlor mdio. Aplindo l órmul rsult: si < / ; /, si si < luo si D l primr uión s otin: / - /. Y d l sund uión: -/ - / 6.- Apli l torm d Cuy ls unions ; n l intrvlo [, 4] Soluión: Ls unions son ontinus y drivls por trtrs d unions polinómi, por tnto, ; 6 ; 6

Soluión: L unión s ontinu n l intrvlo [, ] - si < si - - - L unión s drivl n l punto d sis, únio punto dudoso, luo s umpln ls ipótsis dl torm dl vlor mdio.

8 DERIVADAS.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pá. 8 Vlors d ls unions n los trmos d los intrvlos: ; 4 4 ; Entons, s dir, L tsis s vrii n 7.- Rsulv l siuint it plindo l rl d L Hôpitl: Soluión: L L L L. L. L L L 8.- Clul los its siuints: L ; sn sn Soluión: L L. Ls indtrminions d l orm. s pudn rsolvr tmién plindo L Hôpitl sn os os sn sn.os sn sn os. 9.- Rsulv l siuint it: sn os Soluión: sn. sn os os.os sn. os sn os

vrii n 7.- Rsulv l siuint it plindo l rl d L Hôpitl: Soluión: L L L L. L. L L L 8.

9 DERIVADAS.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pá. 9.- Clul Soluión: Hmos A y plimos loritmos:.. L LA, s dir, L LA. Si LA ntons A, s dir A y, por tnto,.- Clul sn Soluión: os os sn sn

10 DERIVADAS.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pá. Ejriios propustos.- S pud plir l torm d Roll l unión [, 4]?. Rzon l ontstión. 4 n l intrvlo.- Compru si s vrii l torm d Roll pr l unión 4, n l intrvlo [, ]..- Apli l torm dl vlor mdio, si s posil, l unión n l intrvlo [-, -]. Soluión: -/ 4.- Clul y pr qu si < 4 umpl ls ipótsis dl si 4 torm dl vlor mdio n l intrvlo [, 6]. Dónd umpl l tsis? Soluión: ; 9; 9/ n si < 5.- S onsidr l unión m si. Dtrmin m y n pr qu s umpln ls ipótsis dl torm dl vlor mdio n l intrvlo [-4, ]. Hll los puntos dl intrvlo uy istni rntiz l torm. sn 6.- Clul Soluión /6 7.- Clul l siuint it plindo l rl d L Hôpitl: rt rsn Soluión: trnsormándolo n un it dl tipo y plindo ds- 8.- Clul os pués l rl d L Hôpitl Soluión: ½ 9.- Hll los siuints its: ; Soluión: - ;

- Clul y pr qu si < 4 umpl ls ipótsis dl si 4 torm dl vlor mdio n l intrvlo [, 6]. Dónd umpl l tsis? Soluión: ; 9; 9/ n si < 5.- S onsidr l unión m si.

11 DERIVADAS.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pá.

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