Se llama tasa de variación media (T.V.M.) de una función y = f(x) en un intervalo a. T.V.M. a,b =

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Juana Silva Ramírez
hace 6 años
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1 TEMA 7: DERIVADAS 7. Concpto d drivd. Función drivd. 7. Rgls d drivción. 7. CONCEPTO DE DERIVADA. FUNCIÓN DERIVADA. Est concpto mtmático no sólo nos prstrá un yud primordil n l rprsntción d funcions y qu con l cálculo d drivds sbrmos dond l función s crcint/dcrcint y loclizrmos los trmos rltivos (máimos y mínimos), dmás nos yudrá rsolvr problms d optimizción. S llm ts d vrición mdi (T.V.M.) d un función y = f() n un intrvlo,b f(b) f() l cocint. Y s dnot por T.V.M.,b. b f(b) f() T.V.M.,b= b * Si l gráfic fur d un moviminto l TVM srí l vlocidd mdi n l intrvlo corrspondint. Si tommos intrvlos d longitud cd vz más mnor, obtndrmos l informción qu qurmos, l vrición n l punto d bscis =. Llmmos ts d vrición instntán d un función y = f() n un punto = l siguint límit: lim b f(b) b dnot por f() = f( h) f() lim h0 h A st límit s l llm drivd d f n = y s f (). Si dicho límit ist s dic qu f s drivbl n =. Ejrcicio : L tbl d l poblción d un dtrmindo pís s: Año Poblción n mils Indic n qu unidd s mid l TVM (hbitnts por ño). En qué priodo crció más l poblción n 006/08 o n 0/4? Intrprtción gométric:

2 L pndint d l rct tngnt f n = s l drivd d f n =. Podmos clculr l cución d l rct tngnt f n = porqu conocmos l punto por dond ps (, f()) y su pndint s f (). Y qudrí d l form: y = f () ( ) + f() A prtir d l rct tngnt podmos dfinir l rct norml f n = como l rct prpndiculr l rct tngnt n l punto (,f()), ps por l punto (, f()) y su pndint s f( ). Y su cución s d l form y = ( ) + f() f( ) Ejrcicio : Clcul, por dfinición, l drivd d - n =. Ejrcicio : Clcul, por dfinición, l drivd d tngnt y norml n =. n =. Clcul su rct Ejrcicio 4: S -, clcul f (0). Clcul l cución d l rct tngnt y norml f() n l punto d bscis =. Obsrvcions: ) Si un función f s drivbl n un punto = ntoncs f s continu n =. ) Si l drivd s positiv l función s crcint. ) Si l drivd s ngtiv l función s dcrcint. 4) Si un función tin un máimo o un mínimo n un punto drivbl, ntoncs su drivd vl 0. 5) L continuidd r podr dibujr l gráfic sin lvntr l lápiz dl ppl, l drivbilidd s l suvidd d l curv, obsrv l función vlor bsoluto. Qurmos clculr l drivd d un función, no sólo n un punto concrto, sino n culquir punto d su dominio. Pr llo s dfin l función drivd d un función f s l qu soci cd su drivd, f (). f : Domf IR f( h) f() f ()= lim h0 h El dominio d f stá contnido n l dominio d f, s más stá contnido n l continuidd d l función. Ejrcicio 5: Dd l función -. Clculr su función drivd. Ejrcicio 6: Dd l función g() = + 5. Clculr su drivd. Ejrcicio 7: L volución d l fibr d un nfrmo n función dl timpo vin ddo por l función f(t) = - t + 4t + 8, dond t vin ddo n hors y f(t) n grdos. Cuál srá l drivd d st función ls cro hors, l hor y ls dos hors? Cuándo lcnz l tmprtur máim?

3 Es vidnt qu si complicmos l función f l cálculo d l drivd srá muy difícil, por llo s ncsrio buscr un form más cómod d rlizr dichos cálculos. Obsrvs lgun rglill qu nos fcilit l cálculo d drivds? 7. REGLAS DE DERIVACIÓN. REGLAS DE DERIVACIÓN y = k y = 0 y = y = y = n y = n n- y y = y =. Ln y = y = y y log y log y = Ln y = Drivd d lguns oprcions con funcions y =f() + g() y =f () + g () y = k. f() y =k. f () y =f(). g() y =f ().g() + f(). g () f ()g() f()g () f() y y g () g() Drivd d l composición d funcions, rgl d l cdn. Drivd d l función invrs. y gf() y gf() f () Ejrcicio 8: Clcul ls drivds d ls siguints funcions:

4 ( + ) ( + ) ( - ) ( + ) 5 4 0

5 5 5 log log log 5 log 5 ( + ) Ln ( + 5) Ln ( + ) Ln. Ln ( ).

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