Integrales 4.1. Tema 4. Integrales

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1 Ingrls. Tm. Ingrls Si f() s un función conocid, l cálculo difrncil sudi l mnr d drminr or función f '() qu llmmos función drivd d f(). En l m nrior sudimos ls rgls d drivción, sí como lguns d sus pliccions. En s m sudirmos l prolm conrrio, s dcir, dd un función conocid, f(), nconrr or, dnomind primiiv d l nrior, F(), l qu l drivd d s úlim coincid con l primr. És s l ojo dl cálculo ingrl... Primiiv d un función. Ingrl indfinid. Propidds. Como indicmos nriormn l primiiv d un función f() s or función F() l qu F'() = f(), smos qu l drivd d un consn s cro, lugo si F() s l sum un consn onmos un nuv función qu mién s primiiv d f(), s dcir, un función v nr infinis primiivs.... Primiiv d un función. Dfinición Dd un función, f(), dfinid n un inrvlo, s dic qu F() s un primiiv d f() si y sólo si F() s drivl n dicho inrvlo y vrific qu F'() = f() pr culquir vlor dl cido inrvlo. Dd un función f(), prir d l dfinición dd nriormn y nindo n cun ls propidds d l drivd, s vrific: * Si F() s un primiiv d f(), noncs mién lo son cd un d ls funcions: G() = F() C R * Si F() y G() son dos primiivs d f(), noncs F() - G() s consn. * Si f() s coninu, noncs in primiivs. * Sn f() y g() dos funcions y F(), G() sus rspcivs primiivs, noncs s vrific: - F() G() s primiiv d f() g(). - k F() s primiiv d k f(). - F() G() s primiiv d f() G() F() g(). - F[G()] s un primiiv d f [G()] g().... Ingrl indfinid. S llm ingrl indfinid d f() l conjuno d ods ls primiivs d f(), s dno por: f() d s noción s l ingrl d f() rspco d. Si F() s un primiiv d f(), pr indicr qu l ingrl indfinid s l conjuno d ods ls primiivs, s pon: f() d = F() A f() s l llm ingrndo, l símolo s llm signo d ingrción, d nos indic rspco qu vril smos ingrndo; no d considrrs nunc qu f() d indic un produco o lgo similr. A los símolos qu prcn n s noción no s ls d signr significdos indpndins, sino qu inn qu sr inrprdos como prs d un odo indivisil. El ojivo d s pr dl m s l d hllr primiivs lmnls, si ls hy, d funcions lmnls; s dcir, dd un función lmnl f(), dirmos qu s h ingrdo lmnálmn cundo hllmos nconrdo un primiiv suy F() qu s, su vz, un función lmnl. Un función s lmnl cundo pud prsrs como sum, produco, división, composición (incluid l invrs) d funcions: polinómics, rcionls, irrcionls, rigonomérics, ponncils y logrímics. Hy funcions lmnls qu son fácilmn ingrls, ors pr ls qu rsul ms complicdo nconrr un primiiv suy qu s lmnl y por úlimo lguns qu no posn primiivs lmnls. Así pus l procso d úsqud d éss sul sr difícil y lorioso, n s m drmos uns pocs hrrmins pr rlizr s r. Ejmplos - cos d = sn - ( ) d = Ess ingrls nos dn rsulr fácils d onr prir d l dfinición. Sin mrgo, ls qu prcn coninución srín más difícils:

2 Ingrls. n d = n ln cos d = ( ) 8 ln( 8 ) Incluso hy funcions lmnls pr ls qu s dsconocn primiivs:,,, ln sn cos,, sn,, n... Propidds..- L ingrl d l sum d funcions s l sum d ls ingrls: [f() ± g()] d = f() d ± g() d.- L ingrl dl produco d un consn por un función s igul l produco d l consn por l ingrl d l función: k f() d = k f() d k R.- L drivd d l ingrl d un función s l propi función: [f() d]' = f().- L ingrl d l drivd d un función s l propi función ms un consn rirri: f'() d = f()... Ingrls inmdis. El érmino ingrl inmdi no rspond un rlidd ojiv. Podmos llmr con s nomr ods qulls ingrls qu ongmos sin rlizr cálculos, d un viszo. Evidnmn, l principio hy muy pocs ingrls qu rsuln inmdis; un vz hymos vnzdo n ss rs, hy muchs más. No osn lo dicho, y slvo pquñs vricions, llmrmos ingrls inmdis ls qu s oinn d lr l l d drivds n snido invrso s dcir, ls qu prcn n l siguin rlción: d = d = n cos d = ln d = co n sn d = d = rcn d = ln d - = rcsn snd = cos cosd = sn A coninución rlcionmos rs ingrls qu, unqu no son inmdis, convin conocr y qu dsmpñn un ppl muy dscdo: d d = C n d ln cos = ln( ) = ln Bsándonos n ls propidds d ls primiivs, ls d l ingrl indfinid y n l l nrior drmos unos méodos gnrls d ingrción qu nos prmiirán ordr l cálculo ingrl pr l prsn curso y qu srvirán d s pr ls écnics qu s uilizrán n cursos posriors.

3 Ingrls... Ingrción por dscomposición. Es méodo s s n l linlidd d l ingrl, s dcir, qu l ingrl d un cominción linl d funcions s un cominción linl d cd un d ls ingrls por sprdo: [k f() k g()] d = k f() d k g() d y consis n prsr l ingrndo como sum d funcions qu smos ingrr; l ingrl uscd srá noncs l sum d cd un d ls ingrls n ls qu s dscompon l inicil. Ejmplos ) ) n d n d = (n )d = (n )d d = n d ( -) d ( -) d = ( ) d ( ) = ( ) d = ln c) sn cosd Sindo qu :snα cosβ = [sn( α β) sn( α β)] y considrndo n s cso α = y β =, rsul : cos( ) cos( ) sn cos d = sn( ) d sn( - ) d = sindo ± ( ) ( ).. Ingrción d funcions rcionls. Ls ingrls qu vmos sudir n s prdo son d l form: P() d Q() dond P() y Q() son polinomios. Si grd(p()) grd(q()), dividimos l numrdor, P(), nr l dnomindor, Q(), y onmos un cocin, C() y un rso, R(), con lo qu podmos prsr l cocin d l siguin form: P() Q() P() Q() = C() R() Q() dond R() in mnor grdo qu Q(), y l ingrl qudrí: R() = d Q() d C()d sí pus, s h dscompuso l ingrl n sum d ingrls; l primr inmdi, y qu s un ingrl polinómic, y l sgund un ingrl rcionl d frcción irrducil. Ejmplo d si dividimos P() = nr Q() = -, onmos qu: = () (-) 5. Lugo l ingrl qudrí d l form: 5 ( ) d = ( )d d = 5ln Es dcir sólo nos nmos qu procupr d rsolvr ls ingrls rcionls d frcción irrducil; n s cso l srgi sguir s procdr dscomponr l dnomindor, Q(), n fcors primos y posriormn rr

4 Ingrls. d prsr l cocin como sum d frccions cuyos dnomindors son los disinos fcors divisors dl polinomio Q(). Al fcur l dscomposición dl dnomindor n fcors primos pudn prsnrs los siguins csos.... Rícs rls y simpls. En s cso l dnomindor lo podmos fcorizr d l siguin form: Q() = ( - α) ( - β) ( - λ) dond α, _,, λ R noncs podmos dscomponr l frcción d l siguin form: P() Q() P() A B L = α β - λ dond A, B,, L son númros rls qu posriormn prndrmos drminr. D s form l ingrl qu smos innndo rsolvr qudrí: d d d d = A B L Q() α β - λ cd ingrl dl sgundo mimro s inmdi, s dcir: d = ln α α... Rícs rls y múlipls. En s cso l dnomindor l fcorizrlo qud d l form: Q() = ( - α) ( - β) ( -λ) l dond α, β,, λ R sindo,,, l l ordn d ls rícs. Cundo so ocurr l frcción s pud dscomponr d l siguin form: P() Q() A A α ( α) A ( α) B B β ( β) B ( β) = dond A, A,, A, B, B,, B son númros rls. Por lo no l ingrl qudrí: P() d d d d d d = A A A B α α α B β B Q() ( ) ( ) ( β) d ( β) ls ingrls dl sgundo mimro son d dos ipos; uns d ipo logrimo, qu corrspondn l cso nrior, qu smos rlizr y ors d ipo poncil, qu s rsulvn dl siguin modo: P() Q() d ( ρ) r ( ρ) r ( r) ( ρ) r = ( ρ) d = = r r A A = α ( α) A ( α)... Algun ríz s complj pro simpl. Si lgun ríz s complj y simpl signific qu n l dscomposición n fcors primos dl dnomindor prc l mnos un polinomio d sgundo grdo con l discriminn ngivo, s dcir, n gnrl podrímos ponr l dnomindor, Q(), como sigu: Q() = ( - α) ( - β) ( p q) ( p q ) noncs l cocin pud sr dscompuso d l siguin form: B ( β) C C D C D p q p q dond A, A,, A,, B,, C, D, C, D, son númros rls. Por lo no l ingrl qudrí: P() d d C D C D d = A A α α d d Q() ( ) p q p q Ls ingrls dl sgundo mimro son d rs ipos; los dos primros corrspondn los dscrios nriormn, s dcir, ipo logrimo y ipo poncil y l rcro s dscompon n dos un qu v rsulr un logrimo y or qu corrspond un rco ngn.

5 Ingrls.5 Vmos como s rsulv: C D d d = C d D p q p q p q () Tipo logrimo () Tipo logrimo Vmos rsolvr por sprdo cd un: d = p q () Tipo rco ngng d = p q p - p d = p q = = p p d p q () Tipo rco ngn d = p q ( d = ln p q p (q ) d = rcn = rcn( p ) Vmos llmr s númro ) p p q d p q Tipo rco ngn como vmos l rsolvr s primr ingrl, d nuvo nos prc l ingrl ipo rco ngn, qu s l qu vmos rsolvr coninución. d = d = d = p ( ) p llmmos = d = d p dond = p q - Nos qudrí por vr un curo cso, cundo ls rícs d Q() son compljs y múlipls, pro és s poco frcun y dmás su rsolución s sn complicd, dmás no sá dnro d los ojivos dl prsn curso, por lo qu no lo rsolvrmos quí.... Méodos d drminción d coficins. Como hmos viso n los rs prdos nriors l form d rsolvr un ingrl rcionl simpr s l mism, dscomponr l ingrndo n sums d funcions rcionls más simpls y qu son más fácils d ingrr; sólo nos qud vr como s oinn los vlors numéricos d los coficins. El primr pso qu hy qu dr simpr s sumr odos los sumndos d form qu ongmos n l dnomindor Q() y n l numrdor un prsión polinómic n l qu drmos drminr cd uno d los coficins; prir d quí hy vrios méodos pr logrrlo..- Gnrr un sism d cucions, igulndo coficin coficin. Es méodo s l más inuiivo pro s complic sn cundo l númro d coficins qu hy qu drminr s myor qu rs. Ejmplo ; = ( ) ( ) A B A ( ) B ( ) (A B) A B = = = ( ) ( ) ( ) ( ) Como los dnomindors son iguls mién inn qu srlo los numrdors, s dcir onmos un iguldd polinómic: A B = = (A B) A B A = y B = A B =

6 Ingrls.6.- En s cso pr drminr los coficins susiuimos n l iguldd polinómic, nriormn cid, los vlors d ls rícs dl dnomindor. Si sguimos con l jmplo nrior: = A ( ) B ( ) susiuimos n l iguldd nrior = - = B; si hcmos lo mismo con =- = -A; s dcir onmos los vlors d A y B dircmn, sin nr qu rsolvr ningún sism d cucions. Es méodo rsul úil simpr qu hy rícs simpls, n l cso qu ls rícs sn múlipls o compljs dmos dr más vlors pr drminr l rso d los coficins, o in uilizmos l siguin méodo..- El rcr méodo consis n drminr lgunos coficins susiuyndo n l iguldd polinómic y oros coficins hciéndolo n l drivd d l iguldd polinómic y si fur ncsrio n ls drivds sucsivs. Ejmplo ; = ( ) ( ) A C D A( ) (C D) ( ) = = ( ) ( ) Como los dnomindors son iguls onmos l siguin iguldd polinómic: - = A( ) (CD) (-) Pr drminr los vlors d A, C y D podmos opr por susiuir l vril por rs vlors, dircmn n l iguldd nrior, y sí onr los coficins; o in, uilizr mién l drivd: 6 - = A (-) D y susiuir n ll. Si rjmos con l primr iguldd: pr =, nmos = A, s dcir A =. pr =, nmos = A - D, s dcir D =. Si n l sgund iguldd hcmos =, nmos -= -C D, s dcir C =. Ejmplo A coninución rsolvrmos un ingrl rcionl: d n primr lugr hy qu fcorizr l dnomindor: - - = ( - ) ( ); s dcir, smos n un función rcionl con un ríz rl dol y un ríz complj con lo qu podmos rlizr l siguin dscomposición n frccions simpls: A A = ( ) C D A( ) ( = ) A ( ) (C D) ( ) ( ) ( ) si igulmos los numrdors, onmos: - = A ( - ) ( ) A ( ) (C D) ( - ) pr =, onmos: 6 = A, s dcir: A =. pr =, onmos: = -A A D, s dcir: D - A =. drivndo l iguldd onmos: 6 - = A [ ( - ) ] A ( - ) (C D) ( - ) pr =, onmos: 8 = A A, s dcir A = y por lo no D =. Sólo nos qud drminr C; hcindo n l úlim iguldd =, s in: - = A - D, s dcir C =. Por lo no: = ( ) y l ingrl qud rducid clculr l sum d dos ingrls: d ( ) d = d = ln( ) rcn( ) Hmos hcho ls ingrls pr

7 Ingrls.7 d ( ) = ( ) d = = ( ) d d d = d = d = ln( ) rcn( ) ( ).. Ingrción por prs. A prir d l drivd d un produco podmos onr un fórmul qu nos srá muy úil n l cálculo ingrl. Como smos: [u() v()]' = u'() v() u() v '(), si ingrmos n mos ldos d l iguldd nmos: [u() v()]'d = u'() v() d u() v '() d y como [u() v()]'d = u() v() s in: u() v '() d = u() v() - u'() v() d qu si uilizmos l noción difrncil: dv = v'() d, du = u'() d, qud l prsión: u dv = u v - v du Es méodo sólo s válido pr funcions drivls; l plicrlo pudn prcr dos siucions: * En lgunos csos s rduc l ingrl or más sncill. ln d ; s considr u = ln y dv = d * En oros s rproduc l ingrl d prid. sn d ; s considr u = sn y dv = d hy qu rlizr l ingrción por prs dos vcs conscuivs, siguindo s squm, y noncs nos prcrá: sn d = sn - cos - sn d si psmos l ingrl dl sgundo mimro l primro s in: sn d = sn - cos; por no: (sn cos) sn d = Como hmos viso s hiul qu l procdr ingrr por prs s ong un ingrl n l sgundo mimro qu, nuvmn, d ingrrs por prs. En sos csos, no s convnin uilizr l consn d ingrción, C, hs l finl. Por úlimo ls ingrls qu coninn logrimos, funcions rigonomérics invrss, producos d poncis, n, con logrimos, ponncils y funcions rigonomérics s ingrn, principlmn, rlizndo un o más vcs l procso d ingrción por prs. Es dcir ls ingrls d ls forms: R( n, m ) d, R(, ln) d, R(, rc sn m) d, R(, rc cos m) d, n ln d, n (ln) m d, n sn d, n cos d, n rc sn d, n rc cos d, n rc n d dond R( ) indic un función rcionl d los rgumnos qu sñl, son ods rducils por ingrción por prs, so signific qu o in s oin un nuv ingrl qu s pud rlizr por prs o in onmos un ingrl rcionl, qu simpr srmos rlizr o in prc un ingrl corrspondin un cmio d vril d los qu drmos n l siguin prdo. Ls ingrls d los ipos: n sn m d o n cos m d son ingrls por prs, rproduciéndos l ingrl d prid. Tmién s rducn por ingrción por prs ls ingrls d ls forms: P n () m d, P n () sn m d, P n () cos m d dond P n () s un polinómio d grdo n..5. Ingrción por cmio d vrils. L rgl d l cdn, pr drivr un función compus, prmi onr un méodo d ingrción n l qu l vril s "susiuy" por un nuv vril ; l rlción = φ() qu lig ms vrils s dic qu proporcion l "cmio d vril". Pr podr hcr so s ncsrio qu l función = φ() s difrncil, n función d, y dmás qu is l función invrs = ψ(); jo ss condicions s vrific: f() d = f[φ()] φ'() d = g() d dond g() = f[φ()] φ'() Ahor in, si conocmos un primiiv d g(), G(), noncs l función F() = G[ψ()] s un primiiv d f() con lo qu qudrí rsul l ingrl y qu: f() d = f[φ()] φ'() d = g() d = G() = G[ψ()] C

8 Ingrls.8 d d = = rcn = rcn d = Hcmos = lugos d=d d = ( )d = ( ln ) = p Hcmos l cmio = lugo nmos d = d p C ln q q * R(,,, )d El cmio d vril rcomnddo s = n, dond n = m.c.m.(q, q, ); un vz rlizdo l cmio d vril, l ingrl s rduc un ingrl rcionl d vril, qu pud sr ordd con los méodos qu y conocmos. Ejmplo En s cso hmos considrdo dircmn l función invrs = ψ(), so s pud hcr simpr qu rsul ms cómodo pr l rlizción d l ingrl, coninución vrmos un jmplo n l qu uilizmos l cmio dircmn. Ans d plicr s méodo dmos nr n cun ls siguins considrcions: * No s pud plicr lguns vcs dido l dificuld d nconrr un cmio d vril dcudo, si in, un vz nconrdo l procso sul sr sncillo. * Pud omrs como norm considrr un cmio d vril nálogo l qu nos h funciondo con un ingrl muy prcid. No simpr ondrmos con un cmio d vril l rsuldo pcido, por llo, pud qu hy qu rlizr vrios cmios ncdndos. * Es rcomndl uilizr un cmio qu simplifiqu l prsión d l función qu ngmos qu ingrr. Por jmplo si is un ríz d l vril, innr hcr dsprcr dich ríz. A coninución vmos dr lgunos csos n los qu s rcomind l cmio d vril dcudo, so no signific qu simpr hy qu rlizr ss ingrls uilizndo los cmios fcilidos, n ocsions hy "jos" qu hcn qu l procso s más coro, lo sguro s qu siguindo ls indiccions podrmos rsolvr l ingrl..5.. Ingrción d lguns funcions irrcionls. Ls ingrls qu s musrn n s prdo corrspondn funcions rcionls d poncis rdicls d l vril; ss funcions ls dnormos d l form: R( n, p q ). En gnrl, pr ingrr ss funcions s plicn cmios in conocidos qu rducn l ingrl irrcionl un rcionl o rigonoméric Cmio d vril poncil. A coninución s ponn los cmios d vrils conocidos pr lgunos csos priculrs: p p q q * R[,( c d ),( c d ), ]d n El cmio rcomnddo n s cso srí = c d, dond, n = m.c.m.(q, q, ); un vz rlizdo l cmio d vril, l ingrl s rduc un ingrl rcionl d vril. n * R(, )d El cmio d vril rcomnddo s = n, rduciéndos l ingrl, d nuvo, un rcionl con l nuv vril. * R(, n c d )d En s cso l cmio d vril dcudo s n l vril. n =. L ingrl s rduc un ingrl rcionl c d

9 Ingrls.9 * Pr * Pr * Pr Ejmplos d d R(, R(, R(, d d d α.5... Cmio d vril rigonomérico. Los siguins csos priculrs d ingrls irrcionls s rducn mdin un cmio d vril rigonomérico: d α ) d α ) d ) d d d d.5... Cso R(, c ), s uiliz l cmio, s uiliz l cmio, s uiliz l cmio = α n. = α sc. = α sn En l úlimo cso mién s pud uilizr = α cos. Ejmplo Cundo przc un ingrl dl ipo: R(, c) d corrspondins dsrrollr ls iguldds qu coninución s dlln:, los cmios rcomnddos son los Si Si Si >, s considr : c >, s considr : c = c = (ó - c in dos rícs disins α, β s considr Ejmplo d d c (ó - ) c) c = ( α)

10 Ingrls..5.. Ingrción d funcions rigonomérics. En s prdo considrrmos mién, qu R( ), como n los nriors, s un prsión rcionl d los rgumnos qu przcn n cd cso. Ls ingrls d l form: R(sn, cos) d, simpr s pudn rnsformr n ingrls rcionls uilizndo l siguin cmio d vril: = n = rcn d d = ( n ) d = n y sindo qu sn = n con lo qu: = ; cos n = n = - d R(sn, cos )d = R(, ) s dcir, onmos un ingrl rcionl n l vril. Es cmio simpr s válido indpndinmn dl ipo d función rcionl n snos y cosnos, s dcir, simpr podrmos rsolvr un ingrl d s ipo uilizándolo, unqu n lgunos csos spcils, como los qu dscriirmos coninución, hy cmios qu hcn qu l rsolución d l ingrl s rlic por un cmino más rápido. * Si R(-sn, -cos) = R(sn, cos), s dcir si l prsión dl ingrndo s pr n sno y cosno, s convnin uilizr l cmio: = n. * sn sn d ; sn cos d ; cos cos d En s cso no s ncsrio rlizr nigún cmio d vril, s rducn ingrls inmdis mdin ls prsions rigonomérics: sn sn = ½[cos(-) - cos()] sn cos = ½[sn(-) sn()] cos cos = ½[cos(-) cos()] * R(sn) cos d Hcmos l cmio = sn. * R(cos) sn d Hcmos l cmio = cos. * sn m d y cos m d con m N. - Si m s impr, s dcir m = k, plicmos l iguldd: sn cos =, y nos qud: sn m d = sn k sn d = ( - cos ) k sn d cos m d = cos k cos d = ( - sn ) k cos d qu corrspondn l cso nrior, hcmos rspcivmn cos = y sn =, qudndo ingrls polinómics, qu l dsrrollr l ponci son inmdis. - Si m s pr, s dcir m = k, plicmos: = sn cos sn = cos = cos sn ( cos ) ; cos = ( cos ) sn m d = sn k d = (½) k ( - cos) k d cos m d = cos k d = (½) k ( cos) k d qu son ingrls d mnor grdo qu ls nriors; dsrrollndo l ponci qudrín ingrls d ordn impr y pr, con lo qu hrí qu procdr d form nálog pr rducirls, hs qu consigmos ingrls inmdis.

11 Ingrls. * sn n cos m d con n, m Z. - Si uno d los dos númros s posiivo impr, noncs plicmos l iguldd sn cos =, rducindos un ingrl d ls siguins: R(sn) cos d ó R(cos) sn d qu hn sido rsuls con nrioridd. - Si los dos númros son posiivos y prs, noncs s plicn ls iguldds: sn cos = ½ sn ; sn = ½(-cos) ; cos = ½(cos) y l ingrl s rduc un ingrl d ls siguins: sn m d ó cos m d qu mién hn sido sudids nriormn..5.. Ingrción d ors funcions rnscndns. Ls ingrls d l form: R( m, n, ) d s rducn un ingrl rcionl hcindo l cmio = ; qudndo l ingrl como sigu: m n ln R(,, ) d n priculr: R( m, n, ) d s rduc hcindo l cmio =, qudndo l ingrl: Ejmplo. m n R(,, ) d Considrmos d d = ; y por no d = qu y s un ingrl rcionl. = = ln d ( ) d = d lugo :.6. Esrgis d ingrción. Drminr l ingrl indfinid d un función no s un procso sncillo y mucho mnos mcánico. En lgunos csos, l ingrl pud rducirs mcánicmn mdin los méodos d ingrción pusos n s m. Ingrr pln un siución d rjo d pro; s dcir, l princi cumuld por un prson n ingrción prmi lrgr l sprnz qu dich prson ong un rsuldo provchoso. Aunqu l princi no simpr s grní d éio. No is un srgi glol qu prmi drminr un ingrl culquir, por llo s convnin dscr los siguins psos como los qu hrí qu dr n un ingrl dsconocid: * Compror si s r d un ingrl inmdi o si con un pquñ modificción s rnsform n un ingrl inmdi. * Drminr si s r d un ingrl rcionl, irrcionl, rigonoméric o rnscndn. * Innr l procso d ingrción por prs. * Osrvr si s similr un ingrl qu hymos rlizdo, pr vr si s pud rducir d un form prcid. * Innr, por úlimo, un cmio d vril.

12 Ingrls..7. Aproimción inuiiv l concpo d ingrl dfinid. Propidds. A lo lrgo dl siglo XVII s inició n Europ un corrin invsigdor nczd por Nwon y Liniz qu conriuyó d mnr spcil l l rsolución d los dos grnds prolms dl cálculo infinisiml. El primro d llos s cnr n l drminción d l rc ngn un curv dd, s dcir, l prolm fundmnl dl cálculo difrncil, minrs qu l sgundo d sos prolms consisí n drminr l ár ncrrd por un curv pln, lo qu consiuy l prolm fundmnl dl cálculo ingrl..7.. Ár jo un curv. Ingrl dfinid. Vmos como clculr l ár jo un curv qu corrspond l rprsnción gráfic d l función y = f() n l inrvlo [, ]. Por llo nndrmos l ár qu limin l curv, l j OX y ls rcs vricls = y =. Pr clculr l ár ncrrd por l curv n l inrvlo [, ], dividimos dicho inrvlos n suinrvlos, dfinimos pr cd uno d llos rs rcinos rcngulrs d lurs: M: Vlor máimo d f() n l suinrvlo. m: Vlor mínimo d f() n l suinrvlo. H: Vlor rirrio d f() comprndido nr m y M. Es vidn qu l sum d ls árs d los rcinos d lur M, qu llmrmos S n, s myor qu l ár ncrrd por l curv, S, y su vz, és s myor qu l sum d ls árs d los rcángulos d lur m, s n, s dcir: s n S S n dond "n" indic l númro d pricions qu hmos rlizdo n l inrvlo [, ]. Y dmás si considrmos culquir sum d árs rcngulrs, S' n, mién sá comprndid nr ls dos nriors: s n S' n S n. Tnmos sí un méodo proimdo pr clculr l ár jo un curv: omndo un ciro númro d sudivisions dl inrvlo [, ], podmos simr qu l ár jo l curv s igul l sum d los rcinos rcngulrs qu inn como s l mpliud dl inrvlo y por lur f(ξ), sindo ξ un vlor rirrio dnro dl suinrvlo. Al vlor s n, s l dnomin sum infrior; S n s l llm sum suprior. Esos vlors dpndn d l prición scogid, s dcir, pr disins pricions ndrmos disinos vlors d l sum infrior y suprior. Cundo incrmnmos l númro d sudivisions l vlor d s n s crc l vlor d S n, vrificándos simpr qu: s n S S n y s n S' n S n. Cundo n ind infinio l vlor d l sum infrior y l d l sum suprior coincid lugo podmos ponr: lim S' = S n S Es dcir, l ár jo l curv n l inrvlo [, ], s igul l lími d l sum d ls árs rcngulrs inrmdis: n = lim f ( ξi ) ( i i) n i= l vlor dl ár qu ncirr l gráfic d l función n l inrvlo [, ], s l dnomin ingrl dfinid d l función f() dsd hs, y s dno por: f ()d

13 Ingrls..7.. Propidds d l ingrl dfinid. A coninución vmos dr un sri d propidds qu s dsprndn, prácicmn, d l dfinición d l ingrl dfinid. I. [k f () k g()]d = k f ()d k g()d k,k R II. f ()d = c f ()d c f ()d c [, ] VI.- III.- f ()d = IV. f ()d = f ()d V. f() [, ] f ()d f() g() [, ] f ()d g()d VII. f ()d f () d VIII. Torm d l mdi (o dl vlor mdio) Si f() s coninu n [, ] ξ [, ] / f ()d = f ( ξ) ( ).8. L ingrl dfinid como función d su lími suprior. S f : [, ] R un función ingrl. Pr cd [, ] podmos considrr l siguin vlor: f()d socido. Así pus, podmos dfinir prir d lo nrior un nuv función, F, uilizndo l vlor d l ingrl dfinid: F : [, ] R s dcir: [, ] f()d F() = f ()d [,] A coninución vmos vr qu s nuv función qu hmos consruido, F(), sá ínimmn ligd l qu nos h srvido d s pr consruirl, f(), y qu d lgun mnr mjor ls propidds d és. Si f() s un función cod, noncs l función F() s coninu. Torm fundmnl dl cálculo ingrl. S f : [, ] R un función coninu n un puno c (, ). Enoncs l función F() s drivl n c, y dmás: F'(c) = f(c). Es orm nos lig l ingrl dfinid con l cálculo d primiivs d un función y dmás nos srvirá pr, prir dl conocimino d un primiiv d un función, podr drminr l vlor d l ingrl dfinid d dich función n l inrvlo. Eso s lo qu s conoc como l rgl d Brrow.

14 Ingrls. Torm. Rgl d Brrow. S f : [, ] R un función ingrl, y g : [, ] R un primiiv suy. Enoncs: F() = f ()d = g() g() Osrvción: L ingrl indfinid d un función coninu s un función drivl, y l ingrl indfinid d un función cod s un función coninu. Así pus, si un función s disconinu n un conjuno finio d punos, con disconinuidds vils o d slo, noncs l ingrl d és s un función coninu. L función dfinid prir d l ingrl posrá, lo sumo, disconinuidds n qullos punos dond l función inicil pos disconinuidds d ndnci l infinio o disconinuidds sncils. A coninución vrmos lgunos jmplos d plicción d l rgl d Brrow..- Si conocmos un primiiv d un función rsulrá muy fácil clculr l vlor d l ingrl dfinid d és n un inrvlo. d = ln(n )d = [ rcn ] [ g() ] d f ()d = f ( φ()) φ c = rcn() rcn() = =.- Considrmos l función F() = ln(n )d. Drminr l vlor d F '(). Pr rsolvr s ipo d prolms considrmos un función primiiv, g(), d f() = ln(n); y plicndo l rgl d Brrow nmos: = g( ) g() F' () = g' ( ) como g() s un primiiv d f() = ln(n) g'() = f(). Lugo: F'() = ln(n ).8..- Cálculo d l ingrl dfinid. Pr clculr un función primiiv, y d s form podr plicr l rgl d Brrow, hmos uilizdo dos méodos: ingrción por prs y por cmio d vril. Vmos como nmos qu plicr n cd cso l rgl d Brrow Ingrción por cmio d vril. Supongmos qu pr clculr un primiiv d l función f() s rquir l cmio d vril = φ(), cuy función d cumplir ls siguins condicions: ª El inrvlo [, ] s rnsform n l inrvlo [c, d], mdin φ - (), d mnr qu, cundo vrí d modo coninuo n l inrvlo [c, d], l función = φ() lo hc igulmn n l inrvlo [, ], y dmás φ(c) = y φ(d)=. ª L función φ() s coninu y dmi drivd coninu, φ'(), n l inrvlo [c, d]. Bjo ss condicions s vrific: sn cos d = '()d lo qu nos vi nr qu dshcr los cmios d vril fcudos durn l cálculo d primiivs. Ejmplo. Clculr: lugo: sn cos d Hcmos l cmio sn =, cos d = d. Por lo no los nuvos límis d ingrción son: sn(/) = d d = rcsn(/) = sn = c c = rcsn =. d = = =

15 Ingrls Ingrción por prs. Sn u() y v() dos funcions coninus qu dmin drivds, u'() y v'(), coninus n l inrvlo [, ]. Enoncs s vrific: s dcir: u()v'()d = u() v() u() v() v()u'()d udv = [ u v] vdu Ejmplo. Clculr: rcn d llmmos: u = rcn du = d dv = d v = d dond: rcn d = [ rcn ] d = [ rcn ] = rcn ln (rcn ln) = ln d = rcn ln( ) =.9. Apliccions d l ingrl dfinid. Pr concluir nusro sudio d ls ingrls, hmos d rornr l prolm dl ár, qu fu nusro puno d prid. Esmos y n condicions d clculr lguns árs plns con uilio d l ingrl dfinid. Tmién ordrmos oro prolm próimo l dl ár, como s l cálculo dl volumn d un curpo d rvolución, y s lrddor dl j OX como lrddor dl j OY..9.. Ár d un figur pln. En s prdo dsrrollrmos l méodo pr drminr l ár d lgunos ipos d rgions dl plno Ár dfinid por l gráfic d un función. S f : [, ] R un función coninu. Considrmos l rgión dl plno dlimid por l gráfic d l función f, l j OX y ls rcs =, =. Enoncs: * Si f() s un función no ngiv. L ingrl nr y s un númro posiivo y coincid con l vlor dl ár limid por l gráfic d l función, l j OX y ls rcs = y =. ár = f()d * Si f() s un función no posiiv. L ingrl nr y s un númro ngivo y coincid con l opuso dl vlor dl ár limid por l gráfic d l función, l j OX y ls rcs = y =. f()d

16 Ingrls.6 dond c, c,, c n [, ] y son rícs d f() =, scris d mnor myor Ár limid por dos funcions. Sn dos funcions coninus dfinids n l inrvlo crrdo [, ]. S considr l rgión dl plno dlimid por ls dos gráfics d ls funcions f y g, y por ls rcs = y =. * Si g() f() [, ], noncs l función f - g s no ngiv. ár = f ()d g())d g()d = (f () * Si f() g() [, ], noncs l función g - f s no ngiv. ár = g()d f ())d * Si f() s un función qu om vlors posiivos y ngivos dnro dl inrvlo [, ], noncs s pud dscomponr como difrnci d dos funcions posiivs: f() = f () - f (); dond: f () = m{f(), } y f () = m{-f(), } f ()d = (g() * Si isn vlors pr los qu f() g() y vlors ls qu g() f(), l función f - g om vlors posiivos y ngivos; noncs: ár = f () g( () d s dcir, s drminn los suinrvlos n los qu f() g() y mién qullos n los qu g() f(); l ár srá l sum d ls ingrls d f() - g() n los primros suinrvlos, juno con l sum d ls ingrls d g() - f() n los sgundos suinrvlos. Ejmplo. Hllr l ár d l rgión cod dl plno qu sá ncrrd nr ls curvs y = -, y = -. S compru qu ls curvs s corn n = -, =, = -, = ; l rgión dl nuncido cons d rs prs, qu corrspondn : - -, -,. D curdo con l figur l ár vldrá: f () d = f ()d c [( [( c ) ( ) ( f ()d f ( )d f ()d f ()d ár = ár f ár f = c En gnrl si un función in ms d un puno d cor con l j d sciss, ndrímos: c )]d )]d f ()d [( = c c n ) ( f () d )]d.9.. Volumn d un sólido d rvolución En s prdo s sudi l volumn d un rgión dl spcio dlimid por un suprfici d rvolución; s rgión s l dnomin sólido d rvolución. L form d gnrr un sólido d rvolución consis n considrr un rgión dl plno, n s cso vmos considrr un función coninu cuy gráfic dlimi un suprfici, qu l girr lrddor dl j OX, o lrddor dl j OY, originn dichos sólidos; uno con j d simrí OX y oro con j d simrí OY.

17 Ingrls Sólido con j d simrí OX. Considrmos un función f : [, ] R, coninu n [, ] y s l rgión pln dfinid por l gráfic d l función, l j OX y ls rcs = y =. Es rgión pln s gir lrddor dl j OX. El volumn d dich rgión vin ddo por: V = [f ()] d.9... Sólido con j d simrí OY. En s cso s considr l rgión pln dfinid por l gráfic d l función f, l j OY y ls rcs horizonls y = m, y = M; dond: m = min{f() / [, ]} M = m{f() / [, ]} Es rgión l girr lrddor dl j OY drmin un sólido cuyo volumn vin ddo por: V = l()d dond l() s l longiud d l curd formd por l scción vricl d l rgión pln drmind. Ejmplos..- S considr l circunfrnci (-un figur goméric llmd oro vrigur su volumn. Pr drminr l longiud d l scción vricl, y =. Si s hc girr dich circunfrnci lrddor dl j OY drmin l(), n un puno culquir,, clculmos l difrnci nr ls ordnds d cd uno d los punos rmos d l curd rprsnd por un lín d punos n l figur. Por lo no: con lo qu l volumn dl oro vndrá ddo por l siguin ingrl: V = = = z d 8 ( ) d = d = snz = cos zdz d snzcosz rcsn = Lugo l volumn dl oro srá: = 8 d = 6 d= y d= sn z cosz dz = cos ( ) d= ( ) - d = zdz = qu l ingrndo s impr. cosz dz = Hcmos l cmio = - d = d z d snz = V = 6 d = 6 rcsn como rcsn = V = = 6( rcsn)

18 Ingrls.8 y.- Hllr l volumn dl lipsoid drmindo por l lips d cución: =, l girr lrddor dl j OX. L función n s cso srí: y = ( ) Por lo no l volumn vndrá ddo por: V = ( )d =

19 Ingrls.9.- Clculr por susiución ls siguins ingrls: 8 rcn d (ln) rcsn d ) ) d c) d d) d ) d f ) d g) d h).- Clculr por prs ls siguins ingrls: ln ) sn ln(cos)d ) ln d c) rcn d d) rcsn d ) d f) sn cos d ln rcsn sn g) d h) d i) d j) ln( )d k) (ln) d l) ( )rcn d - sn.- Hllr ls siguins ingrls rcionls: 6 d d d ) ) d c) d) d ) f) d g) d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 h) d i) d j) d k) Clculr ls siguins ingrls: ) sn cos d ) sn cos d c) sn sn snd d) f ) m) ) h) n) o) sn 5 d g) d cos sn 5.- Clculr ls ingrls: d d 5 d 6.- Clculr: ) d h) d d o) ) d n d h) cos d n) sn cos i) i) ) ( d d ( ) ) 5 ln d d n p) d - n c) j) d j) c) 7.- Ingrndo por prs compror: ) c) d) n n d = n n ) (ln ) d = (ln ) n n n ln d = (n ) (cos sn) n n d = n q) d i) sn cos sn cos o) - sn j) d p) d q) d cos d d (ln ) n p) d sc - ( ) d [(n )ln ] k) cos (cos d) d k) d - ln d sn cos d) d 8 5 d 5 6 d sn cos sn d sn - l) d sn ) d sn cos cos cos k) scd l) d - cos d l) d m) - 7d rcsnd q) ) l) ) r) rcn( α)d sn) d cos sc cosc d d snd f) m) con α R r) f) cos d ( d d sc d g) g) s) d ( ) ( ) ) s) sc d d 6 6 d d 8 n) d d 5 ) cos d

20 Ingrls. 8.- S l función: 9.- Clculr dond: d )F() = )F() = d)f() = - d E[] f () = )F() = n d < dond E[] s l pr nr d. Drminr: snd n N {} f)f() = f ()d c)f() = d ln d g)f() = d)f() = - - n d d n N -{,}.- Clculr: f ()d sindo: () = f >.- Clculr ls siguins ingrls dfinids: ) cos d ) snd c) snd f ) l) d g) sn cos d snd m) h) sncosd cosd n) i) d) - E[]d (rccos) d d o) 5 ) - j) d - - d p).- Clculr l ár limid por y =, l rc = - y l j d sciss. y.- Dmosrr qu l ár d l lips = vin dd por S =..- Clculr l ár limid por l circunfrnci y = y l práol y =. - - k) d - ln d 5.- Drminr l ár d l rgión pln dlimid por l j OX l gráfic d l función f() = - 5 y ls rcs 5 =, - 5 =. 6.- Drminr l volumn d l figur qu ngndr l rgión pln, dlimid por ls funcions f() = y g() =, l girr lrddor dl j OX. 7.- Drminr l volumn dl sólido d rvolución ngndrdo por l rgión pln, dlimid por l gráfic d l función f() = /, l rc = y l j d sciss, l girr lrddor dl j OX. 8.- S considr l circunfrnci ( - ) y =. Si s hc girr dich circunfrnci lrddor dl j OY drmin un oro (rosquill). Clculr su volumn. 9.- Drminr l volumn d un sólido d rvolución d j d simrí gnrdo por: ) L rgión dlimid por l gráfic d l función f() =, l j OY y l rc y - =. ) L rgión dlimid por l gráfic d l función f() =, l j OX y l rc - =. c)l rgión dlimid por ls gráfics d ls funcions f() = y g() =. ) El círculo dlimido por l circunfrnci d cnro (-, -) y rdio,d cución: ( ) (y ) = Cundo gir lrddor dl j OX, y cundo lo hc lrddor dl j OY. Así mismo, drminr n cd cso l vlor dl ár d cd un d ls rgions plns dscris n cd uno d los prdos. 9.- S f: R R, l función dfinid por f() = 6. Tin lgun primiiv qu lcnz l vlor pr =?..- Clcul l ár dl rcino limido por l gráfic d l función f () = y l rc ngn l mism n l puno P(, ). d

21 Ingrls..- S f : [, ] R, un función coninu l qu f ()d =. Dmosrr qu is un puno ξ [, ] n l qu f(ξ) =..- Considrmos l rgión pln dlimid por l gráfic d l función f() = rcn, l j d ordnds y l rc y =. Clculr l ár d dich rgión y l volumn dl sólido ngndrdo l girr l suprfici lrddor dl j OY..- Clculr l vlor d l siguin ingrl: ( ) d..- Considrmos l función f () = d. Clculr l cución d l rc norml l gráfic d dich función n l puno d scis =. Dmosrr, sándos n ls propidds d l ingrl dfinid, qu si g () = d, noncs g() > f() >. 5.- Clculr l ár d l rgión pln dlimid por l práol d j horizonl y = y l función y =. 6.- Clcul l ár dl riángulo formdo por l j d ordnds, y ls rcs ngn y norml l gráfic d l función f() = rcn, n l puno d scis =. 7.- Drminr l volumn ngndrdo, l girr lrddor dl j OX, l suprfici pln dlimid por l gráfic d l función y = ln, l j d sciss y l rc =. 8.- Clculr l vlor dl prámro, sindo qu: lim F() =, sindo = F () d. 9.- Clculr l suprfici dlimid por ls gráfics d ls funcions y = sn, y = cos y l j d ordnds. Así mismo clculr l volumn ngndrdo por dich rgión pln l girr lrddor dl j OX..- Clculr, indicndo los orms n los qu ss, g (), sindo = rcn g () d..- Drminr l volumn ngndrdo por l suprfici dlimid por l función f() = -, l rc y = - y l j d ordnds; l girr lrddor dl j OY..- Clcul f ()d, sindo f() =.

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