INTEGRALES DEFINIDAS. CALCULO DE PRIMITIVAS

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1 INTEGALES DEFINIDAS. CALCULO DE PIMITIVAS. Clclr d d d 7. Clclr d sn sn sn d d. S / d sn / d. Clclr onr los vlors d. El prolm s rslv sncillmn si s inn n cn ls propidds d ls ingrls dinids. d sn d sn d d sn d d d sn d sn d d sn d sn sn sn v d dv d d d sn sn sn Conocidos los vlors d d, s pln n sism d dos ccions, q prmi onr Smndo rsndo

2 Or orm más complicd d rsolvr l prolm sri clclr los vlors d por sprdo, lo cl spondrí rsolvr ls ingrls / d sn, / d. L ingrl indinid s rslv mdin l méodo d pr, cindo l cmio rigonomérico sn ncsrio pr clclr v. sn v d dv d d d d sn C sn C sn d sn sn Tomndo pr l primiiv C sn sn sn d sn / sn v d dv d d d d C sn C sn d sn sn Tomndo pr l primiiv C sn sn sn d / Conocidos s clcln

3 . sn d Ingrl por prs iriv. S mpiz por rsolvr l indinid sn d d d sn d sn d sn d dv d v dv d v ordnndo ( ( sn ) ) sn d sn d sn sn d dspjndo l vlor d l ingrl sn d ( sn ) C omndo como primiiv C, l dinid qd d l sigin orm sn d sn sn ( sn ). sn d El primr pso pr rsolvr l ingrl s prsr l nción como nción por inrvlos, sin vlor solo sn < () sn sn sn d sn d sn d Pr rsolvr ss ingrls, primro s rslv l indinid por l méodo d prs. d d sn d ( ) d d dv sn d v sn C nindo n cn s rsldo, l or s igl pro con l signo cmido sn d sn C Tomndo como primiiv n mos csos C, s rslvn ls dinids sn d [ sn ] ( ) ( ) ( ) sn sn sn d l sm d ms s l solción sn d sn d sn d [ sn ] ( () sn ()) ( sn ). d El primr pso s rsolvr l indinid. En s cso q rnsormr l prsión singrl s l primiiv n () () d. Si s mliplic nmrdor dnomindor dl rdicl por, s consig nr n l nmrdor sn, q sl r d l ríz como sn.

4 ( ) ( ) d d d d d ( ) sn d ( ) ( sn ) d omndo como primiiv C, l dinid qd d l sigin orm sn ( ) sn C C [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) d 7. ( ) d. Ingrl inmdi d l orm n () () d. Pr prsrl como l primiiv s con sir l dnomindor l nmrdor con ponn ngivo. d d.. ( ) d Ingrl inmdi d l orm n () () d. d d ( ) ( ) ( ) 9 9. d Ingrl inmdi d l orm n () () d. 9 ( ) d d ( ) d ( ) ( )

5 . d Ingrl rcionl q s dscompon mdin l división polinómic mdin l méodo d l cj oniéndos L ingrl qd d l orm d d d d. Clclr d sn sn d sn d d sn d sn d sn d sn sn d d ingrl rcionl d rícs rls simpls, s rslv dscomponindo n rccions simpls. A A iglndo los nmrdors s clcln ls consns A A A ssindo n l ingrl, s rnsorm n inmdi dl ipo logrimo nprino. d d. d g Pr l rsolción d s ingrl q nr n cn q dos s - g s l drivd d g - A l prsión singrl s l pd smr rs n consn sin q vrié. L prsión s rnsorm scndo l primiiv d () () n

6 [ ] d g g g d g g d g g d g [ ] [ ] g g d g g g d g g g g g g g g g. Clclr d d d. Clclr d Ingrl inmdi d l orm d () () n. [ ] d d. d sn Ingrl rigonoméric q s rslv mdin l cmio rigonomérico sn d sn d sn sn d sn d d d d sn d d sn Si Si

7 7. Clclr l sigin ingrl dinid d No.- El símolo rprsn l logrimo nprino. d d 7. Clclr d rcsn ( ] d rcsn v d dv d d rcsn d rcsn ( ] ( ] rcsn d rcsn rcsn rcsn rcsn. Clclr d En dond rprsn l vlor solo d. Pr clclr l ingrl q dinir l nción sin vlors solos. < < < < Si Si Si Si Si Si d d d 9. S considr l nción < Si ² Sí ² () Clclr d () - d d d () d -

8 Si sn sn d Si sn d d sn d sn sn sn sn Ssindo n l ingrl () d ( ) d d - d ( ) ( ) d sn. Drminr () sindo q (), (), () (). Aplicndo l dinición d drivd () s oin n cción dirncil d vrils sprls d () () d prsión q prmi dspjr l dirncil d sgnd ( d ()). d () () d ingrndo mos mimros d l igldd () () d nindo n cn q l ingrl s l oprción invrs l dirncil s oin n prsión d sgnd () () d d C C Pr clclr l vlor d l consn s d l do d () qdndo sgnd como () C C () piindo l mism oprción sor ( ) s oin () con l vlor d () () d () () d () () d d d s clcl l nv consn C C C piindo l mism oprción sor () s oin () ( ) d () () d () () d () () d d d () C con l vlor () s clcl l nv consn () C ssindo s oin () () ( )

9 . Enconrr n nción F, sindo q '' Por dinición F d F d Dspjndo d F F d Ingrndo los dos mimros d l igldd F q F'() F(). F d F d Simpliicndo los oprdors ingrl dirncil l primr mimro, s oinn l prsión d F (). F F d d d C C L consn C l clclmos con l vlor d F () n F C C C F () F piindo l mismo procdimino sor F (), s oin l prsión d F() d F F d d F F d F d F d F F C C C F() F d d C F. Enconrr n nción () l q l drivd s Por dinición d drivd Ordnndo vrils d cmpl d d d L prsión d l nción s oin ingrndo mos mimros d l igldd. d d En l primr mimro, s simpliicn l dirncil l ingrl cmplindo l orm ndmnl dl cálclo ingrl, onindos l nción.. d d d L primr rcción s pd complr l primiiv dl rco ngn, l sgnd s compl s l dl logrimo nprino. 9

10 d d d ( ) C rcg d L primiiv scd s oin clclndo l consn C con l vlor d l nción pr rcg C rcg C C C Ssindo n l prsión d l primiiv s oin l scd. rcg ( ). D n nción s sn los sigins dos 7,, Aplicndo l dinición d drivd (). Clclr (). d d Ordnndo vrils d d L prsión d l primr drivd s oin ingrndo mos mimros d l igldd. d d En l primr mimro, s simpliicn l dirncil l ingrl cmplindo l orm ndmnl dl cálclo ingrl, oniéndos l prsión d l drivd primr. d 7 d 7 C L consn C s clcl con l vlor d l drivd n ( ). () 7 C C Ssindo 7 d piindo los mismos psos sor (), s oin (). d d d d d d ( 7 ) d C 7 C 7 C 7.

11 . S considr l nción 9 ÁEAS ) Dijr s gráic indicndo s dominio d dinición. ) Clclr l ár d l rgión cod limid por l crv nrior l rc. D { / 9 }. Dominio D { ± } 9 9 ± Cors con los js OX( ) (, ). 9 OY( ) (, ). 9 Signo d l nción Solo inln los polos ( ±). El único cro q in l nción ( ) sá lvdo l cdrdo, simpr posiivo. (, ) (, ), () <. L nción sá dijd por djo dl j OX. (, ), () >. L nción sá dijd por ncim dl j OX. Asínos vricls Lím ; Lím 9 Lím 9 9 { '} { '99} ; Lím 9 Lím 9 Lím 9 { '99} { '} Asíno orizonl ( L) L Lím.. ± 9 Posición rliv d l nción rspco d l síno orizonl Lím ( L) Lím Lím ± ± 9 ± 9 ( ± ) L nción sá por djo d l síno orizonl. < L Con l inormción onid s pd sozr l gráic d l nción sin nr q sdir ls drivds. No s pid l sdio complo.

12 . El ár pdid s l rgión limid cod por l gric d l nción l rc, como msr l igr. Lo primro s clclr los límis d ingrción(, ) mdin l sism ormdo por ls ccions d l nción l rc Límis d ingrción Por iglción ± 9 SIMETIA Ár d d * A d d d d ( A ] Clclo d consns A A( ) ( ) A 9 9 ( ) ( ) Dndo los vlors q nln cd inomio, s clcln ls consn A. A A( ) ( ) A( ) ( ) A A Ár Conocids ls consns s ssin n l prsión d l primiiv. ( ] A ( ). S considr l nción. ) Dijr s gráic. ) Clclr l rc ngn n l gráic dijd clclr l ár limid por dic gráic l ngn l j OX.. Igl orm q l nción lmnl.

13 . Ección d l ngn l crv n l pno. () () () () Anq s conoc n lími d ingrción, q clclr l oro. Limis d ingrción Dol ini d d Ár 7. Hllr l ár d l rgión cod dl plno limid por ls práols ², ². S pid llr l ár nr dos ncions, no s prciso dijrls pro si ls grics son lmnls como n s cso ( ; ), simpr d. Limis d ingrción Ssición ini d d Ar

14 . Clclr l ár ncrrd nr ls gráics d ls ncions,. Hcr primro n rprsnción sqmáic d ss gráics. Esdio gráico. Práol. Con l véric los pnos d cor con los js s dij. Véric, V v v Cors con los js OX( ),, OY( ) (, ).. c. Con dos pnos clsqir s pd dijr, s con drl vlors. (, ) (, ) Límis d ingrción(, ) Iglción ± d d Ár. Hllr l ár d l rgión limid por ls gráics d ls ncions g Límis d ingrción Iglción 9 9 Pr no nr q sdir l posición rliv nr ls ncions n l inrvlo d ingrción, s rsn n clqir ordn s om l ingrl n vlor solo. d d

15 ( ) ( ) ( ) 9 No El vlor solo sl posiivo porq mos rsndo n l ordn dcdo, s dcir, n l inrvlo d ingrción g() > ().. Ár comprndid nr ls gráics d ls ncions () ; g() S pid clclr l ár nr dos ncions polinómics d º grdo (práols), g() ir ci () ir ci. L rprsnción d ls ncions s pd cr simplmn corizndo ls prsions onindo los pnos d cor con l j OX. () ( ). Cors con OX (, ); (, ). g() ( ). Cors con OX (, ); (, ). Limis d ingrción ( ) ( ) ( ) ( ) d d Ár 7. Hllr l ár ncrrd por ls líns cs ccions son () ; ; ; S pid clclr l ár comprndid nr l nción () l j OX n l inrvlo [, ]. El lími inrior dl inrvlo s oin d l inrscción d l nción () l j OY( ), l lími sprior s oin dl nncido ( ). Tnindo n cn q () > >, l ár pdid s Prs d d Ár d dv d v ( ) ( ) Anq no s ncsrio, l gráic d l nción prmi vislizr l ár pdid. Un sdio s signos cros d l nción ss dos primr drivds prmi sozr l gráic d l nción. () () ( ) () ( ) ] d ] ( ( ) ( ]

16 . Clclr l ár d l rgión dl smiplno limid por l crv () ( logrimo nprino), s ngn n l rc Tngn () n o. () () () () prsnndo ls ncions pr dlimir l rgión Ár ( ) L ingrl dl s por prs, s rslv pr. ; d d d d d C dv d; v Conocid l primiiv d, s ssin n l ingrl dinid. Ár d 9 9. Clclr l ár comprndid nr (), g(). S pid clclr l ár nr dos ncions. Lo primro s clclr los límis d ingrción, pr lo cl s rslv l sism ormdo por ls ccions d ms ncions. Iglción ( ) ± Pr no nr q rprsnr l rgión, ni sdir l posición rliv d ls ncions, s clcl l ár como sm d dos inrvlos, ingrndo n cd inrvlo l vlor solo d l rs d ls ncions. Ár Ár g d g d g d d d ( ) ( ) L rprsnción gráic d ls ncions d n l cálclo dl ár. g() s n rc srá con n pr pnos q s oinn dndo vlors Pr, (, ). Pr, (, ). Pr sozr l gráic d () (Polinómic) s clcln los pnos d cor con los js, s sdi l sino d l nción s clcln los límis n ±.

17 Cors con OX ( ). Méodo d ini ; (dol). Los pnos d cor con OX son (, ), (, ). Cor con OY ( ). Pno d cor (, ). Signo d l nción. () ( ) ( ). Si <, () < (dij por djo dl j OX). Si >, () >, dijd por ncim dl j OX. Lím Lím ± ± ±. Hllr l ár d l rgión pln cod limid por l crv. El j orizonl ls rcs vricls q psn por los pnos d inlión d l crv. Si nlizmos rápidmn l nción s pd onr ls sigins conclsions. El Dominio s odo,. Conin n odo.. Es siméric Pr (() ()). Siméric rspco OY.. () >. Dijd íngrmn por ncim dl j OX.. Alcnz l vlor máimo d cndo vl.. Tind cndo ind ±. Esá inormción nos prmi inir q l nción om orm d cmpn d Gss. Pr clclr l ár, dmos mpzr por clclr los pnos d inlión d l crv, q son los límis d ingrción dl ár pdid. Los pnos d inlión s oinn iglndo l sgnd drivd cro, comprondo q n los pnos dond s nl l sgnd drivd, mién s prodc n cmio d signo d s. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ± Esdio dl signo d l drivd sgnd ( ) [ ( ) ] ( ) ( ) ± En ± l nción prsn pnos d inlión. Un vz drmindos los pnos d inlión, s clcl l ár. Ár d Tnindo n cn l simrí d l nción, s pd simpliicr l cálclo dl ár. Ár d ( rcg ] rcg rcg 7

18 . Hllr l ár limid por l nción, l j d sciss ls rcs. L gráic d l nción corrspond l d dsplzd vriclmn ci rri mdi nid. Pr podr clclr l ár pdid, s ncsrio sdir l signo d l nción n l inrvlo d ingrción. [ ],, Si >, Si < sn sn d d Ár sn sn sn sn. Clclr l ár d l rgión pln cod limid por l crv (), l j OX ls rcs,. No L noción rprsn l vlor solo d. Lo primro s prsr l nción sin vlor solo, pr llo, s scn los cros d l prsión dl vlor solo. < Si Si Por s l nción simpr posiiv, l ár pdid s d d Ár Clclo d ls primiivs C C d v dv d d d d PATES Sindo q l ár comprndid nr l crv l rc s, clclr l vlor d. C C d d Ssindo n ls ingrls dinids ( ] ( ] Ár

19 . S l nción (). S pid Clclr l ár limid por l gráic d l nción (), l j d sciss ls rcs ;. Lo primro d odo s qir l vlor solo prsr l nción por inrvlos. () [ ( ) ] Si < Si Si Si < Ár d ( ) d. Considérs l nción () Sí,, g () Sí > ) Dijr ls gráics d ms ncions n n mismo digrm. ) Clclr l ár dl rcino codo limido por ls gráics d ms ncions.. (). Fnción polinómic d º grdo. 9 9 Véric v ; v ( v ), V,. Pnos d cor con los js OX ( ).. solvindo l cción d º grdo s oin,. Los pnos d cor con OX son (, ), (, ). OY ( )., l pno d cor s (, ). Sí g () Fnción por inrvlos Sí > dinid por prsions linls. Pr dijr l nción s con scr dos pnos d cd rm. Pr. g (,) g() g (, ) Pr >. g (,) g() g() (, ) * Anq n s inrvlo, l nción sá dinid pr vlors d >, s convnin clclr l vlor d l nción n pr sr dond mpiz l nción, pr rprsnrlo s dij con n pno iro () o.. El ár s clcl como sm d dos rgions. L primr nr g(), (),,. L sgnd nr g(), (),, l pno d cor nr ms pr > ± > 9

20 d d A d d o. Hllr l ár d l rgión pln cod limid por l j d sciss l crv () sn n l inrvlo [, ]. Como s pid l ár comprndid nr l nción l j OX, lo primro s sdir l signo d l nción n l inrvlo d ingrción. Tnindo n cn q sn >, l signo d l nción coincid con l signo d. Signo d n l inrvlo [, ] ±, Si < ;, Si > ;, Si < Conocido l signo d l nción s pd prsr l ár d sn d sn d sn Ár Si nmos n cn q l nción s siméric rspco d orign d ordnds(() ()), l cálclo dl ár s pd simpliicr. o sn sn d sn d sn Ár sn sn sn sn. Clclr l ár dl rcino plno drmindo por ls rcs, l práol Si rprsnmos ls rs ncions, con ss pnos d cor,, s osrv q l ár pdid s dlimid por dirns ncions sgún l inrvlo considrdo. En l inrvlo [, ], l rcino sá dlimido nr, n l inrvlo [, ], l rcino sá dlimido nr. d d Ár

21 d d 7. Hllr l vlor d l consn pr q l nción () ng por ngn n l orign l iscriz dl primr cdrn. Clclr noncs l ár d l rgión limid por s ngn l gráic d. L iscriz dl primr cdrn s, s pndin s. Si () in como ngn n l orign d ordnds l iscriz dl primr cdrn, s drá cmplir () () () () Pr clclr l ár dlimid por l nción s ngn s scn los límis d ingrción como inrscción d l nción s ngn. ( ) Tnindo n cn q l ngn ( ) sá por ncim d l nción (() ) n l inrvlo d ingrción ( < ), l ár s Ár ( ( ) d ( ) d. Clclr dijr l ár comprndid por l nción ss ngns rzd n los pnos d inlión d l crv. Gráic d Dominio >. D[()]. Simrí ( ) Pr, Siméric rspco OY. ( ) Cors con los js OX( ). No isn vlors d q nln l nción. OY( ). L nción cor l j OY n,. Signo d l nción >. Posiiv n odo. Asínos i. Vricls no in por sr s dominio odo. ii. Horizonls Lím ± ( ± ). iii. Olic No in por nr orizonl.

22 Esdio d () ( ) ( ) ( ) ( ) Signo cros d l drivd l nción prsn n máimo. En l pno (, ), Esdio d () ( ) ( ) ( ) ( ) Signos cros d l drivd sgnd ( ) ( ) L nción in dos pnos d inlión; (, ( ) ), (, () ), cs ngns n los pnos d inlión. En, ( ) ( ) Ordnndo Pnos Pr, ; Pr (, ) En, ()( ) () ) ( ) Ordnndo Pnos Pr, ; Pr (, )

23 Gráic. El ár pdid s l colord n l gráic, s comprndid n l inrvlo [, ] por En l inrvlo [, ] por En l cálclo dl ár, s pd nr n cn q s siméric. rcg d d Ár rcg rcg rcg 7 9. Enconrr n nmro > pr q l ár limid por l crv, l j d sciss ls rcs s 9. Los límis d ingrción sn por n ldo l inrscción d l nción con l j OX ; OX l rc. El vlor d s clcls mdin l igldd 9 d solvindo l primr mimro d l igldd d Iglndo 7 9

24 . Sindo q l ár comprndid nr l crv l rc s, clclr l vlor d. s n nción linl q ps por l orign d coordnds, q pr dlimir con n ár d sr d pndin posiiv ( > ). Tnindo n cn ls gráics d ms ncions lmnls, l ár q ncirrn s l q msr l igr. El prámro s clcl prir dl d ár pr podr dinirl s ncsrio clclr l coordnd dl pno P, q srá jno con los límis d ingrción. L coordnd dl pno P n nción dl prámro, s oin rsolvindo l sism q ormn ls ccions d ls dos ncions. P IGUALACIÖN P Conocidos los límis d ingrción s pln l ár, rsolvindo l ingrl dinid s llg n igldd q prmi dspjr l prámro. d d Ár _. L práol l cúic s corn n l primr cdrn ncrrndo n rgión limid, d ár igl /. Clclr l vlor d. Pr clclr l ár comprndid nr ls dos ncions s ncsin clclr los límis d ingrción. Límis d ingrción Por iglción En l inrvlo (, ), > > > Pr, por lo no, l ár s d Ár solvindo l ingrl dinid s oin n cción n nción d. o

25 . Clclr l vlor d sindo q l ár comprndid nr l práol l rc s. Pr podr prsr l ár comprndid nr l rc l práol n ncsrio conocr los límis d ingrción. Limis d ingrción d d Ár. Clclr l ár d n rpcio d s mnor, s mor lr. Pr clclr l ár dl rpcio s ncsrio clclr ls coordnds d los pnos A, sí como ls ccions d ls rc OA A. L rc C no s ncsri q por simrí, l ár jo C s l mism q l ár jo AC, A,, c OA Fnción linl dl ipo k. L consn k s clclr priclrizndo l cción d l rc n l pno A. k k r OA c A Fnción consn. El ár dl rpcio, nindo n cn l simrí s ( ] d d A ( ]

26 . Clclr l ár d n circnrnci d rdio Pr simpliicr los cálclos, nindo n cn q l posición d l circnrnci no inl n s ár, sponmos l circnrnci cnrd n l orign d coordnds, sindo s cción En orm plíci ± Sindo l signo posiivo pr pr d l crv q sá por ncim dl j OX l ngivo pr l q sá por djo dl j OX. Pr simpliicr l cálclo, s clcl l ár n l primr cdrn s mliplic por cro. Ár L ingrl s rslv por cmio d vril. sn sn sn sn sn d d d sn d sn d Ár sn d ( ) A d d ( ) d sn sn sn Por rigonomrí ( ). Clclr l ár d l lips d cción. L cción plici d l lips s ± Sindo l signo posiivo pr l rco d crv por ncim dl j d ciss l ngivo pr l rco d crv por djo dl j d ciss. d Pr simpliicr l cálclo nindo n cn l simrí d l igr, s clcl l ár jo l crv n l primr cdrn, s mliplic por cro pr clclr l ár d od l lips. Ár El cálclo d l primiiv s c por cmio d vril, pr simpliicr los cálclos s cmin mién los límis d ingrción. d

27 Cmio d vril Pr sn sn sn Pr sn sn d d Ssindo n l ingrl ( sn ) Ár d d d * ( ) sn d * sn sn d ( ) d ( ) sn sn d 7

28 VOLUMENES. Clclr l volmn d rvolción onido l cr girr lrddor dl j OX l rcino limido por l gráic sn, l j OX. OX d V OX d sn d sn V Ingrl por prs sn d d sn v d sn dv d d d sn sn d sn V sn sn sn sn sn. Drminr l volmn gnrdo l girr rspco l j OX (j d sciss) l rgión cod por ls gráics d ls ncions () ² g (). OX d V El ár q dlimin ls dos ncions s l rprsnd n l igr, sindo ss límis d ingrción El volmn gnrdo l cr girr l ár dlimid por ls dos ncions sor l j OX s clcl como dirnci nr los volúmns gnrdos por cd n d ls ncions n l inrvlo d ingrción OX d d d V

29 . Enconrr l volmn d l igr q s oin girndo l gráic d l nción (), n orno l j OX, n l inrvlo [,]. V OX () () Si < Si VOX d d d d Tnindo n cn q l nción s siméric rspco d OY (simrí pr () ()) d ( ) d ( ). Clclr l volmn d l igr d rvolción drmind por l rgión comprndid nr ls crvs () () g() l girr sor l j OX L rprsnción gráic d ls dos práols, prmi vr q l ár q s c girr n orno OX s dinid por dos prsions dirns Si [,] - Si, V OX ( ] d ( ) d ( ) ( ) d d d ( ) ( ) ( ). Clclr l volmn ngndrdo l girr lrddor dl j OX l rcino limido por ls gráics d () ; g(). Lími ingrción g El volmn q s pid s oin como dirnci nr l volmn gnrdo por l nción () n l inrvlo [, ] l girr n orno l j OX, l gnrdo, por l mismo procdimino, por l nción g() n l mismo inrvlo. V OX d g d g d ( ) ( ) d 9

30 V OX ( ) ( ) d ( ) d 9. Hllr l volmn dl crpo d rvolción ngndrdo l girr lrddor dl j OX, l rgión dlimid por, l j d sciss ls rcs. V OX d d d ( ) d d sn sn sn sn sn sn 7. S qir ricr n cndlro mcizo prir d l igr d rvolción drmind por l ( )² [, ] nción () (, ] l girr sor l j OX, cs mgnids vinn prsds n dcímros. Clclr l prcio d dico ojo ricdo n cor d./cm³. El prcio s oin mliplicndo l volmn dl ojo por l prcio dl cor. [ ] V OX d d d d d d ( ] ( ) Prcio ' 7'. Clclr l volmn dl cilindro d rdio lr. El volmn d n cilindro d rdio lr s oin l cr girr sor l j OX l sprici dlimid por l nción (), l j OX ls rcs. V d ( ]

31 9. Clclr l volmn d n sr d rdio. Pr simpliicr l clclo, s considr l circnrnci d rdio cnrd n l orign d cción. El volmn d l sr d rdio s oin l cr girr lrddor dl j OX l ár limid por l pr posiiv d l cción d l circnrnci l j OX. Simri d d V. Clclr l volmn dl cono d rdio lr El volmn dl como s oin l cr girr l ár limid por l rc q ps por l orign d coordnds in d pndin /, n l inrvlo [, ]. d d V. Clclr l volmn dl lipsoid q s oin l cr girr lrddor dl j OX l sprici dlimid por l pr posiiv d. El volmn dl lipsoid s oin l cr girr lrddor dl j OX l sprici limid por l pr posiiv d l crv n l inrvlo [, ]. Simri d d V