, al conjunto de puntos P
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- Aarón Quintana Sánchez
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1 Fcltd d ontdrí y Administrción. UNAM Intgrl dinid indinid Ator: Dr. José Mnl Bcrr Espinos MATEMÁTIAS BÁSIAS INTEGRAL DEFINIDA E INDEFINIDA SUMA DE RIEMANN S n intrvlo crrdo [, ], l conjnto d pntos P n { o,,,, n } intrvlo s l conoc como prtición dl intrvlo [, ]. contnidos n dicho Esto implic q:, < dond i,,,, n n, i i A cd sintrvlo s l conoc como cld. A l distnci ntr los pntos trmos d cd cld s l conoc como mplitd d l cld. L mplitd d l primr cld s: L mplitd d l sgnd cld s: L mplitd d l trcr cld s: Gráicmnt: o 7 9 n omo s pd dvrtir, l mplitd d ls clds vin ddo por l dirnci d ss vlors inls inicils. Por lo tnto, n gnrl, l mplitd d cd cld vin dd por: i A l myor mplitd d ls clds d n prtición s l dnomin norm d l prtición y s l dnot por. i i Ejmplo. Ddo l intrvlo [,], ctr dos prticions dirnts d sis clds y n cd cso dtrminr cál s s norm.
2 Fcltd d ontdrí y Administrción. UNAM Intgrl dinid indinid Ator: Dr. José Mnl Bcrr Espinos Solción. ) Si s hc n prtición d igl mplitd: s norm s ) S hc n prtición d l mnr q s indic:
3 Fcltd d ontdrí y Administrción. UNAM Intgrl dinid indinid Ator: Dr. José Mnl Bcrr Espinos l norm d st prtición s. S n nción y dinid y limitd n n conjnto D. onsidérs n prtición n dicho conjnto q contng n sintrvlos. Si s scog n pnto ξ n cd sintrvlo d l prtición d orm tl q: [ ] [ ] [ ] ξ, o in: ξ, ξ, ξ ξ o in: ξ o in: y n gnrl: ξ i [ i, i ] o in: i ξi i Si s orm l sm d prodctos dl vlor d n cd pnto ξ por l mplitd d l cld rspctiv, s tndrá: ( ξ ) ( ξ ) ( ξ ) ( ξ ) ( ξ ) ξ q n orm concntrd s pd rprsntr como: n i prsión q s conoc como Sm d Rimnn. ( ξ ) i i Est prsión clcl l sm d cd n d ls ss (ls clds, son ls ( ξ )) d n nción, dd n prtición. Esto dtrmin l sm d ls árs d los rctánglos ormdos. i i n ) por s rspctiv ltr (q Ejmplo. Dd l nción y con., otnr l sm d Rimnn pr l nción dd l prtición:.,,.,.9,.,.,.9, 7 Solción: Los pntos lgidos d cd cld son: ξ., ξ., ξ., ξ, ξ., ξ.7, ξ7 Gricndo s tin:.9 n
4 Fcltd d ontdrí y Administrción. UNAM Intgrl dinid indinid Ator: Dr. José Mnl Bcrr Espinos y L sm d Rimnn s: 7 i ( ξ ) ( ξ ) ( ξ ) ( ξ ) ( ξ ) ( ξ ) ( ξ ) ( ξ ) i i i 7 7 (.)(.) (.)(. ) (.)(.9.) (..9 ) (.)(.. ) (.7)(.9.) (.9)(.9).(.).(.).7(.) (.).7(.).7(.) 7.9(.) y.. En l cso sigint: 7 i ( ξ ). 9 i i y ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ 7 ξ ξ 9 ξ 7 9
5 Fcltd d ontdrí y Administrción. UNAM Intgrl dinid indinid Ator: Dr. José Mnl Bcrr Espinos s prci q lgns d ls árs son ngtivs, por lo tnto, l intrprtción gométric d l sm d Rimnn s: i ( ξ i ) A A A A A A A7 A A9 A i psto q ( ξ ), ( ξ ), ( ξ ), ( ξ ), ( ξ ) ( ξ ) son númros ngtivos. 9, INTEGRAL DEFINIDA Si s n nción dinid n l intrvlo crrdo [ ] s din como: s llm intgrndo. d n i,, ntoncs l intgrl dinid d d lim ξ i i (si l límit ist) y son los trmos o límits d intgrción ( s l trmo inrior y s l trmo sprior) s llm signo d intgrción. Si implic q n, por lo tnto: d lim ( ξ ) n n i i i INTERPRETAIÓN GEOMÉTRIA DE LA INTEGRAL DEFINIDA i i L sm d Rimnn n i ξ rprsnt l sm d los n rctánglos. Si l norm d l prtición tind cro implic q l númro d clds s incrmnt, s dcir q cd vz s tinn más y más rctánglos q s proimn l ár rl jo l crv. Por lo tnto, por dinición: l intgrl dinid s l ár jo l crv n ss límits.
6 Fcltd d ontdrí y Administrción. UNAM Intgrl dinid indinid Ator: Dr. José Mnl Bcrr Espinos y n (ξ ) (ξ ) (ξ ) y() (ξ ) (ξ ) ξ ξ ξ ξ ξ X y n (ξ ) y() (ξ ) (ξ ) ξ ξ ξ
7 Fcltd d ontdrí y Administrción. UNAM Intgrl dinid indinid Ator: Dr. José Mnl Bcrr Espinos y (ξ 9 ) n (ξ 7 ) (ξ ) y() ξ 9 ξ 7 ξ Ls igrs ntriors mstrn como l sm d rctánglos s proim l ár rl jo l crv si n. Ejmplo. Otnr d Solción. Ectndo l prtición: n orm proimd tilizndo n prtición d ocho clds.,.,.,.7,,.,, 7., los pntos lgidos d cd cld son: ξ., ξ., ξ., ξ., ξ., ξ., ξ7., ξ.7 gricndo s tin: y A. 7
8 Fcltd d ontdrí y Administrción. UNAM Intgrl dinid indinid Ator: Dr. José Mnl Bcrr Espinos (.)[. ] (.)[..] (.)[.7.] (.)[.7] (.)[. ] d (.)[.] (.)[. ] (.7)[.].9(.).(.).(.).7(.) 7.(.).(.).(.).. d.. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA Si y g son dos ncions contins n l intrvlo d intgrción [ ] clqir: d ) ) d d ) k d k d ) [ ± g ] d d g ± c ) d d c d cndo < c < d, y k n constnt INTEGRAL INDEFINIDA O ANTIDERIVADA Un nción F srá ntidrivd, o primitiv, d otr nción n n intrvlo [, ] si F ' pr todo vlor d n l intrvlo. Esto s, si F' d F Ejmplo. S. Eso implic: ' L ntidrivd d st nción s l nción originl ( ). Esto signiic q: d L nción tin n ntidrivd prticlr [, ] q s F. L ntidrivd gnrl d s: F
9 Fcltd d ontdrí y Administrción. UNAM Intgrl dinid indinid Ator: Dr. José Mnl Bcrr Espinos dond s n constnt. Ejmplo. S 9 7 ' 7 ( 7) d 9 7 FÓRMULAS FUNDAMENTALES DE INTEGRAIÓN, v, w trs ncions d y n constnt clqir. Ls 7 órmls ndmntls d Si intgrción son: ) d ) d ) ( v ± w) d ± vd ± ± d wd d n n ) d n ) snd cos ) cos d sn 7) tn d lnsc ) cot d lnsn ( n ) 9) sc d lnsc tn ) csc d lncsc cot ) sc d tn ) csc d cot ) sc tnd sc ) csc cotd csc ) d d ) ln 7) d >, ln d ) sn d 9) tn 9
10 Fcltd d ontdrí y Administrción. UNAM Intgrl dinid indinid Ator: Dr. José Mnl Bcrr Espinos d ) sc d ) ln d ) ln d ) ln ( ) d ) ln ) d sn ) d ln( ) 7) d ln INTEGRALES DIRETAS E INTEGRALES QUE REQUIEREN AMBIO DE VARIABLE Un intgrl dirct s qll q s dpt ctmnt l intgrndo con n d ls órmls ndmntls. Sin mrgo, l grn myorí no son dircts, por tnto, nts d intgrr s d compltr l dirncil d pr dptrl n órml, lo q olig hcr intrvnir n constnt q mltipliq y divid l intgrl. En sgid, s tr d l intgrl l constnt q no hg lt pr compltr l dirncil d tl y como lo indic l órml númro. Ejmplos. lclr ls sigints intgrls inmdits: ) d d 7 7 d d ) d ) d ) ) ( ) d )
11 Fcltd d ontdrí y Administrción. UNAM Intgrl dinid indinid Ator: Dr. José Mnl Bcrr Espinos 7) d d ) d d 7 7 9) d d d ) d d d ) d d ) d d d d Ejmplos. lclr ls sigints intgrls ctndo cmio d vril: ) d d d d ) d 7 d d d d 7 7
12 Fcltd d ontdrí y Administrción. UNAM Intgrl dinid indinid Ator: Dr. José Mnl Bcrr Espinos d d d ) ( ) ( ) d 9 ) d 7 d 7 d d ( 7) 7) d d ( )d ( ) d d ) d d [ ( )] d ( ) d d d ( ) d 9) sn d d d sn d cos cos ) cos d cos tn tn d d d sn sn ) d d d d lnsc lnsc d
13 Fcltd d ontdrí y Administrción. UNAM Intgrl dinid indinid Ator: Dr. José Mnl Bcrr Espinos ) cot d d d cot d lnsn lnsn ) sc d d d sc d lnsc tn lnsc tn ) 7 csc d d d csc d lncsc cot lncsc cot ) sc d d d sc d tn tn ) sc7 tn7 d 7 d d sc tnd sc sc7 7) 7 w cscw cot dw w d w dw csc cotd csc cscw 7 ) k csc k dk 7 k d k dk 7 csc d cot cotk 9) d d d d sn ) cos d 9 sn d cosd
14 Fcltd d ontdrí y Administrción. UNAM Intgrl dinid indinid Ator: Dr. José Mnl Bcrr Espinos d 9( ) ) d 9 d d d 9 sn ) d d d d ln ln sn ) d cos cos d snd d ln lncos ( ) ( ) ) d ( ) ( ) d ( ) ( )d d ln ln ( ) ) d d d d ln ln ) 9 7 d 9 7 d 9 d d ln9 ln9 7) d ; d d d sn sn 9 ) d 9
15 Fcltd d ontdrí y Administrción. UNAM Intgrl dinid indinid Ator: Dr. José Mnl Bcrr Espinos ; d d 9 d 9 9 tn tn 9) d 9; d d d sc sc ) d 9 ; 9 7 d d 7 ln ln ( ) 7 ; d ) d d ln ln ) d ( ) ( ) ; d 9 d ln ln 7 ( 7) 7 7 ) d ; d d d ln ln cos ) d sn d d d ; sn sn d cosd d ln lnsn sn ) d ; d d
16 Fcltd d ontdrí y Administrción. UNAM Intgrl dinid indinid Ator: Dr. José Mnl Bcrr Espinos sn sn ) d ; d d ln ln 7) d ; d d ( ) ln ln TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLULO. REGLA DE BARROW Si y s contin n l intrvlo [, ] y si ntoncs, l torm ndmntl dl cálclo stlc q: g cmpl q dg d [, ] d g g Eprsión conocid como Rgl d Brrow. Ejmplos. lclr ls sigints intgrls: 7 ). d ) ( 7 ) d ( ) ( ) ( ) L dmostrción d los torms pstos n los Stms VI. y VI. pdn consltrs n l cpítlo 7 dl liro álclo con Gomtrí Anlític d Prottr y Morry inclido n l iliogrí.
17 Fcltd d ontdrí y Administrción. UNAM Intgrl dinid indinid Ator: Dr. José Mnl Bcrr Espinos π π π ) cos d sn sn sn π ) sncos d on cmio l vril: cos d snd π s cmin los límits d intgrción: cos ; cos d omprondo (sin cmio d vril): π cos L intgrl indinid d l nción contin y Ejmplo. S F F d d F, ormlmnt s din como: d d ( ) d F Esto signiic q l intgrl indinid, s n intgrl dinid con trmo sprior vril. Gráicmnt: y Fd F() 7
18 Fcltd d ontdrí y Administrción. UNAM Intgrl dinid indinid Ator: Dr. José Mnl Bcrr Espinos Finlmnt, prtir d lo ntrior, s tin q: y d d F d F d F d F d df d df d pro por dinición d dirncil: Fd F df El torm ndmntl dl cálclo stlc q l dirncición y l intgrción son oprcions invrss. Los símolos y d son oprdors invrsos. TEOREMA DEL VALOR MEDIO DEL ÁLULO INTEGRAL Si y s contin n l intrvlo [ ] máimo solto q ocrr n ist n númro [, ]. Es dcir: M, ; m s l mínimo solto q ocrr n m ; M s l ( m ) m m ( M ) M M M [ ] m, tl q: d ( )( ) m ( ) M, L igldd d ( )( ) s intrprt q, n tod nción contin, l ár jo l crv simpr podrá sr igl l ár d n rctánglo q tng como s l mplitd dl intrvlo d dinición d l nción y como ltr l vlor d l nción n lgún pnto dl intrvlo. Gráicmnt sto s:
19 Fcltd d ontdrí y Administrción. UNAM Intgrl dinid indinid Ator: Dr. José Mnl Bcrr Espinos y d ( )( ) Bs Altr ( ) Ejmplo. Otnr d l nción y n l intrvlo. Solción. d 7 7 Aplicndo l torm dl vlor mdio dl cálclo intgrl: ( )( ) ( ) 7 y 7 dspjndo d l nción: INTEGRAIÓN POR PARTES Sn dos ncions y v drivls d, y considrndo l rgl pr otnr l dirncil d n prodcto: d ( v) dv v d dv d( v) v d dv d( v) v d dv v v d El intgrndo s spr n dos prts. Un d lls s igl y l otr dv (por so s llm método d intgrción por prts). S dn considrr dos spctos: ) L prt q s igl dv d sr ácilmnt intgrl. ) v d no d sr más complicd q dv 9
20 Fcltd d ontdrí y Administrción. UNAM Intgrl dinid indinid Ator: Dr. José Mnl Bcrr Espinos Ejmplos. lclr ls sigints intgrls plicndo l método d intgrción por prts: ) d d, dv d v d ) snd d d d, dv snd v cos ( cos) d cos cosd sn cos snd cos ) d d d, dv d ( ) d v ( ) d d ( ) ( ) ) sn d sn d snsnd sn d cosd, dv snd v cos ( cos ) ( cos)( cos) d sncos snsnd sn pro s s q: sn cos cos sn ( sn ) d sncos d sncos sn d pro l últim intgrl s igl q l scd, pro con signo contrrio, por lo tnto: sncos sn d sncos sn d ) d d d d d, d dv d d v d, dv d v d d intgrlporprts d intgrlporprts cos d
21 Fcltd d ontdrí y Administrción. UNAM Intgrl dinid indinid Ator: Dr. José Mnl Bcrr Espinos d d d d, dv d v d INTEGRALES TRIGONOMÉTRIAS Ls idntidds más sds n l rsolción d intgrls trigonométrics son: ) cos sn ) sc tn sn cos ) cos cos sn cos y sn y sn y ) sn ( cos) ) csc cot ) cos ( cos) ) sncos ( sn) 7) 9) [ ] cos cosy cos y cos y ) sn sny [ cos( y) cos( y) ] ) [ ] Ejmplos. lclr ls sigints intgrls tilizndo idntidds trigonométrics: ) sn d sn d cos d sn ) cos d d d cos cos sn ) cos d cosd ( cos ) cosd ( sn ) cosd ( sn sn ) cosd cosd sn cosd sn d cos cos
22 Fcltd d ontdrí y Administrción. UNAM Intgrl dinid indinid Ator: Dr. José Mnl Bcrr Espinos sn d d sn sn sn sn ) sn cos d sn cos ( sn ) cosd ( sn sn ) d d sn cos sn cos d sn cosd sn sn ) d sc d sc sc d ( tn ) sc sc d sc d tn sc d tn tn ) sn cosd sn cosd [ sn( ) sn( ) ] d sn d snd ( cos( )) ( cos) cos cos 7) sn snd sn snd [ cos( ) cos( ) ] d cosd cosd sn ( sn) sn sn ) cos cosd cos cosd [ cos( ) cos( ) ] d cosd cosd sn sn sn sn MÉTODO DE INTEGRAIÓN POR DESOMPOSIIÓN EN FRAIONES PARIALES Si P y Q son dos ncions polinómics, tóricmnt simpr s posil rsolvr intgrls d l orm: Si l grdo d P s mnor q l d n rcción impropi. P Q d Q s dic q s n rcción propi, n cso contrrio s
23 Fcltd d ontdrí y Administrción. UNAM Intgrl dinid indinid Ator: Dr. José Mnl Bcrr Espinos En l práctic, l otnción d dichs intgrls dpnd d q s posil ctorizr l dnomindor Q. Por l ntrlz d los ctors dl dnomindor, s considrn ctro csos: so : Fctors linls distintos A cd ctor linl d l orm Ejmplos A d ) Hllr: A, dl dnomindor d n rcción rcionl propi, l corrspond n rcción sindo A n constnt dtrminr. B Si A( ) ( ), mltiplicndo por s tin: A ( ) B( ) B B B Si ( ) A B( ) A A d d d ln ln ( ) d ) Hllr: A B ( ) A( )( ) B ( ) ( ) B A A Si : A( )( ) Si : A B( ), mltiplicndo por s tin: B B Si : A B ( ) ( ) d d d d ln ln ln so : Fctors linls igls
24 Fcltd d ontdrí y Administrción. UNAM Intgrl dinid indinid Ator: Dr. José Mnl Bcrr Espinos A cd ctor cdrático d l orm ( ) n, dond n, q igr n l dnomindor d n rcción rcionl propi, l corrspond n sm d n rccions d l orm B A sindo,,, B A constnts dtrminr. Ejmplos. ) Otnr: d B A mltiplicndo por s tin: B A Si : B B Si : A A A d d d hor, hcindo l cmio d vril pr l últim intgrl: d d d d inlmnt: d ln ln ) Otnr: d B A, mltiplicndo por s tin: B A Si : A A B A Si : Si : B B B B
25 Fcltd d ontdrí y Administrción. UNAM Intgrl dinid indinid Ator: Dr. José Mnl Bcrr Espinos d d ( ) d d. Ahor, hcindo l cmio d vril pr l ( ) d últim intgrl: d d ( ) d inlmnt: ( ) d ln ln ln ln so : Fctors cdráticos distintos A cd ctor cdrático irrdcil c, q igr n l dnomindor d n rcción rcionl A B propi, l corrspond n rcción d l orm sindo A, B ls constnts dtrminr. c Ejmplos. ) Otnr d A ( A B)( ) ( D)( ) A B A B D D ( A ) ( B D) ( A ) B D omprndo: A _ B D A _ B D d ( ) : A sstityndo n ( ): A d ( ) : B D, sstityndo n ( ) : D D D, B d d d vril pr l primr intgrl: inlmnt: B D, mltiplicndo por s tin: d d d d, Ahor, hcindo l cmio d d
26 Fcltd d ontdrí y Administrción. UNAM Intgrl dinid indinid Ator: Dr. José Mnl Bcrr Espinos d ln tn ln tn ) Otnr d A ( A B)( ) ( D)( ) A B A B D D ( A ) ( B D) ( A ) B D omprndo: A _ B D A _ B D d ( ) : A sstityndo n ( ): A d ( ) : B D, sstityndo n ( ) : D D D, B d d d vril pr l primr intgrl: inlmnt: d ln tn B D, mltiplicndo por s tin: ln d d d tn d, Ahor, hcindo l cmio d d so : Fctors cdráticos igls A cd ctor cdrático irrdcil ( c) n, q s rpit n vcs n l dnomindor d n rcción rcionl propi, l corrspond n sm d n ctors d l orm: A B D E F sindo A, B,, D, constnts c ( c) ( c) dtrminr. Ejmplos. ) Otnr: ( ) d
27 Fcltd d ontdrí y Administrción. UNAM Intgrl dinid indinid Ator: Dr. José Mnl Bcrr Espinos A B D ( ) ( ) mltiplicndo por ( A B)( ) ( D) s tin: ( A ) ( B D) A B A B D A B omprndo: A _ B _ A _ B D _ d ( ) : A sstityndo n ( ): d ( ) : B, sstityndo n ( ) : D D, d d ( ) d d d ( ) Ahor, hcindo l cmio d vril pr l primr y últim intgrl: d d s tin: d d d inlmnt: ( ) d d ln tn d ln tn ) Otnr: ( ) d A B D ( ) ( ) ( ) mltiplicndo por ( A B)( ) ( D)( ) ( E F ) ( A B)( ) ( D)( ) E F d E F A B A B A B D D E F A B A B D A E B D omprndo: F s tin: 7
28 Fcltd d ontdrí y Administrción. UNAM Intgrl dinid indinid Ator: Dr. José Mnl Bcrr Espinos F D B E A D B A B A d : A sstityndo n : d : B, sstityndo n : D D, d : E, d : F, d d d d d d d Ahor, hcindo l cmio d vril pr l primr y últim intgrl: d d s tin: d d d d inlmnt: d tn ln tn ln Ejmplo. Rsolvr l sigint intgrl rcionl impropi: d ctndo l división s tin: d d B A, mltiplicndo por s tin:
29 Fcltd d ontdrí y Administrción. UNAM Intgrl dinid indinid Ator: Dr. José Mnl Bcrr Espinos ( ) B( ) A Si A B Si A B( ) B B Si A( ) A A ( ) d d d ln ln d d INTEGRALES IMPROPIAS Un intgrl dinid ) El intgrndo d s dnomin impropi si:, tin no o más pntos d discontinidd n l intrvlo ) Por lo mnos no d los límits d intgrción s ininito. ) Intgrndo discontino i) Si s contino n l intrvlo < pro s discontin n s tin q: ε d lim ε d simpr q ist l límit. Ejmplo. d lclr: 9 d ; s discontin n ε ε d lim ε d lim sn ε 9 lim ε sn ε sn sn ii) Si s contino n l intrvlo sn sn π < pro s discontin n s tin q: d lim ε ε d simpr q ist l límit. 9
30 Fcltd d ontdrí y Administrción. UNAM Intgrl dinid indinid Ator: Dr. José Mnl Bcrr Espinos Ejmplo. d lclr: ; s discontin n d lim lim ε lim [ ε ] ε ε ε ε iii) Si s contino n l intrvlo tin q: pro s discontin n c, dond c < <, s cε d lim d lim ε ε c ε d simpr q ist l límit. Ejmplos. ) lclr: d ( ) ( ) ; prsnt discontinidd n d ε lim lim lim ε ε ε ε lim ( ε ) lim ( ε ) ε ε lim ( ε ) lim ( ε ) ( ) ε ε ) lclr: d ; prsnt discontinidd n ε d lim lim ε ε lim ε ε ( ε ) lim ( ε ) ) Límits d intgrción ininitos i) Si s contino n l intrvlo simpr q ist l límit. ε k d lim k k d 9 ( ).
31 Fcltd d ontdrí y Administrción. UNAM Intgrl dinid indinid Ator: Dr. José Mnl Bcrr Espinos Ejmplo. lclr: d d d k lim lim tn lim tn tn k k k tn k π tn π ii) Si s contino n l intrvlo simpr q ist l límit. Ejmplo. lclr: d lim d j j d lim j k j iii) Si s contino n l intrvlo j d lim lim j j k j j j d d lim d lim simpr q mos limits istn. Ejmplo. d lclr: k k Utilizndo l cro como rrnci, s dcir, intgrndo d y d k k d d d lim lim lim tn lim tn k j k j j j ( tn tn ) ( tn tn ( ) ) π π π π π j j d, s tin:
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26 EJERCICIOS de LOGARITMOS
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Integrales impropias
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31 EJERCICIOS de LOGARITMOS
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34 EJERCICIOS de LOGARITMOS
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