{ }: en determinado término. Por ejemplo, en la primera sucesión el primer término ( ), es 10. El término enésimo o general es a = 2

Transcripción

1 Pági dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L itgrl tor: r. José Ml crr Espios L INTEGRL UNI V V. SUESIONES V.. EFINIIÓN E SUESIÓN U scsió s list d úmros q sig rgl dtrmid: { } {,,,, }, i Formlmt, ls scsios s dfi como tipo spcil d fció d cyo domiio s l cojto d úmros trls N: Ejmplos d scsios: ) { } {,,,,, } ) { } {.,.,.,.,., } ) { } {,,,,, } ) { } {,,,,, } El térmio i-ésimo { }: N R i d scsió s l q v compñdo d l ltr q idic l vlor dl úmro s, l sgdo dtrmido térmio. Por jmplo, l primr scsió l primr térmio ( ) térmio ( ) s, l trcr térmio ( ), s. El térmio ésimo o grl s. Ejmplo. E l scsió:{ },,,,,, l térmio ésimo o grl s:. Pr coocr los térmios d scsió, s sstity l vlor d dsd hst l vlor q s ds. Ejmplos. trmir los primros cico térmios d ls sigits scsios: ) l primr térmio s: l sgdo térmio s:

2 Pági dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L itgrl tor: r. José Ml crr Espios l trcr térmio s: l crto térmio s: l qito térmio s: Por lo tto: { } ) l primr térmio s: l sgdo térmio s: l trcr térmio s: l crto térmio s: l qito térmio s: Por lo tto: { } 9,,,,, 9,,,,, omo s pd vr, cdo s ti l térmio grl s my scillo otr térmio dtrmido. Si mrgo, l cso ivrso q s, ddos os pocos térmios, otr l térmio grl, o simpr rslt fácil. Pr stlcr l térmio grl q rig l scsió, primro s d lizr l comportmito d ss compots. Ejmplos. Otr l térmio grl d ls sigits scsios: ) { } {,,,, 9, } S prci q s compo por úmros imprs, por lo q s ddc q l térmio grl d st. scsió s { } ) { },,,,, Pr dtrmir l térmio ésimo d scsió s csrio coocr como míimo cico d ss térmios.

3 Pági dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L itgrl tor: r. José Ml crr Espios Nóts como l domidor d cd compot s igl l mrdor más o, por lo q s coly q l térmio grl d st scsió s. ) { },,,,, 9 S dvirt q l domidor d cd térmio crc d l form térmio grl d st scsió s. ) { },,,,,, por lo q s ddc q l lizdo los mrdors, s ddc q stá ddos por l cdrdo d cd úmro trl mos o. Similrmt, los domidors stá ddos por l cdrdo d s mismo úmro trl pro más l idd. Por lo tto, l térmio grl d st scsió s. Eist dos csos spcils d scsios q dstc por s importci: S dfi como progrsió ritmétic, l scsió q pos l propidd d q l difrci tr dos térmios cosctivos s simpr costt. Esto s, ist úmro d, llmdo l difrci comú, tl q Ejmplos. { } {,,,,, } { } {,,,,, } d d d pr todo. S dfi como progrsió gométric, l scsió l q ist úmro r llmdo l rzó comú, co l propidd d: r pr todo. Ejmplos. { } {,,,,, } r { },,,,, V.. TIPOS E SUESIONES r U scsió s ifiit cdo ti úmro ifiito d térmios. Ejmplo: { } {,,,,, } U scsió s fiit cdo ti úmro dtrmido d térmios.

4 Pági dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L itgrl tor: r. José Ml crr Espios Ejmplo: { } {,,,, 9,,, } U scsió q s proim cd vz más cirto úmro, s llm covrgt. Ejmplo: { },,,,, (s crc cro) U scsió q o ti límit s divrgt.,,,,,, (o s crc igú úmro) Ejmplo: { } { } U scsió s crcit si cd térmio d l scsió s myor q l trior. Ejmplo: { } {,, 9,,,, } U scsió s dcrcit si cd térmio d l scsió s mor q l trior. Ejmplo: { } {,,,,, } U scsió s moóto si s crcit o dcrcit. Ejmplos: Moóto crcit: { } {,,,,, } Moóto dcrcit: { } {,,,,, } U scsió s dic cotd spriormt por úmro, si. 9 Ejmplo:{ },,,,, (stá cotd por, y q ). U scsió s dic cotd ifriormt por úmro, si. Ejmplo: { },,,,, (stá cotd por, y q ). 9 U scsió s dic cotd si stá cotd sprior ifriormt. Ejmplo: { },,,,, (stá cotd y q < ). V.. LÍMITE E UN SUESIÓN Ecotrr l límit d scsió s prolm q cosist dtrmir qé úmro, si s q ist, s proim ss térmios. Por jmplo, l scsió { },,,,,, cyo térmio grl, vidtmt s l mtr, i stá cd vz más próimo cro. Esto s:. ;. ;.. psr d q igú térmio d l scsió llg vlr cro, l límit s cro.

5 Pági dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L itgrl tor: r. José Ml crr Espios Formlmt, S dic q úmro L s l límit d scsió, d térmio grl, si l difrci vlor solto tr y L s mor q úmro clqir, ε, prvimt lgido. Eprsdo mtmáticmt sto s: L < ε Eist propidds coocids d límits d scsios:. Tod scsió cotd y moóto s covrgt.. El límit d scsió cyo térmio grl s k s.. El límit d scsió cyo térmio grl s s k k. El límit d scsió cyo térmio grl s s, dod < < k. El límit d scsió cyo térmio grl s s, dod >. El límit d scsió cyo térmio grl s poliomio simpr s divrgt. S limit s, cdo l coficit dl trmio d myor grdo s positivo, y, cdo s gtivo.. El límit d sm o difrci d scsios s rspctivmt l sm o difrci d los límits d cd d lls.. El límit d prodcto o cocit d scsios s l prodcto o cocit d los límits d cd d lls. 9. lqir progrsió ritmétic s divrgt. lgs vcs, l clclr l límit d scsió s oti idtrmició,,, ( ),,. E st cso s ti q fctr oprcios q o ltr l prsió fi d dshcr ( s cso) l idtrmició. Ejmplos. lclr los límits d ls sigits scsios: 9 9 ) { },,,,, Solció. El térmio grl s, lo q implic q cd úmro s cd vz más prcido, por lo q s s l límit d l scsió. ) { } {,,,,, } Solció. El térmio grl s { }, lo q sigific q l scsió s dcrcit y o cotd, sí q l límit d l scsió s, s dcir, s divrgt. ) Solció.

6 Pági dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L itgrl tor: r. José Ml crr Espios,,,,, idd, por lo q l límit d l scsió s. Eprsdo ss térmios: { }. S osrv como l cocit tid l ) Solció. Eprsdo ss térmios: { },,,,,. S pd dvrtir como los úmros so cd vz más pqños, por lo tto, l límit d l scsió s. ) { } {,,,,, } Solció. omo l térmio grl s { } d l scsió s, s dcir, s divrgt. { } ) ( ) Solció., l scsió s crcit y o cotd, por lo q l límit Eprsdo ss térmios: { } {,,,,,, }. S prci clrmt como l sigo d los úmros so ltrdos (scsió oscilt), por lo tto, l scsió s divrgt y s límit o ist. V. SERIES V.. EFINIIÓN E SERIE U sri s l sm d los lmtos d scsió. L sm pd sr fiit o ifiit. Los lmtos d ls sris pd sr úmros, ltrs o comició d ms. U sri pd rprstrs d dos forms: Elistdo los lmtos co los sigos tr los lmtos. Usdo l llmd otció sigm ( Σ ), q implic l smtori d todos los lmtos, co sólo l térmio grl y l rgo d l sm idicd. Ejmplo. Ls sigits prsios rprst l mism sri: 9 s S dfi como sri ifiit l sm d los térmios d l scsió: s i

7 Pági dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L itgrl tor: r. José Ml crr Espios térmios prácticos, s dot como U sri fiit s dfi como: i s. s Ejmplos. ) d l scsió ifiit: { },,,,, s ) d l scsió fiit: {,,,,,,, } s ( ) Ejmplos. trmir l sm proimd d ls sigits scsios: ) s 9 s ) s s form similr q ls scsios, ls pricipls árs d itrés d ls sris so: i. L dtrmició dl térmio grl d ls sris. ii. Otr, si ist, l sm d l sri. i VI.. ONVERGENI E UN SERIE E grl, sri: Es covrgt, si l scsió socid d ls sms prcils rprstds por S covrg. El lmto q S l scsió s dfi como l sm d los primros térmios d l sri. Es dcir lim ist y s fiito. E otrs plrs, l sm s úmro rl. S Es divrgt, si l lim S o ist. Es dcir cdo l sm tid ó. Es oscilt cdo o s ig d ls triors. Tod sri d térmios positivos s covrgt o divrgt, pro c oscilt,

8 Pági dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L itgrl tor: r. José Ml crr Espios E sri, si s ltr ritrrimt l ord d los térmios, dscompoido ritrrimt cd o d los smdos, o s ltr s cráctr, i vrí s sm. Si l sri s covrgt, tocs, lim. Esto qir dcir, q si los térmios s crc cro, l sri s covrgt. lo trior, s pd ddcir q tods ls sris d icrmtos costts, so divrgts. U sri gométric ti l form U sri d st tipo covrg si r < y l sm s Si r, l sri gométric divrg. r, dod s sclr fijo (úmro rl). S. r Ejmplos. trmir l trlz d ls sigits sris: ) s Solció: s , por lo tto, l sri s covrgt, cy sm s. ) s Solció: s omo los térmios o tid, l sri s divrgt. s ) Solció: s , por lo tto, l sri s covrgt, cy sm s. E st sri l primr térmio s y los dmás, s oti smdo ritméticmt l úmro prcdt, otro domido d. Osérvs l prllismo co l dfiició d progrsió ritmétic vist l scció VI... E st sri l primr térmio s y los dmás s oti mltiplicdo l úmro prcdt por rzó r. Osérvs l prllismo co l dfiició d progrsió gométric vist l scció VI...

9 Pági dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L itgrl tor: r. José Ml crr Espios ) s Solció: s omo los térmios tid y o, l sri s divrgt. ) s ( ) Solció: s 9 S trt d sri d icrmtos costts co divrgt. y d, por lo tto, l sri s ) s Solció: S trt d sri gométric. omo r <, l sri s covrgt, cy sm s: s 9 s ) s Solció: S trt d sri gométric. omo r >, l sri s divrgt. V. SUM E RIEMNN S itrvlo crrdo [, ], l cojto d ptos P { o,,,, } itrvlo s l cooc como prtició dl itrvlo [, ]. cotidos dicho Esto implic q:, < dod i,,,,, i i cd sitrvlo s l cooc como cld. l distci tr los ptos trmos d cd cld s l cooc como mplitd d l cld. L mplitd d l primr cld s: L mplitd d l sgd cld s: L mplitd d l trcr cld s: 9

10 Pági dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L itgrl tor: r. José Ml crr Espios Gráficmt: o 9 omo s pd dvrtir, l mplitd d ls clds vi ddo por l difrci d ss vlors fils iicils. Por lo tto, grl, l mplitd d cd cld vi dd por: i l myor mplitd d ls clds d prtició s l domi orm d l prtició y s l dot por. i i Ejmplo. do l itrvlo [,], fctr dos prticios difrts d sis clds y cd cso dtrmir cál s s orm. Solció. ) Si s hc prtició d igl mplitd:

11 Pági dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L itgrl tor: r. José Ml crr Espios s orm s ) S hc prtició d l mr q s idic: l orm d st prtició s. S fció f y dfiid y limitd cojto. osidérs prtició dicho cojto q cotg sitrvlos. Si s scog pto ξ cd sitrvlo d l prtició d form tl q: [ ] [ ] [ ] ξ, o i: ξ ξ, o i: ξ ξ, o i: ξ y grl:

12 Pági dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L itgrl tor: r. José Ml crr Espios [, ] ξ i i i o i: i ξi i Si s form l sm d prodctos dl vlor d f cd pto ξ por l mplitd d l cld rspctiv, s tdrá: f f ( ξ ) f ( ξ ) f ( ξ ) f ( ξ ) f ( ξ ) ξ q form coctrd s pd rprstr como: i prsió q s cooc como Sm d Rim. f ( ξ ) i i Est prsió clcl l sm d cd d ls ss (ls clds, so ls f ( ξ ) formdos. i i ) por s rspctiv ltr (q ) d fció, dd prtició. Esto dtrmi l sm d ls árs d los rctáglos Ejmplo. d l fció y co., otr l sm d Rim pr l fció dd l prtició:.,,.,.9,.,.,.9, Solció: Los ptos lgidos d cd cld so: ξ., ξ., ξ., ξ, ξ., ξ., ξ Grficdo s ti:.9 y L sm d Rim s:

13 Pági dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L itgrl tor: r. José Ml crr Espios i f ( ξ ) f ( ξ ) f ( ξ ) f ( ξ ) f ( ξ ) f ( ξ ) f ( ξ ) f ( ξ ) i i i (.)(.) f (.)(.) f (.)(.9.) f (..9) f (.)(.. ) (.)(.9.) f (.9)(.9).(.).(.).(.) (.).(.).(.).9(.) f f y.. E l cso sigit: i f ( ξ ). 9 i i y ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ 9 ξ 9 s prci q lgs d ls árs so gtivs, por lo tto, l itrprtció gométric d l sm d Rim s: i f ( ξ ) 9 psto q ( ξ ), f ( ξ ), f ( ξ ), f ( ξ ), f ( ξ ) f ( ξ ) i i f so úmros gtivos. 9, V. INTEGRL EFINI Si f s fció dfiid l itrvlo crrdo [ ] dfi como:,, tocs l itgrl dfiid d f d s

14 Pági dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L itgrl tor: r. José Ml crr Espios f s llm itgrdo. d f f lim ξ i i (si l límit ist) i y so los trmos o límits d itgrció ( s l trmo ifrior y s l trmo sprior) s llm sigo d itgrció. Si implic q, por lo tto: d lim f ( ξ ) f i i i V. INTERPRETIÓN GEOMÉTRI E L INTEGRL EFINI L sm d Rim f i ξ rprst l sm d los rctáglos. Si l orm d l prtició i i tid cro implic q l úmro d clds s icrmt, s dcir q cd vz s ti más y más rctáglos q s proim l ár rl jo l crv. Por lo tto, por dfiició: l itgrl dfiid s l ár jo l crv ss límits. y f(ξ ) f(ξ ) f(ξ ) yf() f(ξ ) f(ξ ) ξ ξ ξ ξ ξ X

15 Pági dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L itgrl tor: r. José Ml crr Espios y f(ξ ) yf() f(ξ ) f(ξ ) ξ ξ ξ y f(ξ 9 ) f(ξ ) f(ξ ) yf() ξ 9 ξ ξ Ls figrs triors mstr como l sm d rctáglos s proim l ár rl jo l crv si. Ejmplo. Otr d form proimd tilizdo prtició d ocho clds.

16 Pági dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L itgrl tor: r. José Ml crr Espios Solció. Efctdo l prtició:,.,.,.,,.,,., los ptos lgidos d cd cld so: ξ., ξ., ξ., ξ., ξ., ξ., ξ., ξ grficdo s ti:. y. (.)[. ] f (.)[..] f (.)[..] f (.)[.] f (.)[. ] d f f (.)[.] f (.)[. ] f (.)[.].9(.).(.).(.).(.).(.).(.).(.).. d.. V. PROPIEES E L INTEGRL EFINI Si f y g so dos fcios cotis l itrvlo d itgrció [ ] clqir: d ) f ) f d f d, y k costt

17 Pági dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L itgrl tor: r. José Ml crr Espios ) k f d k f d ) [ f ± g ] d f d g ± c ) d f d f c f d cdo < c < d V. INTEGRL INEFINI O NTIERIV U fció F srá tidrivd, o primitiv, d otr fció f itrvlo [, ] si F ' f pr todo vlor d l itrvlo. F' f f d F Esto s, si Ejmplo. f S. Eso implic: f ' L tidrivd d st fció s l fció origil f. Esto sigific q: ( ) d L fció f ti tidrivd prticlr [, ] q s F. L tidrivd grl d f s: F dod s costt. Ejmplo. S 9 ( ) d 9 f f ' V. FÓRMULS FUNMENTLES E INTEGRIÓN Si v, w itgrció so:, trs fcios d y costt clqir. Ls fórmls fdmtls d ) d d d ± v d ± ) d d ) ( v ± w) ± w d ) d ) s d cos ( )

18 Pági dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L itgrl tor: r. José Ml crr Espios ) cos d s ) t d l sc ) cot d l s 9) sc d l sc t ) csc d l csc cot ) sc d t ) csc d cot ) sc t d sc ) csc cot d csc ) d d ) l ) d l ( >, ) ) d s d 9) t d ) sc d ) l d ) l d ) l ( ) ) d l ) d s ) d l( ) ) d l

19 Pági dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L itgrl tor: r. José Ml crr Espios V.9 INTEGRLES IRETS E INTEGRLES QUE REQUIEREN MIO E VRILE U itgrl dirct s qll q s dpt ctmt l itgrdo co d ls fórmls fdmtls. Si mrgo, l gr myorí o so dircts, por tto, ts d itgrr s d compltr l difrcil d pr dptrl fórml, lo q olig hcr itrvir costt q mltipliq y divid l itgrl. E sgid, s tr d l itgrl l costt q o hg flt pr compltr l difrcil d tl y como lo idic l fórml úmro. Ejmplos. lclr ls sigits itgrls imdits: ) d ) d ) d ) d ) d d ) ( ) d ) d d ) d d 9 9 d 9 d 9) d 9 ) d d ( ) d ) d ( ) d 9

20 Pági dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L itgrl tor: r. José Ml crr Espios ) d d d d Ejmplos. lclr ls sigits itgrls fctdo cmio d vril: ) d d d d ) d d d d d ) d d d d 9 ) d d d d d ) d d d d d ) d [ ] d d d d d

21 Pági dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L itgrl tor: r. José Ml crr Espios ( ) d 9) s d d d s d cos cos ) cos d d d cos d s s ) t d d d t d l sc l sc ) cot d d d cot d l s l s ) sc d d d sc d l sc t l sc t ) csc d d d csc d l csc cot l csc cot ) sc d d d sc d t t ) sc t d d d

22 Pági dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L itgrl tor: r. José Ml crr Espios sc t d sc sc ) w cscw cot dw w d w dw csc cot d csc cscw ) k csc k dk k d k dk csc d cot cot k 9) d d d d s ) cos d 9 s d cos d d 9( ) ) d 9 d d d 9 s ) d d d d l l s ) d cos cos d s d d l l cos ( ) ( ) ) d ( ) ( ) d ( ) ( ) d

23 Pági dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L itgrl tor: r. José Ml crr Espios d ) d l l d d ( ) d l l ) 9 d 9 d 9 d d l 9 l 9 ) d ; d d d s s 9 ) d ; d d 9 d 9 9 t t 9) d 9; d d d sc sc ) d 9 ; 9 d d l l ( ) ) d ; d d l l d d

24 Pági dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L itgrl tor: r. José Ml crr Espios 9 ) d 9 9 ; d d 9 d 9 9 l l ( ) ) d ; d d d l l cos ) d s ; s s d cos d d l l s s ) d ; d d s s ) d ; d d l l ) d ; d d ( ) l l

25 Pági dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L itgrl tor: r. José Ml crr Espios V. TEOREM FUNMENTL EL ÁLULO. REGL E RROW Si y f s coti l itrvlo [, ] y si tocs, l torm fdmtl dl cálclo stlc q: g cmpl q dg d f [, ] f d g( ) g Eprsió coocid como Rgl d rrow. Ejmplos. lclr ls sigits itgrls: ) d. ) ( ) π d ( ) ( ) ( ) ( ) π π ) cos d s s s.. π ) s cos d o cmio l vril: cos d s d s cmi los límits d itgrció: cos ; cos d omprodo (si cmio d vril): π cos L itgrl idfiid d l fció coti y f π F, formlmt s dfi como: d L dmostrció d los torms pstos los Stms VI. y VI. pd cosltrs l cpítlo dl liro álclo co Gomtrí lític d Prottr y Morry iclido l iliogrfí.

26 Pági dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L itgrl tor: r. José Ml crr Espios Ejmplo. S F F df d d ( ) d ( ) ( ) f F Esto sigific q l itgrl idfiid, s itgrl dfiid co trmo sprior vril. Gráficmt: y f F d F() Filmt, prtir d lo trior, s ti q: y d d F d F d F d F d df pro por dfiició d difrcil: Fd d df d df F El torm fdmtl dl cálclo stlc q l difrcició y l itgrció so oprcios ivrss. Los símolos y d so oprdors ivrsos.

27 Pági dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L itgrl tor: r. José Ml crr Espios V. TEOREM EL VLOR MEIO EL ÁLULO INTEGRL Si y f s coti l itrvlo [ ] máimo solto q ocrr M ist úmro [, ]. Es dcir:, ; m s l míimo solto q ocrr m ; M s l ( m ) m m ( M ) M M f M [ ] f f m, tl q: d f ( )( ) m f ( ) M f, L igldd f d f ( )( ) s itrprt q, tod fció coti, l ár jo l crv simpr podrá sr igl l ár d rctáglo q tg como s l mplitd dl itrvlo d dfiició d l fció y como ltr l vlor d l fció lgú pto dl itrvlo. Gráficmt sto s: y f f d ( )( ) s ltr f( ) Ejmplo. Otr Solció. d l fció y l itrvlo.

28 Pági dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L itgrl tor: r. José Ml crr Espios d plicdo l torm dl vlor mdio dl cálclo itgrl: f ( )( ) f ( ) y dspjdo d l fció:.. V. INTEGRIÓN POR PRTES S dos fcios y v drivls d, y cosidrdo l rgl pr otr l difrcil d prodcto: d ( v) dv v d dv d( v) v d dv d( v) v d dv v v d El itgrdo s spr dos prts. U d lls s igl y l otr dv (por so s llm método d itgrció por prts). S d cosidrr dos spctos: ) L prt q s igl dv d sr fácilmt itgrl. ) v d o d sr más complicd q dv Ejmplos. lclr ls sigits itgrls plicdo l método d itgrció por prts: ) d d, dv d v d ) s d d d d, dv s d v cos ( cos ) d cos cos d s cos s d cos ) d d d, dv d ( ) d v ( ) d d ( ) ( ) ) s d s d s s d

29 Pági dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L itgrl tor: r. José Ml crr Espios s d cos d, dv s d v cos ( cos ) ( cos )( cos ) d s cos s s d s pro s s q: s cos cos s ( s ) d s cos d s cos s d pro l últim itgrl s igl q l scd, pro co sigo cotrrio, por lo tto: s cos s d s cos s d ) d d d d d d dv d, d v d, dv d v d d d d d, dv d v d d it grl por prts d it grl por prts cos d V. INTEGRLES TRIGONOMÉTRIS Ls idtidds más sds l rsolció d itgrls trigoométrics so: ) cos s ) sc t ) csc cot ) s ( cos ) ) cos ( cos ) s cos s ) s cos ) cos cos s cos y s y s y ) 9) [ ] 9

30 Pági dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L itgrl tor: r. José Ml crr Espios cos cos y cos y cos y ) s s y [ cos ( y) cos ( y) ] ) [ ] Ejmplos. lclr ls sigits itgrls tilizdo idtidds trigoométrics: ) s d s d cos d s ) cos d d d cos cos s ) cos d cos d ( cos ) cos d ( s ) cos d ( s s ) cos d cos d s cos d s d cos cos s d d s s s s ) s cos d s cos ( s ) cos d ( s s ) d d s cos s cos d s cos d s s ) d sc d sc sc d ( t ) sc sc d sc d t sc d t t ) s cos d s cos d [ s ( ) s ( ) ] d s ( ) d s d ( cos ( )) ( cos ) cos ( ) cos ) s s d s s d [ cos ( ) cos ( ) ] d cos d cos d s ( s ) s s

31 Pági dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L itgrl tor: r. José Ml crr Espios ) cos cos d cos cos d [ cos ( ) cos ( ) ] d cos d cos d s s s s V. MÉTOO E INTEGRIÓN POR ESOMPOSIIÓN EN FRIONES PRILES Si P y Q so dos fcios poliómics, tóricmt simpr s posil rsolvr itgrls d l form: Si l grdo d P s mor q l d frcció impropi. P Q d Q s dic q s frcció propi, cso cotrrio s E l práctic, l otció d dichs itgrls dpd d q s posil fctorizr l domidor Q. Por l trlz d los fctors dl domidor, s cosidr ctro csos: so : Fctors lils distitos, dl domidor d frcció rciol propi, l corrspod frcció cd fctor lil d l form sido costt dtrmir. Ejmplos d ) Hllr:, mltiplicdo por Si ( ) ( ) s ti: ( ) ( ) Si ( ) ( ) d d d l l ) Hllr: ( ) d

32 Pági dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L itgrl tor: r. José Ml crr Espios ( ) Si : ( )( ), mltiplicdo por s ti: Si : ( )( ) Si : ( ) ( ) d d d d l l l so : Fctors lils igls cd fctor cdrático d l form ( ), dod, q figr l domidor d frcció rciol propi, l corrspod sm d frccios d l form sido,,, costts dtrmir. Ejmplos. ) Otr: d ( ) ( ) ( )( ) ( ) mltiplicdo por ( ) s ti: ( ) Si : d d d Si : hor, hcido l cmio d vril pr l últim itgrl: d d d ( ) d filmt: d l l ) Otr: ( ) d

33 Pági dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L itgrl tor: r. José Ml crr Espios, mltiplicdo por s ti: Si : Si : Si : d d d d. hor, hcido l cmio d vril pr l últim itgrl: d d d d filmt: d l l l l so : Fctors cdráticos distitos cd fctor cdrático irrdcil c, q figr l domidor d frcció rciol propi, l corrspod frcció d l form c sido, ls costts dtrmir. Ejmplos. ) Otr d, mltiplicdo por s ti: omprdo: d :

34 Pági dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L itgrl tor: r. José Ml crr Espios sstitydo : d :, sstitydo :, d d d d d, hor, hcido l cmio d vril pr l primr itgrl: d d d filmt: d t l t l ) Otr d, mltiplicdo por s ti: omprdo: d : sstitydo : d :, sstitydo :, d d d d d, hor, hcido l cmio d vril pr l primr itgrl: d d d filmt: d t l t l

35 Pági dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L itgrl tor: r. José Ml crr Espios so : Fctors cdráticos igls cd fctor cdrático irrdcil ( c), q s rpit vcs l domidor d frcció rciol propi, l corrspod sm d fctors d l form: E F sido,,,, costts dtrmir. c c c Ejmplos. ) Otr: ( ) d ( ) ( ) mltiplicdo por ( ) ( )( ) ( ) s ti: ( ) ( ) omprdo: _ : _ d sstitydo ( ): d ( ) :, sstitydo ( ) :, d d ( ) d d d ( ) hor, hcido l cmio d vril pr l primr y últim itgrl: d d s ti: d d d d filmt: ( ) d d l t l t d ) Otr: ( ) d

36 Pági dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L itgrl tor: r. José Ml crr Espios F E mltiplicdo por s ti: F E F E F E F E omprdo: F E d : sstitydo : d :, sstitydo :, d : E, d : F, d d d d d d d hor, hcido l cmio d vril pr l primr y últim itgrl: d d s ti: d d d d filmt: d t l t l Ejmplo. Rsolvr l sigit itgrl rciol impropi: d

37 Pági dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L itgrl tor: r. José Ml crr Espios fctdo l divisió s ti: d d, mltiplicdo por s ti: Si Si Si d d d d d l l V. INTEGRLES IMPROPIS U itgrl dfiid d f s domi impropi si: ) El itgrdo f, ti o o más ptos d discotiidd l itrvlo ) Por lo mos o d los límits d itgrció s ifiito. ) Itgrdo discotio i) Si f s cotio l itrvlo < pro s discoti s ti q: d f d f ε ε lim simpr q ist l límit. Ejmplo. lclr: 9 d d ; s discoti ε ε ε ε lim 9 lim s d d

38 Pági dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L itgrl tor: r. José Ml crr Espios lim ε s ii) Si ε s s s s π f s cotio l itrvlo < pro s discoti s ti q: f d lim f ε ε d simpr q ist l límit. Ejmplo. d lclr: ; s discoti d lim lim ε lim [ ε ] ε ε ε ε iii) Si ti q: f s cotio l itrvlo pro s discoti c, dod c < <, s f cε d lim f d lim f ε ε c ε d simpr q ist l límit. Ejmplos. ) lclr: d ( ) ( ) ; prst discotiidd d ε lim lim lim ε ε ε ε lim ( ε ) lim ( ε ) ε ε lim ( ε ) lim ( ε ) ( ) ε ε ) lclr: d ; prst discotiidd ε d lim lim ε ε lim ε ε ( ε ) ( ) lim ( ε ) ε 9 ( ).

39 Pági dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L itgrl tor: r. José Ml crr Espios ) Límits d itgrció ifiitos i) Si f s cotio l itrvlo k simpr q ist l límit. Ejmplo. lclr: d d f f lim k k d d k lim lim t lim t t k k k t k π ii) Si t π k f s cotio l itrvlo j simpr q ist l límit. Ejmplo. lclr: d lim d j j iii) Si d lim j j d f f lim lim j f s cotio l itrvlo j k j j j d d d lim f d lim f f simpr q mos limits ist. Ejmplo. lclr: d k k j j d 9

40 Pági dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L itgrl tor: r. José Ml crr Espios Utilizdo l cro como rfrci, s dcir, itgrdo d y d, s ti: k k d d d lim lim lim t lim t k j k j j j ( t t ) ( t t ( ) ) π π π π π