INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DE INTEGRALES. APLICACIONES

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1 INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DE INTEGRALES. APLICACIONES.- PRIMITIVAS....- INTEGRALES INMEDIATAS SIMPLES. TABLA....- INTEGRACIÓN POR CAMBIO DE VARIABLE INTEGRACIÓN POR PARTES PARA PRACTICAR INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES... 0 Cso : El polinomio Q tin sólo rícs rls simpls:... 0 Cso : Qu l polinomio Cso : Qu l polinomio Cso : Qu l polinomio Q tng un ríz rl múltipl:... 0 Q tng rícs rls simpls y múltipls:... Q tng rícs compljs conjugds: INTEGRACIÓN DE FUNCIONES CIRCULARES INTEGRAL DEFINIDA... Torm dl Vlor Mdio... Torm Fundmntl dl Cálculo... 5 Rgl d BARROW... 5 Aplicción: Prolms d vlors inicils APLICACIÓN: CÁLCULO DE ÁREAS... 6 Rcinto Limitdo por l curv y = f (), l j OX y ls rcts = y =... 6 Rcinto limitdo por dos curvs, y = f () y = g (), n l intrvlo [, ]... 7

2 .- PRIMITIVAS Sn f : D y F : D funcions rls d vril rl. S dic qu F s un primitiv d f cundo ' F f D. Ejrcicio. Compru, n cd cso, qu F s un primitiv d f: ) F 87 f ) F ln f ) F 6 f 5 6 Ejrcicio. Clcul un primitiv d ls siguints funcions: ) y 5) y ) y sn 6) y ) y 5 7) y ) y y k k 8) con Ejrcicio. Hll l primitiv d f qu vlg pr 0. Nóts qu si un función f tin un primitiv F tmién F + k (sindo k ) s un primitiv d f. Al conjunto d tods ls primitivs d un función dd f, lo rprsntrmos por f y s l: intgrl indfinid d f. d F : F s un primitiv d f F : F' f Ls siguints propidds s dducn d ls corrspondints propidds d ls drivds. Propidds inmdits: f g d () f d g c f d c f d c () con Ests dos propidds s pudn rsumir dicindo qu l intgrl indfinid s comport in con l sum y l producto por sclrs. d.- INTEGRALES INMEDIATAS SIMPLES. TABLA L siguint tl d intgrls inmdits s otin clculndo l corrspondint primitiv d l función, por lo qu s muy importnt no prdr nunc d vist d dónd hn slido ss intgrls, sto s, l concpto d primitiv d un función. Ahor in, Dprtmnto d Mtmátics

3 como s suln usr mucho y son l s pr clculr otrs intgrls más compljs s convnint mmorizr dich tl. TIPOS TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS n Potncil n n d + k n Logrítmico d ln + k d k Eponncil d k ln Sno cos d sn + k Cosno sn d cos + k sc d Tngnt tg tg k d tg k Simpl d tg k cos cosc d cotg k Cotngnt cosc Arco sno = rco cosno Arco tngnt = Arco cotngnt d cotg k d cotg k sn d rcsn k d rctg k d rctg k Ejrcicio. Clcul ls siguints intgrls indfinids inmdits: ) d 8) d 5 ) cos d 9) d ) d 0) d ) d ) d Cipri Vrsión.0

4 5) d ) d 6) 5 d ) 7 d 7) 7 5d ) d 5 8) 5 d 5) d d 9) 6) 5 d 5 6 0) d 7) d ) 5 5d 8) d ) ) d 9) d d 0) d ) 7 d ) d 5 5) 5 cos d ) 7 d 6) d ) sn cos d 5 7) d ) d 8) d 5) tg d 9) d 6) d 0) d 7) d 5 ) d ) d 6 ) d 5 8) d 9) d 50) d Dprtmnto d Mtmátics

5 ) d 5) d 5) d 5) tg 6) sn d 5) d sn 7) d 5cos d.- INTEGRACIÓN POR CAMBIO DE VARIABLE L rgl d l cdn nos dic qu g f ' g ' f f ' Intgrndo st iguldd rsult: g f ' d g ' f f ' d ' ' g f g f f d Así, simpr qu n un intgrndo rconozcmos un prsión dl tipo g ' f f ' l cmio d vril proporcionrá unos rsultdos. El cmio qu hy qu hcr s: t f dt f ' d Esto nos prmit construir l siguint tl d intgrls inmdits compusts (ponmos dmás l y vist (form simpl) pr qu s osrvn ls similituds ntr ms). TIPOS Simpl n Potncil n n d n Logrítmico d ln + k Eponncil d k ln Sno d sn TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS d Cosno k FORMAS + k f ' f n Compust n f d + k n ' d ln f f f f f f f ' f ' d + k k f d k ln f ' d sn f cos + k cos f sn d cos + k sn f f ' d cos f + k + k Cipri Vrsión.0 5

6 sc d Tngnt tg tg k d tg k d tg k cos cosc d cotg k Cotngnt cosc Arco sno = rco cosno Arco tngnt = Arco cotngnt Nprino Arco tngnt Ejrcicio5. d cotg k sn d rcsn k ) 5 sc f ' cos f f ' d tg f d tg f k f k cosc f f ' d cotg f d cotg k cosc f f ' d cotg f f ' d cotg f k sn f f ' d rcsn f + k f f ' d rctg k d rctg f k f d rctg k f ' f d k rctg f M N d nprino rco tngnt + k c M 0, c irrducil Clcul ls siguints intgrls indfinids por cmio d vril: d ) d sn d ) 5 d ) ) tg d ) 8d sn cos ) d 5) d 6) d 5) d tg 6) d cos d 7) 5 7) d d 5 8) cos d 9) d 9) d 0) d 0) d ) d ) d ) d 8) sn k k Dprtmnto d Mtmátics 6

7 ) cos d ) ) 7 d ) cos d 6 5) d ) d 5) d 6) d 7) d 8) 8) 9) d d 0) d ) d sn 6 d 6) d 7) d d 9) sn cos d 0) cos sn d tg ) d cos.- INTEGRACIÓN POR PARTES Supongmos qu qurmos intgrr un función qu s producto d dos funcions u y v (s suponn drivls). Sgún l rgl d drivción d un producto u v' u ' v u v ' d dond u v ' d u ' v d u v' d y por tnto s dcir, ' ' u v u v d u v d ' ' u v d u v u v d Est últim iguldd s sul scriir n l form u dv u v v du Fórmul d intgrción por prts Pr tomr l función u sguirmos l siguint rgl ordnd (): ALPES A: rco L: logritmos P: polinomios E: ponncils S: sno, cosno, Cipri Vrsión.0 7

8 Ejrcicio6. Clcul ls siguints intgrls indfinids utilizndo l método d intgrción por prts. ) d 6) rccos d ) sn d 7) rctg d ) rcsn d 8) ln d ) 5) d sn d 9) sn d d 0) ln 5.- PARA PRACTICAR Ejrcicio7. Clcul ls siguints intgrls indfinids: ) 6 d 9) d ) cos d 0) d 5 ) (6 ) d 5 ) d ) d ) cos d 5) ( ) d cos d ) sn 9d d ) 6) sc 7) d 5 d 5) d 5 8) d 9) d 5 6) sn 7 8d 7) sc 9 d 0) d 8) d sn cos ) d 9) sn 7 8d ) d 0) sn 7 8d Dprtmnto d Mtmátics 8

9 d ) ) sc 9 ) d ) d 5) sn cos d ) d 6) d ) d d 5 5 7) tg sc d 5) d 8) d 9) 0) cos d 7) ) d 5 d 6) d 8) d 9) 7 ) d 50) d ) d ln 5) d ) d 5) d 5) d 6 d d 5) cos d 6) d 8 7) d 8) d cos 5) d 55) sn 7d d 56) sc 5 Cipri Vrsión.0 9

10 6.- INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES Qurmos clculr intgrls dl tipo P d Q dond P y Q son funcions polinómics. Supondrmos qu grdo P grdo Q, pus si no lo fus, hrímos l división ntr d P y Q, y podrímos scriir: con grdo R grdo Q. Cso : El polinomio P Q R C Q Q tin sólo rícs rls simpls: Clcul d ) Dscomponmos l dnomindor, otnindo sus rícs: 0 ) Dscomponmos l función n sum d frccions qu tinn por numrdor un constnt y por dnomindor cd uno d los fctors: A B ) Dtrminmos los vlors d A y B oprndo, igulndo los numrdors y dndo vlors : A B qu pr s A y pr s B ) Intgrmos: d d ln ln C Cso : Qu l polinomio Q tng un ríz rl múltipl: Clcul d ) Fctorizmos l dnomindor, otnindo sus rícs: ) Dscomponmos n sum d trs frccions qu tinn por numrdor un constnt y por dnomindor lvdo, y : A B C ) Dtrminmos los vlors d ls constnts A, B y C : A B C Dprtmnto d Mtmátics 0

11 Pr otnmos C 8 A B qu pr rsult B 5 Drivndo: Volvmos drivr: 8 A A ) Intgrmos: 5 d d d d 5 ln C Cso : Qu l polinomio S trt d cominr lo visto n los csos y. Q tng rícs rls simpls y múltipls: Cso : Qu l polinomio Q tng rícs compljs conjugds: Clcul d 5 ) Fctorizmos l dnomindor, otnindo sus rícs: 5 5 ) Dscomponmos l frcción n sum d dos frccions. L primr con numrdor A y dnomindor, y l sgund con numrdor M N y dnomindor l polinomio irrducil (n ) 5: A M N 5 5 ) Dtrminmos ls constnts A, M y N : 8 A 5 M N A, M, N ) Intgrmos: d d d ln d ln ln 5 rctg C Ejrcicio8. Clculr ls siguints intgrls d funcions rcionls: ) d d 7) 5d d ) 8) 6 5 d ) d 9) 7 Cipri Vrsión.0

12 ) 5 6 d 0) d 5) ) 6) d 5 d ) d 6 d 7.- INTEGRACIÓN DE FUNCIONES CIRCULARES m n Pr clculr l primitiv sn cos d, sindo n ó m impr, hcmos l cmio sn t ó cos t, rspctivmnt. m n Pr clculr l primitiv sn cos d, sindo n ó m prs, l trnsformmos, utilizndo ls siguints fórmuls, n otrs más sncills: sn cos cos cos sn cos sn Cmio t tg. S trt d un cmio muy útil pr rsolvr intgrls circulrs. A prtir d él s otinn ls siguints rlcions: t t dt sn cos d t t t Ejrcicio9. Clcul: ) sn cos d ) sn cos d ) sn cos d ) cos sn d ) cos sn d 6) sn cos d 8.- INTEGRAL DEFINIDA El prolm gométrico d l dtrminción dl ár d cirts suprficis plns s l orign y l s dl Cálculo Intgrl. S triuy Eudoo (c. 70 A.C.) l invnción dl método d hución, un técnic pr clculr l ár d un rgión proimndo l por un sucsión d polígonos d form qu n cd pso s mjor l proimción ntrior. Arquímds (87- A.C.) prfccionó st método y, ntr otros rsultdos, clculó l ár d un sgmnto d práol y l volumn d un sgmnto d proloid, sí como l ár y l volumn d un sfr. Históricmnt, l cálculo dl ár dtrmind por un sgmnto prólico condujo Ls ids pusts por Arquímds (n crt Dosito) son fundmntlmnt ls siguints: Dprtmnto d Mtmátics

13 S ds mdir l ár ncrrd por l siguint sgmnto prólico (ntr 0 y ), qu rprsntrmos por S: y f 0 9 S S 0. S 0.7 f S Cipri Vrsión.0

14 5 5 S 0.7 S Hcindo cd vz rctángulos d s más pquñ y plicndo l fórmul pr sumr los primros n cudrdos, s tin qu: n nn n nn 6 S 6 n n n n n n n n n n S 6n 6n n n n n n n lim S lim n 6n n 6n S S Como conscunci d lo ntrior, podmos dr l siguint dfinición: Rprsntrmos por rcts vrticls f t dt l ár dl rcinto limitdo por l función f t t y t. S l intgrl dfinid d f (t) ntr y. Si djmos fijo y hcmos qu s vril, l prsión t y y ls f dt pr un ddo rprsnt l ár limitd por l función, l rct vrticl t y l vrticl qu ps por. Es por tnto, un función d qu llmrmos función ár. - Propidds inmdits: () f d 0 () f d f d () f gd f d g () cf d c f Torm dl Vlor Mdio d Si f s un función continu n un intrvlo crrdo, un punto c, tl qu d f d f c, ntoncs, ist L fórmul pr sumr los n primros cudrdos s: n n n Dprtmnto d Mtmátics 6

15 Torm Fundmntl dl Cálculo Si f s continu y F f t dt, ntoncs F ' f Dmostrción: F 0 h f t dt F h F f t dt 0 0 ' 0 lim lim h0 h0 pus si 0 h 0 h f t dt 0 lim f 0 0 D h0 h f. C.Q.D. h l ltur tind sr Rgl d BARROW Si F s un primitiv d f, ntoncs f d F F F Dmostrción: F s un primitiv d f Si 0 s vrific qu d F ' f t dt f d G s otr primitiv d f. Entoncs: Supongmos qu F G k Vmos dtrminr k : F 0 G k 0 k G F G k Por otro ldo lugo F f t dt F G k G G d dond s dduc qu f t dt G G C.Q.D. Ejrcicio0. Hll ls siguints intgrls dfinids: ) d 8) d 5 ) sn d 9) d ) sn cos d 0) 5 ) d 0 h d ) cos d 0 Cipri Vrsión.0 5

16 5) 6) cos d ) d d ) 0 ln 7) cotg d ) ln d d Ejrcicio. Clcul f d si si f. si Ejrcicio. Hll 0 f d sindo f cos sn si si. Ejrcicio. Dtrmin l siguint intgrl dfinid: d Ejrcicio. Hll f d sindo f si 0 si 0 si APLICACIÓN: Prolms d vlors inicils L intgrl dfinid nos prmit hllr un función pus f conocid su drivd ' f f ' d F c Pro f ncsrio dr un dto dicionl; por jmplo l punto, dto s l llm vlor inicil. Por lo dicho, d f F c s otin qu c f F. f, qud indfinid, pus l constnt c s dsconocid. Pr dtrminr c s f d l función. A st 9.- APLICACIÓN: CÁLCULO DE ÁREAS Rcinto Limitdo por l curv y = f (), l j OX y ls rcts = y = ) Si 0 f n todo l intrvlo [, ] ) Si 0 f n todo l intrvlo [, ] S f d S f d f d Dprtmnto d Mtmátics 6

17 c) Si f cort l j OX n l punto c [, ] c c S S S f d f d El punto c s hll rsolvindo l cución f 0. () () (c) Rcinto limitdo por dos curvs, y = f () y = g (), n l intrvlo [, ] ) Si g f n todo [, ] ) Si g S f g d f y s cortn n l intrvlo [, ] cundo = c c c S S S f g d g f d El vlor c dl punto d cort s hll rsolvindo l sistm y f y g Tmién hy qu dtrminr qué función stá por ncim n cd trozo. Ejrcicio5. Dtrmin l ár d l rgión limitd por ls curvs y, y y ls rcts y. Ejrcicio6. Busc l ár comprndid ntr ls rcts d cucions,, y 0 y l gráfic d l función y 8 9. Cipri Vrsión.0 7

18 Ejrcicio7. Clcul l ár d l rgión comprndid ntr ls funcions y, y n l primro y sgundo cudrnts. Ejrcicio8. Hll, mdint técnics d intgrción, l ár dl rcinto limitdo por y y 6 y comprndido ntr ls sciss, y l ordnd y 0. Ejrcicio9. Dtrmin l ár d l rgión limitd por ls funcions f sn y f cos 0,. n l intrvlo Ejrcicio0. Clcul l ár d l rgión limitd por l función ls rcts, y l j X. f, Ejrcicio. Rprsnt l rgión limitd por ls gráfics d ls funcions f y g y hll su ár. Ejrcicio. Dtrmin l ár comprndid ntr ls gráfics d ls curvs y y. Ejrcicio. Clcul l ár limitd por l gráfic d l función 0, y l j X. Rliz un sozo dl gráfico. y cos ntr Ejrcicio. Dtrmin l vlor d sindo qu l ár comprndid ntr l práol y y l rct y 0 s 6. Ejrcicio5. Rprsnt gráficmnt l rgión limitd por ls funcions y y otén su ár. y Ejrcicio6. Hll l ár dl rcinto limitdo por y y 5. Ejrcicio7. Clcul l ár dtrmind por l gráfic d l curv y y ls rcts y sindo qu l función tin un mínimo n,. Ejrcicio8. Hll l ár comprndid ntr ls gráfics d ls funcions f, g y ls rcts y. Ejrcicio9. Dtrmin l ár dl rcinto limitdo por l práol rct y 0. y y l Ejrcicio0. Hll l ár d l figur comprndid ntr l hipérol y, ls 0, y l j X. rcts Dprtmnto d Mtmátics 8

19 8 Ejrcicio. S considr l función f. Clcul y pr qu l gráfic d f ps por l punto, 6 y dmit n dicho punto un tngnt horizontl. Clcul tmién l ár limitd por l gráfic d f y ls rcts, y 0. Ejrcicio. Hll l pso d un plnch d cor d un cntímtro d spsor limitd por l función y sn y l rct y, dond y s midn n mtros, sindo qu cd cntímtro cúico d plnch ps 8.9 grmos. Eprs l rsultdo n kilogrmos. Cipri Vrsión.0 9