x x x 1, si no nos damos cuenta de esto, el cambio e x = t la convierte en una racional. = ln x que se anula en x = e.

Transcripción

1 Hll l función F() l qu F ( ) y s primiiv d l función f ( ) + S r d nconrr l ingrl I d, qu si nos dmos cun d qu ( + ), s + inmdi: F( ) d ln( + ) + C +, si no nos dmos cun d so, l cmbio l convir n un rcionl S nos pid concrmn F( ) F() ln + C C ln, o bin, como ln, C ln C ln ln C ln, con lo qu l función buscd s: F( ) ln Encunr l primiiv d ( ) ( + ) + ln f ( ) ln qu s nul n Tmbién hor s r d nconrr ls primiivs d un función, n s cso F( ) ln d, qu s hc por prs: ( ) u ln du ln d dv d v F( ) ln ln d I Aplicndo I u ln du d dv d v l méodo d ingrción por prs: I ln d ln F ( ) ln ln + + C L consn l drminmos imponindo qu F() + + C lo qu dfiniivmn: F( ) ln ln + f ( ) ln( + ) Clculr () d form qu f ( ) ln( + ) f ( ) ln( ) f y qu f ( ) + d, qu podmos hcr por prs: d u ln( + ) du + ln( + ) f ( ) d + dv d v C, con -Págin -

2 Es nuv ingrl s un rcionl con l grdo dl numrdor myor qu l dl dnomindor, por lo qu s prciso hcr l división: ln( + ) + + d + d d + ln( + ) ln( + ) f ( ) + + C ( + ) ln( + ) f () C f ( ) y dmás f ( ) Si s sb qu su drivd sgund s l función g ( ), ncunr rzondmn l prsión d f () 4 L gráfic d un función f ps por (,) Como sbmos qu f ( ) g( ), por sucsivos procsos d ingrción, imponindo ls condicions dl nuncido, nconrrmos l función f () f ( ) f ( ) d + C f () ( ) f ( ) d + K f () K C f f ( ) f ( ) 5 5 Encunr un función F() qu vrifiqu F ( ) + + pr 5 4 F ( ) + + pr F ( ) + L función pdid s culquir d s ipo 5 F ( ) + + C Hll l cución d l curv y f () sbindo qu ps por l puno (, ) y qu l pndin d l rc ngn n l puno d bscis s m + Drnos l pndin dl ngn l curv n un puno gnérico quivl drnos l función drivd, s dcir: m + f ( ) + f ( ) + + C, imponindo qu ps por l (,), s dcir, qu f ( ), obnmos qu 5 C, con lo qu l función s: f ( ) Drminr ls funcions rls d vribl rl qu sisfcn l condición d qu l, y d su gráfic vin dd por l pndin d l rc ngn n un puno gnérico ( ) prsión Hllr máimo y mínimo locls y los inrvlos d crcimino y dcrcimino d qull d ls funcions dl prdo nrior qu ps por l puno (,) Mdrid: junio d 998 (4-B-) -Págin -

3 Qu l pndin d l ngn n culquir puno vng dd por, quivl dcir qu s f ( ), por lo qu l funcions pdids son ls primiivs d és f ( ) f ( ) d, qu s hc por prs y s obin: f ( ) + C En l sgundo prdo s pid l sudio d, nr ls nriors, l función qu ps por (,), s dcir, qull pr l cul f () C, lugo: f ( ) + El sudio qu s pid s hc prir d f ( ) Como >, sig ( f ( ) ) sig( ) : - + Signo d f Monooní d f L función in un mínimo rlivo n (, f ()) (,) 8 Encunr l primiiv d l función f ( ) cuy rc ngn n l puno d bscis ln ps por l orign d coordnds f ) F( ) ln d ln ( ( ln ) ( ln ) d F ( ) ln( ln ) + C L ngn n d culquir d ss funcions, s d l form: : y F( ) F ( ) ( ) y como F ( ) f ( ), : y + F( ) Es rc psrá por l orign cundo pr s mbién y, s dcir, cundo F ( ) y so ocurr cundo C, por lo qu l función buscd s : ( ln ) F ( ) ln + 9 Hll l cución d l curv y f () qu cumpl f ( ) 4, y qu l rc ngn n l puno d bscis in por cución y 9 f () 4 f ( ) 4 + C f ( ) + C + D L ngn n d un función d s ipo srá: : y f () f ()( ) : y ( 8 + C + D) ( + C)( ) : y ( + C) 8 + D Idnificndo los coficins d s rc con los d l dd: -Págin -

4 + C 9 C 8 + D D 5 f ( ) + 5 Eis lgun función f () l qu f ( ) y f ( )? f ( ) y qu f ( ) y f ( )? Y qu L función f (), n cso d isir srí d l form: d ( ) f ( ) f ( ) d ( ) + C 4 4 f ( ) ( ) + C d ( ) + C + D + C + D L primr condición no pud drs pus D f Pr l sgund db ocurrir: f () f () 4 ( ) + C + D 7 8 C 6 + C + D D 8 ( ) f ( ) + + D l función drivbl () s sb qu ps por l puno A, 4 y qu su drivd s: si f ( ) si > ) Hllr l prsión d f () b) Obnr l cución d l rc ngn f () n Mdrid: Prub ipo 99- (9-B-) f ( ) si ( ) f f ( ) + si si > Ls consns y b s ln + b si > drminn imponindo dos condicions: f () s drivbl f () coninu lím f ( ) lím f ( ) + b + Su gráfic ps por l puno A(, 4) f ( ) 4 Rsolvindo l sism: b f ( ) ln si si > -Págin 4-4

5 f () ln Como >, l cución d l ngn n s: : y ln ( ) f () L clrción d un móvil qu dscrib un rycori rcilín s, n función dl impo, ( ) 4 m / s Sbindo qu pr l móvil sá prdo n l posición 5, s 8 pid: ) Pr qué vlor d s l vlocidd dl móvil? b) Hllr l vrición d l vlocidd n l inrvlo d impo [ 4,8] y l spcio rcorrido n s inrvlo c) Hllr l función d posición dl móvil Mdrid: spimbr d 995 (6-B-4) Empzrmos por nconrr ls funcions vlocidd y posición: v ( ) ( ) d 4 d K L consn K s drmin imponindo ls 8 6 condicions inicils dds n l nuncido, concrmn rcordndo qu pr l móvil sb prdo v( ) ( ) v ( ) K, con lo qu l función vlocidd s: v ( ) + 4 m / s 6 ( ) v( ) d + 4 d + + C L consn C qud drmind por l 6 48 condición inicil: pr l móvil s nconrb n l posición 5 ( ) 5 () 5 C 5 ( ) L vrición d l vlocidd n l inrvlo d impo [,8] m ( ) 4 s: v ( 8) v(4) m / s 6 En s mismo inrvlo d impo, l spcio rcorrido s: ( 8) (4) m S sb qu ( ) d < f y qu ( ) > [,] f, s vrific noncs qu f ( ) [, ]? Si fur ciro, dmuésrs; si pudir sr flso, póngs un conrjmplo Mdrid: Prub ipo (7-A-) L firmción s fls, pus pr l función ( ) d < f > f, pro ( ) si [,] y f ( ) s vrific si -Págin 5-5

6 4 Si f ( ) d, s vrific qu f ( ) d? Si fus ciro, pruébs; si pudir sr flso, póngs un jmplo qu lo confirm? Mdrid: spimbr d 996 (9-B-) L firmción no s ncsrimn cir, como conrjmplo podmos omr l función si si f ( ), con lo qu f ( ) si > si > figur figur En s cso nmos f ( ) d (figur ), pro f ( ) d (figur ) 5 S f () un función pr l qu s vrific qu f ( ) d f ( ) d S vrific noncs qu f ( ) d f ( ) d? Si l rspus s firmiv, jusifíqus; s s ngiv, póngs un conrjmplo Mdrid: Prub ipo (-A-) En s cso mbién s posibl nconrr un conrjmplo qu dmusr qu l firmción pud sr fls Considrmos l función : ls gráfics d f () y f () son: f ( ) < < -Págin 6-6

7 S comprub fácilmn qu f ( ) d f ( ) d, pro f ( ) d ( ) f d 6 Enunci y dmusr l orm dl vlor mdio dl cálculo ingrl Encunr l puno o punos n los l función 4 lcnz s vlor mdio n l inrvlo [,] f ( ) El orm dl vlor mdio dl cálculo ingrl nos dic qu si f :, b R s un función coninu n b los puns d orí,, noncs α [, b] f ( ) d f ( α)( b b ) L dmosrción sá n S llm vlor mdio d l función f () n l inrvlo [, b] qu s vlor mdio s lcnz n lgún puno d [, b] b f ( ) d El orm firm b En nusro cso: ( )( ) ( ) 4 4 d 4 d f ( ) d vlor mdio d l función n [, ] s, por lo qu l Pr nconrr l vlor d n l qu s lcnz dicho vlor hy qu rsolvr l cución 4 ( 4 ),,, D sos curo vlors, [,] si 7 Dd l función f ( ), s dfin l nuv función F( ) si < f ( ) d Dr l prsión d F() dfinid rozos y dibujrl n l inrvlo [, ] Mdrid: Prub ipo (-B-) Nos srvirá d yud l rprsnción d y f () y l inrprción goméric d l función ingrl d F( ) f ( ) d, como ár cumuld dsd hs -Págin 7-7

8 [, ] F( ) f ( ) d d F ( ) (, ] F () d + d + ( ) + + si si < L gráfic d rcilíno F() s obin fácilmn, pus s r d un rco d prábol y un sgmno 8 Drmin, n función d b >, l vlor d l ingrl: cos d Como n l cso nrior, s r d nconrr l prsión d l ingrl n función dl lími suprior Tmbién hor nmos un vlor bsoluo, por lo qu ndrmos qu dfinir l función por inrvlos, pr > qu s lo único qu nos inrs ( )cos f ( ) cos ( ) cos > Vmos ncsir ls primiivs d ss dos prsions, qu s difrncin n l signo u du d ( ) dv cos d v sn cos d ( ) sn sn d ( ) sn + cos ( ) cos d ( ) sn cos b b b ( b) ( ) cos d [( ) sn cos ] ( b ) snb cosb + Si [, ] F Si b > b F ( b) ( ) cos d + ( ) cos d cos+ ( b ) snb + cosb cos+ Con lo qu l función pdid s: b ( b) snb cosb + F( b) cos d b snb + cosb cos+ ( ) b b [( ) sn + cos ] > 9 S f () un función coninu l qu > s f f Pruébs qu, noncs, s vrific qu f ( ) f ( ) > Mdrid: spimbr d 997 (-A-) -Págin 8-8

9 Considrmos l función ingrl F( ) f f f > > f f > f f F ( ) F( ) > Es dcir, n ls condicions dl nuncido, l función F s pr S r d dmosrr qu su drivd s un función impr F ( ) F( ) > F ( ) F ( ) > (*) Como f s coninu, podmos plicr l orm fundmnl dl cálculo qu F ( ) f ( ) F( ) f, con lo F pr culquir F ( ) f ( ) ( ) F ( ) f ( ) Por l drivd d l función compus, sbmos qu ( u( ) ) f ( u( ) ) u ( ) función drivbl u() En priculr Llvndo sos dos úlimos rsuldos l prsión (*), qud dmosrdo qu: f ( ) f ( ) > Hll los máimos y mínimos n l inrvlo [,] d l función F ( ) ln d con > L función F ( ) ln d s coninu n [,], por lo qu lcnz un máimo y un mínimo rlivo n s inrvlo Por l orm fundmnl dl cálculo: F ( ) ln > [,], por lo qu F() s sricmn crcin n s inrvlo, por lo qu l mínimo bsoluo s F () y l máimo bsoluo F() Pr nconrr l vlor d sos rmos bsoluos nmos qu nconrr l prsión d F() I ln d s hc por prs: u ln du d d dv v I ln d ln 4 F() ln d [ ln ] ln ln s l mínimo bsoluo F () ln d [ ln ] ln 9 ln s l máimo bsoluo 9 Drmin 4 d Empzmos por nconrr d d I I d hcindo un cmbio d vribl: d Es ingrl s hc por prs: -Págin 9-9

10 u du d dv d v 4 con lo qu d d d ( ) [ ( )] 4 +, dshcindo l cmbio: I ( ) ) Hllr l vlor d l ingrl dfinid: b) Clculr l ingrl dfinid: d d Mdrid: Prub ipo - (-B-4) ) d d u ( ) s un ingrl csi inmdi dl ipo u( ) + C u( ) d b) I d rsulv con un cmbio d vribl ln d d, qu llvdo nusr ingrl: d, qu s d ipo rcionl ( ) A B ( A B) + B A + ( A B) + B + ( ) ( ) B d d I ln( ) + ln y dshcindo l cmbio: I ln ln( ) ln( ) π Clcul l vlor d l ingrl sn d π Mdrid: junio d 998 (4-A-) < Como, l ingrl hy qu sprrl n dos sumndos: sn d sn d + sn d Ls dos primiivs s clculn por prs: π π π u d du sn d dv v cos sn d cos + cos d cos + sn π π sn d [ cos sn ] + π π [ cos + sn ] π 4 Enconrr E ln d Si sudimos l signo d ln obnmos qu ln ln ln < <, por lo qu: -Págin -

11 E En un jrcicio nrior obuvimos: ln d A B ln d ln d [ ln ] [ ln ] ( ) ln d d ln + ln d + A ln, por lo qu: B E ln 5 S l función f ( ) ) Esudir l domino, ls sínos, los posibls punos d máimo y d mínimo y hcr un dibujo proimdo d l gráfic d l función b) Hllr l ár limid por l gráfic d l función f (), l j d bsciss y ls rcs y Mdrid Prub ipo (-B-) Domino: D (, ) f Asínos: Posibl síno vricl: Qu ln fcivmn lo s, pus lím + Asíno horizonl: ln lím, plicndo L Hôpil lím lím y s un síno horizonl ln ln Máimos y mínimos rlivos: f ( ) f ( ) Esudindo l signo d s prsión, s dduc qu l función lcnz un máimo rlivo n l puno (, f ( ) ), Esos dos nos prmi hcr un gráfic proimd d l función Finlmn, l ár pdid s ln A d Un primiiv d s función s inmdi si nmos n cun qu: ln ( ln ) d ln d ln ln A u Es lími s un prsión d l form -Págin -

12 6 Encunr l ár dl rcino limido por l gráfic d f ( ) ln, l j OX y l rc ngn dich gráfic n l puno A y ln ( A ) Bs noncs drminr s úlimo A L rc ngn sá drmind por: A(, f ( ) ) (,) m f ( ) : y ( ) : y Rprsnndo ls dos gráfics qu limin l rcino, obsrvmos qu l ár pdid ( A) s obin fácilmn rsndo l d un riángulo ( ) l dl rcino limido bjo l curv A ln d y rcordndo qu ln d ln : A [ ln ], rsu: 7 Dd l función f ( ), s pid: A ) Hcr un dibujo proimdo d l gráfic d l función b) Esudir l drivbilidd d l función n c) Clculr l ár dl rcino limido por l curv y f (), l j d bsciss y ls rcs y Mdrid: spimbr d 997 (-B-) L función dd, n form d inrvlos, in por prsión: + < f ( ) L rprsnción d s curv s hc siguindo los psos hbiuls n l rprsnción d prábols u + < Con l función f ( ) s > comprub qu f i( ) f d (), por lo qu l función no s drivbl n Obsrvndo l gráfic, s v inmdimn qu: A f () d + d + 6 u -Págin -

13 8 Sindo f ) ( ) (, s pid: ) Rprsnr l gráfic d l función f () indicndo monooní, rmos, punos d inflión y sínos b) Hllr l ár dl rcino dl plno ncrrdo nr ls curvs y f () y Mdrid: Prub ipo (-A-) Domino: D f R Monooní, máimos y mínimos: f ( ) f ( ) sig ( f ( ) ) sig( ) ( ) > Como f ( ), y viso l crcimino d crcimino d l función, podmos firmr qu n (, f ()) (, ) hy un mínimo rlivo Concvidd inflions f ( ) ( + ) sig ( f ( ) ) sig( + ) f () s nul pr y como dmás l curv cmbi d concvidd n s puno, (, f ( ) ) (, 74) s un puno d inflión Asínos No in sínos vricls Vmos ls horizonls lím Hci l drch no hy síno horizonl ( ) ( ) lím s síno horizonl sig ( f ) - + Monooní d f () sig ( f ) - + Concvidd d f () Tod s informción s suficin pr consruir l gráfic con bsn proimción Pr nconrr l ár dl rcino pdido, ncsimos los punos d cor d mbs gráfics, s dcir, l solución dl sism: Es un indrminción dl ipo, sindo l rmino dominn l qu ind -Págin -

14 y ( ) y ( ) ( ) ( ) A ( ) ( ) d ( ) qu s hc por prs u d du dv d v + d por lo qu: d d A + Tods son inmdis, cpción d, 5 9 Clcul l ár comprndid nr l curv y +, l j OX y ls rcs vricls qu psn por los punos d inflión d dich curv f ( ) + α f ( ) Es curv convin sbr rprsnrl, pus prc con frcunci, pro si no s sí mpoco s imprscindibl l gráfic pr rsolvr l problm Es fácil comprobr qu l función s pr, por lo qu su gráfic s siméric rspco dl j OY Admás, y >, por lo qu l ár α pdid srá A d, sindo α > + α l bscis d uno d los punos d inflión Enconrmos s vlor d α igulndo l sgund drivd cro 6 f ( ) f ( ) α ( + ) π d [ rcg ] u + ( + ) A Dos hrmnos hrdn un prcl qu hn d rprirs n prs iguls L prcl s l rgión pln ncrrd nr l prábol y y l rc y Dcidn dividir l prcl mdin un rc y prll l rc y Hllr l vlor d Mdrid: junio d 996 (8-A-4) -Págin 4-4

15 y y A y A Empzrmos por nconrr l ár ol d l prcl, A, y dspués drminndo l vlor d A pr qu A Lo vmos hcr d dos forms, l primr uilizndo l curv dd: y ; l sgund rcurrindo l gráfic d l función invrs: y Como l rgión cuyo ár qurmos drminr qud por ncim d l curv, A lo nconrmos como l difrnci nr l ár d un rcángulo y l ár dl rcino qu qud por dbjo d l prábol: A d u A mbién s l l difrnci nr l ár d un rcángulo, A A d 4, y l ár d Uilizndo l gráfic d l función invrs, y, l problm rsul más sncillo, pus los rcinos qudn limidos por un curv, l j horizonl y un rc vricl, y l drminción dl ár d sos rcinos s l plicción dirc d l ingrl y A A L prcl dscri n l nuncido quivl l rcino limido por l curv y, l j d bsciss y l rc vricl Su ár s, fcivmn: -Págin 5-5

16 A d u Pr drminr bs imponr qu A A d 4 NOTA: Es mismos problms prc n l prub ipo dl curso 99- (9-B-), hor con l siguin nuncido: S considrn ls líns y y con < < Ambs curvs s corn n un puno (, y ) con bscis posiiv Hllr sbindo qu l ár nr mbs curvs dsd hs s igul l ncrrd nr lls dsd hs -Págin 6-6

17 y Encunr l ár dl rcino plno drmindo por l lips d cución + b Como cso priculr, dmusr qu l ár dl circulo d rdio R s igul π R L ingrl I ( ) b y A b b A d b Por ls simrís d l figur, bsrá drminr l ár A y muliplicr por 4 Es ár s obin por ingrción d l cución plíci d l curv: y + b b + y b y b b b y ( ) d ( ) b d s obin con un cmbio d vribl: d cos d sn I ( ) cos d cos L ingrl d cos s obin nindo n cun ls siguins iguldds rigonomérics: cos sn cos Sumndo + cos cos + cos cos I ( ) cos + sn + cos d sn I + d Tnindo n cun s rsuldo y qu n l cmbio d vribl: rcsn rcsn π A b ( ) d π b sn bπ + 4 u Por lo qu l ár dl rcino pdido s bπ u El ár dl círculo d rdio R s un cso priculr dl nrior n l qu ár s π R u b R, por lo qu su -Págin 7-7

18 S l función f ( ) sn Clculr > l qu l ár ncrrd por l gráfic d f, l j y y l rc, s y sn() π 4 π 4 -Págin 8-8