Integrales impropias.

Transcripción

1 IX / 8 UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR MA nro-mrzo d 4 Dprtmnto d Mtmátics Purs y Aplicds. Intgrls impropis. Ejrcicios sugridos pr : los tms d ls clss dl 4 y 9 d mrzo d 4. Tms : Otrs forms indtrminds. Intgrls impropis..- Clcul los siguints its plicndo (cundo s convnint) l rgl d L'Hopîtl : -sn() ) 3 -sn() rcsn()- ; ) (tg()) 3 ; c) 3 ; d) +.ln() ; ). - ln(+) ; f) ; g) (+ ) ; h) (+ ) ; i) j) (+tg())ctg() ; k) - cos().ln(+).(+sn()) ; sn(t ) dt ; m) -sn().- Clcul los siguints its plicndo (cundo s convnint) l rgl d L'Hopîtl : ) tgh() ; ) tgh() ; c) (-tgh()(/) ; d) (-tgh()(/) ; ) (.cosh(c))(/) ; f) (.cosh(c))(/) Epliqu cul s l rror n l siguint procdiminto : 4.- Considr l siguint procdiminto : f()= 5++.sn() ; g() = +7-cos() ; Epliqu! cos()+sn() cos()-sn() + = + =. 5++.sn() +7- cos() = f() g() = f '() g '() = +.cos() 7+sn() = no ist?

2 IX / 8 UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR MA nro-mrzo d 4 Dprtmnto d Mtmátics Purs y Aplicds. Intgrls impropis. 5.- Clcul ls siguints intgrls impropis (o dmustr qu son divrgnts) : 4 5) (- ) ; 5) + ; 5c) -.ln() ; 5d) ; 5) - + ; 5f) + ; 5g) (- tgh()) ; 5h) ( tgh()+) ; 7π/3 5i) ( - tgh() ) ; 5j) ctg() [v l jrcicio f d l práctic d l smn V]. π/3 6)- Pr cd un d ls siguints intgrls impropis, vrigü si s convrgnt o no: 6) 3+ +sn() ; 6) sn () + ; 6c) 6d). ; 6). ; 6f) (-) /3.. ; 7) Pr cd un d ls siguint intgrls impropis, hll, si posil, un vlor d l constnt k pr l cul l intgrl s convrgnt ( y clcul l intgrl con l vlor d k hlldo) : 7) ( k ) ; 7) +k. +3. ; 7c) k

3 IX 3/ 8 UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR MA nro-mrzo d 4 Dprtmnto d Mtmátics Purs y Aplicds. Intgrls impropis. Rspusts ) -sn() 3 -cos() sn() = 3 = 6 = 6 ; -sn() ) (tg())3 = ( -sn() 3 )( 3 (tg())3 ) = 6. = 6 ; rcsn()- c) ponindo u=rcsn(), =sn(u) s tin : 3 u-sn(u) = u (sn(u)) 3 = u-sn(u) u = ( u u 3 )( 3 u (sn(u))3 ) = 6. = 6 ; ln() d).ln() = + + / = + / -/ = + (-) = ; otr mnr d procdr podrí sr l siguint, ponindo u= : +.ln() = ).- = u ln(/u) -ln(u) -/u u = u u = u = ; = = ; ln(+) /(+) f) = = ; g,h) ponindo u=, s tin : ± (+ ) ; u ± (+u)/u = (/u)ln(+u) = = ; u cos().ln(+) i).(+sn()) = (ln(+) )( cos() +sn() )= ; j) (+tg())ctg() = NO ist [ tg() y ctg() son funcions priódics ] ; k) - = = ;

4 IX 4/ 8 UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR MA nro-mrzo d 4 Dprtmnto d Mtmátics Purs y Aplicds. Intgrls impropis. m) sn(t ) dt -sn() sn( = ) -cos() = ( sn( ) ) ( -cos() ) = ; ) tgh() = ; ) tgh() = - [clcul stos dos its ponindo u= ] ; c) (-tgh()(/) = (/).ln(- tgh()) = -, y qu (/).ln(- tgh()) = ln(- tgh()) = = ln( - cosh() ) --ln(cosh()) = --tgh() = = - ; d) (-tgh()(/) = = ; ) (.cosh(c))(/) = c, y qu f) (.cosh(c))(/) = -c..ln(.cosh(c)) c.tgh(c) = = c ; cos()+sn() 3). + = [y qu l función, f(), d l cul s clcul l it s continu n =, por lo cul su it s f() ]; ojo : l rgl d L'Hopîtl s plic its cuyo tipo d indtrminción s / o /. f() 4). L rgl d L'Hopîtl prmit clculr g() n l cso qu f '() g '() ist; como n l cso considrdo l it dl cocint d ls drivds no ist, no s plicl l rgl d L'Hopîtl. Sin mrgo s pud clculr dirctmnt l it ddo : sn() +7- cos() = ++.sn() cos() +7- = = 7. 5) - (- ) = -+ (- ) = -+ [rsn()-rcsn()] = -rcsn(-) = π.

5 IX 5/ 8 UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR MA nro-mrzo d 4 Dprtmnto d Mtmátics Purs y Aplicds. Intgrls impropis. 5) + = + = [rctg()- rctg()] = π - π 4 = π 4 ; 5c) 4 ; st intgrl s impropi, dido qu -.ln() () - ( -.ln() ) = [ y dmás () + ( -.ln() ) = ]. L intgrl dd s convrgnt si y sólo si istn (finitos) los dos its : L = () - -.ln(), L = () ln() y n tl cso s tin -.ln() = L +L. 4 Como L = () - -.ln() = impropi dd no s convrgnt; () - [-ln -ln() +ln -ln() =, l intgrl 5d) ; como = , s tin : = = [ - 5) + = + = - +ln ln + ] = +ln(3) ; [ln( + ] = ln()-ln( ) = ln() ;

6 IX 6/ 8 UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR MA nro-mrzo d 4 Dprtmnto d Mtmátics Purs y Aplicds. Intgrls impropis. 5f) + = [ln( +)] = ln() ; 5g) (- tgh()) = [-ln(cosh())] = ln() ; 5h) ( tgh()+) = ln() ; 5i) ( - tgh() ) = ( tgh()+) + (- tgh()) =.ln() ; 7π/3 5j) ctg() s intgrl impropi dido qu ctg() =, π π/3 π ctg() = ; st intgrl impropi s convrgnt ( igul L +L +L 3 +L 4 ), sólo n l cso qu ls siguints cutro intgrls impropis istn : L = π 3π/ ctg(), L = ctg(), L3 = π π/3 L = π - π/3 ctg(); L = π+ π 7π/3 ctg(), L4 = ctg() ; π 3π/ 3π/ ctg() ; L3 = π- 3π/ ctg() ;L4 = π+ 7π/3 ctg(); como L no s convrgnt, sigu qu l intgrl 7π/3 ctg() no s convrgnt. π/3 En fcto : π - π/3 ctg() = π - [ ln sn() ] π/3 = π- ( ln sn() - ln( 3/) ) =. 6) Como 3+ +sn() +, s tin, pr todo : 3+ +sn() + = rctg() - π 4 π 4 y d sto sigu, [tomndo n cunt qu

7 IX 7/ 8 UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR MA nro-mrzo d 4 Dprtmnto d Mtmátics Purs y Aplicds. Intgrls impropis. F() = 3+ s función crcint d ], +sn() 3+ +sn() 6) sn () + s convrgnt, y qu sn () + + tc. = ist finito; 6c) como s función crcint, s tin qu pr todo [, ] rsult = < 3, lugo, pr todo [, ] :. 3, 3. ; d sto sigu, pr todo (,], 3. y por consiguint +. =, y qu + 3 = ln() =. Por lo tnto. s divrgnt. 6d). s convrgnt, y qu pr s tin. 6). =. +. s divrgnt y qu. tc. s divrgnt. 6f) (-) /3 = (-) /3 + (-) /3 = - (-) /3 + + (-) /3 = - 3[ 3 -] + + 3[ 3 -] = 3[-(-)]+3[-] = 6; l intgrl s convrgnt.

8 IX 8/ 8 UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR MA nro-mrzo d 4 Dprtmnto d Mtmátics Purs y Aplicds. Intgrls impropis. 7) ( k ) = ( k ) = = [ k ln( +) + rctg() + ln - -.ln + ] = = [ rctg()+ ln( ( +) k/ - (+) - ) ] =? pr qu st it s finito, l it dl rgumnto dl logritmo d sr finito, sí qu d sr :. k +- = k=. Con k= s tin : ( k ) = - [ rctg()+ ln( ( +) / - (+) - )] = = π + ln() - rctg() - ln( 5 9 ) = π - rctg() -.ln(5)+.ln(3). +k. ( u - -k 3 u+ 3 ) du = [ln( u (u+/3) - k/3 ]. 7) Ponindo u= s tin : +3. = Est it s finito si y sólo si k =. Con k= s tin : +3. = ln()-ln(3/4) = =.ln()-ln(3). 7c) k = ( k - ) = + [ ln( Est it s finito si y sólo si k =. Con k= s tin : = ln( ) -ln( 3 ) = ln(3/). k + [ ln( + ) ]. + + ) ] =