Examen de Selectividad Matemáticas II - SEPTIEMBRE Andalucía OPCIÓN A

Transcripción

1 Eámns d Mamáicas d Slcividad rsulos hp://qui-mi.com/ Eamn d Slcividad Mamáicas II - SEPTIEMBRE - ndalucía OPIÓN.- Sa la función coninua f : R R dfinida por f si si > a [' punos] alcula l valor d. b [' punos] Halla la cuación d la rca angn a la gráfica d la función f n l puno d abscisa. a Para qu la función sa coninua n db sar dfinida sr ral f, admás dbn coincidir con s valor los límis larals: lím f lím f f R. f lim f lim f lim,ind!,l'hôpial lim lim b La cuación d la rca angn s m, dond, son las coordnadas dl puno d angncia, m s la pndin, qu coincid con l valor d la primra drivada d la función f n l puno d angncia, f. f En, f m, así qu sa srá la pndin d la rca. El puno d angncia in d ordnada: f, por lo qu l puno s: P,. La cuación srá noncs:..- Sa I d. a [,7 punos] Eprsa la ingral I aplicando l cambio d variabl. b [,7 punos] alcula l valor d I. a d d d d. Los límis d ingración para la nuva variabl son: I d d d d

2 Eámns d Mamáicas d Slcividad rsulos hp://qui-mi.com/ b I. d Ejrcicio.- onsidra l siguin sisma d cuacions con dos incógnias: a [' punos] Pruba qu l sisma s compaibl para cualquir valor dl parámro. b [ puno] Espcifica para qué valors dl parámro s drminado para cuáls indrminado. c [ puno] Halla las solucions n cada caso. a El sisma scrio n forma d mari quda como sigu: M Obsérvs qu la mari d los coficins la mari ampliada difirn sólo n la columna d los érminos indpndins, qu coincid con la columna. Por lo ano, la columna d los érminos indpndins s linalmn dpndin dl rso d columnas, al suprimirla d la mari ampliada no varía l rango d la misma; por lo ano, la mari d los coficins in l mismo rango qu la mari ampliada, con lo qu valga lo qu valga, l sisma simpr srá compaibl. b coninuación valuarmos l rango d la mari d los coficins d la ampliada. omo hmos viso, la mari ampliada d dimnsión in dos columnas iguals, por ano l drminan único d ordn srá nulo: ; por ano sabmos qu, R Los posibls drminans d ordn liminando una d las dos columnas iguals srán: ± s drminan s anula para ± s drminan s anula para El único valor d qu anula odos los drminas d ordn qu hac qu l rango d d no sa s ; por ano sabmos qu si, qu si. onclusión: Si,, l sisma s compaibl drminado Si,, l sisma s compaibl indrminado

3 Eámns d Mamáicas d Slcividad rsulos hp://qui-mi.com/ c Para SI, - M ; las rs filas son proporcionals, por ano podmos dscarar dos cuacions usar sólo una d llas: Esa solución s una rca n l plano -. Para SD, como disponmos d incógnias d cuacions, una d llas s prscindibl. Si liminamos por jmplo la sgunda, ndrmos l sisma:, qu pud rsolvrs aplicando por jmplo la Rgla d ramr:,, Solución : D D Ejrcicio.- San los punos,,, B,,,,, D,,. a [ puno] Halla la cuación dl plano π drminado por los punos, B. b [' punos] Dmusra qu los cuaro punos no son coplanarios. c [ puno] alcula la disancia dl puno D al plano π. a Hallarmos la cuación dl plano π como l plano qu pasa por l puno in por vcors dircors a los vcors B.,,,,,,,,,,,, B b Si furan coplanarios, l puno D dbría vrificar la cuación dl plano π: 7, no la vrifica. Por lo ano no prnc al mismo plano. c La disancia D, π db mdirs prpndicularmn al plano. onsidrmos la rca auiliar r qu s normal a π pasa por D. El vcor n normal al plano π srá l vcor dircor d r:,, n v, así la cuación d r srá: r su inrscción con π vndrá dada por: 7 π Llammos D a s puno d cor, qu s la procción orogonal d D sobr π:

4 Eámns d Mamáicas d Slcividad rsulos hp://qui-mi.com/ D,,,, La disancia dl puno D al plano π s corrspondrá con la disancia nr D D : d DD 7 unidads d longiud. OPIÓN B Ejrcicio.- Sa la función f dfinida por f para. a [' punos] Esudia las asínoas d la gráfica d la función f. b [' punos] Halla los rmos rlaivos abscisas dond s obinn valors qu s alcanan los inrvalos d crcimino d dcrcimino d f. a sínoas vricals: ; f no sá dfinida n, D,,. sínoas horionals: lim por la drcha lim lim,ind!,l'hôpial lim sínoa oblicua: f m lim lim lim lim por la iquirda no ha,ind!,l'hôpial lim por la iquirda ampoco ha asínoa oblicua. b La condición d rmos rlaivos s qu s anul la primra drivada, f : f no s solución,ind!,l'h Sólo un rmo rlaivo n ; l valor corrspondin ordnadas s halla susiundo n la función primiiva: f /; para sabr si s máimo, mínimo o puno d inflión horional, ha qu susiuir s valor d abscisas n la sgunda drivada: f s un mínimo rlaivo. f > ; l puno m, Los inrvalos d monoonía son, pus:,,,,,. omo n nmos un mínimo rlaivo, cab sprar qu f sa dcrcin n l primro crcin n l sgundo. Pro para comprobar l signo d la monoonía d f n cada uno d llos, lgimos un valor dl inrvalo comprobamos l signo d la primra drivada:

5 Eámns d Mamáicas d Slcividad rsulos hp://qui-mi.com/ f < Dcrcin n, f f > rcin n, > rcin n, sínoa f sínoa m Ejrcicio.- Sa f : R R la función dfinida por f. a ['7 punos] Halla la cuación d la rca angn a la gráfica d f n l puno d abscisa. b ['7 punos] Esboa l rcino limiado por la gráfica d f, la rca l j d abscisas. alcula l ára d dicho rcino. a La cuación d la rca angn s pud obnr a parir d las coordnadas, dl puno d angncia dl valor d la drivada d la función n l puno, m f, como sigu: m f ; n nusro caso, la ordnada dl puno d angncia s: 9 f f, lugo l puno d angncia s P,. Por oro lado, para hallar la pndin d la rca angn ncsiamos la drivada d f: f m f, con lo qu la cuación d la angn srá: b La gráfica d la función f s una parábola con las ramas hacia abajo, a qu s raa d un polinomio d º grado con l coficin d ngaivo; l rcino al qu s rfir l nunciado quda limiado por la curva d f, la rca qu s la misma angn qu acabamos d hallar l j OX. Obviamn l puno comparido por la curva la rca s l puno d angncia P, pro ncsiarmos ambién calcular los punos d cors d ambas funcions con l j. angn f P B - - La parábola corará al j OX n los punos qu saisfagan simulánamn las cuacions d la curva dl j, por ano s pudn hallar rsolvindo la cuación: 9 9 ±. El puno qu nos inrsa in coordnadas:,. La rca angn cora al j OX n: B,. El ára dl rcino ncrrado por sas gráficas s pud hallar ingrando, pro ha qu nr n cuna los punos d cor para dfinir corrcamn los límis d ingración. Nós qu

6 Eámns d Mamáicas d Slcividad rsulos hp://qui-mi.com/ nr la abscisa l rcino s ncunra nr la rca la curva; nr s ncunra nr la angn l j: unidads cuadradas u 9 d d d d Ejrcicio.- onsidra l sisma d cuacions con rs incógnias: a [' punos] lasifícalo sgún los disinos valors dl parámro. b [' punos] Rsuélvlo para. a El sisma n forma maricial s:. Esudimos primro l rango d la mari d los coficins. El rango d no srá cuando s anul l drminan: para para. Para ndrmos: dond dnoa mari para Para ndrmos: El srá noncs si s ó, srá n cualquir oro caso. hora sudimos l rango d la mari ampliada. El rango d no srá para sos valors dl parámro. Vamos n cada caso cuál sría l rango. Para ndríamos:

7 Eámns d Mamáicas d Slcividad rsulos hp://qui-mi.com/ Nós qu F F F sí qu srá si s ó, srá para los dmás valors rals d. onclusión: SD Si SI ó Si b Para l sisma quda: Podmos liminar la sgunda cuación, qudaría l sisma sin la coordnada : R ; ;. Esa solución s la rca qu consiu l j OZ:,,,, Para l sisma quda:, porqu F F F. Para rsolvr s sisma compaibl indrminado, raarmos la como un parámro, pasándola a la columna d los érminos indpndins, rsolvrmos l sisma prsando la la n función d : La solución srá la siguin rca, dada n forma d cuacions paraméricas:

8 Eámns d Mamáicas d Slcividad rsulos hp://qui-mi.com/ Ejrcicio.- [' punos] Halla l puno simérico d P,, rspco d la rca r dfinida por Para hallar l puno P simérico d P rspco a r drminarmos primro l puno mdio M nr P P, qu s la procción orogonal prpndicular d P sobr r. Lo primro qu ncsiamos s pasar la rca r d la forma implícia qu nos dan a paraméricas. Para s paso ncsiamos conocr un puno d la rca un vcor dircor v r parallo a lla. El puno : omo la rca vin dada n implícia s dcir, como cor d dos planos, podmos dducir las coordnadas d un puno cualquira asignando valors a dos variabls calculando la rcra a parir d llas, nindo n cuna qu db cumplir las cuacions d los dos planos d la cuación implícia. Por jmplo si : r nmos l puno,,. El vcor dircor v r d la rca: podmos hallarlo como l produco vcorial d los dos vcors normals n n a los dos planos π π scans n r. El vcor normal a un plano s prpndicular a odos los vcors connidos n l plano. omo l vcor dircor d la rca sá connido n los dos planos, db sr prpndicular a los dos vcors normals. La opración mamáica por la qu obnmos un vcor prpndicular a oros dos dados s l produco r vcorial. Por so v n n. r r r i j r r r r v i j,, Ecuacions paraméricas d r: nindo l puno l vcor dircor: r El puno M: ada puno d la rca vin dado por un valor dl parámro. Y M, as sr la procción orogonal d P sobr r, s al qu l vcor PM sa prpndicular a v r. Esa condición la imponmos mdian l produco scalar, qu in qu sr nulo: PM,,,,,, r P M v P PM v,,,, 6 D aquí qu M sa: M,,.. El simérico P : Por simría M P db sr igual qu PM, así qu: PM,,,,,,,, P,, 6,,