CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I. variación de x 0 variación de correspondiente a x. razón ó velocidad de cambio. es llamado la

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1 Dada una unción al qu, + h Dom dirmos qu: h s llamado + - s llamado s llamado la d la unción rspco d la variabl n [, + ] Si is ' s llamado la d la unción n. Usualmn s l valor absoluo d la vlocidad. Sabmos: i Sí > dcrc dcrc crc crc ii Sí < crc dcrc dcrc crc crc dcrc Sí l gráico d y s la raycoria qu rcorr un móvil. La vlocidad d cambio promdio d rspco d la variabl impo n [, + ] s dado por: La vlocidad d cambio insanána d n l insan sá dada por: ' Así mismo la razón d cambio insanáno d la vlocidad n l insan ' En un riángulo rcángulo la longiud d un s d 5 pis y sá aum nando a razón d pis/min., l oro cao d 6 pis y sá disminuyndo a razón 6.. LA DERIVADA COMO RAZÓN O VELOCIDAD DE CAMBIO. Dinición 6.. variación d variación d corrspondin a Dinición 6.. razón ó vlocidad d cambio promdio Dinición 6.. razón ó vlocidad d cambio insanáno rapidz Obsrvación: Modlo n Cinmáica : Vlocidad Aclración Ejmplo v v v v a + < < > > > < < > > < + D

2 d pi/min. Hallar l cambio rspco dl impo dl ángulo agudo opuso al cao qu n s insan mid 6 pis. Solución: Considrmos l siguin gráico: y y Sabmos g q q g y 6 d dy 5, y y 6,, θ d d dq d dy d y d d dy d y d d y + y pis/ min Ejmplo Un oco ncndido culga a 5 pis sobr una rca horizonal. Sí una prsona d 6 pis d alura camina aljándos sobr dicha rca a razón d 5 pis/sg. i Hallar la rapidz con qu s alarga su sombra. ii Con qu razón s muv la puna d su sombra. Solución: En l gráico: α Trcho qu camina la prsona. β Alargamino d la sombra λ Alcanc d la puna d la sombra. 9 da Por dao d + 5 S quir db dl, d d Dl gráico λ α + β...* 6 α λ β 5 l a + b. a Admás comparando riángulos b 6 b b db da Implíciamn. 5 pis/ sg. pis / sg d d dl da db 5 En * pis/ sg pis/ sg d d d - 9 -

3 Ejmplo Un coma qu vula a m. d alura s mpujada horizonalmn por l vino a una vlocidad d 4 m/sg. Si la curda s vá solando dsd un puno ijo. A qué vlocidad s alja l coma n l insan n qu s han solado 5 ms d curda?. Solución: Considrar l siguin gráico: da Por dao 4m/sg., λ 5ms. d dl 5 S quir d λ Dl gráico a l 75 Admás λ Enoncs a da d α + l dl d α dl a da 5 Por ano 4.4m / sg. d l d 75 Ejmplo Un cazador divisa un av volando a m. d alura y vula horizonalmn a ra 6m/sg. Hallar la razón d cambio dl ángulo d obsrvación cuando l av sá a una disancia horizonal d 4m. dl cazador. Solución: Considrmos l siguin gráico: α da Daos 6m/sg. d λ g q.. * a dq S quir cuando α 4m. θ d 4 Drivando implíciamn * dq sc da dq q 8 cos q d a d d 6 Dl gráico +4 4 λ 5 λ 5, cos θ l Enoncs dq d Rad/sg. El signo- indica qu θ dcrc LA DERIVADA EN EL CÁLCULO DE MÁXIMO Y MÍNIMO RELATIVO. Torma 6.. Dada unción coninua n [a, b] y drivabl n a, b i Sí > a, b s crcin n [a, b] ii Sí < a, b s dcrcin n [a, b]

4 Dmosración: i San, [a, b] con < Por l T.V.M. n [, ] [a, b], al qu Por hipósis > y > - > < Por lo ano s crcin n [a, b]. ii Análogo. Torma 6.. Cririo d la primra drivada para drminar máimo, mínimo. Sí s una unción dinida n una vcindad V δ al qu s coninua n V δ y drivabl n V δ cpo al vz n. i Sí > - δ, y <,, + δ Enoncs s un rmo d máimo local d. ii Sí < - δ, y >, + δ Enoncs s un rmo d mínimo local d. Dmosración: i Por hipósis y usando l orma anrior s crcin n - δ, y dcrcin n, + δ. Lugo < V δ d dond por dinición s un rmo d máimo local d. ii Análogo. Obsrvación: Para drminar los inrvalos d crcimino ó dcrcimino y los valors dond la unción oma máimo ó mínimo rlaivo.. Dbmos drminar los punos qu pudn sr punos críicos, d disconinuidad y d acumulación dl Dom dond la unción no sá dinida.. Usando las dos proposicions anriors analizamos sí la unción s crcin ó dcrcin n los inrvalos sparados por los d Admás para los valors d máimo ó mínimo analizamos las drivadas n los valos anriors n valors muy próimos a los valors d. O sa i Sí, <, > + Ejmplo: S in qu s un mínimo rlaivo. ii Sí, >, < + S in qu s un máimo rlaivo. iii Sí no hay cambio d signo para no s pud hablar ni d máimo ni d mínimo rlaivo. Vamos los inrvalos d Crcimino y dcrcimino así como los rmos rlaivos d Primramn Dom lr-{}. Obsrvar qu, Dom. Admás: ± +. noncs s asínoa Vrical, d aquí Ran [,

5 ±. noncs y s asínoa Horizonal. Hallando punos críicos. Tracmos l siguin cuadro Inrvalos Signo d Crcimino Máimos ó Mínimos -, - Dcrc s valor d Mínimo Rla., + Crc, + - Dcrc Graico aproimado: Torma 6.. Cririo d la sgunda drivada para drminar máimo, mínimo. Dada una unción con drivadas hasa l sgundo Ordn coninuas n V δ y, noncs: i Sí > s un rmo d mínimo rlaivo ó local d. ii Sí < s un rmo d máimo rlaivo ó local d. Dmosración: Primramn vamos Sí α s al qu a L > ó a L < V δ al qu α > ó α <, V δ..* L En co sí a L > para ε > n una vcindad V δ s in L L L L α L < < α < < < α α > Sí a L < s análogo. Rgrsando al orma: i Si > >

6 > > + Usando la propidad*: Sí + > y > > Sí < y > < Sgún l cririo d la primra drivada s un mínimo local d. ii Sí < s in análogamn a i. Ejmplo Hallarmos dos númros posiivos al qu su suma sa igual 6 y su produco sa l mayor posibl. Para so usarmos l cririo d la sgunda drivada: San, y los númros + y 6 y 6 Formmos la unción produco p.y 6-6. S quir hallar un máimo. Para so dbmos nr / p y p p 6 p - p - Como p - < p s máimo para p Por lo ano los númros posiivos srán:, y. Ejmplo Hallar l ára dl mayor rcángulo qu in su bas inrior n l j X y los vérics rsans n y -. Solución: S quir hallar un máimo n l ára: Dl gráico: A - - Es l ára d la smirrgión drcha. A - Si A noncs n s in un y, - candidao a máimo. Aplicamos l cririo d la sgunda drivada: A -6 noncs A - < Enoncs la smirrgión in n A 6 un máimo para l ára. Por ano l ára dl mayor rcángulo srá A 6. Ejrcicio: Un barco B sá a km. dl puno A mas crcano sobr una playa rca. Un puno C sá a 6Km. d A sobr la playa. Si un hombr rma n un bo a razón d 5Km/h y camina a razón d Km/h. n qu puno P dbrá dsmbarcar para ir dsd l barco hacia C n l mnor impo. Solución: S quir hallar un puno P para ir dsd A hacia C n l mnor impo. Dl siguin gráico podmos considrar l impo n unción dl spacio rcorrido:

7 T B o T 5 + o Si T noncs n 5 s in 6 candidao a mínimo rlaivo. + Aplicamos l cririo d la sgunda drivada: T 5 + Enoncs A P 6- C 5 T s un rmo d mínimo. Por lo qu l hombr dbrá 6 puno P A+ 6 5 para mplar l mnor impo n llgar a C 5 T > 6 mbarcar n l Ejcicio: Un cilindro circular rco s inscrio n un cono circular d radio R. Hallar l radio dl cilindro si su volumn s máimo. Solución: Si rradio, halura dl cilindro: El volumn srá V πr h h H H R r Dl gráico h r R r R R ph H Enoncs Vr Rr r h R ph Admás V r Rr r R R Si V r noncs r ó r R noncs n r R s in un candidao a máimo. ph Sgún l cririo d la sgunda drivada V r R 6r V R < R Por lo ano l radio dl cilindro d volumn máimo srá r R 6.. LA DERIVADA EN EL CÁLCULO DE LIMITES DE LA FORMA,. Torma 6.4. D Cauchy San, g dos uncions:. Coninuas n [a, b]. Drivabls n a, b y g, a, b b a Enoncs a, b al qu g g b g a Dmosración: Usar l orma d Roll

8 Torma 6.5. ra Rgla d L-Hosspial ó Límis d la orma San, g uncions conínuas y drivabls n una vcindad V δ cpo probablmn n al qu, V δ, g. Sí y g g g g Dmosración: Tommos, g drivabls n, + δ y g, + δ y los límis d la hipósis valn cuando, g g pus, g son coninuas n V δ g Por l T.V.M. n [, ] s in g g g c ; < c < Como g y g c g g c... z Por y por Cauchy obnmos h g g g g z Vmos qu sí + z + z h g z g z +...* g Trabajando con las condicions n - δ, y límis larals por la izquirda análogamn s in...** g g Conclusión d * y ** g g Corolario 6.6. San, g uncions drivabls para odo > N >. Sí > N, g y, g + g g + g Dmosración: S obin dl orma hacindo:. Así + + Obsrvación: El corolario ambin s obin sí - n los límis. Torma 6.7. da Rgla d L-Hosspiall ó Límis d la orma San, g uncions drivabls n una vcindad V δ cpo quizas n /, V δ, g. Sí y [ ± g g ó ±, g m ] g g Dmosración: Análogo al orma6.5 usando límis larals

9 Corolario 6.8. San, g drivabls n > N >. Sí > N g, [ ± g ó ±, g m ] + + g Dmosración: + + g + + S obin dl orma hacindo:. Así g y Obsrvación: El corolario6.8 ambin s obin sí - n los límis. Corolario 6.9. Dadas las uncions, g saisacindo odas las condicions d algunos d los ormas anriors y n n, g ambén saisacn las condicions noncs:... g g g... + g + g + g Dmosración: S inn como n los ormas6.5, 6.7. Obsrvación:Formas indrminadas rducibls a: ó. Forma:. Sí, g noncs.g. indrminado Es lími pud sr ransormado a la orma d L-Hosspiall: g.g ó.g g Sugrncia: Cuando uno d los acors s por jmplo: ln, arcg, arcsc, c.. Convin consrvar s acor como numrador para usar Hospial.. Forma: + - Sí +, g - noncs +g + - indrminado Es lími pud sr ransormado a la orma d L-Hosspiall:. ó.. Escribindo g.g g. Formas:,, Sí, g noncs [ ] g indrminado Sí, g noncs [ ] g indrminado Sí, noncs [ ] g g indrminado Esos límis pudn sr ransormados a la orma d L-Hosspiall:... Escribindo g [ ] g ln - -

10 Ya qu Aplicando Hospial vcs rcordar.ln Lugo. ln..ln sn sn Considrar ln, g sn noncs g. sn ln sn ln sn cos cos cos. Ejmplo Ejmplo sn sn sn s g Enoncs sn sn sn sn

11 Cóncava hacia arriba n a, b sí L T + ; a, b Aplicacions d la drivada 6.4. LA DERIVADA EN CONCAVIDAD E INFLEXIÓN DE GRÁFICOS. Dinición 6.4. Dada una unción conínua n dirmos qu l gráico d s Cóncava hacia arriba n si is V δ Dom al qu dicho gráico y sá por ncima d la rca angn n,, L T V. δ Dinición 6.5. Dada una unción conínua n dirmos ylqu T l gráico d s Cóncava hacia abajo n si is V δ Dom al qu dicho gráico sá por dbajo d la rca angn n,, V δ. a b.-.- L T y Cóncava hacia abajo n a, b sí L T + ; a, b L T y δ - δ - δ -δ Concavidad hacia Arriba Concavidad hacia Abajo Dinición 6.6. Dirmos qu l gráico d s Cóncava hacia arriba n a, b Dom sí l gráico indicado s cóncavo hacia arriba n odo a, b. El gráico d s Cóncava hacia abajo n a, b Dom sí l gráico indicado s cóncavo hacia abajo n odo a, b Obsrvación: Si s unción drivabl n noncs la angn n, sá dada por y L T + d allí qu l gráico d s:

12 Dmosración: Por l absurdo: Sí > < Aplicacions Por l orma6.: d la drivada s cóncava hacia arriba ó hacia abajo n Pro como, s puno d inlión ésa s una conradicción. Dinición 6.7. Dada una unción conínua n un puno P, s un puno d inlión Obsrvación: dl gráico d sí is un inrvalo a, b qu conin al qu l gráico d Usando los ormas para drminar los inrvalos d crcimino y dcrcimino, l s cóncava hacia arriba n a, y cóncava hacia abajo n, b ó s cóncava hacia abajo cririo d la primra drivada para drminar punos d máimos y mínimos, las dinicions n a, y cóncava hacia arriba n, b. para drminar concavidads y los punos d inlión podmos razar l gráico d una unción d una manra más prcisa.,, a b a b Torma 6.. Dada unción drivabl hasa l sgundo ordn n V δ Dom, a Sí >, noncs l gráico d - s -cóncava hacia a iba n. b Sí <, noncs l gráico d s cóncava hacia abajo n. Dmosración: Análogo como s hizo para la ra drivada para crcimino y dcrcimino d uncions. Corolario 6.. Dada una unción drivabl hasa l do ordn n a, b a Sí s unción al qu >, a, b noncs l gráico d s cóncava hacia arriba n a, b. b Sí s unción al qu <, a, b noncs l gráico d s cóncava hacia abajo n a, b. Dmosración: S in dircamn dl orma 6.. Corolario 6.. Dmosración: Sí P, s un puno d Inlión d y

13 Ejmplo: Trazar l gráico d + Como 6, 6 6. Vamos la abla: Inrvalo Crcim. Concav. Máimo, Mínimo, P. d Inlión -, + - Crc Abajo -6, s un máimo local, - - Dcrc Abajo -, s puno d Inlión, - + Dcrc Arriba - 6, - s un mínimo local, Crc Arriba Gráico d. - Ejmplo: Vamos los inrvalos d Crcimino y dcrcimino así como los rmos rlaivos d Primramn Dom lr-{}. Obsrvar qu, Dom. Admás: i +. noncs s asínoa Vrical, d aquí Ran [, ± ii. noncs y s asínoa Horizonal ± iii Hallando punos críicos 4 + iv Hallando posibls punos d inlión 4 v Tracmos l siguin cuadro: - 4 -

14 Inrvalo Crcim. Concav. Máimo, Mínimo, P.d Inlión -, -/ - - Dcrc Abajo -/ /9 -/, /9 s P. d inlión -/, - + Dcrc Arriba, s s un mínimo local, + + Crc Arriba, Dcrc Arriba Graico d : /9 -/ Ejrcicio: Trazar l gráico d snh Solución: Dom lr, para drminar l rango obsrvmos: Si Si > >, < - < >, > > Si < < <, < - < <, - - < - < Por ano Ran lr. > Ahora drminmos asinoas: i snh sh z inio. No hay asinoas vricals. z ii snh +, snh no hay asinoas horizonals. + snh iii cosh usando Hospiall +. No hay asinoa oblicua drcha. + + snh cosh usando Hospiall -. No hay asinoa oblicua izquirda. + iv Sí cosh s in absurdo. No hay punos críicos v Candidaos a punos d inlión snh - 5 -

15 vi Tracmos l siguin cuadro Inrvalo Crcim. Concav. Máimo, Mínimo, P.d Inlión -, + - Crc Abajo, s Puno d inlión, Crc Arriba Gráico d : snh 6.5. LA DERIVADA EN GRÁFICO DE SISTEMAS PARAMÉTRICOS Y POLARES. Sí y y,, y y s dinida paraméricamn por Como dy d dy d d y s la drivada paramérica d y rspco d. d y d y Enoncs y y d ' y y Aquí n l sisma paramérico los valors d para los cuals, y srán llamados los valors críicos. En s caso n l sisma XY podmos obnr inrvalos d crcimino y concavidad. Noar qu no odo sisma paramérico y y din una unción para odo. Mas s posibl obnr valors críico, inrvalos d crcimino y concavidad con la primra y sgunda drivada paramérica. Dinición 6.8. Coordnadas polars. Sa P,y un puno n l sisma carsiano XY. Si considramos r como la disancia dirigida dsd l ori hacia P obnmos l sisma polar - 6 -

16 r cos q y rsn q dond θ s ángulo mdido n snido anihorario dsd l smij posiivo X + hacia la rca qu conin l orign y P. Así para cada r, θ obnmos un puno P, y mdian l sisma anrior dado. Las coordnadas r, θ son llamadas coordnadas polars d P. El orign s llamado polo y l smij X + s llamado j polar. El cambio d coordnadas carsianas a polars s dada por: r ± + y q g La rprsnación polar no s única, π, -, π,, π, -, - π rprsnan -, y Ej a y P,y 9 o P,y r θ Ej polar Dinición 6.9. Ecuación polar Es dada por Er, θ. Si n sa cuación polar podmos r cos q dspjar r obnmos la unción polar r r θ y l sisma polar s ransorma y rsn q n r q cos q y r q sn q sisma paramérico con parámro θ. Por lo qu: dy d y g q r q + r q r q r q g q, d d y y q q q y q q Ejmplo Considrar l siguin sisma: a cos y asn ; a > Como cos, sn noncs, y [- a, a ] Lugo l lugar gomérico no in asínoas vricals, horizonals y oblicuas

17 d Si a cos sn, d dy d a cos sn p Enoncs,, π, p, π son los valors críicos. Admás d d y 4 a cos sn Tracmos l siguin cuadro Inrvalo Inrvalo Inrvalo y y Crcimino Concavidad y, π /, a, a - + Dcrcin Arriba π/, π - a,, a + + Crcin Arriba π, π / - a, - a, - - Dcrcin Abajo π/, π, a - a, + - Crcin Abajo Gráico: Asroid a -a a -a Dinición 6.. S dic qu un sisma paramérico y y rprsna un lazo n un puno P si para dos valors s in P, y, y. Ejrcicio Analizar l gráico rprsnado por Solución El rcorrido d s dado por lr-{-} No hay asínoas vricals ni horizonals al gráico + y + y y Como, + y +. ± ± + + m m m m - 8 -

18 Enoncs y -- s asínoa oblicua a drcha izquirda. d dy Si, y d + d + Admás dy d, d y y y d,, También, s puno d lazo pus si, y, y ó Inrvalo Inrvalo Inrvalo y y Crcimino Concavidad y -, -, + -, - + Dcrcin Arriba -, -,, Dcrcin Arriba, /, 4, + + Crcin Arriba /,, 4, Dcrcin Abajo,,, Crcin Abajo Gráico: Lazo 4 Ejmplo Trazar l gráico d r cos q y rsn q al qu r a cos q ; a > Inrsccions con los js y l polo: La gráica inrsca l j polar n r, q,, a, p p p p La gráica inrsca l j a n r, q a,, a, La graica inrsca l polo pus si r cos q cos q q kp ; k Z La gráica s simérica rspco dl j polar pus si q q r a cos q no cambia. Rcorridos d r y q : cos q a cos q a r [,a]. Admás q lr - 9 -

19 d También Si acos q cos q, d dy d acos q cosq p p Enoncs θ,, π,, π son los valors críicos. dy d g q r q + r q r q r q g q q q q y q q d y y, d Inrvalo y y Crcimino Concavidad θ p + + Crcin Arriba -, 4 p 4, p - - Dcrcin Abajo p, + - Crcin Abajo π Gráico: Cardioid a a - -

20 6.6. RELACIÓN DE EJERCICIOS. I.- Hallar la alura dl cono rco d mayor volumn inscrio n una sra d radio R Sí un rcipin cilíndrico d lámina Crrado n ambos rmos ha d nr un volumn V. Hallar las dimnsions qu rquiran la mínima canidad d marial. Hallar la cuación d la rca qu pasa por, 4 orma con l primr cuadran un riángulo d ára mínima. II.- Un niño vula un coma a una alura d pis, l vino alja l coma dl niño horizonalmn a una vlocidad d 5 pis/sg Con q rapidz sá l niño solando la curda cuando l coma s ncunra a 5 pis d él. Un carro s aproima a un cruc a 4 m/sg Cuando s ncunra a 5 m dl cruc oro carro lo aravisa viajando prpndicularmn a m/sg sí l r carro noca su luz sobr l con qu rapidz sá girando su luz ués suponindo qu ambos vhículos coninúan con sus vlocidads originals. Un oco ncndido culga a 5 pis sobr una rca horizonal. Sí una prsona d 6 pis d alura camina aljándos d dicha rca a razón d 5 pis/sg. i Con qu rapidz s larga su sombra. ii Con qu razón s muv la puna d su sombra 4 Sa a + b + c + d hallar a, b, c, d al qu nga un puno d inlión n 49, y sa angn a la rca y n l puno,. III. Usando la rgla d L. Hospial calcular: 4 ln g sn 5 + cos sn sn ln sn p p 6 cos sn IV.- Drminar los valors d máimo y mínimo, los inrvalos d crcimino y d dcrcimino, punos d inlión, concavidad y Graicar: ln + + r cos q 8 ; r a cosq y rsn q y + - -