Se trata de encontrar el área limitada por una curva de ecuación y = f (x) continua y positiva, el eje de abscisas y dos ordenadas x=a, y x=b.

Transcripción

1 Mamáicas º Bachillrao. Profsora: María José ánchz Qvdo Ára dfinida bajo na crva LA INTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONE Mlid d problmas q s planan n la vida ral s rslvn calclando l ára bajo la crva d na fnción. Ejmplos: ( Espacio, Vlocidad, Trabajo, Volmn, Cadal.). raa d nconrar l ára limiada por na crva d cación = f () conina posiiva, l j d abscisas dos ordnadas =a, =b. Trapcio miilíno = figra drminada por la crva = f (), l j OX las rcas =a =b. Cómo procdr para obnr l ára dl rcino R? Parición d n inrvalo: Una parición P, d n inrvalo [a, b], s na colcción finia d pnos dl inrvalo [ ] dond Una parición d n+ pnos divid n inrvalo n n sbinrvalos. El ára d s rapcio crvilíno s pd aproimar por smas infrior sprior d áras d rcánglos q inn la misma bas cas alras son rspcivamn l valor máimo mínimo d la fnción n s inrvalo.

2 Mamáicas º Bachillrao. Profsora: María José ánchz Qvdo Aproimación por dfco dl ára (smas infriors) ma infrior aproimada asociada a la parición P infrior infrior Los valors d sas smas van crcindo sgún amna l númro d pnos d la parición dl inrvalo [a, b] Al amnar l númro d lmnos d la parición dl inrvalo [a, b], l valor dl ára obnida s acrca cada vz más al ára aca dl rcino R. Cada valor así obnido s na aproimación dl ára dl rcino R.

3 Mamáicas º Bachillrao. Profsora: María José ánchz Qvdo Aproimación por cso dl ára (smas spriors) ma sprior aproimada asociada a la parición P sprior sprior Los valors d sas smas van dcrcindo sgún amna l númro d pnos d la parición dl inrvalo [a, b] Al amnar l númro d lmnos d la parición dl inrvalo [a, b], l valor dl ára obnida s acrca cada vz más al ára aca dl rcino R. Cada valor así obnido s na aproimación dl ára dl rcino R.

4 Mamáicas º Bachillrao. Profsora: María José ánchz Qvdo in q: infriors Ára dl rcino R spriors i l númro d lmnos d la parición dl inrvalo [a, b] amna, l máimo l mínimo n cada no d los inrvalos s aproiman con lo q: ( ) ( ) Es lími común rcib l nombr d Ingral Dfinida d la fnción f() n l inrvalo [a, b] s dsigna por: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) Noa: l símbolo rcrda l d na (d sma) pro n ano silizada. Los límis a b s llaman límis infrior sprior d ingración, rspcivamn f() s l ingrando. Al amnar l nº d lmnos d la parición mas d las áras d los rcánglos

5 Mamáicas º Bachillrao. Profsora: María José ánchz Qvdo Propidads 5

6 Mamáicas º Bachillrao. Profsora: María José ánchz Qvdo Torma dl valor mdio para ingrals i f s conina n [a, b], is n pno c n l inrior d s inrvalo al q: El ára dl rapcio miilino abba s igal al ára d n rcánglo d bas (b - a) alra f (c) Fnción Ingral Dada n fnción conina n, [a,b] is para odo dl mismo la ingral dfinida: Para na fnción q oma valors posiivos, la ingral F() rprsna l ára dl rcino R limiada por la fnción f, l j horizonal las rcas =a =. (Para cada dl inrvalo.) b i bin las áras q drminan las fncions s pdn calclar con l méodo comnado anriormn, afornadamn aqí no ralizarmos límis d smas d áras d rcánglos. Ello s db a n rslado conocido como orma fndamnal dl cálclo ingral.

7 Mamáicas º Bachillrao. Profsora: María José ánchz Qvdo Torma Fndamnal dl Cálclo Ingral i f s na fnción conina n [a,b], considramos la fnción ingral in q F() drivabl n [a,b] s drivada s: F () = f () Eso s, l orma nos dic q la fnción ingral F() q da las áras nr a (para cada valor d ) s na primiiva d f() Dmosración: Torma dl valor mdio ingral a [ ] calqira, calclmos ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) Cando Por ano qda dmosrado q ( ) ( ) Para calqir [ ], lgo s: ( ) ( ) [ ] d és modo s F() UNA PRIMITIVA d la fnción f(). Problma dl ára rslo! i por los méodos d ingración dl ma anrior podmos obnr na primiiva G() d la fnción f(), noncs, como la fnción Ára F() s ambién na primiiva d la fnción f(), ambas primiivas G() F() s difrnciarán n na consan, so s: F() = G() + C dond C s na consan Calclmos sa consan: Por na par, s F(a) = G(a) + C pro ambién ( ) por lo ano: = G(a) + C lgo C = - G(a) Qda así F() = G() - G(a) por ano F(b) = G(b) - G(a) pro como ( ) Qda = G(b) G(a) problma rslo! 7

8 Mamáicas º Bachillrao. Profsora: María José ánchz Qvdo Obsrvacions: La imporancia d sa rgla s fndamnal, a q pon n rlación las ingrals con las drivadas. Para hallar la ingral dfinida sgirmos l sigin procso: o halla na primiiva G() calqira d la fnción f(). o ssin n sa primiiva G() los límis d ingración -l sprior l infrior s rsan los rslados. Aplicacions d la ingral dfinida al cálclo d áras La ingral dfinida s n méodo rápido para calclar áras, volúmns, longids, c. En física s mplo s consan al sdiar l movimino, l rabajo, la lcricidad, c. 8

9 Mamáicas º Bachillrao. Profsora: María José ánchz Qvdo 9

10 Mamáicas º Bachillrao. Profsora: María José ánchz Qvdo Aplicación d la ingral dfinidla cálclo d volúmns. Volmn d n sólido d rvolción. El volmn d n sólido d rvolción gnrado al girar alrddor dl j d abscisas, l rcino limiado por la gráfica d f() l j OX nr a b s: Volmn f Cálclo dl volmn por sccions. Principio d Cavaliri. a A() l ára d las sccions prodcidas n n sólido por planos prpndiclars al j OX n odos los pnos d[a,b]. i A() s na fnción conina, l volmn dl sólido s: Dos sólidos cas áras d las sccions prpndiclars a n drminado j san Igals inn l mismo volmn

11 Mamáicas º Bachillrao. Profsora: María José ánchz Qvdo Cálclo d la longid d na crva La longid d na crva q coincid con la gráfica d na fnción drivabl f n [a, b] s: Longid Aplicacions Físicas d la Ingral a b Oras aplicacions: Eaminar l comporamino alaorio d variabls coninas (fnción d dnsidad probabilidad). Conocr l valor promdio d na fnción. Hallar momnos (frzas q jrcn ciras masa con rspco a n pno) cnros d masa o cnroid (l pno n q n objo s qilibra horizonalmn). Enconrar la prsión jrcida por n flido. Calclar l rabajo ralizado d movr n objo d n pno a oro. Obnr vlocidads aclracions d móvils. Conocr l správi dl consmidor (canidad d dinro ahorrado por los consmidors, al comprar n aríclo a n prcio dado). Drminar l fljo sangíno (volmn d sangr q pasa por na scción ransvrsal por nidad d impo) d na prsona s gaso cardiaco (volmn d sangr bombado por l corazón por nidad d impo.

12 Mamáicas º Bachillrao. Profsora: María José ánchz Qvdo Ejrcicios:. Hallar l ára d la rgión limiada por las crvas Calclamos los pnos d cor d las dos crvas, para lo cál rsolvmos l sisma d cacions: d d. Hallar l ára d la rgión limiada por la crva las rcas Calclamos los pnos d cor d la crva con la rca = para lo cál rsolvmos l sisma d cacions: 5 5 d d

13 Mamáicas º Bachillrao. Profsora: María José ánchz Qvdo. Hallar l ára d la rgión limiada por la crva las rcas angns n los pnos d abcisa Calclamos las cacions d las rcas angns: En nsro caso srán: 5 5 f f f f f d d. Hallar l ára d la rgión limiada por las crvas Calclamos los pnos d cor d las crva para lo cál rsolvmos l sisma d cacions: d Calclamos los pnos d cor d las crva para lo cál rsolvmos l sisma d cacions:

14 Mamáicas º Bachillrao. Profsora: María José ánchz Qvdo d Enoncs 7 5. Hallar l ára d la rgión limiada por las crvas Calclamos los pnos d cor d las crva para lo cál rsolvmos l sisma d cacions: d d

15 Mamáicas º Bachillrao. Profsora: María José ánchz Qvdo 5. Hallar l ára d la rgión limiada por las crvas d v d dv d d d d d d 7. Hallar l ára d la rgión limiada por las crvas los js coordnados. Calclamos los pnos d cor d las crva para lo cál rsolvmos l sisma d cacions: d 8. Hallar l ára d n círclo d radio. La cación d la circnfrncia d cnro l orign radio r s: r En nsro caso: El ára dl scor circlar corrspondin al primr cadran s:

16 Mamáicas º Bachillrao. Profsora: María José ánchz Qvdo cos cos cos cos cos cos cos sn sn d d sn sn sn sn sn d d d d sn d sn d sn d