Ecuación de transmisión de calor

Transcripción

1 Ensaos Ecación d ransmisión d calor smn Absrac ésmé En s rabajo d invsigación s sdia l problma d valor inicial con valor n la fronra para la cación d ransmisión d calor n la smirrca para >: k > > > > S dmsra q sí l dao inicial L noncs is na única solción C [ ; L dl problma d valor inicial con fronra Dond C s l spacio d fncions coninas para [ L s l spacio d Lbsg con la sigin dfinición L si d is También s obin na solción fndamnal dl problma sando la ransformada d forir para obnr na cación n érminos d la fnción d rn q in la sigin forma: d dond + Th problm sdid in his rsarch papr is h problm of iniial val wih val in h bordr for ha ransmission qaion in h half-lin for > : k > > > > I is shown ha if h iniial daa L hn hr is an niq solion C [ ; L of h iniial problm wih bordr Whr C is h spac of coninos fncions for [ and L is Lbsg s spac wih h following L if dfiniion: d iss Also i is a fndamnal solion o h problm sing h Forir ransform o g an qaion in rms of h rn Fncion in h following wa: d whr + Dans c ravail d invsigaion on édira l problèm d la valr iniial d la valr à la fronièr por l éqaion d ransmission d la chalr dans la dmidroi por >: k > > > > On démonr q si la donné iniial s L alors il n is q n niq solion C [ ; L a problèm d valr iniial avc fronièr Où «C» s l spac d foncions conins por [ «L» s l spac d Lbsg avc la définiion sivan: L si d is On obin assi n solion fondamnal d problèm n ilisan la ransformaion d Forrir por obnir n éqaion n rms d la foncion d rn qi a la forml sivan: d où + * Dr Flip Bníz Domíngz Dr Isahi Sánchz Sárz M C José Anonio Hsca Chávz Palabras clav: Fnción d rn Ingral d Poisson Transformada d Forir Inrodcción La sigin cación k > > > > * Profsors Invsigadors d la Univrsidad Tcnológica dl Ismo Camps Ipc s origina n la oría dl fljo d calor; so s l calor ransfrido por condcción n na varilla o alambr dlgado dond la fnción s la mprara Tmas d Cincia Tcnología vol 3 númro 39 spimbr - dicimbr 9 pp 3-8 3

2 An cando dbamos hacr mchas hipósis simplificadoras val la pna sabr cómo s origina sa cación Si s spon q na varilla circlar dlgada d longid infinia in na scción ransvrsal d ára A q coincid con l j n l inrvalo ambién s spon q: El fljo d calor dnro d la varilla sólo in la dircción La sprfici laral ó crva d la varilla sá aislada; so s no scapa calor d sa sprfici No s gnra calor dnro d la varilla La varilla s homogéna s dcir s masa por nidad d volmn ρ s consan El calor spcífico g la condcividad érmica dl marial d la varilla K son consans Para drivar la cación difrncial parcial q saisfac la mprara s ncsian dos ls mpíricas d la condcción dl calor: i La canidad d calor Q n n lmno d masa m s Q gm g Dond s la mprara dl lmno ii La asa d fljo d calor Q a ravés d la scción ransvrsal d la varilla s proporcional al ára A d sa scción a la drivada parcial d la mprara con rspco a : Q KA 3 Pso q l calor fl n dircción d la mprara dcrcin s incl l signo mnos n la cación 3 a fin d asgrar q Q sa posiivo para < fljo d calor hacia la drcha ngaivo para > fljo d calor hacia la izqirda Si l cor circlar d la varilla nr + s m dlgado cab sponr q s la mprara aproimada n odo pno dl inrvalo Ahora bin la masa dl cor s m ρ A d manra q sgún la cación la canidad d calor n él s Q gp A Admás cando l calor fl hacia la dircción d las posiivas s pd obsrvar q d acrdo con la cación 3 s calor s acmla n l cor con la razón na KA [ KA + ] KA [ + ] 5 Al difrnciar la cación con rspco a pd vrs q sa razón na ambién sá prsada por Q gp A 6 Si s igalan 5 6 rsla K + gp gρ S oma l lími d sa cación cando s llga a la cación n la forma S acosmbra q K gp gρ k K / gp gρ llamar difsividad érmica a sa consan posiiva Para simplificación d los cálclos s considra l valor d k Solción dl problma mdian la ransformada d Forir Para rsolvr l problma d calor n na varilla dlgada d longid smi-infinia con na mprara inicial o no d ss rmos s manin a la mprara cro n odo momno para > Es ncsario primro rsolvr l problma para na varilla d longid infinia s dcir para odo Por lo q l problma para oda la rca s dfin como sig > 7 Tmas d Cincia Tcnología spimbr - dicimbr 9 Ensaos

3 Para rsolvr s problma ncsia dfinirs la ransformada d Forir n la sigin forma ˆ ξ iξ d la ransformada invrsa d Forir como iε ˆ ξ S pd obnr d manra sncilla las drivadas d la fnción aplicando la dfinición d la ransformada d Forir a q cada drivada nos proporciona na mliplicación por l érmino i ξ d la ponncial por lo q pd prsars la primra la sgnda drivada como sig: iε ˆ iξ ξ iξ ˆ ξ ξ Aplicando sa dfinición al problma 7 s obin Ssindo la ransformada d Forir d la condición inicial s obin iξ ξ ˆ d iξ ξ iξ d Hacindo n cambio d ordn d ingración s obin d iξ ξ La úlima ingral pd sr calclada mdian n cambio d variabl n la ponncial Para hacr s cambio primro s ncsia q la ponncial pda sr prsada como la ponncial d na fnción al cadrado por lo ano ξ i + d > ˆ ξ ˆ ξ ˆ ξ ˆ ξ 8 sparando la variabl q no dpnd d ξ s obin Esa cación pd sr rsla como na cación difrncial linal con condición inicial ˆ ξ ˆ ξ Por lo q la solción ransformada s obin como: o ξ i d al sar l cambio d variabl ˆ ˆ ξ ξ ξ Aplicando la ransformada invrsa d Forir s obin la solción dl problma n forma ingral por lo ano iξ ˆ ξ ξ z ξ i dz dz la lima ingral s convir n Γ z d dz 9 Ecación d ransmisión d calor Tmas d Cincia Tcnología spimbr - dicimbr 9 5

4 dond Γ s msra n la Figra Por ano + i η I dη + i + + η η dη dη Considrando ahora l + lím I lím FIUA CONTONO CEADO Γ Aplicando l Torma d Cach para n conorno crrado para la ingral inrior d 9 s obin: D forma similar s obin para Lím I por lo ano z z z z z dz dz dz dz dz Γ + i + z z + z z dz + dz dz + + Γ 3 I + I + I + I dz dz + Considrando q s pd calclar la ingral hacindo n nvo cambio d variabl d la sigin manra Esimando cada na d las ingrals s obin + + z z I dz dz Hacindo cambio d variabl z + iη dz idη dond η \dz \ \ idη\ z q dq dz para llvarla a la ingral d Poisson q pd sr calclada fácilmn + z q dq dz + 6 Tmas d Cincia Tcnología spimbr - dicimbr 9 Ensaos

5 Por lo q s pd finalmn prsar l rslado dado por 9 como sig Dond d d Ahora al rgrsar al problma > > > > < < mdian la inrodcir na fnción ailiar o dfinida n oda la rca s dcir nsión d la fnción como na fnción impar s dcir > o < Por lo q pd considrars l sigin problma > > > Es problma in solción dado por n la sigin forma d 3 dond Sparando la solción para 3 n dos pars por la dfinición s in d d+ + d d Hacindo l sigin cambio d variabl n la sgnda ingral z d dz sando la dfinición d la fnción d rn cambiando l ordn d los límis d ingración s obin d Como ahora z s la variabl d ingración d la sgnda ingral pd considrars na nva variabl d ingración por lo q s pdn agrpar las dos ingrals n la sigin forma: + z + d Finalmn s prsa la solción n érminos d na nva fnción d rn para la smirrca d z dz Ecación d ransmisión d calor Tmas d Cincia Tcnología spimbr - dicimbr 9 7

6 Tmas d Cincia Tcnología spimbr - dicimbr 9 8 Ensaos dond + La fnción s conoc como la solción fndamnal d la cación d calor n la smirrca a q pd dmosrars q + s la mprara n l pno n n impo También pd vrificars q la fnción d saisfac la cación d calor s dcir Conclsions S obvo na fórmla crrada q dfin l comporamino dl modlo q dscrib na varilla n la q s ransmi calor rprsnada n la sigin cación: d dond + La solción a q s llga n s rabajo d invsigación sando la ransformada d Forir corrspond a los mismos rslados q s obviron n los rabajos d Ablowiz 997 Svshnikov 97 Tijonov 98 dond fron sados méodos más compljos Bibliografía ABLOWITZ MAK J S FOKAS ATHANASSIOS 997 Compl variabls Inrodcion and Applicaions Cambridg Univrsi Prss Pp SVESHNIKOV A TIKHONOV A N 97 Th Thor of Fncions of a Compl Variabl MI Mosc Pp TIJONOV A N SAMASKY A 98 Ecacions d la física mamáica Mir Mosc 9-5 Pp d