Integrales Inmediatas
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- Elena Alarcón Montero
- hace 7 años
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1 Intgrls Inmdits. ( d. ( 5.( 6 d. ( 5 d. ( d 0. d (..sn( d 5. ( d sn. cos d 7. d 8 6. d 7. d d 8. d 8. ( d.. d ( d 9. 5 d. 8 cos( d.. ( 0. tg( d sn.. cos d d 7 sn. cos. d. 5. d.. cos( d. 5.( d 5. tg d 0. cos.(8 sn d 6. d 5.. d 7. ( cos 6. d sn 7. d 5 8. d 5 rcsn 9. d 0... ( 5 d d d t 8. dt t rctg( 9. d d cos 5. 9 sn sn 6. d d tg d. ( d 8. d. 5. d. d d d sn.cos d sn d 5 ( rctg 5. d Dprtmnto d Mtmátics
2 Intgrción por Sustitución : Funcions Eponncils, Logrítmics, trigonométrics invrss d Trigonométrics Tipo d Intgrl Sustitución Ejmplos R( d ó R(,. d R(,log. d log t t d ln (ln ln d R(sn,cos. d cos impr n sn t sn sn. cos. d, d cos R(sn,cos. d d t sn t ln cos t impr n cos R (,rcsn. d snt Si l intgrl Es dcir t rcsn rcsn d R (,rctg. d tgt rctg d Es dcir t rctg (. R (, r cos. d cost contin (No s un intgrl tipo rcsn, ni un potnci d Si l intgrl contin sn t cost ó. r cos d d d, d sct,. cost Si l intgrl contin tgt d, tgt Si tin rics d ó indic d un polinomio d grdo : t p p m. c. m.( índics d Si tnmos un intgrl trigonométric dond l sn y cos stán lvdos ponnts prs n l numrdor s hc : sn cos, cos cos Dprtmnto d Mtmátics
3 Intgrción por cmio d vril rcsn d 7., (ln t ln. d, ( t rcsn. d, ( t 6.. sn(ln d, ( t ln. d, ( t sn cos d 8., ( t.cos ( 9. d, ( t 0. d, ( sn t sn. cos d, ( t cos.. d, ( t sn 6. d, ( t cos 5 cos d., ( ln ( ln t ln 7. d, ( snt. d, (ln t 8. d, ( t. d, ( cos t d 9. ( t ( d 0., ( t y dspués t u.. d, ( t. d, ( t. d, ( t 6 d t ( 6., ( d 5., (. t Dprtmnto d Mtmátics
4 Métodos más crctrísticos d Funcions Intgrls por Prts u dv Ejmplos rcsn d, r cos L unidd ó culquir ct ln( d Función invrs trigonométric ó Función logrítmic Función invrs trigonométric ó Función logrítmic Polinomio n ó Función rcionl d Polinomio n ó Función rcionl d Función trigonométric ó.rctg d.ln( d.sn d Función ponncil (.sn d, Función ponncil Función trigonométric. cos d - -. sc, d. ln d. d. d sn d.. d sc.sc d u u dv dv Un rgl útil pr hcr ls intgrls por prts y sr qu quin s "" y quin s "" s l plr ALPES: "" s l función qu prc siguindo l ordn d ls ltrs d ALPES dond A rprsnt ls funcions rco (invrss ls trigonométrics L rprsnt ls funcions logrítmics P rprsnt ls funcions polinómics y rícs d funcions polinómics E rprsnt ls funcions ponncils S rprsnt ls funcions trigonométrics (sno, cosno,.. Ejmplos º. ó º. ó º. ó º. ó, Dprtmnto d Mtmátics
5 Intgrción por Prts. ln d.. ln d. rctg d 5. (. d.. d 6.. d.. sn d 7. ( cos d log 5.. ln d 8. d 6.. ln d 9. (.cos d 7.. cos d 0.. rcsn d 8.. ln d. ln( d 9. ln d..cos d 0.. ln d..sn(ln d. sn.ln(cos d.. sn d..cos d 5.. sn d. cos(ln d 6.. d. ln( d 7..cos d 5.. d 8..sn d 6. (.cos d 9. ( 7. cos d 7..sn d 0. (5. 8. rcsn d. d sn 9.. rctg d.. d ln 0. d cos. sn.ln( sn d, indicción sn sn..cos d, d prvimnt cos cos. prvimnt hz l cmio t d Dprtmnto d Mtmátics 5
6 Dprtmnto d Mtmátics 6 Intgrción d Funcions Rcionls. C d ( ( ln 7. C d ln. ( C d (. C d ln ln ( ( ( C d ln ln 6. C d ln 7. d 5 8. C d ln 9. d 0. d. d 6. d. ( C d rctg ln. d 5 5. d 6. d d 8. d 9. ( d 0. ( d. ( ( d
7 INTEGRAL DEFINIDA Cálculo dl ár jo un curv El dsrrollo dl cálculo intgrl stá íntimmnt rlciondo con l cálculo d árs. Comncmos con un jmplo pr ordr l prolm. Ejmplo: Supongmos qu qurmos clculr l ár limitd por un curv y, l j OX y ls rcts d cucions y. El procdiminto qu usrmos pr su cálculo, consist n dividir l zon n rctángulos y clculr l sum d sus árs. Bst con tomr rctángulos d s cd vz mnor pr otnr proimcions cd vz mjors. Métodos similrs rn usdos por los mtmáticos grigos pr l cálculo d árs. S conoc como método d hución (hst l gotminto o método hustivo Continundo l procso podmos otnr un un proimción dl ár uscd En st cso, l sum d ls árs d los rctángulos d l primr proimción s igul : f('5 f('75 f('5 f('75 8'6 u En l sgundo cso, l sum d ls árs s igul : 8 66 u, constituyndo un mjor proimción l ár uscd. Bst con continur l procso y hcr qu l s d los rctángulos tindn 0 pr otnr l ár d l figur uscd. NO ds tnr dificultds pr comprndr qu stmos nt l prsnci d un límit: l límit d l sum d ls árs d los rctángulos cundo l s tind cro. En st cso, s límit s igul 8/. El ár d l figur uscd s 6/ 8 7 u. Dprtmnto d Mtmátics 7
![INTEGRAL DE UNA FUNCIÓN CONTINUA Plntminto dl prolm: S f un función continu n [,] tl qu f( 0. Nos plntmos l prolm d clculr l ár comprndid ntr l gráfic d f, l j OX y ls sciss y. Cálculo dl ár.](/docs-images/58/41987439/images/8-0.png "Pr l cálculo d s ár sguirmos l procso qu s dscri continución. Dividimos l intrvlo [,] n suintrvlos, no ncsrimnt iguls: < < <.")
8 INTEGRAL DE UNA FUNCIÓN CONTINUA Plntminto dl prolm: S f un función continu n [,] tl qu f( 0. Nos plntmos l prolm d clculr l ár comprndid ntr l gráfic d f, l j OX y ls sciss y. Cálculo dl ár. Pr l cálculo d s ár sguirmos l procso qu s dscri continución. Dividimos l intrvlo [,] n suintrvlos, no ncsrimnt iguls: < < <... < < <... < < (st colcción d puntos rci l 0 i i n n nomr d prtición dl intrvlo [,] y tommos puntos c, c,..., c n prtncints cd uno d los intrvlos. El ár uscd pud sr proimd por l sum d ls árs d los rctángulos con s n cd uno d los intrvlos y d ltur f( c i, sindo c i los puntos c, c,..., c n ntriormnt tomdos. F(C i X 0 X X X i- C i X i X n- X n Rprsntndo por l s d cd uno d los rctángulos, podmos proimr l ár uscd por l prsión.... Est sum pud sr prsd usndo l símolo Σ(sumtorio:..... Est proimción pud sr mjord tomndo rctángulos cd vz más finos, con lo qu consguimos disminuir l rror comtido. Podmos hcr qu l rror d l proimción tind 0 hcindo qu l númro d intrvlos tind infinito y qu l mplitud d cd uno d llos tind 0, por lo qu l ár uscd s: Á lim. (No supon ningun rstricción suponr l mplitud d los suintrvlos iguls Escriimos l prsión ntrior d otr form: Dprtmnto d Mtmátics 8
9 lim S, Est límit s llm Intgrl dfinid d f ntr y y s rprsnt Á lim. Not: L rprsnt un sum infinit d árs d rctángulos d s (con 0 y ltur cundo l función s positiv S (SUMA INFINITA D igul mnr s pud dr ést mism dfinición pr un función culquir (positiv o ngtiv con lo qu l ltur d los rctángulos pud sr positiv o ngtiv y l fctur todos los sumndos nos d un númro l qu llmmos intgrl dfinid ntr y. Así f ( d ár d l zon colord yf( Ár f ( d y f( L intgrl dfinid f ( d stá rlciond con l ár d l zon colord pro no s lo mismo: c c Ár ( f ( d ( f ( d c Dprtmnto d Mtmátics 9
10 Torm dl vlor mdio pr intgrls S f un función continu n un intrvlo crrdo [, ] c [, ] / f ( d f ( c.( Significdo gométrico pr funcions positivs: f(c c El ár qu ncirr un función, l j n l intrvlo [, ] coincid con l ár d un cirto rctángulo d s l mplitud dl intrvlo y ltur f(c Torm fundmntl dl Cálculo Intgrl S f un función continu n l intrvlo crrdo [, ] dfinimos n ést intrvlo un nuv función:, Lo qu l torm firm s qu ést función sí dfinid s un primitiv d l función f s dcir:, Rgl d Brrow S f continu n [, ] S G un primitiv d f f ( d G( G( Propidds d l Intgrl Dfinid Rltivs l intrvlo :. (. f ( d f ( d c f ( d. f ( d 0. ( d f f ( d Rltivs l monotoní : c c Rltivs l linlidd : ( ( g( d f ( d K f g( d. f ( d K. f ( d, K R. Si f ( 0 [, ] f ( d 0. Si ( g( [, ] f ( d f g( d. f ( d f ( d f ( d Dprtmnto d Mtmátics 0
11 Ejrcicios Considrmos l función Si fus l función cuy gráfic prc n l diujo, indic si son vrddrs o flss ls siguints firmcions, rzonndo l rspust: 0 y 0 c s crcint n 0, α Diuj y clcul l ár dl rcinto limitdo por l rct 0 y l curv d cución Solución Á Diuj l rgión limitd por l gráfic d l función : 0, dfinid por ln, l rct tngnt l gráfic d n l orign y l rct Hll l ár d dich rgión. Solución Á ln.. y yln( Diuj y clcul l ár dl rcinto limitdo por ls gráfics d ls funcions, : dds por Solución Á Dprtmnto d Mtmátics
12 5 L gráfic d l función f d l figur corrspond un función polinómic d grdo. Dtrmin l prsión lgric d l función f Clcul l ár d l rgión somrd. Solución : 6 Á Considr ls funcions : y : dfinids por 0 Rprsnt gráficmnt ms funcions yf( Hll l ár d l rgión dl plno qu stá formd por todos los puntos, qu cumpln qu Solución : Á Diuj y hll l ár d l rgión limitd por ls rcts y l curv d cución Solución : y - Á 9.. y 8 Diuj y clcul l ár dl rcinto limitdo por l curv d cución y ls rcts d cucions y Solución : Á 7.. y Dprtmnto d Mtmátics
13 9 Hcindo l cmio d vril clcul 0 0 S : l función dfinid por 0 Estudi l drivilidd d Clcul Considr l función f : R R dfinid por Hll l cución d l rct tngnt l gráfic d f n l punto d scis 0 Clcul l ár d l rgión cotd qu stá limitd por l gráfic d f, l rct d cución y l rct tngnt otnid n (. Ár ( / D un función f : R R s s qu f(0 y qu f (. Dtrmin f Clcul l ár d l rgión limitd por l gráfic d f, por l j d sciss y por ls rcts d cucions - y. Á Sindo Ln l logritmo nprino d, hll l ár d l suprfici somrd Ár u Dprtmnto d Mtmátics
14 S f : R R l función dfinid por Clcul los puntos d cort d l gráfic d f con l j d sciss y soz dich gráfic. Hll l ár d l rgión cotd qu stá limitd por l gráfic d f y por l j d sciss. Ár 0 u 5 Considr l función f : R R dfinid por f ( 5 Hll l cución d l rct tngnt l gráfic d f n l punto d scis Clcul l ár d l rgión cotd qu stá limitd por l j d ordnds, por l gráfic d f y por l rct tngnt otnid. Ár 9 u 6 S s qu l gráfic d l función f : R R dfinid por f ( c s l qu prc n l diujo. Dtrmin f Clcul l ár d l rgión somrd f ( - Ár 7 u Dprtmnto d Mtmátics
15 7 Clcul l ár dl rcinto cotdo qu stá limitdo por l rct y y ls curvs y y / Ár u y 8 S f : R R l función dfinid por Hll l cución d l rct tngnt l gráfic d f n un punto d l mism d ordnd y, tnindo n cunt qu dich rct tngnt tin pndint ngtiv. Clcul l ár d l rgión dl plno limitd por l gráfic d f, l rct tngnt otnid y l j d ordnds. Ár u y 7 y 9 Considr ls funcions f : (0, R y g : R R dfinids, rspctivmnt, por f( Ln( y g(, sindo Ln l logritmo nprino d. Clcul l ár dl rcinto limitdo por ls rcts y y ls gráfics d f y g. Ár ln - 7 u ln 0 Enunci l Torm Fundmntl dl Cálculo Intgrl y plíclo pr dtrminr los máimos y mínimos rltivos d l función dfinid por: f ( ( t t dt 0 (Sol:0 má. ± min Dprtmnto d Mtmátics 5
16 Estudir l continuidd d l siguint función n 0 sn 0 f ( t dt Enunci l torm qu utilics 0 > 0 S l función dfinid pr > - t f ( dt 0 t ( Clcul f ( (Sol:-/ -ln ( Es f drivl?. Justific l rspust. (c Dtrmin los intrvlos d crciminto y dcrciminto d f Clcul l intgrl t π 0 cost dt S : [ 0,π ] R f l función dfinid por f ( t cos t dt. 0 Clcul sus máimos y sus mínimos solutos sí como los puntos dl intrvlo [ 0,π ] dond s lcnzn dichos trmos Ls siguints gráfics corrspondn ls funcions f ( ln y g(. Encuntr l vlor d s pr qu ls árs d los rcintos rydos sn iguls Sol :ln s Dprtmnto d Mtmátics 6
3dx dx 3. dx 1-4x. 7. 3xdx 4+x x 2
MsMtscom Intgrls Clculr l intgrl: ++ + (-) (+) - 7 + 8 ln - cos sn - - - + (+) ln ln 7 8 cos ln + + - +- - - + -+ ++ Ls gráfic (i), (ii) y (iii) corrspondn, no ncsrimnt por s ordn, ls d un función drivbl
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# - + # x # - integrales definidas. 017 resuelve estas integrales definidas. b) 2 = b) = - = calcula las integrales definidas.
intgrls dfinids 7 rsulv sts intgrls dfinids. ) + ( ) d b) d + ) + + ( ) d b) d + ln ln + ln + + 8 clcul ls intgrls dfinids. π ) ( sn ) d b) d ) ( sn ) d cos ( ) ( ) b) d ln + ln + ln 9 clcul, utilizndo
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DERIVABILIDAD.. Intuitivamente: cuando no presenta saltos en ese punto. Toda función derivable en un punto, es continua en ese punto.
ERIVABILIA.... inir unción continu n un punto. inir unción drivbl n un punto. s posibl ponr un jmplo d un unción qu n s: ) Continu y drivbl. b) rivbl y no continu. c) Continu y no drivbl. y s continu n
Se llama tasa de variación media (T.V.M.) de una función y = f(x) en un intervalo a. T.V.M. a,b =
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a > 0 y a 1. Si la base es e se llama exponencial natural tiene la forma
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1 sen. f Solución: 3 ; 1. sen. 2 sen. f Solución: ; Solución: CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD
Frnndo Frnádz-Rmos Mrín º.- Clcul l continuidd d ls guints uncions. ) 8 7 ) 8 6 c) d) sn ) º.- Dtrminr l vlor d los prámtros d ls uncions pr qu sn continus n todo ) sn Solución: ) Solución: c) cos sn sn
lm í d x = lm í ln x + x 1 H = lm í x + e x 2
Autovaluación Página 8 Calcula los siguints límits: a) lm í c m b) lm í ccotg m c) lm í sn d) lm í ( ) / 8 ln 8 8 ln ( cos ) 8 a) lm í 8 c ln ln H ( / ) lm í ( )ln 8 ln m lm í 8 H lm í / 8 b) lm í 8 dcotg
DERIVADAS. La derivada de una función f en el punto de abscisa x = a, se define como el siguiente límite, si existe:
DERIVADAS Dinición d drivd. L drivd d un unción n l punto d bscis =, s din como l siuint límit, si ist: lím A l drivd d un unción n un punto s l llm tmbién ts d vrición instntán. Intrprtción ométric d
Matemáticas II Junio 2004
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4 3x 2x 3 6x x x x dt d x x dy p dx y
EJERCICIOS UNIDAD IV.- LA DERIVADA.- Comprub cd un d ls siguints drivds. d ) 8 d t 5 5 bt 5 t 5 bt dt d 6.-Rliz ls siguints drivds ) d.-comprobr cd un d ls siguints drivds. ) d d r d dr d d ( ) p b b b
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Tarea 11. Integral Impropia
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