UNIDAD 9 LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD.
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- Montserrat Márquez Mendoza
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1 IES Pdr Povd (Gudi Mtmátics I UNIDAD 9 LÍMITES DE FUNCIONES CONTINUIDAD Límit d un unción n un punto Límits ltrls Límit d un unción n un punto Límits n l ininito Comportminto d un unción cundo Comportminto d un unción cundo Cálculo d its Asíntots Asíntots vrticls Asíntots horizontls Asíntots oblicus Continuidd d un unción Continuidd d un unción n un punto Continuidd d un unción n un intrvlo Tipos d discontinuidds Dprtmnto d Mtmátics Prosor: Rmón Lornt Nvrro Bloqu IV: Análisis d Funcions Unidd 9: Límits y Continuidd
2 IES Pdr Povd (Gudi Mtmátics I Concptos prvios: Dcimos qu: y s l tind, si tom vlors cd vz más próimos Ejmplo: L scunci d númros ; ; ; 9; 8; ; 9; ; 99; ; 999; ; s proim Escribimos Podmos distinguir dos modos d crcrnos, por l izquird o por l drch: - s l tind por l izquird, si tom vlors cd vz más próimos pro mnors qu, s dcir < Ejmplo: L scunci d númros ; ; 8; 9; 99; 999; s proim pro con vlors mnors qu Escribimos s l tind por l drch, si tom vlors cd vz más próimos pro myors qu, s dcir > Ejmplo: L scunci d númros ; 9; ; ; ; s proim pro con vlors myors qu Escribimos Dcimos qu: y s l tind, si tom vlors cd vz más grnds (myors qu culquir númro rl prijdo k Ejmplo: L scunci d númros ;;;;;;;; tom vlors cd vz más grnds Escribimos Dcimos qu: y s l tind, si tom vlors cd vz más pquños (mnors qu culquir númro rl prijdo k Ejmplo: L scunci d númros ; ; ; ; ; ; ; ; tom vlors cd vz más pquños Escribimos Obsrvción: S v trtr l concpto d it dsd un punto d vist gráico intuitivo El próimo curso s dinirá d modo riguroso Dprtmnto d Mtmátics Bloqu IV: Análisis d Funcions Prosor: Rmón Lornt Nvrro Unidd 9: Límits y Continuidd
3 IES Pdr Povd (Gudi Mtmátics I UNIDAD 9 LÍMITES DE FUNCIONES CONTINUIDAD LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Límits ltrls Cómo s comport ( cundo? Pudn prsntrs trs csos: º Qu ( crzc cd vz más sin ningun cot ( º Qu los vlors d ( s hgn cd vz más pquños y ngtivos ( Not: Hy un curto cso lgo más rro : Qu los vlors d ( no prsntn tndnci lgun, En s cso: / ( º Qu los vlors d ( s proimn un númro rl l ( l Cómo s comport ( cundo? D nuvo s prsntn trs csos: ( ( ( l S dinn: ( ( Límit ltrl por l izquird d l unción n Límit ltrl por l drch d l unción n A mbos s ls llm its ltrls d l unción n Obsrv: Pr obtnr l it ltrl d un unción n, no s ncsrio qu sté dinid l unción n Dprtmnto d Mtmátics Bloqu IV: Análisis d Funcions Prosor: Rmón Lornt Nvrro Unidd 9: Límits y Continuidd
4 IES Pdr Povd (Gudi Mtmátics I Ejmplo : Obsrv l unción dinid trozos dd por su gráic: Si s proim por l izquird, ( ( Si s proim por l drch, ( ( Obsrv qu ( ( Ejmplo : Clcul ( y tmbién ( ( b ( ( ( ( ( ( s proim s proim n los siguints csos indic si coincidn No coincidn ( ( c ( ( Sí coincidn ( ( 9 ( Sí coincidn Límit d un unción n un punto Si ( ( (lgun d ls trs posibilidds, ntoncs s dic qu l ist l it cundo ( tind y s scrib sí: ( rspctivmnt l Es dcir: Un unción tin it n un punto si istn los its ltrls n dicho punto y dmás coincidn, y rcíprocmnt En cso contrrio, NO ist l it n s punto (pro podrán istir los its ltrls El it, si ist, s único Si los its ltrls no tomn l mismo vlor, s dcir, si ( ( lguno d llos, s dic qu NO ist l it cundo y s scrib: / ( Dprtmnto d Mtmátics Bloqu IV: Análisis d Funcions Prosor: Rmón Lornt Nvrro Unidd 9: Límits y Continuidd, o bin no ist
5 IES Pdr Povd (Gudi Mtmátics I Ejmplo ntrior: ( / ( ( y qu ( ( Ejmplo ntrior: / b c ( ( Por tnto, l concpto d it d un unción n un punto d rspust l prgunt: Cómo s comport ( cundo? ( ( ( l / ( Fíjt: Si ist (, ntoncs ( s proim l mismo vlor cundo nos proimmos por l izquird como por l drch Ejmplo: Fíjt n l gráic y n l cálculo d los siguints its: Dom ( R Rc ( R, tnto si ( / ( ( ( ( ( Obsrv qu, sin mbrgo, ( Ejmplo: Obsrv hor, con tnción, stos otros jmplos: ( Dom ( R \{ } Rc ( R \{ } Sin mbrgo, qué vlor tom? Estudimos los its ltrls: Como / (No ist l it Dprtmnto d Mtmátics Bloqu IV: Análisis d Funcions Prosor: Rmón Lornt Nvrro Unidd 9: Límits y Continuidd
6 IES Pdr Povd (Gudi Mtmátics I b ( ( R Dom \{ } Rc ( (, Eist n st cso? c ( Dom ( [, Rc ( [, En st cso / (Tmpoco los ltrls Tmpoco ist l it n y qu no ist l it ltrl por l izquird n : ( / / ( ( No obstnt LÍMITES EN EL INFINITO Comportminto d un unción cundo Cómo s comport ( cundo? Pudn prsntrs cutro csos: º Qu ( crzc cd vz más sin ningun cot ( º Qu los vlors d ( s hgn cd vz más pquños y ngtivos ( º Qu los vlors d ( s proimn un númro l ( l º Qu ( no prsnt tndnci lgun En st cso / ( como ( sn Dprtmnto d Mtmátics Bloqu IV: Análisis d Funcions Prosor: Rmón Lornt Nvrro Unidd 9: Límits y Continuidd
7 IES Pdr Povd (Gudi Mtmátics I Comportminto d un unción cundo Cómo s comport ( cundo? D nuvo pudn prsntrs cutro csos: ( ( ( l / ( Ejmplo: Clcul ( ( y ( n los siguints csos ( ( b ( ( ( c ( ( ( ( ( d ( sn / sn Dprtmnto d Mtmátics 7 Bloqu IV: Análisis d Funcions Prosor: Rmón Lornt Nvrro Unidd 9: Límits y Continuidd
8 IES Pdr Povd (Gudi Mtmátics I CÁLCULO DE LÍMITES El cálculo d un it prtir d l gráic d un unción s un tr ácil, bst con obsrvr con tnción dich gráic Sin mbrgo no simpr s dispondrá d ll por lo qu hbrá qu rcurrir su prsión lgbric No obstnt, l cálculo nlítico dl it d un unción pud sr ácil d obtnr, o bin dr lugr un indtrminción qu s db rsolvr dl modo dcudo Propidds: Si ( L Entoncs: y g( M [ ( ± g( ] L ± M b [ ( g( ] L M ( ( L c g M ( Si M g ( ( M L ( L d > NOTA: En lgunos csos como cundo L y/o M son its ininitos ó M, pudn prcr indtrmincions n ls prsions ntriors S rsolvrán d un modo spcíico Csos d indtrminción: k b c d [ ] [ ] [ ] g [ ] h [ ] Cálculo d its cundo Csos inmditos S obtin l it clculndo (, Ejmplos: 9 b ( s dcir, ( ( d / g k ( 9 l / b Cocint d polinomios P( Objtivo: clculr Q( Cso º Q( Sigu sindo un cso inmdito sindo ( m c h P y ( 7 ln ( 7 cos cos ln i / j / n / Q uncions polinómics Ejmplos: 8 9 b k Cso º P ( y Q( Indtrminción S rsulv obtnindo l vlor d los its ltrls Dprtmnto d Mtmátics 8 Bloqu IV: Análisis d Funcions Prosor: Rmón Lornt Nvrro Unidd 9: Límits y Continuidd
9 IES Pdr Povd (Gudi Mtmátics I Ejmplos: Indtrminción Límits ltrls: / ( Cso º P ( y Q( Indtrminción S rsulv ctorizndo l numrdor y l dnomindor b ( Indtrminción Límits ltrls: ( ( Ejmplos: Indtrminción b 7 Indtrminción Fctorizndo: ( ( ( ( 7 Fctorizndo: ( ( ( ( c Indtrminción 7 Fctorizndo: ( ( ( ( Indtrminción Límits ltrls: / / c Cálculo d its d uncions dinids trozos Ejmplo: Hllr los its ltrls d l unción ( 7 si < 7 si < n, y / si En En ( ( En 7 ( ( ( ( ( ( ( ( 7 / ( Dprtmnto d Mtmátics 9 Bloqu IV: Análisis d Funcions Prosor: Rmón Lornt Nvrro Unidd 9: Límits y Continuidd
10 IES Pdr Povd (Gudi Mtmátics I Cálculo d its cundo Csos inmditos En l cso d uncions polinómics tndrmos n cunt l signo dl coicint dl término d myor grdo Ejmplos: ( 7 b ( c ( ( 7 d g / b Cocint d polinomios Surg l indtrminción numrdor y dl dnomindor Ejmplos: 7 7 d 7 Cálculo d its cundo Tndrmos n cunt qu: S rsulv nlizndo los términos d myor grdo dl 7 b c ( ( y clculrmos l it d l prsión rsultnt Ejmplos: b c Dprtmnto d Mtmátics Bloqu IV: Análisis d Funcions Prosor: Rmón Lornt Nvrro Unidd 9: Límits y Continuidd ( ( ( ( ( ( ( ( ( 7 ( 7 ( ( 7 Límits d uncions irrcionls Indtrminción S rsulvn multiplicndo y dividindo l unción por l prsión rdicl conjugd Ejmplos: n n m b m ( ( ( ( b b b Indtrminción ó n m ( ( ( ( ( si n > m, si si n m n < m y b n m >, o bin, b n m <
11 IES Pdr Povd (Gudi Mtmátics I Dprtmnto d Mtmátics Bloqu IV: Análisis d Funcions Prosor: Rmón Lornt Nvrro Unidd 9: Límits y Continuidd b Indtrminción ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( c Indtrminción ( ( ( ( ( ( ( d Indtrminción ( ( ( Indt S divid por l numrdor y l dnomindor: ( Indtrminción ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 9 Indtrminción y otros csos d S opr prvimnt y psmos un cso d indtrminción conocido tipo ó ( Ejmplos: ( Indtrminción
12 IES Pdr Povd (Gudi Mtmátics I Dprtmnto d Mtmátics Bloqu IV: Análisis d Funcions Prosor: Rmón Lornt Nvrro Unidd 9: Límits y Continuidd ( b Indtrminción ( c Indtrminción ( ( ( ( ( 9 d Indtrminción ( ( ( ( ( ( : Indtrminción Aunqu no s un indtrminción dl tipo qu stmos studindo, tmbién s rsulv oprndo: : Indtrminción Pr rsolvrl tndrmos n cunt qu: Si ( y ( g (y s o bin ntoncs: ( ( ( ( [ ] g g Ejmplos: Indtrminción ( ( ( b Indtrminción (
13 IES Pdr Povd (Gudi Mtmátics I c Indtrminción ( ( ( d Indtrminción ( ( ( ( 7 7 D nuvo tnmos un indtrminción ASÍNTOTAS Asíntots vrticls Si ó ( y/o ( ó ntoncs l unción tin un rm ininit por l drch o por l izquird (o por ls dos, y l rct s un síntot vrticl Posibls situcions: ( ( ( ( ( ( Obsrvcions: P Si ( ( rcionl, los cndidtos síntots vrticls son los vlors d qu Q( nuln l dnomindor Un unción pud tnr ininits síntots vrticls Ejmplo: Clcul ls síntots vrticls d ls siguints uncions: 7 ( b g( h( Asíntots horizontls Si ( b ( b R c d i( ntoncs l unción tin un rm ininit cundo y l rct y b s un síntot horizontl n Dprtmnto d Mtmátics Bloqu IV: Análisis d Funcions Prosor: Rmón Lornt Nvrro Unidd 9: Límits y Continuidd
14 IES Pdr Povd (Gudi Mtmátics I Posibls situcions: ( b > ( b < Análogmnt si Obsrvcions: Un unción tndrá, lo sumo, dos síntots horizontls, un n y otr n Si ( ( ( P s un cocint d polinomios, l unción tndrá l mism síntot Q horizontl n y n Srá ncsrio qu Grdo P( GrdoQ( Ejmplo: Clcul ls síntots horizontls d: ( b g( Asíntots oblicus Si [ ( ( m n ] 7 ntoncs l unción tin un rm ininit cundo y l rct y m n s un síntot oblicu n Pr clculrl: m ( n [ ( m] Posibls situcions: ( ( m n > ( ( m n < Análogmnt si Obsrvcions: P Si ( ( s un cocint d polinomios, l unción tndrá síntot oblicu si Q( Grdo P( Grdo Q( L síntot oblicu srá l cocint obtnido l ctur l división d polinomios ntrior Un unción tndrá, lo sumo, dos síntots oblicus, un n y otr n Si hy síntot horizontl No hy síntot oblicu y vicvrs 7 Ejmplo : Clcul ls síntots oblicus d: ( b g( b Ejmplo : Dtrmin los vlors d, b R, sbindo qu l unción ( ps por l punto (, y qu tin un síntot oblicu cuy pndint s Dprtmnto d Mtmátics Bloqu IV: Análisis d Funcions Prosor: Rmón Lornt Nvrro Unidd 9: Límits y Continuidd
15 IES Pdr Povd (Gudi Mtmátics I CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN Continuidd d un unción n un punto Un unción s continu n si ( ( Dprtmnto d Mtmátics Bloqu IV: Análisis d Funcions Prosor: Rmón Lornt Nvrro Unidd 9: Límits y Continuidd Est dinición implic qu s cumpln trs condicions: Si no s cumpl lgun d sts trs condicions, dirmos qu l unción s discontinu n Continuidd d un unción n un intrvlo s continu n (, b si lo s n todo punto d s intrvlo s continu n [, b] si s continu n (, b y, dmás, s continu por l drch n y por l izquird n b Not: s continu por l drch n si ( ( s continu por l izquird n b si ( ( b Tipos d discontinuidds Discontinuidd invitbl d slto inito: Prsnt un slto n s punto Eistn los its ltrls y son initos, pro distintos b Ejmplo: si ( Dom ( R si > ( / ( Discontinuidd invitbl d slto inito n b Discontinuidd invitbl d slto ininito: Tin rms ininits n s punto Uno o los dos its ltrls son ininitos c Discontinuidd vitbl: Eist ( Eist ( ( ( Ejmplo: En st cso ist ( dsplzdo, o bin no ist ( (Es dcir, Dom( ( ( R / ( / y s inito (Es dcir, y coincidn ( Dom \{ } Discontinuidd invitbl d slto ininito n, pro no coincid con ( (tin s punto (L lt s punto Ejmplo: (Tin s punto dsplzdo si ( si Dom ( R En st cso: ( y tmbién ( Sin mbrgo, ( ( Est unción tin un discontinuidd vitbl n y s vit rdinindo (
16 IES Pdr Povd (Gudi Ejmplo: (L lt s punto Mtmátics I ( Dom ( R \{ } Fíjt qu: / ( (L unción no stá dinid n y qu: ( ( Est unción tin un discontinuidd vitbl n y s vit dinindo ( d Discontinuidd sncil: Alguno d los its ltrls no ist Ejmplo: ( sn Dom ( R \{ } Obsrv qu: / ( (L unción no stá dinid n / ( / ( y qu: / ( tin un discontinuidd sncil n Propidd: Si y g son uncions continus n, ls siguints uncions tmbién son continus n : ± g b g c k k R d / g si g( o g Ls uncions polinómics, rcionls, irrcionls, ponncils, logrítmics, trigonométrics y sus compusts, son continus n su dominio d dinición Ejmplo : Estudir l continuidd d cd unción y clsiicr sus posibls discontinuidds: si < si ( b ( Rprsntrls gráicmnt si si si ], [ [,[ [,[ Ejmplo : Dtrmin l vlor d pr qu l siguint unción s continu: si b ( si > Ejmplo : Dtrmin l vlor d pr qu l siguint unción s continu n : ( si si > no stá dinid n Indic si s posibl dinir 7 8 ( d modo qu s continu n Qué tipo d discontinuidd prsnt? Ejmplo : L unción ( Dprtmnto d Mtmátics Bloqu IV: Análisis d Funcions Prosor: Rmón Lornt Nvrro Unidd 9: Límits y Continuidd
17 IES Pdr Povd (Gudi Mtmátics I Ejmplo : Obtén l vlor d y b pr qu ( b Ln si si si < < s continu Ejmplo : Hll l vlor d k pr qu ( 8 si s continu n k si Ejmplo 7: Estudi l continuidd d l unción ( Dprtmnto d Mtmátics 7 Bloqu IV: Análisis d Funcions Prosor: Rmón Lornt Nvrro Unidd 9: Límits y Continuidd
UNIDAD 8 LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD.
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Fíjate en el comportamiento de la función ( x ) = x toma valores cercanos a 2. ( ) 5
IES Pdr Povd (Gudi Mtmátics Aplicds ls CCSS II UNIDAD LÍMITES Y CONTINUIDAD LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Fíjt n l comportminto d l unción ( tom vlors crcnos cundo Si s proim, l unción tom vlors crcnos
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ERIVABILIA.... inir unción continu n un punto. inir unción drivbl n un punto. s posibl ponr un jmplo d un unción qu n s: ) Continu y drivbl. b) rivbl y no continu. c) Continu y no drivbl. y s continu n
CAPÍTULO 5: LÍMITES Y CONTINUIDAD
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Tema 7 (I). FUNCIONES DE UNA VARIABLE. LÍMITES Y CONTINUIDAD.
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24. Estudia la continuidad de la siguiente función: Dominio : . 3. lim f(x) lim. 3x 1. x 2. x x
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Integrales Inmediatas
Intgrls Inmdits. ( d. ( 5.( 6 d. ( 5 d. ( d 0. d (..sn( d 5. ( d 6. 5. sn. cos d 7. d 8 6. d 7. d d 8. d 8. ( 5 5 9. 0. d.. d ( d 9. 5 d. 8 cos( d.. ( 0. tg( d sn.. cos d d 7 sn. cos. d. 5. d.. cos( d.
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Límites finitos cuando x: ˆ
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LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
l blog d mt d id: Límits y cotiuidd. M I pág. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO c sigiic qu tom vlors cd vz más próimos c. S l tid c. Por jmplo: ;,9;,;,;,8;,;,9;,;,999; Es u scuci d úmros cd vz más próimos.
3.- a) [1,25 puntos] Prueba que f(x) = ex e x
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DERIVADAS.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pá. FUNCIONES DERIVABLES EN UN INTERVALO Ls unions qu son ontinus n un intrvlo rrdo [, ] y drivls n un intrvlo irto, tinn propidds importnts. Torm d Roll.
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TRASLACIÓN HORIZONTAL (DESPLAZAMIENTO HORIZONTAL) Pr estudir l trslción horizontl, se debe fijr primero el vlor del prámetro y después vrir el vlor del prámetro b. Veremos que l función b es el resultdo