EN EL PLANO (R 2 ) EN EL ESPACIO (R 3 ) ECUACIONES CONSTRUIR CLASIFICAR ECUACIONES CONSTRUIR CLASIFICAR. Resumen de Transformaciones Geométricas

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1 Resmen de Trnsformciones Geomérics EN EL PLNO (R ) EUIONES ONSTRUIR LSIFIR EN EL ESPIO (R ) EUIONES ONSTRUIR LSIFIR Unidd Docene de Memáics de l E.T.S.I.T.G..

2 Resmen de Trnsformciones Geomérics Unidd Docene de Memáics de l E.T.S.I.T.G.. EUIONES DE LOS MOVIMIENTOS, HOMOTEIS Y SEMEJNZS del Plno Ecciones de los disinos Moimienos en E Se l mri: N O O, donde el rnsformdo del pno O: T(O) O O O M l mri de l rnsformción orogonl socid l moimieno, es decir: M. Idenidd.. Simerí il O α α O α α. Giro O α -α O α α 4. Trslción O O 5. Simerí desline: S d S e ot O α α O α α donde: O,O son ls coordends de T(O). (, ) son ls coordends del ecor rslción. L ección nerior es eqilene :

3 Resmen de Trnsformciones Geomérics Unidd Docene de Memáics de l E.T.S.I.T.G.. F E Ecciones de ls Homoecis Semejns en E Homoecis: (- ) (- ) Siendo posiio o negio según se l Homoeci direc o iners. (, ) enro de l Homoeci es único pno doble. Semejns: Semejn direc S H (, ) G (, ) : Siendo (, b) F E - b - - b F - E Semejn iners S H (, ) S e : - F E - b - - b - F E

4 Resmen de Trnsformciones Geomérics Unidd Docene de Memáics de l E.T.S.I.T.G.. 4 ONSTRUIR LS EUIONES DE LOS MOVIMIENTOS, HOMOTEIS Y SEMEJNZS del Plno Moimienos en E GIRO Dos: elemenos crcerísi: enro de Giro: (, ) Ánglo de giro: Ección del Giro: O α -α O α α, donde O (O,O ) es el rnsformdo del origen: T(O)O SIMETRÍ XIL Dos: elemenos crcerísi: Eje de simerí: + b + c Ección de l simerí il Tommos n pno clqier del eje de simerí P (P, P ) P P P P O α α O α α, donde O (O,O ) es el rnsformdo del origen: T(O)O TRSLIÓN Dos: elemeno crcerísico: Vecor de rslción: (, )

5 Resmen de Trnsformciones Geomérics Unidd Docene de Memáics de l E.T.S.I.T.G.. 5 Ección de l Trslción SIMETRÍ DESLIZNTE: S D S E T U Dos: elemeno crcerísico: Vecor de rslción: (, ) Eje de simerí: (, ) (, b) + (, ) (iene de inclinción /) Ección de l simerí desline: n m b b α α n α α m HOMOTEIS Dos crcerísi: enro de l homoeci: (es único pno doble). Rón: Ección de l Homoeci: - - (- ) (- ) Siendo posiio o negio según se l Homoeci direc o iners.

6 Resmen de Trnsformciones Geomérics Unidd Docene de Memáics de l E.T.S.I.T.G.. 6 SEMEJNZS (>) Semejn direc S H (, ) G (, ) : Elemenos crcerísi: enro de l Semejn: (es único pno doble). Rón: Ánglo de roción: Ección de l Semejn direc: F E F - E Semejn iners S H (, ) S e : Elemenos crcerísi: enro de l Semejn: (es único pno doble). Rón: Eje de simerí: e: ps por el cenro Ección de l Semejn direc: - F E F E

7 Resmen de Trnsformciones Geomérics PROEDIMIENTO PR LSIFIR LOS MOVIMIENTOS EN E I Moimieno Segir pso.. lclr M M p I Homoeci o Semejn. csos neriores Trnsformción fín.. lclr deerminne (M).. Si de(m) > Moimieno direco: i. Idenidd. Todos los pnos son inrines. ii. Giro. Solo iene n pno inrine. Elemenos crcerísi:. enro de giro, es el único pno crcerísico. Se clcl resoliendo l ección en Derie: N X X Lp Nos drá n pno qe será el cenro de giro. -. Ánglo, se igl l mri definición de giro con l mri dd en el enncido Se recomiend pr clclr el ánglo ilir l clcldor. iii. Trslción. No iene pnos inrines on derie cndo qermos resoler N X X nos drá [], es decir no iene solción. Elemenos crcerísi:. Vecor de rslción. lclmos el rnsformdo del origen (, ) T(O) ese pno se obiene grpndo odos los érminos independienes de l ección dd. Es decir llegr l mri N, (, b) es el rnsformdo del origen. b b. Si de(m) < Moimieno inerso: i. Simerí il. Todos los pnos perenecienes l eje de simerí son inrines. Elemenos crcerísi:. Eje de simerí. Se clcl con Derie resoliendo l ección NX X Nos iene qe dr n rec, qe es el eje de l simerí. Unidd Docene de Memáics de l E.T.S.I.T.G.. 7

8 Resmen de Trnsformciones Geomérics ii. Simerí desline. No iene pnos inrines. l resoler l ección NX X nos drá [], es decir no iene solción. L simerí desline: S d S e T. Elemenos crcerísi:. O P T(P) O Se clcl el pno P qe es pno medio de O T(O) lclmos el ecor de rslción T(P) P.. Eje de l simerí desline. Debe cmplir: Psr por el pno P (pno medio de O T(O) ener l mism dirección qe el ecor de rslción. Ección del eje de simerí es: P Procedimieno pr clsificr Homoecis Semejns en E Homoecis, son fáciles de idenificr son mrices esclres, ienen l sigiene esrcr:. Elemenos crcerísi: Rón de l homoeci: (elemeno de l digonl principl). enro de l homoeci: es el único pno inrine, se clcl resoliendo l ección NX X. Semejns Se drá los sigienes psos:. M M pi (si obenemos ese resldo l mri M no es del ipo de ls Homoecis se dice qe es n Semejn, si el prodco M M no nos d pi, se dice qe es n Trnsformción fín). Si es n Semejn segimos con el pso segndo... De(M) > Semejn direc S (,) H (,) G (,). Elemenos crcerísi: i. Rón de Semejn: p ii. enro de l Semejn ( l de l Homoeci). Resoler l ección NX X. Unidd Docene de Memáics de l E.T.S.I.T.G.. 8

9 Resmen de Trnsformciones Geomérics iii. Ánglo de giro: Se igl l mri definición del giro con l mri Q, siendo Q M(M mri dd en el enncido). - Mri definición: b. De(M) < Semejn iners S (,) H (,) S e. Elemenos crcerísi: i. Rón de Semejn: p ii. enro de l Semejn ( l de l Homoeci). Resoler l ección NX X. c. Eje de semejn es prlelo l eje de simerí il. Debe cmplir: Psr por el cenro de l Semejn ener el mismo ecor dirección qe el eje de simerí. El enro se conoce. Pr clclr l ección del eje de simerí se resele con Derie l ección Q X X, nos drá l ección ecoril de n rec, es decir +, co ecor dirección es. (-, ). Lego podemos clclr el eje de Semejn: e : (-, ). ª Form Despejr l mri de l simerí il de l ección S H S e S e H - S donde l mri de l Homoeci es: (- ) - (- ) - L mri S es mri dd en el problem. Mliplicndo l mri iners correspondiene l Homoeci con l mri dd en el enncido se obiene l mri correspondiene l simerí il, N se. Pr clclr el eje de simerí: N se X X Unidd Docene de Memáics de l E.T.S.I.T.G.. 9

10 Resmen de Trnsformciones Geomérics Unidd Docene de Memáics de l E.T.S.I.T.G.. EUIONES DE LOS MOVIMIENTOS, HOMOTEIS Y SEMEJNZS del Espcio Se l mri: N O O O, donde el rnsformdo del pno O: T(O) O O O M l mri de l rnsformción orogonl socid l moimieno, es decir: M Ecciones de los disinos Moimienos en E, respeco n bse,, 6. Idenidd. 7. Simerí especlr O - O O 8. Giro O O - O 9. Simerí rocionl: S S G (e, ) O - O - O

11 Resmen de Trnsformciones Geomérics Unidd Docene de Memáics de l E.T.S.I.T.G... Trslción. Simerí desline : S S T, donde -. Moimieno Helicoidl: H G (e, ) T -

12 Resmen de Trnsformciones Geomérics Unidd Docene de Memáics de l E.T.S.I.T.G.. ONSTRUIR LS EUIONES DE LOS MOVIMIENTOS, HOMOTEIS Y SEMEJNZS del Espcio Se conocen los elemenos crcerísi se qiere clclr l ección mricil del moimieno respeco l bse cnónic. L mri de n moimieno en l bse cnónic se obiene relindo l operción sigiene: P M P -, P es l mri de pso M es l mri del moimieno en l bse. L únic mri qe esá respeco l cnónic es l mri de rslción. álclo de los ecores de l bse : ) El primer ecor es el direcor del eje o perpendiclr l plno de simerí (según do). Normlir el ecor ) El segndo ecor se obiene plicndo el prodco esclr qe debe ser cero. Normlir el ecor ) El ercero se obiene plicndo el prodco ecoril. Normlir el ecor. lsificción Referenci oronorml Mri de cmbio de l referenci R l cnónic Ección mricil de l rnsformción en l bse nónic Giro Elemenos crcerísi: Eje de giro Ánglo de giro n pno clqier del eje. (inrine) (,, ) ecor direcor del eje normlido (,, ) P Simerí especlr Elemenos crcerísi: Plno de simerí n pno clqier del plno. (inrine) (,, ) ecor norml P,,, R

13 Resmen de Trnsformciones Geomérics Unidd Docene de Memáics de l E.T.S.I.T.G.. l plno normlido (,, ) Simerí rocionl: S G S Elemenos crcerísi: Eje de giro Ánglo de giro Plno de simerí pno de inersección del plno eje (inrine) (,, ) ecor direcor del eje normlido (,, ) P Trslción Elemenos crcerísi: Vecor de rslción ecor rslción (,, ) No se ili oro sisem de referenci. Se rbj en l referenci cnónic Ls coordends del pno rnsformdo del origen son (,, ), coinciden con ls del ecor de rslción Simerí desline: S S T Elemenos crcerísi: Plno de simerí Vecor de rslción pno clqier del plno. (,, ) ecor norml l plno normlido (,, ) ecor rslción P

14 Resmen de Trnsformciones Geomérics Unidd Docene de Memáics de l E.T.S.I.T.G.. 4 (,, ) Moimieno Helicoidl: H G T Elemenos crcerísi: Eje de giro Ánglo de giro Vecor de rslción pno clqier del eje. (,, ) ecor direcor l eje, normlido (,, ) ecor rslción (,, ) P

15 Resmen de Trnsformciones Geomérics RESUMEN DE LS EUIONES OTENIDS Referenci oronorml lsificción Ección mricil de l rnsformción en l bse R R,,, Giro Elemenos crcerísi: Eje de giro Ánglo de giro Simerí especlr Elemenos crcerísi: Plno de simerí Simerí rocionl: S G S Elemenos crcerísi: Eje de giro Ánglo de giro Plno de simerí n pno clqier del eje. (inrine) (,, ) ecor direcor del eje normlido (,, ) n pno clqier del plno. (inrine) (,, ) ecor norml l plno normlido (,, ) pno de inersección del plno eje (inrine) (,, ) ecor direcor del eje normlido (,, ) Unidd Docene de Memáics de l E.T.S.I.T.G.. 5

16 Resmen de Trnsformciones Geomérics Unidd Docene de Memáics de l E.T.S.I.T.G.. 6 Trslción Elemenos crcerísi: Vecor de rslción ecor rslción (,, ) Simerí desline: S S T Elemenos crcerísi: Plno de simerí Vecor de rslción pno clqier del plno. (,, ) ecor norml l plno normlido (,, ) Moimieno Helicoidl: H G T Elemenos crcerísi: Eje de giro Ánglo de giro Vecor de rslción pno clqier del eje. (,, ) ecor direcor l eje, normlido (,, )

17 Resmen de Trnsformciones Geomérics Procedimieno pr deerminr ls ecciones de ls Homoecis Semejns en E Homoeci Se iene los elemenos crcerísi de l Homoeci: enro: (,, ) Rón: L ección mricil de l Homoeci es: ( ) ( ) ( ) Semejn Se iene los elemenos crcerísi de l Semejn: enro: (,, ) Rón: Eje de giro: Ánglo de giro: Ección mricil de l Semejn: Mri de l Homoeci ( ) ( ) ( ) Mri del Giro O O O Mliplicndo ls dos mrices se obiene l mri de l Semejn. Unidd Docene de Memáics de l E.T.S.I.T.G.. 7

18 Resmen de Trnsformciones Geomérics PROEDIMIENTO PR LSIFIR LOS MOVIMIENTOS EN E Se relirán los sigienes psos:. lclr M M I Moimieno Segir pso. p I Homoeci o Semejn de los csos neriores Trnsformción fín.. Si de(m) Moimieno direco: Idenidd, odos los pnos son inrines. Giro, rec de pnos inrines. Trslción, no h pnos inrines l dimensión de ecores inrines: dim F. Mo. Helicoidl, no h pnos inrines dim F. Si de(m) - Moimieno inerso: Simerí especlr, plno de pnos inrines. Simerí rocionl, pno inrine. Simerí desline, no iene pnos inrines.. álclo de pnos inrines. Moimieno direco on DERIVE: GIRO N X X Lp (resoler), mrcmos,, si el resldo es n rec (inersección de dos plnos) l rec dd es el eje de giro. álclo del ánglo de giro Se igl l r de l mri definición del giro l r de l mri M dd en el enncido, es decir: + r mri M dd. N X X Lp (resoler), mrcmos,, no iene solción [] No iene pnos inrines. Si el moimieno es n rslción se reconoce inmedimene qe l mri N debe ener l sigiene esrcr: Unidd Docene de Memáics de l E.T.S.I.T.G.. 8

19 Resmen de Trnsformciones Geomérics Si es Moimieno helicoidl, H G (e, ) T Pr clclr ss elemenos crcerísico dr los sigienes psos:. álclo del ecor de rslción. M X X nos d l dirección del eje e prlelo Derie nos pre l rec en form prméric () (f (), f (), f ()) álclo del prámero del ecor H G (e, ) T despejmos G (e, ) H Tenemos ls sigienes mrices: N mri dd en el enncido T - - f() - f () - f() Mliplicmos ess dos mrices (N T ) N G mri de giro. N G X X - Formmos l mri (N G I) e imponemos l condición de qe el rg(n G I) es decir ommos n deerminne de orden res donde obligorimene n de ls colmns es el ecor de rslción e iglmos cero despejmos. Ssiimos en el ecor de rslción obenemos T - álclo del prámero del eje de giro Ssiir en l mri de giro resoler con Derie: N G X X Lp (resoler), mrcmos, nos d l ección del eje. álclo del ánglo de giro: + r M G. Moimieno inerso on DERIVE: Simerí especlr Unidd Docene de Memáics de l E.T.S.I.T.G.. 9

20 Resmen de Trnsformciones Geomérics N X X Lp (resoler), mrcmos,, nos drá como solción n plno, qe será el plno de simerí. Simerí rocionl S S G (e, ) N X X Lp (resoler), mrcmos,, nos drá como solción n pno pno inrine álclo del eje de giro Eje de giro ps por el pno inrine el ecor direcor se obiene resoliendo M X - X (Derie) álclo del plno El plno el eje son perpendiclres enre si, el ecor direcor del eje coincide con el ecor norml del plno cs componenes son los coeficienes de l, del plno pr clclr el érmino independiene obligmos qe pse por el pno inrine D álclo del ánglo de giro + r M G Simerí desline: : S S T N X X Lp (resoler), mrcmos,, no iene solción []. O M T(M) O O Unidd Docene de Memáics de l E.T.S.I.T.G..

21 Resmen de Trnsformciones Geomérics álclo del ecor rslción O T (O). M. lclr T(M) rnsformdo de M Ssiir en X ls coordends del pno medio M en l ección: X N X. álclo del ecor de rslción: T(M) - M álclo del plno S D S T S T - S D L mri de S D es l dd en el enncido. T El prodco de ess os mrices nos d l mri de l simerí especl: N N X X Lp (resoler), mrcmos,, se obiene el plno de l simerí especlr. Procedimieno pr clsificr ls Homoecis Semejns en E Ección de ls Homoecis: ( ) ( ) ( ) N ( ) ( ) ( ) M Elemenos de l Homoeci Rón de l homoeci: elemeno de l digonl principl de l mri M. enro el único pno inrine: (,, ) Se clcl resoliendo con derie: N X X. Unidd Docene de Memáics de l E.T.S.I.T.G..

22 Resmen de Trnsformciones Geomérics Semejns S H (,) G (e, ) Se drá los sigienes psos:. M M p I ( si I p I rnsformción fín). Si De(M) > Semejn direc. Si De(M) < Semejn iners.. álclo de los elemenos crcerísi Semejn direc o Semejn iners Rón. p con > Eplicción: M M p I; sbemos qe M M Q Q Q Q I. Lego p p enro: único pno inrine, se clcl resoliendo con Derie NX X nos drá n pno. Eje de giro. o Primer form de cálclo Se clcl l dirección del eje de giro: L mri correspondiene l giro es: Q M Y resolemos con Derie QX X, nos drá l ección de n rec como inersección de dos plnos, psmos dich ección prmérics los coeficienes de los prámeros serán ls coordends del ecor direcor del eje de giro. L ección del eje de semejn es l rec qe ps por el enro iene como ecor direcor l dirección del eje de giro. Ección en form ecoril es: o Segnd form pr clclr el eje de giro Despejr el Giro de S H (,) G (e, ). Es decir: G (e, ) H - (,) S H (, ) S. on Derie resolemos N G X X nos drá el eje de giro. Ánglo de giro: + Tr de M G Unidd Docene de Memáics de l E.T.S.I.T.G..