165. Clasificar la cónica: y hallar su ecuación reducida. Demostración. Formaremos el discriminante: = = Hallaremos los invariantes de la cónica:

Transcripción

1 Hoj de Problems Geomerí V 6. lsificr l cónic: f hllr su ecución reducid. Demosrción. Formremos el discriminne: / ; / como se r de un prábol rel. Hllremos los invrines de l cónic: l ecución reducid será ± Susiuendo: lsificr ls cónics: 8 Demosrción. /

2 º) 7 > 7 Teniendo en cuen el cudro de l no resul que l cónic degener en dos recs imginris conjugds. º) 6 > como > demás ( 6) < se r de un elipse rel. 67. lsificr l cónic: f hllr luego l ecución reducid. Demosrción. Formemos el discriminne de l cónic. / 7 / / / < / / Por consiguiene se r de un hipérbol rel. Según vimos en l no hemos de hllr ls ríces de l ecución: r r Los invrines son: /

3 7 α luego resul: r r β l ecución reducid quedr: α β lsificr l cónic: 6 8 Demosrción. El discriminnes es: < Se r de dos recs reles concurrenes. Hllemos su inersección con los ejes. Pr Pr 8 Ecución de : 6 Ecución de : Ronndo de form nálog que en el problem nº resulr: /

4 / 6. L curv inersección de l esfer con el plno -- se proec orogonlmene sobre el plno coordendo XOY. Esúdiese l cónic proección. uál es su ecución reducid? Demosrción. l corr l esfer por el plno obenemos un circunferenci de ecución: Pr proecrl orogonlmene l plno XOY bs eliminr l. Resul: 8 8 ) ( ) ( Esudiemos es cónic: omo demás >, se r de un elipse rel, que ) ( < Pr obener l ecución reducid hllremos ls ríces de l ecución r r. Recordemos que los invrines son: ; β α r r L ecución reducid es: β α o bien

5 7. onsideremos l cónic hllr l ecuciones de sus ejes sí como mbién l ecución del diámero conjugdo con l rec. Demosrción. Esudiremos primero l nurle de l cónic. / / / / < / > / como > demás <, se r de un elipse rel, de l cul vmos deerminr los ejes. Resolvmos: m ( ) m m ( ) m m m 8m m f f δf ( ) δ δf ( ) δ susiuendo en f mf ( ) ( ) ( ) ( ) /

6 Un ve enconrdos los ejes, se r hor de verigur l ecución del diámero conjugdo con l rec. onsideremos el puno del infinio de l rec mn. Es (,m,). En nuesro cso (,,). Recordemos que el polo de l rec del infinio es el cenro de l conic; por consiguiene, ls polres de punos impropios hn de psr por el cenro, es decir, sern diámeros. Hllremos l polr del puno (,,). f ( ) f ( ) f ( ) priculrmene pr el puno (,,) f α ; fβ ; fγ l ecución polr es: fα fβ fγ. 7. Deerminr los elemenos de l curv en el puno P(,,) Demosrción. d d ( d d) d ( d d) dividiendo por priculrindo pr el puno (,,): 6/

7 d d d d 6 d d d d 7 6 d d d 8 d d d P P 7 7 volviendo diferencir resul: d d ( d) ( d) d ( d d) ( d d) (dd d d ) 6( d) ( d d d) d 6( d) d ( ) d 6( ) d) d ( dd d dd d ) eniendo en cuen que d d d d d d d d d d d 6 d d d d d d d d 6 6 d d d d si priculrimos ls coordends de P susiuimos los vlores de obenidos nes, llegmos un sisem de dos ecuciones que nos permie enconrr d d d P d P solo fl susiuir esos vlores en ls correspondienes formuls dds principio de cpiulo. 7/

8 8/ 7. verigur si l curv ; ; es lbed. Demosrción. Supongmos que l curv no fuese lbed. Sus punos esrín en un plno D Susiuendo ls epresiones de ls res coordends ( ) ( ) ( D ) ( ) ( ) ( D omo debe verificrse pr culquier vlor de : D D Por consiguiene pr endremos: ecución del plno que coniene l curv. 7. Se d l rec, en el plno OXY l rec -. Hllr l ecución de l superficie de revolución engendrd por l roción de l segund rec lrededor de l primer Demosrción. Hllremos ls ecuciones de un prlelo culquier de l superficie de revolución que iene por eje l rec. Dicho prlelo vendrá ddo por l inersección de l esfer λ del plno µ. L generri considerd es Eliminndo los prámeros λ µ enre ls curo ecuciones resul -; µ

9 µ ; µ Susiuendo en λ llegmos l epresión µ λ Finlmene bs eliminr λ µ enre es ulim ecución l ecución del prlelo pr obener l solución ( ) ( ) Se r de un hiperboide de revolución. /