LA CLASIFICACIÓN DE CÓNICAS

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1 ISSN DEP. LEGAL: GR 9/7 Nº 14 ENERO DE 8 LA CLASIFICACIÓN DE CÓNICAS AUTORÍA MARÍA DEL CARMEN GARCÍA JIMÉNEZ TEMÁTICA MATEMÁTICAS ETAPA BACHILLERATO, UNIVERSITARIA Resumen A prtir de l ide de lugr geométrico se puede hcer un introducción l concepto de cónics; est introducción se puede llevr cbo con los lumnos de 1º de Bchillerto Científico Tecnológico. Ests nociones previs cerc de ls Cónics sentrán ls bses pr estudios posteriores, en los cules se estudirá l clsificción de cónics prtir de los Invrintes o prtir de l expresión de l cónic en coordends homogénes. Este rtículo se centr en l clsificción de ls Cónics prtir de los Invrintes. Ls dividiremos en dos grndes grupos según si el primer invrinte es distinto de cero o bien nulo. En el primer cso l cónic se denomin Irreducible u Ordinri (tmbién Regulr) y en el segundo cso cónic Reducible o Degenerd. Pero se puede hcer un nuev clsificción sin necesidd de recurrir ls ecuciones reducids de l cónic, est nuev clsificción que se propone se hce prtir de l expresión de l cónic en coordends homogénes Plbrs clve Cónics Degenerds. Cónics No degenerds. Ecuciones Reducids. Invrintes. Elipse. Prábol. Hipérbol. C/ Recogids Nº 45-6ºA 185 Grnd csifrevistd@gmil.com

2 ISSN DEP. LEGAL: GR 9/7 1. CONSIDERACIONES GENERALES. Nº 14 ENERO DE 8 Podemos expresr l ecución de un cónic como un ecución polinómic de segundo grdo con dos incógnits: + 1 x+ y+ x + y + 1 xy= Es ecución de l cónic se puede escribir en Form Mtricil; siendo l mtriz de l cónic simétric: x = 1 y (, x, y) Es Cónic escrit de es form está referid ejes ortonormles y si l referimos sus propios ejes resultn ls llmds Ecuciones Reducids, pr ello se somete l cónic un trslción y un giro. L obtención de ls ecuciones reducids de ls cónics, consiste en obtener un sistem de referenci ortonorml, distinto l inicil, de form que l cónic se pued expresr de l form más sencill posible, esto lo podremos conseguir trvés de un giro y un trslción. Los tres Invrintes que tenemos l cmbir el sistem de referenci son: Invrinte Proyectivo: A Invrinte Cudrático: A = 1 1 Invrinte Linel: I = + C/ Recogids Nº 45-6ºA 185 Grnd csifrevistd@gmil.com

3 ISSN DEP. LEGAL: GR 9/7. ESTUDIO GENERAL DE LAS CÓNICAS. Nº 14 ENERO DE 8 L clsificción de ls cónics puede hcerse: A. A prtir del Invrinte Proyectivo, A : A Cónic No Degenerd o Irreducible (tmbién se llm Regulr u Ordinri). A = Cónic Degenerd o Reducible. B. A prtir del Invrinte Cudrático, A : En este cso tendremos en cuent ls siguientes proposiciones: Proposición: Dd un cónic de mtriz A, si el elemento 1, podemos encontrr un ángulo α tl que l efectur un giro de los ejes coordendos de dich mplitud, l nuev mtriz B de l Cónic cumpl que 1 =. (En cso de = 1, no necesitrímos ese giro). Proposición: Si A =. se puede obtener un trslción de form que l mtriz de l cónic se digonl. A = = 1 1 C/ Recogids Nº 45-6ºA 185 Grnd csifrevistd@gmil.com

4 ISSN DEP. LEGAL: GR 9/7.1. Cónics No Degenerds. Nº 14 ENERO DE 8 Ests cónics son quells en ls que A y ls clsificremos según el segundo invrinte A A, A Al ser A se puede obtener un trslción de form que l mtriz de l cónic en su ecución reducid es un mtriz digonl; por tnto el determinnte de l nuev mtriz, B, corresponde l form: B = =.. L ecución reducid de l cónic corresponde l form: x = y (, x, y) x + y + = Ahor se trtrá de hllr,,, pr ello se recurre los Invrintes, de donde observmos que tenemos un sistem de tres ecuciones y tres incógnits, que un vez resuelto nos determin los coeficientes de l ecución reducid: B = =.. = A A = A = =. I = + = I C/ Recogids Nº 45-6ºA 185 Grnd csifrevistd@gmil.com

5 ISSN DEP. LEGAL: GR 9/7 Obteniendo finlmente l ecución reducid de l cónic en form trdicionl: Nº 14 ENERO DE 8 x + y = 1 Se trt de l ecución de elipses, hipérbols y del pr de rects no prlels, pr distinguirls nos fijremos en el signo o en l nulción del segundo invrinte : A.1.1.A) Si A > Se trt de un ELIPSE. Si el signo del A = signo del Ι Se trt de un ELIPSE IMAGINARIA. Si el signo del A signo del Ι Se trt de un ELIPSE REAL. Cso prticulr: Si = 1 y = Se trt de un CIRCUNFERENCIA..1.1.B) Si A < Se trt de un HIPÉRBOLA. Cso prticulr: Si Ι = Se trt de un HIPÉRBOLA EQUILATERA..1.. A, A =. En este cso existen mtrices de l ecución reducid. Como A = ests cónics tienen un solo centro, que es un punto impropio o bien un rect de centros. Al ser A = vn existir 4 mtrices posibles, pero como A quedn reducids, que corresponden los siguientes csos: C/ Recogids Nº 45-6ºA 185 Grnd csifrevistd@gmil.com

6 ISSN DEP. LEGAL: GR 9/7.1..A) Prábol Simétric respecto del Eje X. Nº 14 ENERO DE 8 1 B = 1 Mtriz cuy ecución represent un Prábol simétric respecto l eje X: 1 x + y =.1..B) Prábol Simétric respecto del Eje Y. B = Mtriz cuy ecución represent un prábol simétric respecto l eje Y: y + x = Pr obtener en mbos csos l ecución reducid se procede operndo con los Invrintes (como se dijo nteriormente)... Cónics Degenerds. Ests cónics son quells en ls que A = y ls clsificremos, otr vez, prtir del segundo invrinte A...1. A =, A En este cso l mtriz de l ecución reducid de l cónic es digonl. El determinnte de l mtriz es cero, por tnto se tendrá: C/ Recogids Nº 45-6ºA 185 Grnd csifrevistd@gmil.com

7 ISSN DEP. LEGAL: GR 9/7 Nº 14 ENERO DE 8 A =.. = De quí se deduce: = ; ; A = x + y = Por tnto, l ecución reducid de l cónic será: (1) Se trt de un Cónic Degenerd Simétric respecto de mbos ejes y respecto del origen. Pr clculr y se recurre los Invrintes de l Cónic que nos dn un sistem de dos ecuciones y dos incógnits: A =. I = +..1.A) A >. > Este cso implic que y son del mismo signo (o mbos positivos o mbos negtivos). Si considermos que los dos son positivos (si fuern negtivos serin igul pero multiplicdos por -1) l ecución (1) l podemos escribir de l siguiente form: x = y x = ± iy Se trt de RECTAS IMAGINARIAS CONJUGADAS que psn por el origen. C/ Recogids Nº 45-6ºA 185 Grnd csifrevistd@gmil.com

8 ISSN DEP. LEGAL: GR 9/7..1.B) A <. < Nº 14 ENERO DE 8 Este cso implic que y son de distinto signo, entonces l ecución (1) l podemos escribir de l siguiente form: x = y x = ± y Se trt de RECTAS REALES que psn por el origen.... A =, A =. Tenemos dos tipos de mtrices de l ecución reducid: Como A = ests cónics tienen un solo centro, que es un punto impropio o bien un rect de centros. Al ser A = vn existir 4 mtrices posibles, pero como A quedn reducids :...A) Pr l primer mtriz su ecución reducid viene dd de l siguiente form: B = Mtriz cuy ecución represent un curv simétric respecto l eje Y: + x = Es ecución reducid de l cónic se puede expresr de l siguiente otr form: x = x = ± Si A + A Tengo RECTAS IMAGINARIAS PARALELAS. > Si A A < Tengo RECTAS REALES PARALELAS. + Si A A = Tengo RECTAS COINCIDENTES (Eje Y). + C/ Recogids Nº 45-6ºA 185 Grnd csifrevistd@gmil.com

9 ISSN DEP. LEGAL: GR 9/7 Nº 14 ENERO DE 8...B) Pr l segund mtriz, l ecución reducid de l cónic es l siguiente (que es el cso nterior donde se hn cmbido los ejes X e Y) de donde se obtendrán dos rects imginris o dos rects reles prlels. B = Mtriz cuy ecución represent un curv simétric respecto l eje X: + y = Es ecución reducid de l cónic se puede expresr de l siguiente otr form: y = y = ± Si A + A Tengo RECTAS IMAGINARIAS PARALELAS. > Si A A < Tengo RECTAS REALES PARALELAS. + Si A A = Tengo RECTAS COINCIDENTES (Eje X). + Pr este tipo de cónics hemos usdo Ι =, pero demás existe otro Invrinte exclusivo de ests cónics que es: A + A = A + de donde A = ; A = A. 3. OTRO MÉTODO DE CLASIFICACIÓN DE CÓNICAS. Podemos clsificr ls Cónics sin necesidd de recurrir su ecución reducid; est nuev clsificción que se propone se hce prtir de l expresión de l cónic en coordends homogénes; pr ello cortmos l cónic por l rect impropi z= y considermos el discriminnte ( Δ ) de l correspondiente ecución de º grdo en Y. C/ Recogids Nº 45-6ºA 185 Grnd csifrevistd@gmil.com

10 ISSN DEP. LEGAL: GR 9/7 4. BIBLIOGRAFÍA. Nº 14 ENERO DE 8 Abellns, P. (197). Elementos de Mtemátics. Mdrid: Ed. Romo. Stein, S. K. (1984). Cálculo y geometrí Anlític. México: Ed. McGrwHill. Puig Adm, P. (1973).Curso de Geometrí métric I y II. Mdrid: Ed. Bibliotec Mtemátic. Abellns, P. (1969). Geometrí Básic. Mdrid: Ed. Romo. Wulff, L. (5).Geometrí Pln. Semejnzs. Triángulos. Circunferenci. Grnd: Ed. C.S.V. Autorí Nombre y Apellidos: Mrí del Crmen Grcí Jiménez. Centro, loclidd, provinci: Grnd. E-mil: crmengj6@hotmil.com C/ Recogids Nº 45-6ºA 185 Grnd csifrevistd@gmil.com