LOS INVARIANTES METRICOS DE LAS CONICAS

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1 LOS INVRINTES METRICOS DE LS CONICS LOS INVRINTES METRICOS DE LS CONICS Crlos SÁNCHEZ CHINE MRCHEN, julio DIVULGCIÓN DE L MTEMÁTIC EN L RED CRLOS SÁNCHEZ CHINE, MRCHEN,

2 LOS INVRINTES METRICOS DE LS CONICS LOS INVRINTES METRICOS DE LS CONICS INTRODUCCIÓN Qué son ls curvs cónics?. Est es l regunt que nos hcemos l intentr un estudio de estos objetos. Est uede ser un contestción: - Son ls secciones de corte de un cono or un lno, de tods ls mner osibles, sí, si se cort un cono or un lno erendiculr l eje de revolución, l sección resultnte es un cso rticulr de elise, l circunferenci. En generl, si se cort un cono or un lno que toque tods ls genertrices, l sección es un elise. Si el lno de corte es rlelo l eje de revolución, sin sr or el vértice, l sección es un hiérbol, y si, demás, s or el vértice, l sección son dos rects que se cortn. Si el lno de corte es rlelo lgun de ls genertrices, sin sr or el vértice, l sección es un rábol, y si, demás, s or el vértice, l sección es un líne rect que coincide con l genertriz contenid en el lno de l sección. Est es otr contestción: - Son ls curvs de ecución generl dd or y y y que, l eresrl mtricilmente, rece como un roducto mtricil iguldo cero, de l form X..X t. Pr oder hcer el estudio de cuerdo con est conceción de ls cónics se lnte como objetivo el reducir l ecución generl un form más sencill, medinte un cmbio ortonorml licdo l mtriz de los coeficientes. L cuestión es si, l reducir l ecución de l cónic recen mgnitudes que se mntienen invrintes en un cmbio ortonorml y ueden ser utilizds, en consecuenci, r oder clsificr ls cónics en los tios gráficos que nos resent l conceción clásic de secciones de corte de l suerficie de un cono or un lno. Y, efectivmente, sí es, recen tres mgnitudes invrintes en los cmbios ortonormles, y que llmmos Invrintes métricos de ls cónics: El determinnte de l mtriz, el djunto del elemento, y l sum de los elementos y. En el resente estudio se retende hcer un clsificción generl de ls cónics en función de los vlores de estos invrintes, de form que llmremos Cónics regulres ls cónics con el rimer invrinte métrico no nulo, y Cónics irregulres ls cónics con el rimer invrinte métrico nulo. L clsificción siguiente, dentro de cd conjunto de cónics, deende de los vlores de los otros dos invrintes métricos. CRLOS SÁNCHEZ CHINE, MRCHEN,

3 LOS INVRINTES METRICOS DE LS CONICS INDICE-RESUMEN. CONICS... Cónic del escio royectivo P.. Cónic del escio euclidino M.3. Rect imroi. Puntos imroios.4. Teorem..5. Puntos del infinito.6. Puntos conjugdos.7. Puntos singulres.8. Rect olr. Polo.9. Centro de un cónic.. Teorem... síntots.. Diámetro de un cónic.3. Punto del infinito de un rect.4. Diámetros conjugdos.5. Ejes y vértices. ECUCIONES REDUCIDS DE LS CÓNICS... Reducir l ecución de un cónic.. Teorem..3. Teorem..4. Teorem.3.5. Teorem.4 3. INVRINTES MÉTRICOS. 3.. Qué son los invrintes métricos de un cónic? 3.. Teorem CONICS IRREDUCIBLES. 4.. Cónics irreducibles o regulres 4.. Primer gruo de cónics regulres 4.3. Teorem Primer gruo con segundo invrinte ositivo 4.5. Teorem Primer gruo con segundo invrinte negtivo Teorem Teorem Segundo gruo de cónics regulres 4.. Teorem CONICS REDUCIBLES. 5.. Cónics irreducibles o irregulres 5.. Teorem Teorem Primer gruo de cónics irregulres 5.5. Teorem Segundo gruo de cónics irregulres 5.7. Teorem 5.4. NEXOS. NEXO : Cudro resumen. NEXO : Bibliogrfí NEXO 3: Ejercicios. CRLOS SÁNCHEZ CHINE, MRCHEN,

4 LOS INVRINTES METRICOS DE LS CONICS. CONICS:.6. Cónic del escio royectivo P : En el lno royectivo P, un cónic Q es el conjunto de untos utoconjugdos en un olridd. Ecución mtricil: o bien, resumidmente: tmbién, si es : (,, y ). (,, ).. t (,, ).. ; X.. X y. ; llmndo, y.7. Cónic del escio euclídeo o euclidino M : Se llm cónic Q del lno euclidino M l conjunto Q Q IM donde es Q un cónic de P tl que es. L ecución generl de un cónic del lno euclidino viene dd, or consiguiente, or.. y.. y.. y Cundo se conveniente, reresentremos or (Q, ) un cónic Q del lno euclídeo, con mtriz..8. Rect imroi. Puntos imroios: El conjunto de untos r {(,, )} no está contenido, or tnto, en l cónic Q. r se le llm rect del infinito, o bien rect imroi, de l cónic Q. Sus untos se dicen untos imroios de l cónic..9. Teorem.: L condición necesri y suficiente r que Q se un cónic de M es que se no nulo uno l menos de los tres números,, (esto es, que v v ) En efecto: CRLOS SÁNCHEZ CHINE, MRCHEN,

5 LOS INVRINTES METRICOS DE LS CONICS Bstrá robr que es condición necesri y suficiente que l cónic Q conteng l rect imroi r {(,, )} r que sen nulos los tres números ( ): Q contiene r ij. i. j i, j todo r de untos de M..., r. Por tnto, en ls cónics Q del lno euclídeo M es distinto de cero lguno de estos tres números... Corolrio.: En un cónic Q en l que su mtriz tiene nulos los elementos se cumlen ls siguientes lterntivs: ) Si dj( ) entonces b) Si dj( ) entonces ( ) v ( ) Not: No uede drse el cso de, orque, en ese cso, y siendo y, serin nulos los tres números, y Q no serí un cónic... Puntos del infinito: Se llmn untos del infinito de l cónic Q quellos untos de l rect imroi r r los cules es nulo el término indeendiente en l ecución de l cónic. Pr obtenerlos, bstrá hcer nulo en l ecución de l cónic el término y, r, desejr y:. y.( y los untos del infinito serán: ). y. (,, y ) (,, y ) y y y y.. Puntos conjugdos: Se dice que el unto (, ) es conjugdo del unto (, ) resecto l cónic Q de mtriz si se verific que (,, ).. CRLOS SÁNCHEZ CHINE, MRCHEN,

6 LOS INVRINTES METRICOS DE LS CONICS.3. Puntos singulres: (, conjugdo de (, ) ) (,, ).. El unto (, ) es unto singulr resecto de l cónic Q sii el conjunto de los untos conjugdos con (, ) es todo el lno euclidino M. (,, ). (, ) sin gulr resecto de Q.4. Rect olr. Polo: L rect r: y m. b es rect olr del unto (, ) sii se verific que (, ) r, (,, ).. El unto (, ) es olo de l rect r: y m. b sii r es rect olr de (, )..5. Centro de un cónic: El unto (c, c ) se dice centro de l cónic (Q, ) sii se verific: o bien, equivlentemente, (,, ) r, (, c, c ).. (,. c,. c ). ( ) R,.6. Teorem.: En ls cónics de mtriz regulr ( ) se verific que si dj( ) es no nulo, entonces el centro es roio. En efecto: Bstrá robr que el número de l definición es no nulo. (,. c,. c ). ( ) c c Desejndo or l regl de Crmer: c c c c CRLOS SÁNCHEZ CHINE, MRCHEN,

7 LOS INVRINTES METRICOS DE LS CONICS..7. síntots: Se llmn síntots de un cónic Q ls rects olres de sus untos del infinito..8. Diámetro de un cónic: Un rect d: y m. n se dice diámetro de l cónic Q si contiene l centro (c, c ) de l cónic..9. Punto del infinito de un rect: Se llm unto del infinito de l rect r: y. b los untos de r tles que b. Hciendo : Se tiene: y b Por tnto, el unto del infinito de l rect r: y. b es (,, ).3. Diámetros conjugdos: Dos diámetros de un cónic (Q, ) se dicen conjugdos sii sus untos del infinito son conjugdos: y m n diámetros, y m n.3. Ejes y vértices: y m. n conjugdo de y m n Se llmn ejes de l cónic Q dos diámetros conjugdos erendiculres: O se, d : y m. n y d : y m. n son diámetros de l cónic Q sii contienen l centro, son conjugdos, y, demás, son ortogonles. Es decir, si es (c, c ) el centro de l cónic (Q, ): m (,, m).. c m. c n, c m. c (,, m).. m m. m n Los vértices de un cónic Q son los untos de corte con los ejes. CRLOS SÁNCHEZ CHINE, MRCHEN,

8 LOS INVRINTES METRICOS DE LS CONICS. ECUCIONES REDUCIDS DE LS CONICS:.. Reducir l ecución de un cónic: L ecución generl de un cónic del lno euclidino sbemos que es de l form.. y.. y.. y est ecución odrí simlificrse si, medinte un semejnz ortonorml logrmos que se nulen vrios de los coeficientes ij de l mtriz de l cónic, de form que ermnezc l menos uno distinto de cero en cd fil y cd column (slvo ls limitciones que imone el corolrio..). ) si es : : Ecución y b) si es : : Ecución y c) si es : : Ecución y d) si es : Ecución : y e) si es : CRLOS SÁNCHEZ CHINE, MRCHEN,

9 LOS INVRINTES METRICOS DE LS CONICS : Ecución.. Teorem.: Medinte l licción de un giro de mlitud.. rctg θ l mtriz de un cónic Q qued reducid otr mtriz semejnte, donde son nulos los términos : En efecto: Siendo l mtriz del giro G cosθ senθ senθ cosθ, se tendrá: G.. G t cosθ sen cosθ senθ senθ cos senθ. cosθ cos ( θ cosθ. senθ senθ ). senθ cosθ senθ sen θ.cos θ senθ cosθ sen cos ( ). senθ.cos θ sen θ senθ cos θ y, or tnto, hciendo ( ). senθ.cos θ result: tgθ θ rctg.3. Teorem.: CRLOS SÁNCHEZ CHINE, MRCHEN,

10 LOS INVRINTES METRICOS DE LS CONICS Si l mtriz nterior se le lic un trslción T(h, k) de mtriz h k h. T se obtiene l mtriz En efecto: k. h h. k. k h. k. Bst relizr el roducto de ls mtrices : T.. T t h. k. h h. k. k h k h k h. k..4. Teorem.3: Si se tiene que r h - /, En efecto: or tnto es: h. k. k - / result...5. Teorem.4: Si se tiene: ) ( ) v ( ) CRLOS SÁNCHEZ CHINE, MRCHEN,

11 LOS INVRINTES METRICOS DE LS CONICS b) Si, entonces r h - / será tmbién, y se dn estos dos csos: b) Si, entonces b) Si, entonces c) Si, entonces r k - / será tmbién, y se dn estos dos csos: En efecto: c) Si, entonces c) Si, entonces ) Sbemos que es y que. y que no ueden ser simultánemente nulos los elementos,, (or corolrio..), or tnto solo hy dos lterntivs:. y. y b) Si y se tiene que h.. r obtener los restntes elementos de l mtriz, vemos ls dos lterntivs resecto : b) Si es k. k y r k será CRLOS SÁNCHEZ CHINE, MRCHEN,

12 LOS INVRINTES METRICOS DE LS CONICS b) Si es k : c) Si y se tiene que e k.. r obtener los restntes elementos de l mtriz, vemos ls dos lterntivs resecto : c) Si es h. h y r h será c) Si es h : CRLOS SÁNCHEZ CHINE, MRCHEN,

13 LOS INVRINTES METRICOS DE LS CONICS 3. INVRINTES METRICOS: 3.. Qué son los invrintes métricos de un cónic?: Se un cónic Q de M, de mtriz ( ij ), y se B (b ij ) l mtriz de so del cmbio métrico (u ortonorml): B..B t Es decir, es donde l mtriz b b b b B b b b b b b es ortonorml, y B ± Se llmn invrintes métricos de l cónic Q ls funciones F( ij ) de los elementos de l mtriz de l cónic que se mntienen invrintes en el cmbio métrico (F( ij ) F( ij ) ). Pr determinr cuáles son estos invrintes, vemos el teorem siguiente. 3.. Teorem 3.: Los invrintes métricos de un cónic de mtriz son: En efecto: ), ), 3) ) De ser B..B t se tiene: B..B t B.. B t.. luego, efectivmente, es métrico. Se denomin rimer invrinte ) De ser se tiene: b b b b b b b b b b b b b b.. b. b. b b b b y siendo el olinomio crcterístico de un mtriz invrinte r los cmbios ortonormles, se tiene: CRLOS SÁNCHEZ CHINE, MRCHEN,

14 LOS INVRINTES METRICOS DE LS CONICS λ λ λ ( ) λ nálogmente: λ λ λ ( ) λ identificndo mbos olinomios, se obtienen los otros dos invrintes métricos: que es el segundo invrinte métrico que es el tercer invrinte métrico CRLOS SÁNCHEZ CHINE, MRCHEN,

15 LOS INVRINTES METRICOS DE LS CONICS 4. CONICS IRREDUCIBLES: 4.. Cónics irreducibles o regulres: Se llmn irreducibles, o regulres, o rois,, ls cónics (Q, ) que tienen no nulo el rimer invrinte métrico. Q irreducible En ests cónics no eisten untos singulres, ues si (,, ). (,, ) entonces serí. Ls cónics regulres o irreducibles ueden clsificrse en dos gruos, según que el segundo invrinte métrico se distinto de cero o bien, se igul cero. 4.. Primer gruo de cónics regulres ( ): L mtriz reducid de ests cónics, según el teorem.3, es: y, or consiguiente, l ecución reducid qued: los invrintes métricos son: tmbién, evidentemente: y Teorem 4.: º) L condición necesri y suficiente r que un cónic irreducible teng centro roio es que. º) Si entonces el centro y los ejes son centro y ejes de simetrí de l cónic. En efecto: º) Es evidente, or definición de cónic irreducible y teorem. CRLOS SÁNCHEZ CHINE, MRCHEN,

16 LOS INVRINTES METRICOS DE LS CONICS º) Vemos en rimer lugr que el centro de l cónic es el origen (, ): se tiene, or definición de centro, que (,, ) r, (, c, c ).. c, c, c. c. c. c o se: ( ) en cunto los diámetros, como contienen l centro (, ), sus ecuciones serán de l form: d d y., y. c c y l ser ejes, serán erendiculres: d c d d. c c c d y ls ecuciones de mbos ejes son de l form: d c cy y., y. c d dy d c de l relción de conjugción: (, c, d ). Si si. d d. c.( c culquier c d ejes : rect que se ) y, or (,) es eje 4.4. Ls cónics regulres del rimer gruo con el segundo invrinte métrico ositivo: Se denomin ELIPSE un cónic (Q, ) en l que 4.5. Teorem 4.: > En un elise se verific: ) Tiene centro y ejes roios que son centro y ejes de simetrí de l cónic. ) Sign( ) sign( ) 3) No tiene untos en l rect del finito. CRLOS SÁNCHEZ CHINE, MRCHEN,

17 LOS INVRINTES METRICOS DE LS CONICS En efecto: ) Es inmedito, or el teorem 4. 4) Siendo. > Sign( ) sign( ) ) Vemos cul seri l intersección de l elise con l rect imroi: ero el unto (,, ) no es un unto del escio P. Se denomin Elise rel un elise tl que sign( ) sign( ) sign( ), o, equivlentemente, sign sign( ) sign( ) Se denomin Elise imginri un elise tl que Sign( ) sign( ) sign( ), o, equivlentemente, sign sign( ) sign( ) Ls elises, tnto reles como imginris, se llmn Circunferencis si Ls ecuciones de ests cónics son, en definitiv, de l form: y L ecución reducid de un elise rel: o se: y y y b, con L ecución reducid de un elise imginri: o se:, b y y y b, con, b L ecución reducid de un circunferenci rel: o se: y y CRLOS SÁNCHEZ CHINE, MRCHEN,

18 LOS INVRINTES METRICOS DE LS CONICS y r, con r L ecución reducid de un circunferenci imginri: o se: y y y r, con r 4.6. Ls cónics regulres del rimer gruo con el segundo invrinte métrico negtivo: Se denomin HIPERBOL un cónic (Q, ) en l que < 4.7. Teorem 4.3: En un hiérbol se verific: ) Tiene centro y ejes roios que son centro y ejes de simetrí de l cónic. ) Sign( ) sign( ) 5) Tiene dos untos en l rect del finito. En efecto: ) Es inmedito, or el teorem 4. ) Siendo. < Sign( ) sign( ) 3) Vemos cul seri l intersección de l hiérbol con l rect imroi: or tnto, son untos del infinito:,,,, l tener untos del infinito, l hiérbol tiene síntots (son, como y sbemos, ls rects olres de sus untos del infinito):,, ±.. y ± y.. CRLOS SÁNCHEZ CHINE, MRCHEN,

19 LOS INVRINTES METRICOS DE LS CONICS Llmndo y, se tiene: ± b y b Por tnto ls síntots son: L ecución de l hiérbol quedrí sí: b b y., y. y y ± o se: b y ± Un Hiérbol equiláter es un hiérbol que tiene erendiculres sus dos síntots, o se, un hiérbol en l que ls rects b b y., y. son erendiculres, esto es: b/ /b. Pero esto imlic que b. b, o se: Por tnto, l ecución de un hiérbol equiláter es: y ±, y ls síntots: y, y Teorem 4.4: L condición necesri y suficiente r que un hiérbol se equiláter es que se nule el tercer invrinte métrico. En efecto: De ser b, se tiene que b ± l revés, evidentemente, se verific tmbién Segundo gruo de cónics regulres ( ): L mtriz reducid de ests cónics, según el teorem.4, es de lgun de ls forms:, y, or consiguiente, l ecución reducid quedrí del lgun de ls forms: los invrintes métricos son: y ; y ; CRLOS SÁNCHEZ CHINE, MRCHEN,

20 LOS INVRINTES METRICOS DE LS CONICS. o o bien bien. Se denomin PRBOL un cónic (Q, ) en l que 4.. Teorem 4.5: En un rábol se verific: ) Tiene centro imroio. ) Tiene un eje roio, que es eje de simetrí de l cónic, y otro imroio (l rect del infinito). En efecto: ) Por el teorem 4., y siendo, el centro es imroio. Pr hllrlo, bstrá considerr que (, ). ( ) Crmer, se tendrí:,.., desejndo or Y el centro imroio seri (,, ) r ls rábols de ecución reducid y Tmbién: CRLOS SÁNCHEZ CHINE, MRCHEN,

21 LOS INVRINTES METRICOS DE LS CONICS... Y el centro imroio seri (,, ) r ls rábols de ecución reducid y. ) Los ejes ueden ser, en rinciio, l rect r, sí como tod rect que se or el centro imroio de l cónic. Vemos qué ocurre r ls rábols de ecución reducid y (el centro imroio de l cónic es (,, )): El eje imroio es El eje roio es Vemos qué ocurre r ls rábols de ecución reducid y (el centro imroio de l cónic es (,, )): El eje imroio es El eje roio es CRLOS SÁNCHEZ CHINE, MRCHEN,

22 LOS INVRINTES METRICOS DE LS CONICS 5. CONICS REDUCIBLES: 5.. Cónics reducibles o irregulres: Se llmn reducibles, o irregulres, o imrois ls cónics que tienen nulo el rimer invrinte métrico. Q reducible En ests cónics eisten untos singulres, que se crcterizn continución medinte los teorems 5. y Teorem 5.: En un cónic (Q, ) reducible se verific: ) Si rngo y, eiste un único unto singulr ddo or,, b) Si rngo y, se tiene: b.) Si, el unto singulr es el unto imroio b.) Si, el unto singulr es el unto imroio.,,,, b.3) Si, son untos singulres los untos imroios,,,, c) Si rngo, eiste un rect de untos singulres. En efecto: ) De ser: (,, ).. Tomndo como rámetro en ls dos últims ecuciones: CRLOS SÁNCHEZ CHINE, MRCHEN,

23 LOS INVRINTES METRICOS DE LS CONICS hciendo, se tiene el unto singulr,, b) Se hor rngo y b.) Si es escribimos el sistem en l form:,.,,. hciendo, se tiene el unto singulr,, b.) Si es escribimos el sistem en l form:,.,., hciendo, se tiene el unto singulr,, b.) Si entonces será (or ser rngo ):: en el rimer cso: o bien,.,., en el segundo cso:,.,, resultndo los untos singulres:,, y,, c) Sin rngo, el sistem nterior se reduce un sol ecución: que es un rect de untos singulres. CRLOS SÁNCHEZ CHINE, MRCHEN,

24 LOS INVRINTES METRICOS DE LS CONICS 5.3. Teorem 5.: En un cónic (Q, ) reducible se verific: ) L rect determind `or un unto singulr y un unto de l cónic está contenid en l cónic. b) L rect determind or dos untos singulres es, tod ell, un rect de untos singulres. En efecto: ) Sen un unto singulr, y se q un unto culquier de l cónic. L rect que les contiene es de l form c dq, y verific l ecución de l cónic. t t t t t t ( c dq).. ( c dq ) c.. dcq.. q cdq.. q d q.. q c) Sen y q dos untos singulres y se (,, ) un unto genérico de l cónic. Se tiene: y l rect c dq es singulr. t t t ( c dq).. c dq 5.4. Primer gruo de cónics irregulres: L mtriz reducid de ests cónics, según el teorem.3, es: y, or consiguiente, l ecución reducid qued: los invrintes métricos son:... y de donde, l ecución es, siemre, de l form: y 5.5. Ls cónics irregulres del rimer gruo con el segundo invrinte métrico ositivo: Esto quiere decir CRLOS SÁNCHEZ CHINE, MRCHEN,

25 LOS INVRINTES METRICOS DE LS CONICS y or tnto, que ( ) sign( ) es de l form: > sign, con lo que l ecución reducid de l cónic.. y i y i. que reresent UN PR DE RECTS IMGINRIS NO PRLELS Ls cónics irregulres del rimer gruo con el segundo invrinte métrico negtivo: Esto quiere decir y or tnto, que ( ) sign( ) es de l form: < sign, con lo que l ecución reducid de l cónic.. y y. que reresent UN PR DE RECTS RELES NO PRLELS Teorem 5.3: Un cónic reducible con reresentrá un r de rects erendiculres si. En efecto: ) Si son imginris: i. i b) Si son reles: Segundo gruo de cónics irregulres: CRLOS SÁNCHEZ CHINE, MRCHEN,

26 LOS INVRINTES METRICOS DE LS CONICS L mtriz reducid de ests cónics, según el teorem.4, es de lgun de ls forms:, y, or consiguiente, l ecución reducid quedrí del lgun de ls forms: los invrintes métricos son: Y result: y ; ; o bien y.,. y o bien y serán UN PR DE RECTS IMGINRIS PRLELS si: sign ( ) sign( ), o bien, si sign ( ) sign( ) y serán UN PR DE RECTS RELES PRLELS si: sign( ) sign( ), o bien, si sign( ) sign( ) finlmente, serin UN PR DE RECTS RELES Y COINCIDENTES si 5.9. Teorem 5.4: ) Si ls rects son reles y coincidentes. b) Si > ls rects son imginris rlels no coincidentes. c) Si < ls rects son reles rlels no coincidentes. En efecto: ) Si entonces es b) Si > entonces ( ) sign( ) sign ( ) sign( ) sign, o bien, si c) Si < entonces ( ) sign( ) sign( ) sign( ) sign, o bien, si CRLOS SÁNCHEZ CHINE, MRCHEN,

27 LOS INVRINTES METRICOS DE LS CONICS NEXO CUDRO RESUMEN Pág / CONICS REGULRES PRIMER GRUPO SEGUNDO GRUPO ELIPSE ( >) PRÁBOL HIPÉRBOL ( < ) CRLOS SÁNCHEZ CHINE, MRCHEN,

28 LOS INVRINTES METRICOS DE LS CONICS Pág / CONICS IRREGULRES PRIMER GRUPO SEGUNDO GRUPO [PR DE RECTS IMGINRIS NO PRLELS] ( > ) PR DE RECTS PRLELS PR DE RECTS RELES NO PRLELS ( < ) NOT: Ls imágenes cónics hn sido tomds de l ágin web htt:// CRLOS SÁNCHEZ CHINE, MRCHEN,

29 LOS INVRINTES METRICOS DE LS CONICS NEXO BIBLIOGRFI BELLNS: Elementos de Mtemátics REY PSTOR: Geometrí nlític DONEDDU: Comlements de Geometrie lgebrique PINILL: Progrmción linel, cónics, cuádrics, curvs y suerficies. KEEDY-NELSON: Geometrí GORDON FULLER: Geometrí nlític MRCOS DE LNUZ: Geometrí nlític LEHMNN: Geometrí nlític CSTELNUOVO: Lecciones de geometrí nlític. SEVERI: Elementos de Geometrí. PGINS WEB SOBRE CONICS: htt:// htt://lte.ntic.mec.es/~jescuder/conics.htm htt:// htt://vitlsoft.org.org.m/mj/descrtes/conics_egg.htm htt:// htm htt:// CRLOS SÁNCHEZ CHINE, MRCHEN,

30 LOS INVRINTES METRICOS DE LS CONICS NEXO 3 EJERCICIOS DE PLICCION ) Enuncidos: 3. Escribir l ecución de un cónic de M, cuy mtriz es.. Hllr los untos del infinito de l cónic del ejercicio nterior. 3. Hllr cul h de ser el ángulo de giro del sistem crtesino de referenci r que no rezc el termino en.y en l ecución de l cónic y 4 y 3y 4. Determinr los invrintes métricos de ls cónics de los ejercicios y. 5. ) Determínese lgún rocedimiento de cálculo r el centro de un cónic. b) Determinr ls coordends del centro de l cónic de ecución: 3 5y 4y 6 y 3 6. Dd l cónic y, se ide: ) L mtriz de l cónic. b) L rect olr del unto (3, ). c) Clculr α r que el unto q(α, ) se el conjugdo del unto (3, ). d) Determinr el olo de l rect y. 7. Dd l cónic y y 4 6y 8, se ide: Clculr l rect olr del unto (3, ), el olo de l rect 3y 7, y el centro de l cónic, si eiste. 8. ) Eresr mtemáticmente l relción de conjugción de diámetros de un cónic. b) Hállese l ecución del diámetro conjugdo de y resecto de l cónic y Clculr centro, ejes y vértices de l cónic. Reducir l cónic y 8y 5. Clsificr l cónic f y determinr su ecución reducid f y y 4y 3. Dd l ecución siguiente, clsificr l cónic y obtener su ecución reducid. 3. Clsificr l cónic dd or 3 y y c y 5y 4y 6 y 3 obtener su ecución reducid y reresentr l cónic en un digrm crtesino. CRLOS SÁNCHEZ CHINE, MRCHEN,

31 LOS INVRINTES METRICOS DE LS CONICS 4. Clsificr l cónic: 6 y 7 y 7y 5 Obtener su ecución reducid. Eresión crtesin. 5. Estudir l cónic 5 y 4y 8y 3 6. Estudir l cónic 4 y 4y 7. En un rábol de ecución reducid y se define l directriz de l mism como l rect - /4, y su foco or el unto F(f, ) donde es f /4. Se ide determinr l ecución de un rábol de este tio en los csos siguientes: ) L ecución de l directriz es -. b) Ps or el unto (6, 6) c) Su foco es F(3, ). 8. En un elise rel de ecución reducid y b ε b, y los focos los untos F ( b, ) y F ( b, ) se define l ecentricidd ε or. Hllr l ecución de l elise, referid un sistem ortonorml en que los ejes de l elise coinciden con los ejes de coordends, en cd uno de los csos siguientes: ) ε 3/5 y distnci focl (distnci desde el foco l origen) igul 3. 5 ) ε, ) 7 y l elise s or 3, , 3 ( 3, 7 y q 4 4) L elise s or. 5) Dos vértices son (, ) y (, 6) 9. ) Demuestr que en elise rel y b los vértices son los untos (, ), (-, ), (, b), (, -b). b) Probr que l distnci de culquier de los focos l vértice (, b) es. c) Probr que l sum d d de ls distncis de los focos (f, ) y (f, ) un unto genérico de l elise es. y b. En un circunferenci rel, de ecución reducid, se llm rdio l á y constnte. Probr que todo unto de l circunferenci dist del centro. CRLOS SÁNCHEZ CHINE, MRCHEN,

32 LOS INVRINTES METRICOS DE LS CONICS b) Soluciones: 3. Escribir l ecución de un cónic de M, cuy mtriz es. SOLUC: y 4 4y 3. Hllr los untos del infinito de l cónic del ejercicio nterior. SOLUC: (,, 4 ) y (,, 4 ) 3. Hllr cul h de ser el ángulo de giro del sistem crtesino de referenci r que no rezc el termino en.y en l ecución de l cónic y 4 y 3y ϑ rctg 3 SOLUC: º 4. Determinr los invrintes métricos de ls cónics de los ejercicios y. SOLUC: en l del ejercicio :,, 3 4 en l del ejercicio : 3, 5/ 4, 3 5. ) Determínese lgún rocedimiento de cálculo r el centro de un cónic. b) Determinr ls coordends del centro de l cónic de ecución: SOLUC: 3 5y 4y 6 y 3 c c c n c c ) Por definición de centro (, c, c ): (, m, n) c Y de quí: m ( ) ( )., r todo m, n Y teniendo en cuent que m y n ueden ser números culesquier: c c c c Que es un sistem linel y, r que eist centro, h de ser comtible determindo, o se: (est condición se cumle siemre en ls cónics tio elise o hiérbol) b) en este cso es: or tnto, eiste centro, que es C(43/6, 7/6) Dd l cónic y, se ide:. L mtriz de l cónic. b. L rect olr del unto (3, ). CRLOS SÁNCHEZ CHINE, MRCHEN,

33 LOS INVRINTES METRICOS DE LS CONICS c. Clculr α r que el unto q(α, ) se el conjugdo del unto (3, ). d. Determinr el olo de l rect y. SOLUC: ) b) y 3 - c) α d) olo: (-, -) 7. Dd l cónic y y 4 6y 8, se ide: Clculr l rect olr del unto (3, ), el olo de l rect 3y 7, y el centro de l cónic, si eiste. SOLUC: 3 4 Rect olr: y Polo de 3y 7 : No hy olo Centro de l cónic: no eiste centro. 8. ) Eresr mtemáticmente l relción de conjugción de diámetros de un cónic. b) Hállese l ecución del diámetro conjugdo de y resecto de l cónic y 5. SOLUC: ) y y m n m n diámetros conj (,, m) efectundo el roducto mtricil: m m) mm b) y ( m 9. Clculr centro, ejes y vértices de l cónic SOLUC: 6 4 Centro: (-3, ) Ejes: y, -3 Vértices: ( 3 4, i 3 ), ( 3 4, i 3), ( 3 4, i 3), ( 3 4, i 3). Reducir l cónic SOLUC: 4 y Ecución reducid: 6 4y 8y 5 CRLOS SÁNCHEZ CHINE, MRCHEN,

34 LOS INVRINTES METRICOS DE LS CONICS. Clsificr l cónic f y determinr su ecución reducid f y y 4y 3 SOLUC: Clsificción: Es un cónic reducible ( ), del rimer gruo ( ), y or ser < se trt de un r de rects reles no rlels. Ec. reducid: 5 5 y., y Dd l ecución siguiente, clsificr l cónic y obtener su ecución reducid. SOLUC: y y y Clsificción: Es un cónic irreducible ( ), del segundo gruo ( ), or tnto, se trt de un rábol. Ec. reducid: y ± 3 3. Clsificr l cónic dd or 3 5y 4y 6 y 3 obtener su ecución reducid y reresentr l cónic en un digrm crtesino. SOLUC: Clsificción: Es un cónic irreducible ( ), del rimer gruo ( ), elise ( ) y elise rel (sign ) sign( ). Ec. reducid: y (, b ) 3 4. Clsificr l cónic: 6 y 7 y 7y 5 Obtener su ecución reducid. Eresión crtesin. SOLUC: CRLOS SÁNCHEZ CHINE, MRCHEN,

35 LOS INVRINTES METRICOS DE LS CONICS Clsificción: Es un cónic reducible ( ), del rimer gruo ( ), dos rects no rlels reles ( < ) Ec. reducid: 7 y ± Estudir l cónic 5 y 4y 8y 3 SOLUC: Invrintes métricos:,, 9 Clsific: conic reducible y r de rects dj -4, dj -5-9 < r de rects rlels reles no coincidentes. 6. Estudir l cónic 4 y 4y SOLUC: Invrintes métricos:,, 5 Clsific: conic reducible y r de rects dj, dj 4 5 > r de rects rlels imginris no coincidentes. 7. En un rábol de ecución reducid y se define l directriz de l mism como l rect - /4, y su foco or el unto F(f, ) donde es f /4. Se ide determinr l ecución de un rábol de este tio en los csos siguientes: ) L ecución de l directriz es -. b) Ps or el unto (6, 6) c) Su foco es F(3, ). SOLUC: ) y 8 b) y 6 c) y 8. En un elise rel de ecución reducid SOLUC: y b ε b, y los focos los untos F ( b, ) y F ( b, ) se define l ecentricidd ε or. Hllr l ecución de l elise, referid un sistem ortonorml en que los ejes de l elise coinciden con los ejes de coordends, en cd uno de los csos siguientes: ) ε 3/5 y distnci focl (distnci desde el foco l origen) igul 3. 5 ) ε, ) 7 y l elise s or 3, , 3 ( 3, 7 y q 4 4) L elise s or. 5) Dos vértices son (, ) y (, 6) CRLOS SÁNCHEZ CHINE, MRCHEN,

36 LOS INVRINTES METRICOS DE LS CONICS CRLOS SÁNCHEZ CHINE, MRCHEN, ) 4 5 y b) 3 y c) 5 7 y d) 3 4 y e) 6 y oo------