Lím. = Lím. 1 e. x 1. x 0

Transcripción

1 UNIVERSIDDES PÚLICS DE L COMUNIDD DE MDRID PRUE DE CCESO LS ENSEÑNZS UNIVERSITRIS OICILES DE GRDO MODELO Cuso / MTERI: MTEMTICS II El lumno consá los cuo jcicios d un d ls dos opcions ( o ) qu s l ofcn. Nunc dbá cons unos jcicios d un opción oos jcicios d l o opción. En culqui cso, l clificción s há sob lo spondido un d ls dos opcions. No s pmi l uso d clculdos gáfics. Tods ls spuss dbán s dbidmn jusificds. Clificción ol máim: punos. Timpo: Ho mdi. OPCIÓN Ejcicio. Clificción máim: punos. Dd l función si < f si ; si > s pid: ) ( puno) Dmin l vlo d p qu f s coninu n. b) ( puno) P s vlo d, sudi l divbilidd d f n. c) ( puno) Hll, si ls in, ls sínos d l gáfic f().. P qu l función s coninu n, s db cumpli: Lím f f P qu is lími d un función n un puno, dbn isi los límis lls s iguls, po lo qu l dfinición d coninuidd s pud scibi d l siguin fom: Lím f Lím f f S clcul cd émino d l iguldd po spdo coninución s igul. Lím f Lím Lím f Lím Igulndo: f f f b. P qu l función s divbl n db isi l Lím, p qu is l lími, dbán isi los lls s iguls. f f ( ) Lím Lím Lím Lím Lím ( ) Lím f f Lím * L H Lím Lím ( ) ( ) ( ) Lím * Si l indminción s plic dicmn l om d L Hopil, l cocin no solo no s simplific sino qu umn l gdo dl dnomindo, po llo s nos db ocui cmbi l indminción.

2 f Lím L función no s divbl n f f f f f Lím / Lím c. L función no in sínos vicls dbido qu l dominio d l función s odo R. sínos Hoionls. Lím f L R ± Lím f Hci l función no in síno hoionl. Lím Lím Lím Lím f Lím Hci l función in un síno hoionl n. síno Oblicu. Puso qu hci l función no in síno hoionl h qu pob si in síno oblicu. f m Lim Lím Lím Lím m n : ( ) m Lim f Lim Lim Lím Hci h un síno oblicu n. Ejcicio. Clificción máim: punos Ddo l sism ( m ) ( m m ) ( m ) S pid: ) ( punos) Discuilo sgún los vlos dl pámo m. b) ( puno) Rsolvlo p m.. El sism vin dfinido po ls mics d coficins () l mplid (*). m m m m ( m ) * m m m * g g * ; n Si l g g * n, sism compibl dmindo. S discu l ipo d solución dl sism p los vlos dl pámo m qu nuln l dminn d. m m m m m m m m 6 m ( m ) [ ( m m )] m Discusión. i. Si m. g g * n Sism compibl dmindo. ii. Si m. g < g. El ngo d l mi 6 mplid s sudi pi dl mno d odn dos disino d co. D sus dos mnos oldos,

3 uno s l dminn d l mi d coficins po no solo qud o sudi l mno fomdo po ls dos pim columns l cu column. g *. g g * Sism incompibl b. Méodo d Cm: Sism compibl dmindo. S pud solv po culqui méodo. ; ; m m ; ; Solución (,, ) Ejcicio : Clificción máim: punos. ) ( puno) Hll l puno d co n l plno 6 l c qu ps po l π puno P(,, ) s ppndicul l plno π. b) ( puno) Hll l puno común los s plnos π ; π ; π siguins: π 7 ; π ; 7 π l plno dfinido po ls cs ;. L c s, po s ppndicul l plno π, in como vco d dicción l vco noml l plno π v n,,, ps po l puno (,, ). ( ) Como qumos clcul l inscción d π, s convnin ps l c n pméics. s El puno (P), inscción n l c l plno s clcul solvindo l sism qu fomn l cución gnl dl plno ls cucions pméics d l c. El sism s sulv po susiución. s P : π 6 Susiundo ls cucions pméics d l c n l plno, s clcul l pámo qu susiuido n ls cucions d l c nos pmin clcul ls coodnds d P. 6 ; 6 6 ; p P : P(,,) b. P qu dos cs dfinn un plno, isn dos posibilidds, qu ls cs sn plls o qu sn scns. Tnindo n cun qu los vcos d dicción d no son popocionls ( u(,, ) u(,, )),

4 ls cs dbn s scns si dfinn un plno (*), po lo no l plno s obin con los vcos d dicción d mbs cs un puno culqui d lgun d ls cs. (,, 7) 7 π : u(,, ) π u(,, ) Dsollndo l dminn po los lmno d l pim fil, opndo odnndo s obin l cución gnl d π. π ( ) ( 7) ; π El puno Q d inscción d los s plnos s obin solvindo l sism qu fomn ls cucions d los s plnos. 7 Q : Po l méodo d Cm: 7 Ejcicio : Clificción máim: punos. Ddos l plno π l c ; ; Q(,, ) 6 s pid: ) ( puno) Dmin l posición liv n l plno π l c. b) ( puno) Dmin l plno qu conng ps po P(,, ).. P sudi l posición liv d un c un plno s mpi po sudi si l vco d dicción d l c l noml dl plno son ppndiculs. vo n ( 6,, ) o (,,) 6 El vco noml dl plno ( n ), no s ppndicul l vco d dicción d l c ( v ), l c co l plno. b. El plno dmindo po un c un puno io s obin con l vco d dicción d l c, un vco fomdo po un puno culqui d l c l puno io l puno io. Q(,, ) : 6 v ( 6,, ) P(,, ) π : v ( 6,, ) ; π 6 QP,,,, ( ) Dsollndo l dminn odnndo s obin l cución gnl dl plno π 7

5 OPCIÓN Ejcicio. Clificción máim: punos. ) ( puno) Hll, si is, l puno d co d ls cs ; b) ( puno) Dmin l vlo d p qu los plnos π π π π ngn un único puno n común. c) ( puno) Hll l c pll los plnos π 6 π 6 qu ps po l puno P(,, ).. Pimo s sudi l posición liv d ls cs.,, v,,,, u,, Un fom ápid d dmin l posición liv d dos cs s dmin l ngo d l mi fomd po los vcos v, u. g g u v g u v g Ls cs s cun po no s con. No inn ningún puno común. b. P qu cuo plno ngn un único puno común, l sism fomdo po ls cuo cucions db s compibl dmindo n g * g : g * P qu l mi mplid ng ngo cuo, l dminn d l mi db s nulo * 9 6

6 c. P qu l c s pll los plnos π π 6, l vco d dicción d l c db s ppndicul los vcos nomls d mbos plnos, po lo no l vco d dicción d l c buscd ( ω ), s obin mdin l poduco vcoil d los vcos nomls. ω n n6 (,, ) ( 6,, ),, (,, ) (,, ) 6 6 L s buscd s, s obin con l vco ω (,, ) s : P(,, ) ω l puno P. s Ejcicio. Clificción máim: punos ) (' punos) Rpsn gáficmn l cino limido po l gáfic d l función f() ln l j OX n ls bsciss /,. b) (' punos) Clcul l á d dicho cino. c) (' punos) Clcul l volumn dl sólido d volución obnido l gi dicho cino lddo dl j OX.. f() Ln s un función lmnl cuo dominio s (, ), su imgn o coido s odo R, co l j OX n l puno (, ) in un síno vicl cundo hci. / son cs vicls qu con l j OX n los punos (/, ) (, ) spcivmn. b. P clcul l á h qu n n cun qu p dl cino s siudo po dbjo dl j OX p po ncim. Ln d Ln d L pimiiv d l función s obin po l méodo d ps. u Ln du d Ln d Ln d Ln d Ln C dv d v ( Ln ] ( Ln ] ( Ln) ( Ln ) ( Ln ) ( Ln ) * ( ) ( ) ( ) ( ) * Ln( ) Ln u c. El volumn d un sólido d volución gndo l hc gi n ono l j OX l gión dl plno limid po l gáfic d un gión coninu f () n /, vin ddo po: [ ] [ ] V OX π f () d π Ln d π Ln d L pimiiv d l función s obin po l méodo d ps. u Ln du Ln d Ln d Ln Ln dv d v Ln Ln d Ln V OX ** π Ln d π d ( Ln ) C Ln Ln C ( Ln Ln ] 6

7 7 π Ln Ln Ln Ln π π u ** Usndo l pdo : C Ln Lnd Ejcicio. Clificción máim punos ) ( puno) Dd l mi l mi X obn ls lcions qu dbn cumpli,,, p qu l mi X vifiqu X X. b) (, punos) D un jmplo d l mi X disin d l mi nul d l mi idnidd qu cumpl l iguldd nio. c) (, punos) Clcul l invs d l mi.. Igulndo émino émino:. :.:. :.: E E E E Sism compibl indmindo. Gdo d indminción nº incógnis nº cucions El sism s sulv usndo dos pámos. R, X b., X c. Si X s l invs d, s db cumpli: I X Igulndo: : Ejcicio. Clificción máim punos D ls mics cudds s sb qu: ) ( puno) Clcul l mi b) ( puno) Clcul ls mics. Susiundo po su vlo s pud dspj

8 ; dj ; dj dj ; b. Conocids ls mics, s pln un sism qu pmi clcul ls mics. Sumndo ls cucions s clcul l mi Rsndo ls cucions s clcul l mi.