Tema 8. Funciones vectoriales de variable real.

Transcripción

1 Tem 8. Funciones vecoiles de vile el. 8.1 Cuvs ecuciones pméics. Cálculo en pméics. 8. Funciones vecoiles: límie, coninuidd, deivción e inegción. 8.3 Cuvs en coodends poles. Aneo: cónics. E. U. Poliécnic de Sevill. Fundmenos Memáicos de l Ingenieí. Elecicidd, Elecónic Mecánic. Cuso

2 8.1 Cuvs en el plno ecuciones pméics. Definición Si ( ) e ( ) son funciones coninus de en un inevlo I, el conjuno de pes (, ), con = ( ), = ( ) se denomin cuv pln C. L vile = () se llm pámeo ls ecuciones, se denominn ecuciones = () pméics de C. Diemos que C es un cuv suve si ( ) e ( ) son coninus no se nuln simulánemene, ecepo quizás en los eemos de I. Teoem (deivd) Si C es un cuv suve dd po ls ecuciones = ( ), = ( ), enonces l pendiene de C en (, ) es: d '( ) =, siendo '( ) 0. d '( ) Teoem (longiud de co) Si C es un cuv suve dd po ls ecuciones = ( ), = ( ) que no se co sí mism en [, ] (ecepo quizás en los punos eminles), 1 l longiud de C en ese inevlo viene dd po: Teoem (áe) Si C es un cuv suve dd po ls ecuciones = ( ), = ( ) p,, siendo un función de coninu monóon en [, ], 1 = ( ) = ( ) el áe jo l cuv C viene dd po: 1 ( '( )) ( '( )) s = + d 1 A = d = () '() d 1

3 Cuvs en pméics = sen cicloide = 1 = cos [ 4 π,4 π ] [ π, π ] 3 = 3 = sen 3 soide 3 = cos [0, π ] = π sen =-π cos cicloide pol [ π, π ] involu de un cículo = 5 cos cos5 epicicloide = 5 sen sen 5 [0, π ] = cos + sen = sen cos [0,6 π ]

4 8. Funciones vecoiles: límie, coninuidd, deivción e inegción. Podemos epesen un cuv en el plno o en el espcio po medio de un función vecoil. () = f() i+ g () j iene po gáfic un cuv pln C de ecuciones pméics : = f() = g() () = f() i+ g () j+ hk () iene po gáfic un cuv en el espcio C de = f() de ecuciones pméics : = g() z = h () Popieddes: 1.- lim ( ) = lim f( ) i+ lim g ( ) j+ lim h ( ) k.- es coninu en = si lim ( ) = ( ). es coninu en un inevlo I si es coninu en odos los punos de I. 3.-L cuv C epesend po se dice que es suve en un inevlo I si f ', g' h'son coninus en I '( ) 0 p odo I. 4.- Si f, g h son deivles enonces '( ) = f '( ) i+ g'( ) j+ h'( ) k 5.- Si f, g h son funciones coninus de en [, ] enonces ( ) d = f ( ) d) i + g( ) d j + h( ) d k () d = f () d i + g() d j + h() d k

5 Popieddes de l deivción: d 1.- ( c ( )) = c '( ) d d.- ( ( ) ± u ( )) = '( ) ± u '( ) d d 3.- ( f ( ) u ( )) = f '( ) u ( ) + f ( ) u '( ) d 4.- d ( ( ) u ( )) = '( ) u ( ) + ( ) u '( ) d 5.- d ( ( ) u ( )) = '( ) u ( ) + ( ) u '( ) d d 6.- ( f ()) = '( f ()) f '() d u 7.- Si () () = c, enonces () '() = 0 Velocidd celeción: Si, z, son funciones de deivles dos veces ( ) = i ( ) + ( ) j+ zk ( ) los vecoes velocidd celeción son: v ( ) = '( ) = '( i ) + '( ) j+ z'( k ), ( ) = ''( ) = ''( i ) + ''( ) j+ z''( k ) Teoem Si C es un cuv suve dd po () = i () + () j + zk () en el inevlo [,,] l longiud de co de C en ese inevlo es ( '()) ( '()) ( '()) '() s = + + z d = d

6 Vecoes ngene noml Se C un cuv suve dd po () en un inevlo I, los vecoes uniios ngene noml son: u u () uu T'() T () =, N () = u. '( ) T '( ) Pámeo longiud de co Si C es un cuv suve dd po () = i () + () j + zk () en el inevlo [,,] l función longiud de co viene dd po: s ( ) = ( '( τ )) + ( '( τ) ) + ( z'( τ)) dτ = '( τ) dτ ds() d = '( ) (consecuenci del Teoem fundmenl del Cálculo) Cuvu K = K = u T '( ) '( ) u dt ds (, pámeo iio) (s, pámeo longiud de co) Rdio de cuvu 1 R = K No: el veco celeción viene ddo po: d s u ds uu ( ) T K N = + d d = T u celeción ngencil n = uu N celeción noml

7 8.3 Cuvs en coodends poles. eje (, ) = sen θ = cosθ (, θ ) oigen polo θ eje pol eje + = gθ = No: Todo puno disino del polo iene dos epesenciones pinciples (, θ ) 0 0 θ < π (, θ + π ) 0 0 θ + π < π Simeís de l gáfic de =f(θ) eje eje el oigen =f(θ) no cmi si (,θ) se susiue po: (, θ ) (, π θ ) (, π + θ ) Teoem (deivd) Si f es un función deivle de θ, enonces l pendiene de l ngene l gáfic de =f(θ) en el puno (,θ) es d d / dθ d = f( θ )cosθ =, supueso que 0, siendo, d d / dθ dθ = f( θ )sen θ No: Si d = 0, d 0 ngene hoizonl; si d 0 d = 0 ngene veicl. dθ dθ dθ dθ

8 Cuvs en poles Espil = θ = 3cos θ θ [ 0, π ] Ccoles: = ± cos θ = ± sen θ Cdioides: = (1 ± cos θ ) (ccoles con =) = (1 ± sen θ ) = 1 +sen θ θ [ 0, π ] = 1+ cos θ θ 0, π [ ] Ross: = cos nθ o = sen nθ n imp, os de n pélos n p, os de n pélos = sen 3 θ = cos θ θ [ 0, π ] θ [ 0, π ] Lemniscs: = cos θ o = sen θ = 9 sen θ θ π π [ 0, ] U [ π, 3 ]

9 Teoem (áe) Si f es coninu no negiv en el inevlo [α,β], el áe de l egión limid po l gáfic de =f(θ) desde θ = α hs θ = β es Demosción: θ = β 1 A = β d α θ Se conside un pición del inevlo [α,β] θ 4 α = θ0 < θ1 < < θn 1 < θn = β =f(θ) θ 3 θ θ 1 θ = α n 1 A= lim ( f( θi )) θ 0 ( n ) i = 1 1 = β α ( f( θ) ) dθ Teoem (longiud de co) Si f es un función cu deivd es coninu en el inevlo [α,β], l longiud de l gáfic de =f(θ) desde θ = α hs θ = β es β s = [ f( )] + [ f '( )] d α θ θ θ

10 Aneo: Cónics Páol: Conjuno de odos los punos del plno que equidisn de un puno fijo llmdo foco de un ec fij llmd dieciz. = 4 p Disnci de (, ) (0, p) = Disnci de (, ) dieciz foco (0, p) ( 0) + ( ) = + p p + p + p = + p + p = 4 p dieciz = p Páol de véice (0,0) foco dieciz Eje veicl: = 4p (0, p) = -p Eje hoizonl: = 4p (p, 0) = -p Páols de véice (h,k) foco dieciz Eje veicl: (-h) = 4p(-k) (h, k+p) = k-p Eje hoizonl: (-k) = 4p(-h) (h+p,k) = h-p Popiedd efleco L ngene un páol en un puno P fom ángulos igules con: 1.- L ec que ps po P el foco..- L ec que ps po P es plel l eje de l páol. α foco α P

11 Elipse: Conjuno de odos los punos del plno cu sum de disncis dos punos fijos, llmdos focos, es consne P F1 F c F1 F d( P, F) + d( P, F ) = ( + c) + + ( c) + = 1 = c P (, ) Focos: F1 ( c,0), F ( c,0) + 1 = + 1 c = Elipse de ceno (0,0) focos véices eje mo + = 1 ( c,0),( c,0) + 1 = (0, c),(0, c) (,0),(,0) (0, ),(0, ) ecenicidd: c e = hoizonl veicl Elipse de ceno (h,k) focos véices eje mo ( h) ( k) + = 1 ( h± c, k) ( h±, k) hoizonl ( h) ( k) + = 1 ( hk, ± c) ( hk, ± ) veicl Popiedd efleco L ngene un elipse en un puno P fom ángulos igules con ls ecs que unen P con los dos focos. P F1 F

12 Hipéol: Conjuno de odos los punos del plno cu difeenci de disncis dos punos fijos, llmdos focos, es consne c P (, ) Focos: F1 ( c,0), F ( c,0) d( P, F) d( P, F ) = 1 = c ( + ) + ( ) + = c c = 1 c = 1 Hipéol de ceno (0,0) focos véices eje nsvesl = 1 ( ± c,0) ( ±,0) hoizonl = (0, ± c) (0, ±) veicl 1 ecenicidd: e = c Hipéol de ceno (h,k) focos véices eje nsvesl ( h) ( k) = 1 ( h ± c, k) ( h ±, k) hoizonl ( k) ( h) = 1 ( hk, ± c) ( hk, ± ) veicl Asínos eje nsvesl = k+ ( h) = k ( h) hoizonl = k+ ( h) = k ( h) veicl No: clsificción de l cónics: A B C D E F = 0 ) Elipse o cículo: B 4AC < 0 ) Páol: B 4AC = 0 c) Hipéol: B 4AC > 0

13 Cónics en poles Un cónic es el lug geoméico de los punos del plno cu disnci un puno fijo (foco) gud un elción consne e con su disnci un ec fij (dieciz). Si considemos que uno de los focos esá siudo en el polo, su ecución es: ed ed = o = 1± ecosθ 1 ± e sen θ 1) 0 < e <1, elipse. ) e = 1, páol. 3) e > 1, hipéol donde e es l ecenicidd d es disnci del polo l dieciz. = 1 + sen θ 1.8 = cos θ 3 = 1 + cosθ 3