, al conjunto de puntos P
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- Marcos Ortiz Castilla
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1 Págin dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L intgrl tor: r. José Mnl crr Espinos L INTEGRL UNI IV IV. SUM E RIEMNN S n intrvlo crrdo [, ], l conjnto d pntos P n { o,,,, n } intrvlo s l conoc como prtición dl intrvlo [, ]. contnidos n dicho Esto implic q:, < dond i,,,, n n, i i cd sintrvlo s l conoc como cld. l distnci ntr los pntos trmos d cd cld s l conoc como mplitd d l cld. L mplitd d l primr cld s: L mplitd d l sgnd cld s: L mplitd d l trcr cld s: Gráficmnt: o 7 9 n omo s pd dvrtir, l mplitd d ls clds vin ddo por l difrnci d ss vlors finls inicils. Por lo tnto, n gnrl, l mplitd d cd cld vin dd por: i l mor mplitd d ls clds d n prtición s l dnomin norm d l prtición s l dnot por. Ejmplo. do l intrvlo [,], fctr dos prticions difrnts d sis clds n cd cso dtrminr cál s s norm. Solción. ) Si s hc n prtición d igl mplitd: i i
2 Págin dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L intgrl tor: r. José Mnl crr Espinos s norm s ) S hc n prtición d l mnr q s indic: l norm d st prtición s. S n fnción f dfinid limitd n n conjnto. onsidérs n prtición n dicho conjnto q contng n sintrvlos. Si s scog n pnto ξ n cd sintrvlo d l prtición d form tl q: [ ] [ ] [ ],,, ξ ξ o in: ξ o in: ξ ξ o in: ξ n gnrl: ξ i [ i, i ] o in: i ξi i Si s form l sm d prodctos dl vlor d f n cd pnto ξ por l mplitd d l cld rspctiv, s tndrá: f f ( ξ ) f ( ξ ) f ( ξ ) f ( ξ ) f ( ξ ) ξ q n form concntrd s pd rprsntr como: n i prsión q s conoc como Sm d Rimnn. f ( ξ ) i i i i n n
3 Págin dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L intgrl tor: r. José Mnl crr Espinos Est prsión clcl l sm d cd n d ls ss (ls clds, son ls f ( ξ ) formdos. ) por s rspctiv ltr (q ) d n fnción, dd n prtición. Esto dtrmin l sm d ls árs d los rctánglos Ejmplo. d l fnción con., otnr l sm d Rimnn pr l fnción dd l prtición:.,,.,.9,.,.,.9, 7 Solción: Los pntos lgidos d cd cld son: ξ., ξ., ξ., ξ, ξ., ξ.7, ξ7.9 Grficndo s tin: L sm d Rimnn s: 7 i f ( ξ ) f ( ξ ) f ( ξ ) f ( ξ ) f ( ξ ) f ( ξ ) f ( ξ ) f ( ξ ) i i i 7 7 (.)(.) f (.)(.) f (.)(.9.) f (..9) f (.)(.. ) (.7)(.9.) f (.9)(.9).(.).(.).7(.) (.).7(.).7(.) 7.9(.) f f.. En l cso sigint: 7 i f ( ξ ). 9 i i
4 Págin dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L intgrl tor: r. José Mnl crr Espinos ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ 7 ξ ξ 9 ξ 7 9 s prci q lgns d ls árs son ngtivs, por lo tnto, l intrprtción gométric d l sm d Rimnn s: i f ( ξ i ) i 7 9 psto q ( ξ ), f ( ξ ), f ( ξ ), f ( ξ ), f ( ξ ) f ( ξ ) f son númros ngtivos. 9, IV. INTEGRL EFINI Si f s n fnción dfinid n l intrvlo crrdo [ ] dfin como: f s llm intgrndo. d f n f lim ξ i i (si l límit ist) i,, ntoncs l intgrl dfinid d f d s son los trmos o límits d intgrción ( s l trmo infrior s l trmo sprior) s llm signo d intgrción. Si implic q n, por lo tnto: d lim f ( ξ ) f n i n i i
5 Págin dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L intgrl tor: r. José Mnl crr Espinos IV. INTERPRETIÓN GEOMÉTRI E L INTEGRL EFINI L sm d Rimnn f n i ξ rprsnt l sm d los n rctánglos. Si l norm d l prtición i i tind cro implic q l númro d clds s incrmnt, s dcir q cd vz s tinn más más rctánglos q s proimn l ár rl jo l crv. Por lo tnto, por dfinición: l intgrl dfinid s l ár jo l crv n ss límits. n f(ξ ) f(ξ ) f(ξ ) f() f(ξ ) f(ξ ) ξ ξ ξ ξ ξ X n f(ξ ) f() f(ξ ) f(ξ ) ξ ξ ξ
6 Págin dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L intgrl tor: r. José Mnl crr Espinos f(ξ 9 ) n f(ξ 7 ) f(ξ ) f() ξ 9 ξ 7 ξ Ls figrs ntriors mstrn como l sm d rctánglos s proim l ár rl jo l crv si n. Ejmplo. Otnr d n form proimd tilizndo n prtición d ocho clds. Solción. Efctndo l prtición:,.,.,.7,,.,, 7., los pntos lgidos d cd cld son: ξ., ξ., ξ., ξ., ξ., ξ., ξ7., ξ.7 (.)[. ] f (.)[..] f (.)[.7.] f (.)[.7] f (.)[. ] d f (.)[.] f (.)[. ] f (.7)[.]. (. ). 9(. ). (. ). (. ). 7(. ) 7. (. ). (. ). (. ) f d. grficndo s tin:.
7 Págin dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L intgrl tor: r. José Mnl crr Espinos. IV. PROPIEES E L INTEGRL EFINI Si f g son dos fncions contins n l intrvlo d intgrción [ ] clqir: d ) f ) f d f d ) k f d k f d ) [ f ± g ] d f d g ± c ) d f d f c f d cndo < c < d, k n constnt IV. INTEGRL INEFINI O NTIERIV Un fnción F srá ntidrivd, o primitiv, d otr fnción f n n intrvlo [, ] si F ' f pr todo vlor d n l intrvlo. Esto s, si F' f f d F 7
8 Págin dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L intgrl tor: r. José Mnl crr Espinos Ejmplo. S f. Eso implic: f ' L ntidrivd d st fnción s l fnción originl f. Esto signific q: ( ) d L fnción f tin n ntidrivd prticlr [, ] q s F. L ntidrivd gnrl d f s: F dond s n constnt. Ejmplo. S f 9 7 f ' 7 ( 7) d 9 7 IV. FÓRMULS FUNMENTLES E INTEGRIÓN Si, v, w trs fncions d n constnt clqir. Ls 7 fórmls fndmntls d intgrción son: ) d d d ± v d ± ) d d ) ( v ± w) ± w d ) n n d n ) sn d cos ) cos d sn 7) tn d ln sc ) cot d ln sn ( n ) 9) sc d ln sc tn ) csc d ln csc cot ) sc d tn ) csc d cot ) sc tn d sc ) csc cot d csc ) d
9 Págin dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L intgrl tor: r. José Mnl crr Espinos d ) ln 7) d ( >, ) ln d ) sn d 9) tn d ) sc d ) ln d ) ln d ) ln ( ) d ) ln ) d sn ) d ln( ) 7) d ln IV.7 INTEGRLES IRETS E INTEGRLES QUE REQUIEREN MIO E VRILE Un intgrl dirct s qll q s dpt ctmnt l intgrndo con n d ls fórmls fndmntls. Sin mrgo, l grn morí no son dircts, por tnto, nts d intgrr s d compltr l difrncil d pr dptrl n fórml, lo q olig hcr intrvnir n constnt q mltipliq divid l intgrl. En sgid, s tr d l intgrl l constnt q no hg flt pr compltr l difrncil d tl como lo indic l fórml númro. Ejmplos. lclr ls sigints intgrls inmdits: ) d ) d ) d 9
10 Págin dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L intgrl tor: r. José Mnl crr Espinos ) d ) d 7 7 ) d d 7) d d ) d d 7 7 9) d d d ) d d d ) d d ) d d d d Ejmplos. lclr ls sigints intgrls fctndo cmio d vril: ) d d d
11 Págin dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L intgrl tor: r. José Mnl crr Espinos ( ) d ) 7 ( ) d d d 7 d 7 ) ( ) ( ) d d d d ( ) d 9 ) d 7 d 7 d d ( 7) 7) d d ( ) d d ) d d [ ( )] d ( ) d d d ( ) d 9) sn d d d sn d cos cos ) cos d d d d d
12 Págin dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L intgrl tor: r. José Mnl crr Espinos cos d sn sn ) tn d d d tn d ln sc ln sc ) cot d d d cot d ln sn ln sn ) sc d d d sc d ln sc tn ln sc tn ) 7 csc d d d csc d ln csc cot ln csc cot ) sc d d d sc d tn tn ) sc 7 tn 7 d 7 d d sc tn d sc sc 7 7) 7 w cscw cot dw w d w dw csc cot d csc cscw 7 ) k csc k dk 7 k d k dk 7 csc d cot cot k 9) d
13 Págin dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L intgrl tor: r. José Mnl crr Espinos d d d sn ) cos d 9 sn d cos d d 9( ) ) d 9 d d d 9 sn ) d d d d ln ln sn ) d cos cos d sn d d ln ln cos ( ) ( ) ) d ( ) ( ) d ( ) ( ) d d ln ln ( ) ) d d d d ln ln ) 9 7 d 9 7 d 9 d d ln 9 ln 9
14 Págin dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L intgrl tor: r. José Mnl crr Espinos 7) d ; d d d sn sn ) 9 d ; d d 9 d 9 9 tn tn 9) d 9; d d d sc sc ) d 9 ; 9 7 d d 7 ln ln ( ) 7 ; d ) d d ln ln 9 ) d 9 ( ) ( ) 9 7; d 9 d ln ln 7 ( 7) 7 7 ) d ; d d d ln ln d d d
15 Págin dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L intgrl tor: r. José Mnl crr Espinos cos ) d sn ; sn sn d cos d d ln ln sn sn ) d ; d d sn sn ) d ; d d ln ln 7) d ; d d ( ) ln ln IV. TEOREM FUNMENTL EL ÁLULO. REGL E RROW Si f s contin n l intrvlo [, ] si ntoncs, l torm fndmntl dl cálclo stlc q: g cmpl q dg d f [, ] f d g g Eprsión conocid como Rgl d rrow. Ejmplos. L dmostrción d los torms pstos n los Stms VI. VI. pdn consltrs n l cpítlo 7 dl liro álclo con Gomtrí nlític d Prottr Morr inclido n l iliogrfí.
16 Págin dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L intgrl tor: r. José Mnl crr Espinos lclr ls sigints intgrls: 7 ). d ) ( 7 ) π d ( ) ( ) ( ) ( ) π π ) cos d sn sn sn π ) sn cos d on cmio l vril: cos d sn d π cos s cmin los límits d intgrción: ; cos d omprondo (sin cmio d vril): π cos L intgrl indfinid d l fnción contin f, formlmnt s dfin como: F d Ejmplo. S F F df d d ( ) d ( ) ( ) f F Esto signific q l intgrl indfinid, s n intgrl dfinid con trmo sprior vril.
17 Págin dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L intgrl tor: r. José Mnl crr Espinos Gráficmnt: f F d F() Finlmnt, prtir d lo ntrior, s tin q: d d F d F d F d F d d d df pro por dfinición d difrncil: df Fd F df El torm fndmntl dl cálclo stlc q l difrncición l intgrción son oprcions invrss. Los símolos d son oprdors invrsos. IV.9 TEOREM EL VLOR MEIO EL ÁLULO INTEGRL Si f s contin n l intrvlo [ ] máimo solto q ocrr n ist n númro [, ] M tl q:. Es dcir:, ; m s l mínimo solto q ocrr n m ; M s l ( m ) m m ( M ) M M f M [ ] f f m, 7
18 Págin dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L intgrl tor: r. José Mnl crr Espinos d f ( )( ) m f ( ) M f, s intrprt q, n tod fnción contin, l ár jo l crv L igldd f d f ( )( ) simpr podrá sr igl l ár d n rctánglo q tng como s l mplitd dl intrvlo d dfinición d l fnción como ltr l vlor d l fnción n lgún pnto dl intrvlo. Gráficmnt sto s: f d ( )( ) f s ltr f( ) Ejmplo. Otnr d l fnción n l intrvlo. Solción. d 7 plicndo l torm dl vlor mdio dl cálclo intgrl: 7 7 f ( )( ) f ( ) 7 7 dspjndo d l fnción:. 7. IV. INTEGRIÓN POR PRTES Sn dos fncions v drivls d, considrndo l rgl pr otnr l difrncil d n prodcto: d ( v) dv v d
19 Págin dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L intgrl tor: r. José Mnl crr Espinos dv d dv ( v) v d d( v) v d dv v v d El intgrndo s spr n dos prts. Un d lls s igl l otr dv (por so s llm método d intgrción por prts). S dn considrr dos spctos: ) L prt q s igl dv d sr fácilmnt intgrl. ) v d no d sr más complicd q dv Ejmplos. lclr ls sigints intgrls plicndo l método d intgrción por prts: ) d d, dv d v d ) sn d d d d, dv sn d v cos ( cos ) d cos cos d sn cos sn d cos ) d d d, dv d ( ) d v ( ) d d ( ) ( ) ) sn d sn d sn sn d sn d cos d, dv sn d 9 v cos ( cos ) ( cos )( cos ) d sn cos sn sn d sn pro s s q: sn cos cos sn ( sn ) d sn cos d sn cos sn d pro l últim intgrl s igl q l scd, pro con signo contrrio, por lo tnto: sn cos sn d sn cos sn d ) d d d, dv d v cos d
20 Págin dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L intgrl tor: r. José Mnl crr Espinos d d d d, d d d dv d d v, dv d d d d v d int grl por prts d int grl por prts IV. INTEGRLES TRIGONOMÉTRIS Ls idntidds más sds n l rsolción d intgrls trigonométrics son: ) cos sn ) sc tn ) cos cos sn cos sn sn ) sn ( cos ) ) csc cot ) cos ( cos ) ) sn cos ( sn ) 7) sn cos 9) [ ] cos cos cos cos ) sn sn [ cos( ) cos( ) ] ) [ ] Ejmplos. lclr ls sigints intgrls tilizndo idntidds trigonométrics: ) sn d sn d cos d sn
21 Págin dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L intgrl tor: r. José Mnl crr Espinos ) cos d d d cos cos sn ) cos d cos d ( cos ) cos d ( sn ) cos d ( sn sn ) cos d cos d sn cos d sn d cos cos sn d d sn sn sn sn ) sn cos d sn cos ( sn ) cos d ( sn sn ) d d sn cos sn cos d sn cos d sn sn ) d sc d sc sc d ( tn ) sc sc d sc d tn sc d tn tn ) sn cos d sn cos d [ sn ( ) sn ( ) ] d sn ( ) d sn d ( cos ( )) ( cos ) cos ( ) cos 7) sn sn d sn sn d [ cos ( ) cos( ) ] d cos d cosd sn ( sn ) sn sn ) cos cos d cos cos d [ cos ( ) cos( ) ] d cos d cosd sn sn sn sn IV. MÉTOO E INTEGRIÓN POR ESOMPOSIIÓN EN FRIONES PRILES Si P Q son dos fncions polinómics, tóricmnt simpr s posil rsolvr intgrls d l form:
22 Págin dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L intgrl tor: r. José Mnl crr Espinos Si l grdo d P s mnor q l d n frcción impropi. P Q d Q s dic q s n frcción propi, n cso contrrio s En l práctic, l otnción d dichs intgrls dpnd d q s posil fctorizr l dnomindor Q. Por l ntrlz d los fctors dl dnomindor, s considrn ctro csos: so : Fctors linls distintos cd fctor linl d l form Ejmplos d ) Hllr:, dl dnomindor d n frcción rcionl propi, l corrspond n frcción sindo n constnt dtrminr., mltiplicndo por Si ( ) ( ) s tin: ( ) ( ) Si ( ) ( ) d d d ln ln ) Hllr: ( ) d Si : ( )( ), mltiplicndo por s tin: Si : ( )( ) Si : ( )
23 Págin dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L intgrl tor: r. José Mnl crr Espinos ( ) d d d d ln ln ln so : Fctors linls igls cd fctor cdrático d l form ( ) n, dond n, q figr n l dnomindor d n frcción rcionl propi, l corrspond n sm d n frccions d l form Ejmplos. ) Otnr: ( ) ( ) d ( ) ( ) ( )( ) ( ) mltiplicndo por ( ) s tin: ( ) Si : Si : ( ) d d ( ) ( ) d sindo,,, constnts dtrminr. hor, hcindo l cmio d vril pr l últim intgrl: d d d finlmnt: ( ) d ( ) d ln ln ) Otnr: ( ) d ( )( ) ( )( )( ) mltiplicndo por s tin: ( )( ) ( )( ) ( ) : : Si : Si Si,
24 Págin dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L intgrl tor: r. José Mnl crr Espinos d d d d. hor, hcindo l cmio d vril pr l últim intgrl: d d d d finlmnt: d ln ln ln ln so : Fctors cdráticos distintos cd fctor cdrático irrdcil c, q figr n l dnomindor d n frcción rcionl propi, l corrspond n frcción d l form c sindo, ls constnts dtrminr. Ejmplos. ) Otnr d, mltiplicndo por s tin: omprndo: d : sstitndo n : d :, sstitndo n :, d d d d d, hor, hcindo l cmio d vril pr l primr intgrl: d d d finlmnt:
25 Págin dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L intgrl tor: r. José Mnl crr Espinos tn d ln tn ) Otnr d ln ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) omprndo: d ( ) : sstitndo n ( ): d ( ) :, sstitndo n ( ) :, d d d vril pr l primr intgrl: finlmnt: d ln tn ln, mltiplicndo por s tin: d d d tn d, hor, hcindo l cmio d d so : Fctors cdráticos igls cd fctor cdrático irrdcil ( c) n, q s rpit n vcs n l dnomindor d n frcción rcionl propi, l corrspond n sm d n fctors d l form: c E F ( c) ( c) sindo,,,, constnts dtrminr. Ejmplos. ) Otnr: ( ) d
26 Págin dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L intgrl tor: r. José Mnl crr Espinos mltiplicndo por s tin: omprndo: d : sstitndo n : d :, sstitndo n :, d d d d d d d hor, hcindo l cmio d vril pr l primr últim intgrl: d d s tin: d d d d finlmnt: d tn ln tn ln ) Otnr: d F E mltiplicndo por s tin: F E F E F E F E omprndo:
27 Págin dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L intgrl tor: r. José Mnl crr Espinos 7 F E d : sstitndo n : d :, sstitndo n :, d : E, d : F, d d d d d d d hor, hcindo l cmio d vril pr l primr últim intgrl: d d s tin: d d d d finlmnt: d tn ln tn ln Ejmplo. Rsolvr l sigint intgrl rcionl impropi: d fctndo l división s tin: d d, mltiplicndo por s tin:
28 Págin dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L intgrl tor: r. José Mnl crr Espinos ( ) ( ) Si Si ( ) Si ( ) ( ) ( ) ( ) d d d ln ln d d IV. INTEGRLES IMPROPIS Un intgrl dfinid ) El intgrndo f d s dnomin impropi si: f, tin no o más pntos d discontinidd n l intrvlo ) Por lo mnos no d los límits d intgrción s infinito. ) Intgrndo discontino f s contino n l intrvlo < pro s discontin n s tin q: i) Si f ε d lim f ε d simpr q ist l límit. Ejmplo. lclr: d 9 d ; s discontin n ε ε d lim ε d lim sn ε 9 lim ε sn ii) Si ε sn sn sn sn π f s contino n l intrvlo < pro s discontin n s tin q: f d lim f ε ε d simpr q ist l límit. Ejmplo.
29 Págin dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L intgrl tor: r. José Mnl crr Espinos d lclr: ; s discontin n lim lim ε d lim [ ε ] ε ε ε ε iii) Si tin q: f s contino n l intrvlo pro s discontin n c, dond c < <, s f cε d lim f d lim f ε ε c ε d simpr q ist l límit. Ejmplos. ) lclr: d ( ) ( ) ; prsnt discontinidd n d ε lim lim lim ε ε ε ε lim ( ε ) lim ( ε ) ε ε lim ( ε ) lim ( ε ) ( ) ε ε ) lclr: d ; prsnt discontinidd n ε d lim lim ε ε lim ε ε ( ε ) ( ) lim ( ε ) ) Límits d intgrción infinitos i) Si ε f s contino n l intrvlo k simpr q ist l límit. Ejmplo. d f f lim k k d 9 ( ). 9
30 Págin dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L intgrl tor: r. José Mnl crr Espinos lclr: d d d k lim lim tn lim tn tn k k k tn k π ii) Si tn π k f s contino n l intrvlo j simpr q ist l límit. Ejmplo. lclr: d lim d j j iii) Si d lim j j d f f lim lim j f s contino n l intrvlo j k j j j d d lim f d lim f f simpr q mos limits istn. Ejmplo. d k k lclr: Utilizndo l cro como rfrnci, s dcir, intgrndo d d j j d, s tin: k k d d d lim lim lim tn lim tn k j k j j j ( tn tn ) ( tn tn ( ) ) π π π π π
31 Págin dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L intgrl tor: r. José Mnl crr Espinos IV. PLIIONES E L INTEGRL Eistn mchos cmpos dl conociminto n q istn pliccions d l intgrl. Por l ntrlz d st concpto, pd plicrs tnto n Gomtrí, n Físic, n Economí inclso n iologí. Por sólo citr lgnos jmplos, continción s mncionn ls pliccions más conocids d l intgrl:. Hllr l ár d rgions plns.. Otnr los volúmns d sólidos d rvolción.. lclr volúmns d sólidos con sccions conocids.. trminr l longitd d rco d n crv.. Eminr l comportminto ltorio d vrils contins (fnción d dnsidd proilidd).. onocr l vlor promdio d n fnción. 7. Hllr momntos (frzs q jrcn cirts ms con rspcto n pnto) cntros d ms o cntroid (l pnto n q n ojto s qilir horizontlmnt).. Encontrr l prsión jrcid por n flido. 9. lclr l trjo rlizdo d movr n ojto d n pnto otro.. Otnr vlocidds clrcions d móvils.. onocr l správit dl consmidor (cntidd d dinro horrdo por los consmidors, l comprr n rtíclo n prcio ddo).. trminr l fljo sngíno (volmn d sngr q ps por n scción trnsvrsl por nidd d timpo) d n prson s gsto crdico (volmn d sngr omdo por l corzón por nidd d timpo. continción s profndiz n ls primrs dos pliccions nlistds. IV.. ÁLULO E ÁRES PLNS Pr clclr n ár pln, s fctú l sigint mtodologí:. S trzn ls crvs q limitn l ár q s ds conocr.. S idntificn los pntos n los q s cortn ls crvs.. S dtrmin l zon d l q h q clclr l ár.. S dcid q vril convin intgrr. S procd intgrr jo los límits ncontrdos. Ejmplos. Hllr l ár limitd por ls sigints condicions: ) rv, l j por ls rcts Solción: Ár
32 Págin dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L intgrl tor: r. José Mnl crr Espinos d 7. ) El j, l crv Solción: por ls rcts Ár ( ) d ( 9 9) 9. ) rv 7, l j por ls rcts Solción: Ár Por sitrs djo dl j d intgrción ( ), d fctrs todo por n signo ngtivo.
33 Págin dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L intgrl tor: r. José Mnl crr Espinos ( 7 ) d ( ) ( 7 ). ) rv Solción: l j Ár - L crv cort l j n, ( ) d ( ) d ) Hllr l ár comprndid ntr l práol Solción: [( ) ] [( ) ( ) ] l rct Ár
34 Págin dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L intgrl tor: r. José Mnl crr Espinos spjndo d l cción d l rct: ( ), P (, ), P (,) sstitndo n l cción d l práol:, rsolvindo l cción: ( )( ), Ár pdid Ár jo l rct - Ár jo l práol: d d d d 7 [( ) ( ) ] [ ( ) ] 9 ) Hllr l ár comprndid ntr ls práols Solción: Iglndo ls ccions pr otnr los pntos d intrscción: fctorizndo: ( ) los pntos d intrscción son: P (,), (,) P Ár pdid Ár jo l práol - Ár jo l práol : - P (,) Ár - (,)
35 Págin dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L intgrl tor: r. José Mnl crr Espinos d ( ) d ( ) ( ) ( ) ( ). IV.. VOLÚMENES SÓLIOS E REVOLUIÓN Si n fnción s gir con rspcto n j dl plno s gnr n volmn conocido como sólido d rvolción l j s l llm j d rvolción. Gráficmnt, sto s: f() Gir Fnción Sólido d rvolción En gnrl, n fnción pd girrs lirmnt, por lo q l form dl sólido q s gnr dpnd, tnto d l ntrlz d l fnción, como dl j d rvolción. En ls sigints gráfics s prci como s formn sólidos d rvolción conocidos, si s girn fncions m lmntls: f() Gir onstnt ilindro
36 Págin dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L intgrl tor: r. José Mnl crr Espinos f() Gir Triánglo rctánglo ono f() Gir Smicircnfrnci Esfr Un volmn dl sólido d rvolción s conform d l sm infinit d frnjs nitris d volmn si s gnr hcindo girr n fnción f lrddor dl j, s pd clclr por mdio d: V π [ f ] d dond rprsntn ls rcts q lo limitn, s dcir, son los trmos. Ejmplos. lclr l volmn dl sólido d rvolción gnrdo l hcr girr ls sigints fncions con los límits mrcdos l j d rvolción ddo. ), l j ls rcts Solción: π π π π [ ] d π d 9.7 V π
37 Págin dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L intgrl tor: r. José Mnl crr Espinos Gir ), l j ls rcts Solción: V [ ] d π d π π π. π Gir ), l j ls rcts Solción: π π V π d d π π. 7
38 Págin dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L intgrl tor: r. José Mnl crr Espinos Gir - - ), l j ls rcts Solción: π V π d π d π π π. Gir - - IV. EUIONES IFERENILES SENILLS IV.. OREN, GRO Y SOLUIÓN E UN EUIÓN IFERENIL Un cción q contin drivds o difrncils s llm cción difrncil. Ejmplos. d d ) 7
39 Págin dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L intgrl tor: r. José Mnl crr Espinos ) d d d d d d d F m d ) (sgnd l d Nwton) El ordn d n cción difrncil s igl l d l drivd d más lto ordn q prc n l cción. Ejmplos. d d d d d d d d ) (cción difrncil d sgndo ordn) ) (cción difrncil d crto ordn) El grdo d n cción difrncil s l ponnt mor d l drivd d mor ordn d l cción. Ejmplos. d d d d ) 7 9 d d d d ) 9 d d d d d d ) d d (cción difrncil d trcr ordn sgndo grdo) (cción difrncil d qinto ordn primr grdo) (cción difrncil d crto ordn trcr grdo) Un solción d n cción difrncil s qll q stisfc l cción, por jmplo, si s tin: d d d d d d d d sstitndo n l cción:, n solción s: ( ) ( ), sto s: IV.. SOLUIÓN E EUIONES IFERENILES LINELES (E PRIMER Y SEGUNO OREN) pndindo dl tipo d cción difrncil, convin plicr n método d rsolción prticlr. Por s sncillz, los más tilizdos son l d l otnción d rícs dl polinomio l d sprción d vrils. 9
40 Págin dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L intgrl tor: r. José Mnl crr Espinos En l primr cso, sl tilizrs l oprdor n lgr d l drivd, fin d q cd ríz polinomio formdo, tng l form i i, dond i vrils, s fctú fin d fcilitr s intgrción. Ejmplos. Rsolvr ls sigints ccions difrncils: d d ) Solción: ( ) comproción: d d sstitndo: d d ) Solción: ( ) comproción: d d sstitndo: d d d d ) Solción: i dl son constnts. Por s prt, l sprción d ( ) ( )( 7), 7 7 d d d d ) Solción: ( ) ( )( ),
41 Págin dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L intgrl tor: r. José Mnl crr Espinos d d ) Solción: ( ) d ( )d si s sprn ls vrils s tin: d d d d, intgrndo: ln ln, lvndo l : ln ln ln ln d d ) Solción: d ( )d sprndo ls vrils: d d d d, intgrndo: tn ln tn ln tn tn, lvndo l :
Por sólo citar algunos ejemplos, a continuación se mencionan las aplicaciones más conocidas de la integral:
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3dx dx 3. dx 1-4x. 7. 3xdx 4+x x 2
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31 EJERCICIOS de LOGARITMOS
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