( ) = Junio Problema 3.- (Calificación máxima: 2 puntos)
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- Estefania San Martín Toledo
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1 Modlo. Problm B.- (Cliiión máim puntos) L igur rprsnt l grái d un unión [ ; ] R. Contésts rzondmnt ls prgunts plntds. ) Cuál s l gno d d?. L intgrl dinid rprsnt l ár (on gno) nrrd por l urv, l j y ls rt vrtils orrspondints los límits d intgrión. En l grái, s pud obsrvr, qu l ár por dbjo dl j (ár ngtiv) s myor n vlor bsoluto qu l ár por nim dl j (ár potiv) por lo tnto d < Junio. Problm.- (Cliiión máim puntos) S ondr l unión rl d vribl rl dinid por, b) Clúls l ár d l rgión pln otd limitd por l grái d, ls rts,, y l j d bsiss. b. Tnindo n unt qu > R Ár, d, ( ), d, ( ) Sptimbr. Ejriio B. (Puntuión máim puntos) S ondr l unión rl d vribl rl dinid por b > () S g l unión rl d vribl rl dinid por g(). Pr y b, lúls l ár d l rgión pln otd limitd por l grái d y l grái d g.. S pid lulr l ár dlimitd por ls unions, s pobl, sbozr ls gráis y l ár qu rprsntn, no s obligtorio, pro yud. y g() >
2 Lo primro srá lulr los límits dl ár, pr llo s rsulv l stm qu ormn ls uions d ls dos unions. > g ( ] ( ] >,, ; ; y y Si,, ; y y Si Los únios límits d intgrión válidos son ;. Tnindo n unt qu n l intrvlo d intgrión, g() > (), no s h dibujdo l rinto, bstrí on tomr un vlor ulquir dl intrvlo y omprobr qu unión s myor, por jmplo. g < d d d g d d g u 9 7 Junio. Ejriio B. (Puntuión máim puntos) S ondr l unión rl d vribl rl dinid por > () Clúls l ár dl rinto plno otdo limitdo por l gri d, l j OX, ñ j OY, y l rt.. S pid lulr l ár sombrd d d Ár u Modlo. Ejriio B. (Puntuión máim puntos) S ondr l unión rl d vribl rl dinid por > < b
3 b) Pr, lúls b,, pr qu l unión s ontinu n todos los puntos y lúls l ár dl rinto plno otdo limitdo por l grái d y l j OX. b. > < b Pr qu l unión s ontinu n R, db sr ontinu n y n, qu son los puntos rontr. Pr qu l unión s ontinu n Lím Lím b b b Lím Lím Lím Lím Pr qu l unión s ontinu n Lím Lím b b b Lím Lím b b b Lím Lím Sustituyndo l vlor d n l sgund iguldd s obtin b. b ; b > < Pr lulr l ár omprndid ntr l unión y l j OX s onvnint sbozr l grái d l unión, d orm qu nos prmit idntiir ms áilmnt lo limits dl rinto. L gri d l unión st ormd por trs rts, pr rprsntrl bst on lulr un pr d puntos d d intrvlo. El ár qu s pid s d, intgrl qu s rsulv plindo ls propidds d l rgl d Brrow. d d d ( ] [ ] [ ] [ ] u Sptimbr. Ejriio. (Puntuión máim puntos) S ondr l undón rl d vribl rl dinid por.
4 ) Clúls l ár dl rinto plno otdo limitdo por l grái d, l rt horizontl y, l rt vrtil.. S pid lulr l ár omprndid ntr dos unions ( ) ; y omo mustr l igur djunt. ( ) Ár d d d d d ( ) Ln( ) Ln Ln Ln u Ln Modlo. Ejriio. (Puntuión máim puntos) S ondr l unión rl d vribl rl dinid por b ( Ln( ) ] b) Pr y b, lulr l ár dl rinto plno otdo por l grái d y l rt d uión y b. S pid lulr l ár omprndid ntr l grái d l unión y l rt d uión y S luln los puntos d ort d ls gráis d mbs unions qu dlimitrán los límits d intgrión y Igulión ( ) y ± Pr podr rsolvr l ár dlimitd por ls dos unions dbmos onor l poión rltiv d mbs unions n los intrvlos (, ) y (, ), o rstrls n ulquir ordn y tomr ls intgrls n vlor bsoluto. Ár d d d d ( ) d u Sptimbr. F.M. Ejriio. (Puntuión máim puntos) S ondr l unión rl d vribl rl dinid por () ) Clúls l ár dl rinto plno otdo limitdo por l grái d y l rt d uión y.. Lo primro s dlimitr l rinto d intgrión, pr lo ul s muy útil dibujr ls unions. Los límits d intgrión s luln rsolvindo l stm ormdo por ls dos uions. y Igulión ; y L uión s rsulv on l método d Ruini.
5 Tnindo n unt l poión rltiv d ls gráis qu dlimitn l rinto y los puntos d orts ntr mbs, l ár s [ ] [ ] d d Ár d d u Junio. F.M. Ejriio. (Puntuión máim puntos) S ondr l unión rl d vribl rl dinid por ) Clúls l ár dl rinto plno otdo limitdo por ls rt vrtils,, l grái d y l rt d uión y. unqu no s obligtorio rprsntr ls unions qu dlimitn l ár pdid, qu s romndbl sbozr l ár. El r pdid st dlimitd por l unión, su síntot obliu y ls rt vrtils y, qu son dmás los límits intgrión. El ár qu s pid lulr s l rprsntd n l grái djunt. d d d ( ] u Ln Ln Ln Ln Junio. F.M. Ejriio B. (Puntuión máim puntos) S ondr l unión rl d vribl rl dinid por > b ) Pr, b /, lúls l ár dl rinto plno otdo limitdo por l grái d, l j OX y l rt vrtil.. El ár qu s pid onst d dos prts dirnids. L ª n l intrvlo [-, ] bjo l urv. L ª n l intrvlo (, ] bjo l urv. ( ] Ln d d
6 Ln Ln Ln u Ln 7 Junio. F.G. Ejriio B. (Puntuión máim puntos) S ondr l unión rl d vribl rl dinid por > < b ) Pr, b, lúls l ár d l rgión pln otd limitd por l grái d y l j OX.. > <. unqu no s obligtorio, s romndbl hr l grái d l unión pr dlimitr ms áilmnt l ár qu pidn. El ár onst d dos rgions dirnts, l primr dlimitd por l () ntr y, y l sgund dlimitd por l unión () ntr y. d d u Modlo. Ejriio. (Puntuión máim puntos) S ondr l urv d uión rtn y b) Clúls l ár dl rinto plno otdo limitdo por ls gráis d l urv propust, l rt tngnt dih urv n l punto P(, ) y l j OX. b. Pr lulr l ár, ntmos lulr l uión d l rt tngnt l unión n l punto P. Euión d l rt tngnt n l punto P(, ) n orm punto-pndint. y y y Pr hr l álulo dl ár romindo qu sboéis ls gráis d ls unions pr podr dlimitr l ár. El ár pdid onst d dos rgions, l ª omprndid ntr l unión () y l j OX n l intrvlo [ ],, l ª omprndid n l unión () y su tngnt n P (y ) n l intrvlo [ ],.
7 d ( ) d ( ) ( ) 7 Ejriio. (Puntuión máim puntos) S ondr l unión rl d vribl rl dinid por b ;, b, R u b) Pr, b,, dtrmínns los puntos d ort d l grái d on los js oordndos. ) Pr, b,, lúls l ár dl rinto plno otdo limitdo por l grái d y l j OX. b. Pr, b, En st prtdo s onvnint sbozr l grái d l unión, qu por sr polinómi solo rquir los puntos d ort on los js, los límits n l ininito y los trmos rltivos los tin. - Puntos d ort - OX (y ). (, ) (, ) - OY ( ). y (,) Not Tnindo n unt qu l unión solo ort un vz l j OY, uno d los puntos d ort on l j OX s l (, ), l punto d ort on OY tmbién srá (, ), pudiéndonos horrr l lulo.. Pr, b, En st prtdo s onvnint sbozr l grái d l unión, qu por sr polinómi, solo ntmos los puntos d ort on los js, los límits n l ininito y los trmos rltivos los hubir. - Puntos d ort (, ) y (, ) - Límits Lím ( ) Lím ( ) - Máimos y mínimos. () ; () ; () () ( ) En (, ) ist un máimo < ( ) ( ) ( ) 7 En, ist un mínimo ( ) ( ) > 7 Con lo dtos obtnidos sbozmos l grái d l unión, l ár pdid (zon olord) s ngtiv, por lo tnto l intgrl s h n vlor bsoluto. 7
8 ( ) d u Sptimbr 9. Ejriio. (Puntuión máim puntos) S ondr l unión rl d vribl rl dinid por 9 < > ) Clúls l ár dl rinto plno otdo limitdo por l grái d y l j OX. y. Ár. Limits d intgrión OX y y y y ( ) d ( 9) d ( ) d ( ) 9 ( ) ( ) u Junio 9. Ejriio. (Puntuión máim puntos) S ondr l unión rl d vribl rl dinid por ( ) ( ) ) Clúls l ár dl rinto plno otdo limitdo por l grái d y l j OX.. Pr rlizr st prtdo s onvnint sbozr l grái d l unión, d l ul y s onon sus trmos rltivos. Los orts on los js oinidn on sus trmos, s un unión pr y los limits n ± son. El ár pdid s l olord n l grái, y vin dd por ( ) d ( ) d ( ) d
![El ár pdid srá l sum dl ár omprndid ntr l unión y l j OX n l intrvlo [, ], más l ár n vlor bsoluto (por str por dbjo dl j OX l intgrl srá ngtiv) omprndid ntr l unión y l j OX n l intrvlo [, ].](/docs-images/72/67286952/images/9-1.jpg "( ) d ( ) d Ár ( ) ( ) ( ) u Junio. Ejriio.")
9 u Modlo 9. Ejriio. (Puntuión máim puntos) S ondr l unión rl d vribl rl dinid por () b ;, b R. ) Pr, b, lúls l ár dl rinto plno otdo limitdo por l grái d y l j OX. b. (). Puntos d ort on los js (, ) OX(y ) ( ) (, ) (, ) OY( ) y (, ).. Conoidos los puntos d ort d l unión on los js oordndos, y tnindo n unt qu s un unión polinómi d grdo trs, on oiint potivo n, s sboz l grái d l unión. El ár pdid srá l sum dl ár omprndid ntr l unión y l j OX n l intrvlo [, ], más l ár n vlor bsoluto (por str por dbjo dl j OX l intgrl srá ngtiv) omprndid ntr l unión y l j OX n l intrvlo [, ]. ( ) d ( ) d Ár ( ) ( ) ( ) u Junio. Ejriio. (Puntuión máim puntos) Clúls l ár d l rgión pln otd limitd por ls gráis d ls unions rls d vribl rl ; g S pid lulr l ár limitd por dos unions, pr llo solo s nt onor los límits d intgrión, qu srán los puntos d ort ntr ls dos unions. No s nsrio dibujr l rgión, pro mpr yud rsolvr orrtmnt l ár, y qu prmit vr l poión rltiv d ls unions y rstr dudmnt. En so d no rprsntrl y no onor l poión rltiv, bstrá hr l rst d ls unions n vlor bsoluto. Límits d intgrión; 9
10 y y ( ( ) d ( ) d Ár ( ) ( ) 7 9 u Modlo. Ejriio B. (Puntuión máim puntos) Dd l unión rl d vribl rl dinid por () 9, s pid dtrminr () Los puntos n los qu l grái d ort los js d oordnds. (b) Los intrvlos d riminto y driminto d. () El ár dl rinto plno otdo limitdo por l grái d l unión y l j OX.. Corts on OX (y ) y () 9 (, ) ( 9) ( ) ± ( ) 9 ± 9 (, ) Corts on OY ( ). Si uno d los puntos d ort d l unión on l j OX s l (, ), y tnindo n unt qu l j OY solo lo pud ortr un vz, l punto d ort on OY srá (, ). b. L monotoní d l unión s soi l gno d l primr drivd on l guint ritrio En los intrvlos n los qu () s myor qu ro, l unión srá rint. En los intrvlos n los qu () s mnor qu ro, l unión srá drint. El gno d l drivd s studi por intrvlos prtir d ls rís d l mism. 9 9 ( ) ( ) L unión s rint (, ) (, ) L unión s drint (, ). D l inormión obtnid n los prtdos y b, y lulndo los límits n l ininito s pud sbozr l grái d l unión. Lím 9 Lím 9
11 Ár d 9 9 Sptimbr 7. Ejriio B. (Puntuión máim puntos) L grái d l unión () b stis ls guints propidds Ps por l punto (, ). Tin un máimo lol n l punto (, ). S pid b. Hllr l ár d l rgión otd dl plno limitd por l grái d l unión g(), l j OX y l rt. b. En st prtdo s onvnint sbozr l grái d l unión, qu por sr polinómi solo rquir los puntos d ort on los js, los límits n l ininito y los trmos rltivos los tin. - Puntos d ort OX (y ). 7 u ± (, ) (, ) (, ) Lím - Límits Lím ( ) - Máimos y mínimos. () ; () ; () En (, ) ist un mínimo () > En, ist un máimo < Esbozd l grái d l unión y l rt,l ár pdid s l olord n l igur. d u Junio 7. Ejriio B. (Puntuión máim puntos) Rprsntr gráimnt l rgión otd limitd por ls gráis d ls unions, g ( ), h ( ) y obtnr su ár.
12 Tnindo n unt qu l ár s métri Ár Prábol on vérti n (, ) OX( y ) (, ) g ( ) Rt. Corts on los js OY( ) (,) OX( y ) (, ) h ( ) Rt. Corts on los js OY, Ár ( ) d ( ) d ( ) d d Sptimbr. Ejriio B. (Puntuión máim puntos) Rprsntr gráimnt l rgión otd limitd por ls gráis d ls unions 9, g y obtnr su ár. 7 u () por s un unión polinómi d sgundo grdo n término n y oiint ngtivo n orrspond un prábol d j vrtil ntrd n l j OY y birt hi mnos ininito. Su vérti stá n (, 9) y ort l j OX n los puntos (, ) y (, ). g () s un unión polinómi d primr grdo y orrspond un rt qu ort los js oordndos n los puntos (, ) y (, ). El ár pdid s l qu s rprsnt n l guint igur. Los límits d intgrión s obtinn mdint un stm ormdo por ls dos uions. y 9 y S rsulv por igulión obtnindo un uión d sgundo grdo. ( g ) d
13 [( 9 ) ( ) ] d d ( ) ( ) Junio. Ejriio. (Puntuión máim puntos) S ondr l unión rl d vribl rl dinid por () 9 S pid ( ) u b. Clulr l ár dl rinto plno otdo limitdo por l grái d l unión y l j OX. Pr hr st prtdo s onvnint sbozr l grái d l unión. Funión impr () (). Simétri rspto (, ). Ár Punto d ort on los js OX y 9 ( 9) ± (, ), (, ), (, ) ( 9) Lím ( 9) Lím SIMETRI ( ) ( ) ( ) 9 9 d 9 d 9 d ( ) 9( ) 9 Junio. Ejriio B. (Puntuión máim puntos) S ondr l urv dé uión rtn y S pid ) Clulr l ár dl rinto plno otdo limitdo por ls gráis d l urv dd y d l rt d uión rtn. y Pr lulr l ár limitd por un prábol (y ) y un rt (y ), s onvnint sbozr ls gris d l unions. Limits d intgrión u
14 y y 7 ( ( ) d ( 7 ) d Ár 7 ( ) 7( ) 7 u ( ) Modlo.. (Puntuión máim puntos) Clulr l ár dl rinto otdo limitdo por l grái d l unión y l j OX Pr podr lulr l ár ntr l unión y l j OX s onvnint hr un studio prvio d l unión. Por sr un unión polinómi, s ontinu n todo R. Los puntos d ort on l j OX s obtin lulndo los ros d l unión Mdint l método d Ruini s obtinn ls soluions y s toriz l unión. El studio dl gno d l unión s ( ) ( ) ( ) Not Bst sustituir un vlor d d intrvlo n l unión torizd pr sbr l gno d l mism. Por último s onvnint lulr los límits d l unión n l ininito. lim ; lim Con los dtos obtnidos s pud sbozr l grái d l unión.
15 El ár pdid s l zon ryd, qu s db dividir n dos árs por sr un potiv y otr ngtiv. d d d d Modlo.. (Puntuión máim puntos) Clulr l vlor d > pr qu l ár d l rgión pln otd limitd por ls gráis d ls urvs y, y, s igul. El ár omprndid ntr ls dos unions tin dos rgions métris iguls, lo ul nos prmit mpliir l álulo dl ár. o d d d Oprndo o d ; o s pud prsr n unión d y qu omprnd l punto d ort ntr ls dos unions. y y ± Tomndo l vlor potivo pr. ; Junio. B. (puntuión máim puntos). b. Clulr l ár dl rinto limitdo por l grái d l unión (), l j OX y ls rts,. L orm más snill d rsolvr l problm s dibujr l ár. () s un prábol birt hi rrib qu ort los js n (, ) y (, ).
16 d d Ár u 7 Modlo.. (Puntuión máim puntos) S l unión () b) Clulr l ár dl rinto plno otdo limitdo por l grái d (), l j OX y ls rts vrtils,. El ár pdid s db lulr omo sum d dos árs, dbido qu prt d ll stá por nim dl j OX y prt por dbjo, stá últim s lul n vlor bsoluto. d d r u Sptimbr. Ejriio B. (Puntuión máim puntos) Sn ls unions ; g b) Clulr l ár dl rinto otdo limitdo por ls urvs y g. S rprsntn gráimnt ls prábols 9, V 9, V g
17 7 u d d d () g() Sptimbr. Ejriio. (Puntuión máim puntos) S ondr l unión (). b. Clulr l ár dl rinto plno otdo limitdo por l grái d () pr, l j OX y l rt. b. S pid hllr por álulo intgrl l ár otd ntr l unión y l j OX n l intrvlo [, ] () () u '() d d d Junio.. (Puntuión máim puntos). Sn ls unions () 9, g () Clulr. El ár dl rinto limitdo por l gri d l unión (), l j OX y ls rts.,. El ár pdid stá omprndid ntr l unión () 9, l j OX y ls rts y. s lul mdint l intgrl dinid u d 9 Junio.. b. Clulr l ár dl triángulo limitdo por l j OX y ls tngnts l urv dd n los puntos d intrsión d dih urv on l j OX
18 b. S pid lulr l ár mrill rprsntd n l igur, qu stá dlimitd por ls rts tngnts l prábol n sus puntos d ort on OX y l propio j OX. y, Corts on OX y (,) Rt tngnt un unión n un punto o y ( o ) ( o ) ( o ) (,) y '( ) ( ) '( ) plindo los puntos d ort ndo, (,) y '() ( ) ' () sutituyndo n l rsptivs uions, s obtinn ls rts tngnts y ( ) y ( ) y ( ) El punto d ort d mbs por igulión y ( ) d ( ) d ( ) d Junio. B. (puntuión máim puntos). S ondr l urv d uión y. Clulr l ár dl rinto plno otdo limitdo por l urv y l j OX. S pid lulr l ár d l rgión sombrd Ár por mtrí s pudn mpliir los álulos ( ) d ( ) d d ( ) u
19 Sptimbr. Ejriio. (Puntuión máim puntos) Sn ls unions () b, g(). Clúls l ár d l rgión limitd por ls gráis d () y g().. S pid lulr l ár nrrd ntr dos unions onoidos los puntos d ort ntr lls, plindo l álulo intgrl ( g() ()) d ( ( ) d ( ) d ( ) ( ) ( ) u 9
DERIVABILIDAD.. Intuitivamente: cuando no presenta saltos en ese punto. Toda función derivable en un punto, es continua en ese punto.
ERIVABILIA.... inir unción continu n un punto. inir unción drivbl n un punto. s posibl ponr un jmplo d un unción qu n s: ) Continu y drivbl. b) rivbl y no continu. c) Continu y no drivbl. y s continu n
3dx dx 3. dx 1-4x. 7. 3xdx 4+x x 2
MsMtscom Intgrls Clculr l intgrl: ++ + (-) (+) - 7 + 8 ln - cos sn - - - + (+) ln ln 7 8 cos ln + + - +- - - + -+ ++ Ls gráfic (i), (ii) y (iii) corrspondn, no ncsrimnt por s ordn, ls d un función drivbl
(a+1)x+ay=3 (a+1)x+(a+1)y+(a+2)z=1 (a 2 +a)x+(a 2-1)y+(a 2-2a-8)z=2a+5. a 1. a+1. a+2 a 2-2a a+5 ~1 0. a=-1
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