CÁLCULO INTEGRAL: 1. La integral indefinida: 1.1. Concepto 1.2. Propiedades de la integral indefinida. 2. Integrales inmediatas

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1 CÁLCULO INTEGRAL:. L intgrl indfinid:.. Conpto.. Propidds d l intgrl indfinid. Intgrls inmdits. Métodos lmntls d intgrión:.. Intgrión por dsomposiión.. Intgrión por sustituión o mio d vril.. Intgrión por prts.. Intgrión d funions rionls:... El dnomindor solo tin rís rls simpls... El dnomindor tin rís rls múltipls... El dnomindor dmit lgun ríz omplj simpl.. Intgrión d funions trsndnts... Funions trigonométris:...l funión s impr n sn...l funión s impr n...l funión no s impr n sno ni no...método gnrl... Funions ponnils. El prolm dl ár.. Introduión.. Prtiión d un sgmnto.. Sums supriors infriors. Propidds d ls sums.. Dfiniión d intgrl dfinid. El ár.. Propidds d l intgrl dfinid.. Torm d l mdi dl álulo intgrl. Fórmul dl vlor mdio.. Torm fundmntl dl álulo intgrl. L funión ár.. Rgl d Brrow.. Otrs propidds d l intgrl dfinid.6. Métodos lmntls d intgrión d l intgrl dfinid.6.. Intgrión por mio d vril.6.. Intgrión por prts.7. Apliions d l intgrl dfinid:.7.. Ár d un figur p.7.. Ár limitd por ls gráfis d dos funions.7.. Longitud d un ro d urv.7.. Ár y volumn d un urpo d rvoluión

2 . L intgrl indfinid:.. Conpto: S l funión f dfinid n [,]. S llm funión primitiv d f n [,] ulquir otr funión F dfinid n l mismo intrvlo rrdo tl qu: F f Ejm: Sn s un primitiv d pus: sn Si F y G son primitivs d f, s umpl qu: F G En fto: [F G] F G f f 0 Por lo tnto: F G Si F s primitiv d f tmién lo s F En fto: [F ] f Es dir, qu sí omo l drivd d un funión s úni, su primitiv no lo s, sino qu un funión f l signmos infinits primitivs. Al onjunto d tods ls primitivs d un funión dd s l llm INTEGRAL INDEFINIDA y s tumr sriir: f d F.. Propidds d l intgrl indfinid: Linlidd: Si ls funions f y g dmitn funions primitivs n un irto dominio, s vrifi: f ± g d f d g d [ ] ± Si l funión f dmit un funión primitiv n un dominio ddo, ntons s vrifi: f d f d Los signo d difrniión intgrión s simplifin ntr sí. Es dir: d f d f d df f. Intgrls inmdits: S llmn sí qulls intgrls qu s pudn lulr dirtmnt prtir d l dfiniión d drivd. Eistn tls d intgrls inmdits qu s lorn prtir dl dominio d ls drivds. Vr finl dl tm. Métodos lmntls d intgrión: En st prtdo vmos studir lgunos prodimintos pr l álulo d l intgrl indfinid d un funión, n l so d qu s pud prsr por mdio d funions lmntls.

3 .. Intgrión por dsomposiión: S s n l linlidd d l intgrl indfinid. Así: f g d f d g d Ejm: [ ] d k sn d sn d d tg d tg d tg d d tg.. Intgrión por sustituión o mio d vril: A vs, un intgrl pud trnsformrs n otr más snill rlizndo un mio d vril. Ello pud hrs d dos mnrs: S l intgrl: f d A.- Hindo l mio: gt dond gt s un funión drivl, on invrs drivl n l intrvlo n qu s trj. Al Hr l mio d sustituirs d por g tdt, on lo qu rsult l intgrl: f g t g' t dt [ ] Si omo rsultdo d st últim s otin: Ft l soluión d l primr s otndrá sustituyndo t por g -, rsultndo sí: F[g - t] Ejm: d S romind l mio: sn t sn t t t Lugo: t d td tdt dt t snt rsn Not: Hmos utilizdo ls rlions trigonométris... sn sindo snt snt t t B.-Hindo l mio: t h Normlmnt s lig un funión h qu, o in pr n l intgrndo, o in stá n l mismo l prsión h d jm:

4 Podmos prodr omo sigu: t d d tdt t dt Dond hmos rlizdo l mio: t d dt d.. Intgrión por prts: Sn: u u v v dos funions difrnils n un dtrmindo dominio. Aplindo l fórmul d l difrnil d un produto: d u v udv vdu udv d u v vdu Intgrndo mimro mimro s tin: udv u v vdu Dtlls tnr n unt n l lión d ls prts: o Simpr qu s posil d tomrs omo u un polinomio o Simpr qu s posil d vitrs hr du d o dv d sr fáilmnt intgrl o dv simpr d ontnr d jm: d Hmos: u Lugo: dv du d v d d Est nuv intgrl tmién podmos lulrl por prts hindo: u dv d Con lo qu ritrndo l proso otnmos por fin: d 8

5 Normlmnt un intgrl s pud hr por vrios d stos métodos. En osions hrá qu ominrlos... Intgrión d funions rionls: Un jmplo importnt dl método d dsomposiión nos lo proporion l intgrión d funions rionls. Ests intgrls son dl tipo: P d Q Dónd P y Q son funions polinómis. Considrmos dos sos: o El grdo d P s myor o igul qu l d Q: Eftumos l oint d mos: P R Q C Con lo qu: P C Q R Lo qu nos prmit sriir: P C Q R R d d C d d Q Q Q L primr intgrl s inmdit. En l sgund l grdo dl numrdor s hor mnor qu l d Q o El grdo d P s mnor qu l d Q: Nos qud rduirlo l sgundo sumndo dl so ntrior. Pr studirlo, onsidrrmos n l dnomindor sos:... El dnomindor sólo tin rís simpls: Sn dihs rís:,,..., n L dsomposiión ftoril d Q s ntons: Q... n En st so l frión dsomponr dmit l siguint dsomposiión: P A B N... Q n Sindo A,B,...,N ofiints dtrminr por l método d los Cofiints Indtrmindos. Ejm: d... El dnomindor tin rís rls múltipls: Sn,...,, multipliidd: n ls rís dl polinomio Q y sus grdos d h, h,...,h n. S tin ntons:

6 h n n h h Q... Con lo qu l frión s dsompon: n n h n h n h h h h M M B B A A A Q P Intgrndo omo n l so ntrior. Ejm: d El dnomindor dmit lgun ríz omplj: Si l polinomio Q dmit l ríz omplj i tmién dmit su onjugd. Es dir, qu si un polinomio dmit n rís ompljs, tmién dmit ls onjugds d ésts. En l so d qu Q sólo dmit l ríz i y su onjugd -i, n su dsomposiión prrán stos ftors: [ ][ ] i i Por d prj d rís ompljs s tin un frión dl tipo: B A uy intgrl d lugr un rotngnt y un logritmo nprino. Vámoslo: d A A d A d A d A A d B A I Llmrmos I st últim y hmos: d dt t Con lo qu: rtg t t d I Qudndo por fin l intgrl I: C rtg A A Pud ourrir qu todos los sos studidos s dn juntos n un solo dnomindor... Intgrión d funions trsndnts:... Funions trigonométris: Son d l form. d sn R, 6

7 Pudn prsntrs los siguints sos:...l funión s impr n sno: Hmos l mio t Ejm: snd dt sn d...l funión s impr s no: S h l mio sn t Ejm: d dt sn d...l funión no s impr n sno ni n no: S prod omo sigu tg t Ejm: dt d t d sn...método gnrl: En todos los sos s pud hr tg t dt d t t sn sn... t t t... Funions ponnils: Hmos l mio t Ejm: d EJERCICIOS: A. Clulr por sustituión ls siguint intgrls: 7

8 rtg d rtg k d rtg d k d k d k d k rsn d rsn rtg rtg rsn rsn rsn d rtg d rsn d rtg d tg rtg d d sn rtg d 7 7 d d r d d rtg d d s B. CALCULAR POR PARTES: sn d d rsn rsnd d d sn d d d d 9 6 log log log 9 8

9 sn sn snd d d r d r tg sn d sn snd sn d g r d g r rtg d rtg d rtg rtgd rsn rsn d rsn rsn rsnd d g r gd r rtg rtgd sn snd sn d sn rsn rsn r r s s ot ot 9 r r r r ot ot 8 9

10 C. INTEGRAR POR EL METODO DE DESCOMPOSICIÓN tg d tg d sn d tg sn d sn d sn rsn d g d g d g tg sn d rsn d tg d tg s ot ot ot π D. CALCULAR LAS SIGUIENTES INTEGRALES RACIONALES rtg d rtg d rtg d d d rtg d d d d d d

11 rtg d d d rtg d d rtg d d d E. CALCULAR LAS SIGUIENTES INTEGRALES TRIGONOMETRICAS: sn sn d sn d tg tg tg sn d sn sn d d sn d sn d sn tg rtg sn d g tg sn d ot

12 tg tg d tg sn d sn sn d sn tg sn sn d sn sn d sn sn d sn sn sn d sn sn d sn tg tg d sn d sn sn sn d sn sn sn d sn tg tg sn d π F. CALCULAR LAS SIGUIENTES INTEGRALES: [ ] d d rtg d r d rtg d d s

13 G. COMPROBAR, POR REDUCCIONES SUCESIVAS: d d d d rtg d rsn rtg. El prolm dl Ár: L intgrl dfinid stá histórimnt rliond on l Prolm d lulr y dfinir l ár d rgions ps. En gomtrí lmntl, prtindo dl ár dl rtángulo, s dmustrn ls fórmuls qu dn l ár d rgions poligonls snills. Sin mrgo, undo ls rgions stán limitdos por r d urvs, l gomtrí lmntl no tin rursos pr dmostrr ls fórmuls dl ár. En l s. III. J. C. Arquímds luló l ár d un írulo proimándol por mdio d ls árs d polígonos rgulrs insritos on un lvdo númro d ldos. Tmién luló l ár dl sgmnto d l práol limitdo por l urv y, l j OX y l ordnd, por un método muy prido l qu s utiliz hoy pr introduirl intgrl indfinid. El método onsist n dividir l sgmnto [0,] n prts iguls y onsidrr qu l ár stá omprndid ntr l sum d los rtánguls d l Fig. y l sum d los rtángulos d l Fig.. Cundo l númro d divisions r, dihs sums s proimn l ár. D st modo, Arquímds nontró qu diho ár vlí. Dido l dsonoiminto dl onpto d límit y un notión lgri dud, stos métodos no prosprron y huo qu sprr l s.xvii n qu Nwton ylinitz por sprdo, diron rspust l prolm dl ár n términos smjnts los tuls... Introduión:

14 En prinipio nos vmos limitr lulr l ár d rgions ps muy prtiulrs: rgions limitds por l gráfi d un funión ontinu f, l j horizontl y ls vrtils qu psn por,0 y,0. Vmos suponr tmién qu l gráfi d f stá situd por nim dl j OX. Pr proimr l ár A d l rgión rprsntd n l Fig., dividimos l sgmnto [,] n prts, no nsrimnt iguls, por mdio d puntos d l siguint form: 0,,,... Pr fijr ids, supongmos l sgmnto [,] dividido por utro puntos,, 0, ], [, ], [, ] [ Con s n los sgmntos, 0 onstruimos los rtángulos d lturs rsptivs m,m y m qu son los vlors mínimos d f n d sgmnto. Fig. L sum d ls árs d stos trs rtángulos vl: s m[ 0 ] m[ ] m[ ] Tmién podmos onstruir, on s n los mismos sgmntos, los rtángulos uys lturs oinidn on los vlors máimos d f n d sgmnto. Fig. L sum d ls árs d stos rtángulos s: S M [ 0 ] M [ ] M [ ] El ár d l rgión strá omprndid ntr s y S: s A S Lógimnt, sprr qu si dividimos l sgmnto [,] n un lvdo númro d prts y lulmos s y S, stos s proimrán d vz ms l vlor d A. Sguidmnt vmos dmostrr formlmnt sts ids... Prtiión d un sgmnto: Ddo un sgmnto [,], s di qu l onjunto finito P 0,,,... n un prtiión d diho sgmnto si s umpl:,,,... 0 n Otr prtiión P ftud n [,], s di qu s,s fin qu P, si P tin todos los puntos d P y lguno o lgunos ms. Tmién llmrmos P l onjunto d tods ls prtiions d [,].. Sums infriors y supriors: { } s

15 Dd un funión f ontinu n [,], tod prtiión P d [,], podmos signrl dos númros sp y SP, qu llmrmos rsptivmnt sum infrior y sum suprior, dl siguint modo:. SUMA INFERIOR: s P m [ 0 ] m[ ]... mn [ n n ] Dond d m i rprsnt l vlor mínimo d f n l intrvlo orrspondint, mínimo qu ist sgún un torm y studido.. SUMA SUPERIOR: S P M [ 0 ] M [ ] M n [ n n ] Ahor M i son los vlors máimos d f n d intrvlo [ i, i ] y qu tmién istn. NOTA: stos signifidos d ls sum suprior infrior son los pustos simpr qu f s positiv. Propidds d ls sums:. Pr ulquir prtiión P, s umpl: s P S P lo qu s vidnt pus mi M i. Si P s un prtiión ms fin qu P s vrifi:. S P' S P. s P' s P. s P S P' o diho d otro modo: Culquir sum infrior s mnor o igul qu ulquir sum suprior.. Dfiniión d intgrl dfinid: Hímos llmdo P l onjunto d tods ls prtiions rlizds n [,]. Llmrmos { s P} l onjunto d tods ls sums infriors y { SP } l onjunto d ls sums supriors. { s P} s un onjunto NO VACÍO y por l trr propidd stá otdo supriormnt, ulquir sum suprior s su ot suprior, por tnto, sgún l iom dl suprmo, tin suprmo, l qu llmrmos I I sup s P { } Análogmnt, l onjunto d tods ls sums supriors tmién s NO VACÍO y st otdo infriormnt por ulquir sum infrior, por lo tnto tin ínfimo l qu llmrmos J: J inf S P p P { } p P Lo qu podmos rprsntr provisionlmnt d l siguint mnr: Vmos pror qu, por sr f ontinu, IJ Pr llo nos vmos sr n l siguint proposiión: pr todo númro rl ε > 0, ist un prtiión P, pr l qu s vrifi: 0 S P s P ε L primr dsiguldd s vidnt, dmostrrmos l sgund:

16 Vmos suponr qu ε ddo y onsidrmos l prtiión P qu rsult d dividir [,] n n prts iguls, ntons: S P s P M M... M n m m... m n n n n n n n [ M m M m... M n mn ] I n Si rordmos hor l dfiniión d ontinuidd uniform: Si un funión s ontinu n un intrvlo rrdo [,], ntons pr todo númro rl ε > 0, ist un númro rl δ > 0 tl qu pr ulsquir y [,]qu ump ' < δ s vrifi: f f ' < ε Est dfiniión podmos plirl quí d l siguint mnr, l sr f ontinu n ε [,] pr l númro > 0, s pud lgir un númro < δ pr l qu s n ε umpl: M i mi < Tnindo n unt I, podmos sriir: ε ε ε ε nε S P s P <... ε n n Lugo, n fto: S P s P ε II Todo sto nos llv dir qu I J porqu si fur I J l difrni SP - sp no podrí umplir II pusto qu sgún s osrv n l Fig. 6: J I S P s P Todo lo ntrior nos prmit dr y l siguint dfiniión: Dd un funión ontinu n [,] s llm intgrl dfinid ntr y d l funión f l númro f I J Es dir, qu l intgrl dfinid s l suprmo d ls sums infriors qu s igul l ínfimo d ls sums supriors. Est númro s rprsnt gnrlmnt por: f d y s l intgrl ntr y d l funión f, dond y son los límits infrior y suprior d intgrión. El ár:. Si f>0 pr todo [, ], l númro f d s positivo y oinid por dfiniión, on l ár d l rgión d s [,] fig.7. Cundo f<0 pr todo [, ], l númro f d s ngtivo, ár d l rgión d s [,] s f d fig.8 6

17 . Cundo unos trozos d l gráfi stán por nim dl j horizontl y otros por djo, l númro f d no rprsnt l ár d l rgión sino l difrni ntr ls árs d ls rgions qu stán por nim dl j horizontl y ls rgions qu stán por djo. fig.9.. Propidds d l intgrl dfinid:. El vlor d l intgrl dfinid mi d signo si s prmutn los límits d intgrión: f d f. Si los límits d l intgrl difrnil oinidn, l vlor d l intgrl s ro: f d 0 En fto, s onsuni inmdit dl ntrior, y qu si mimos los trmos l intgrl mi d signo: f d f 0. Si s un punto intrior dl intrvlo [,], l intgrl dfinid s dsompon omo sum d dos intgrls tndids los intrvlos [,] y [,]. d f d f f d Esto s: El ár d l rgión d s [,] s igul l sum d ls árs d s [,] y [,]. Suponindo f positiv n [,] fig.0 Dmostrión: S P un prtiión dl sgmnto [,] y P un prtiión ulquir d [,]. Entons P '' P U P's un prtiión dl sgmnto [,] on l prtiulridd d qu ontin l punto. 7

18 { } sup s P'' Ahor in, sguimos tnindo inf S P'' { } f d unqu nos f d limitmos ls prtiions P d [,] qu ontinn, simpr s tin: s P S P' s P'' d dond: sup { s P s P' } sup{ s P'' } f d IV Por otro ldo s tin: s P s P' f d f d III L dsiguldd III di qu l númro f d f d s un ot suprior dl onjunto s P s P' pro sgún IV l suprmo d st onjunto s { } f d, lugo: f d f d f d V Dl mismo modo, onsidrndo ls sums supriors, s dmustr: D V y VI, rsult l iguldd: d f d f f d f d f d f d VI.. Torm d l mdi dl álulo intgrl. Fórmul dl vlor mdio L intgrl dfinid d un funión ontinu n un intrvlo rrdo [,] s igul l produto d l longitud dl intrvlo por l vlor qu tom l funión n un punto d s intrvlo rrdo. f d f α α [, ] Sn s y S l sum d ls árs d los rtángulos d s - y lturs m y M, dond m y M son l vlor mínimo y máimo d l funión fn l intrvlo [,] S tin: s m f d M S Es dir, ist un númro µ omprndido ntr m y M tl qu: 8

19 f d µ Por sr f un funión ontinu n [,], tom todos los vlors dl intrvlo [m,m], lugo ist un punto α [, ] tl qu f α µ. D dond: f d f α Propidd d Drou Gométrimnt st torm signifi qu l ár dl rinto limitdo por l urv, l j d siss y ls dos rts prlls l j d ordnds y s igul l ár d un rtángulo d s - y un ltur qu stá omprndid ntr m y M. fig... Torm fundmntl dl álulo intgrl: S fu un funión intgrl n l intrvlo [,]. A prtir d st funión s dfin otr: F f u du qu dpnd dl límit suprior d l intgrión. Gométrimnt, F rprsnt l ár dl rinto limitdo por l urv yfu, l j d ls u y ls rts u y u. fig. Si fu s un funión ontinu n l intrvlo rrdo [,], ntons l drivd d l funión F s f, s dir, F s un primitiv d f. En fto: Pr lulr l drivd d l funión F n un punto dl intrvlo [,] lulmos l inrmnto d l funión: h h F h F f u du f u du f u du f u du Pro por l trr propidd qu hmos nunido pr l intgrl dfinid: h F h F f u du Y plindo l torm d l mdi: F h F h f α α [, h] D l iguldd ntrior rsult: F h F f α h D quí l tomr l límit undo h tind ro s tin: F h F F' lim f α h lim h 0 h 0 9

20 Al tndr h hi ro l intrvlo [, h] tind rduir l punto, s ddu qu α tind undo h tind ro, lugo: F' f α f α f lim0 h lim α Y qu por l hipótsis l funión fu r ontinu n l intrvlo[,].. Rgl d Brrow: L intgrl dfinid d un funión f ontinu n un intrvlo rrdo[,] s igul l difrni ntr los vlors qu tom un funión primitiv G, ulquir d f, n los trmos d diho intrvlo. Sgún lo qu mos d vr n l torm ntrior, l funión F f u du s un primitiv d l funión f, lugo ulquir otr funión primitiv G d f difir d F solmnt n un onstnt, sto s, s vrifi: G F ç o lo qu s lo mismo: G f u du ç VII Pr lulr l vlor d l onstnt ç, lulmos l vlor d l primitiv G n l punto G f u du ç Por l sgund propidd d ls intgrls dfinids s tin: G 0 ç ç Si n l prsión VII hmos hor, ntons: G f u du G Lugo: Dond G s un primitiv d f. Est s l fórmul dl Rgl d Brrow [ G ] f u du G G Ejm: Clulr: d 6.. Otrs propidds d l intgrl dfinid:. Si f y g son funions ontinus n [,], ntons: [ ] f g d f d g d Dmostrión: Considrmos ls funions F y G dfinids n [,] VIII. Por l torm fundmntl s tin: VIII F t G t t t f d g d F' f G' g 0

21 Aplindo l rgl d Brrow s tin: [ f g ] d [ F G] [ F G] F G [ F F G G [ f ] d [ g ]d Por l mism hipótsis s pud pror: [ f g ] d [ f ] d [ g ] d ] F G. Si f s un funión ontinu n [,] y α un númro rl, ntons: α f d α f d En fto, onsidrndo l funión: F t f d t rsult: F tf. Por tnto α Ft s un primitiv d f. Apliándol rgl d Brrow: α f d αf αf α[ F F ] α f d. Si f y g son funions on drivd primr ontinu n [,], ntons: [ f g ] f g' d g f ' d. Si f s un funión ontinu y ϕ un funión on drivd ontinu n [,], ntons: ϕ f [ ϕ t ] ϕ' t dt f u du ϕ. Si f s un funión ontinu n [,], tl qu f 0 pr todo d [,], ntons: f d 0 6. Si f y g son funions ontinus n [,], tls qu f g pr todo prtnint [,], ntons: f d g d 7. Si f s un funión ontinu n [,], ntons: f d f d.6. Métodos lmntls d intgrión d l intgrl dfinid:.6.. Intgrión por mio d vril: Supongmos qu pr lulr f d s rquir l mio d vril: gt, uy funión umpl ls siguints ondiions:

22 . El intrvlo [,], s trnsform n l intrvlo [,d] d mnr qu undo t vrí d un modo ontinuo n l intrvlo [,d] l funión gt lo h igulmnt n l intrvlo [,], d dond: g g. L funión gt s ontinu y dmit un drivd g tontinu n l intrvlo [,d] En sts ondiions s vrifi: d [ g t ] f d f g' t dt lo qu nos vit dshr los mios d vrils ftudos. Dmo: Si F s un funión primitiv d f ntons s vrifi: Por otr prt, l funión g d g D dond: Ejm: Clulr sn d f d F F d f [ g t ] g' t dt F[ g d ] F[ g ] s tin: f [ g t ] g' t dt F F π Hmos sn t 0 d d [ g t ] f d f g' t dt dt d Los nuvos límits d intgrión son: Lugo: π 0 sn d t 0 t dt dt d sn π t sn0 t 0 t t 0 y omo.6.. Intgrión por prts: Sn u y v dos funions ontinus qu dmitn drivds ontinus n l intrvlo [,], s vrifi: v' d u v u v u v u' d.7. Apliions d l intgrl dfinid:.7.. Ár d un figur p L funión s onstntmnt positiv LA funión s onstntmnt ngtiv L funión tom n l intrvlo vlors positivos y ngtivos.7.. Ár limitd por l gráfi d dos funions

23 .7.. Longitud d un ro d urv L [ f ' ].7.. Volumn d un urpo d rvoluión V π [ f ].7.. Ár d un suprfii d rvoluión A π d d f [ f ' ] d

24 π 0 π 0 π 0 CALCULAR: snd snd d sn r r : r : : 0 π : r π 0 d 0 snd r d d d r : π π r : r r : π : π Tnindo n unt 0 sn, otr l intgrl: sn 0 π π 6 R: I Hllr los vlors mdios d ls siguints funions n los intrvlos qu s indin:. f 0 R : π. f π π R : ± π. f sn 0 π R : Hllr l rrdl trpio mitilíno limitdo por l j OX, l urv f y ls ordnds orrspondints y R: Clulr l ár d l figur limitd por l práol y, por ls rts y y por l j d siss R: 6 Hllr l ár d l porión d po omprndid ntr l urv y 6 y l j OX R:08 7 Hllr l ár d l figur limitd por l urv y l rt y y l vrtil R: 8 Clulr l ár d l porión d po limitd por ls urvs y y R: 88 9 Hllr l ár d l porión d po limitd por l urv y, l j OX y ls rts 0 y 6 R: d

25 0 Clulr l ár d l figur limitd por l práol y y l rt y R: Clulr l ár d l figur limitd por ls urvs y.. y y l rt R : Hllr l volumn d un sfr d rdio R Hllr l volumn dl urpo ngndrdo l girr lrddor dl j OX, l ro d l urv y omprndido ntr y R: 6 Hllr l volumn dl urpo ngndrdo l girr lrddor dl j OX l urv y sn n l intrvlo 0 hst π π R : 8 Hllr l volumn limitdo por l suprfii ngndrd por l rotión ntorno l j OX dl sgmnto d l rt y omprndido ntr 0 y R : 6π 6 Hllr l volumn dl urpo ngndrdo l girr lrddor dl j OX l suprfii omprndid ntr ls urvs y y R: Hllr l volumn dl urpo ngndrdo l gir lrddor dl j OX l figur limitd por l práol y 8 y por l rt y R :π 8 Hllr l volumn dl urpo ngndrdo l girr lrddor dl j OX l triángulo d vértis 0,0 0,, π R : 9 Hllr l volumn dl urpo ngndrdo l girr lrddor dl j OX l suprfii intrsión dl írulo y y l smipo y π R : 0 Dtrmíns l ár dl rinto limitdo por l práol y 0 y l rt qu un los puntos,- y, R: 9 8 Hálls l ár limitd por l urv y y por ls siss... Dr l soluión pr 6 R: 8 6 Hálls l ár omprndid ntr ls urvs y y R :0

26 Ls práols y 0 y y 0 s ortn n dos puntos A y B. Háls éstos y l ár d l rgión otd limitd por ls dos rms d práol qu unn Ay B R : 0 Clulr snd. Cuál s l signifido gométrio dl númro otnido? sn R : R: 6 Rzóns qu f s pud sriir d l form 6 m n f p, sindo m, n y p númros rls. Clúls un primitiv 6 d f y l ár limitd por l urv y f, l j d siss y ls rts y 6 R:.- n- m p β 6 Clúls d d. Disusión pr los difrnts vlors d, y β 0 0 snβ R : d 7 Clúls l intgrl. Cso prtiulr,. Intrprtión gométri 0 R: 6