1.2 INTEGRACION, DIFERENCIACIÓN DE FUNCIONES Y EXPANSIONES EN SERIES. (1.2_CvR_T_062, Revisión: , C2, C3, C4)

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María José Torres Hernández
hace 7 años
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1 . INTEGRACION, DIFERENCIACIÓN DE FUNCIONES Y EXPANSIONES EN SERIES. (._CvR_T_06, Rvisió: , C, C3, C4).. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN. Dfiició: f f ( ) f ( ) lim, si l límit ist. 0 Notció: f ', f ( ) E.g.: f pr f() f ( ) lim lim lim, Rprstció gráfic: pit l fció f(). P mostrrs q: Si f() s ifrcil, tocs s fció coti. Si f() s coti, o csrimt s ifrcil (jmplo más simpl: f() ) El pto o f() o s ifrcil s cooc como siglri (slto, cmio cocvi my rpto oscilcios rápis). A prtir l fiició l riv pomos mostrr q: f() f () - f() g() h() f () g () h () s opror lil f() g() h() f () g () h() g() h () ' g( ) g'( ) h( ) h ( ) g( ) f() f '( ) h( ) h ( ) f ' Rgl l c: f ( ( )) f '( ) ( ).. INTEGRAL DE UNA FUNCIÓN. f(ξ ) f(ξ ) f(ξ ) Cosirmos l sm Rim... pr itrvlo : f ( ξ )( ) X 0-0

2 Spogmos q l itrvlo myor logit (orm P ) s v hor rcio. Esto llv fiir l itgrl Rim como: I f ( ) lim f ( ξ )( ), P 0 simpr y co l límit ist. Si st s l cso, s ic q l itgrl ist o covrg. Si l itgrl s igl cro, y s gtiv si <. E térmios l fiició límit: Pr c ε > 0, δ > 0 tl q: co P < δ. f ( ) f ( ξ )( ) < ε Algs propis y fórmls útils l itgrl: α βυ) α β υ ( lili v v v itgrció por prts..3 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO. Est torm prmit rlcior l itgrció y l ifrcició, lo q s útil pr vitr l so l fiició l itgrl. Formlmt, l torm stlc q: Si f() s coti y si f ( ξ) ξ F( ) pr, tocs F ( ) f( ). D igl mr, si f() s coti F ( ) f( ), tocs f ( ξ) ξ F( ). y..4 FUNCIONES ESPECIALES. Algs fcios ti itgrls q o so rprstls térmios fcios lmtls,.g.: π ξ 0 ξ rf ( ), 0 < L rprstció sts itgrls s hc co FUNCIONES ESPECIALES (rf(), Bssl, tc.).

3 Si o ist rprstció térmios fcios lmtls o spcils hy q tilizr lgú métoo itgrció méric (grlmt sos l sm Rim o lg vrició ll)...5 FUNCIONES ELEMENTALES...5. FUNCIÓN LOGARITMO NATURAL. Utilizo l torm fmtl l cálclo s fi como y yl() L( ) t, > 0 t Utilizo l torm tmié pomos vr q: t ( L( ) ) t i.., l fció s ifrcil. Amás, si ()>0 y s ifrcil, tocs: ( L( ) ) ( ) (rgl l c). Algs propis Básics: L ( ) 0 t 0 t L( ) L( ) L( ),(, > 0). Dmostrció: L( ) t t t t t t t t L( ) t t Cmio vril: t t t t L( ) L L( ) L( ), (, >0) L( )

4 L r r L() Co st fció tmié s stlc q: c si L c si..5. FUNCIÓN EXPONENCIAL. Ivrs l logritmo trl, fii por: y Ly Spoio q r r L r L r L L,, > 0 Si () s ifrcil [, ], tocs: S oti l mism fció l rivrl (importt pr mchs sitcios,.g., ccios ifrcils) c..6 EXPANSIÓN EN SERIE DE TAYLOR. Pr cir l psió fció térmios sri Tylor pomos prtir : ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f f ( ( ) () Do q f() s ritrri, cmplirs tmié q: f ( ) f ( ) f ( ) Sstityo sto () otmos: f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ) Evlo: ( ) f ( ) f ( )( 3

5 f ( f ( ) f ( ) f ( )( ) ) () Similrmt, cmplirs q: f ( ) f ( ) f ( ) Sstityo sto () s oti: f ( ) f( ) f ( )( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( )( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( )( ) ( ) f ( )! Asmio q f() s lo sficitmt ifrcil, pomos rptir st procso pr otr: ( ) f ( ) f ( ) 3 f ( ) f ( ) f( ) f ( )( ) ( ) ( ) ( ) R,! 3! ( )! o ( ) R f ( ). Est s l FÓRMULA DE TAYLOR CON SOBRANTE R. P mostrrs q l sort p vlrs como: ( f ) ( ξ ) ( R ), o ξ s lgú pto co tro l itrvlo [, ]. Esto s! válio si y sólo si f() s coti tro l itrvlo. D st form, l Sri Tylor pr f() lror l pto stá fii como: f ( ) f ( ) ' f ( )( ) f ( ) ( ) f ( ) f ( )! 0 " ( ) ( )!... f ( ) ( ) ( )!... SERIE DE TAYLOR PARA f() EN 4

6 f() ifrcil l itrvlo itrés (coició fmtl). Utili: Rprstció fcios (óts q l rprstció s úic). Aproimcios. Esqms méricos. Ejmplo. f( ) f ( ) f ( ) ( ) f ( ) 3 ( f ) (0) f ( )! 3! Sri lror 0: sri Mclri Algs fcios ti rprstció q s lo sficitmt simpl como pr rcorrl mmori. Amás, por lo grl sts so útils pr srrollr sris más compljs. E mchos csos s covit coocr ls rprstcios sris ls fcios lmtls y q mit miplcios lgrics pomos otr sris poco más compljs si csi vlr ls rivs. Ejmplo. Spogmos q qrmos vlr l sri f( ), pro hor clqir pto ifrt cro. Al igl q l jmplo trior pomos vlr ls rivs pr otr: f ( ) f ( ) ( ) f ( ) ( f ) ( ) 3 ( ) ( ) f( ) ( )! 3! Altrtivmt pomos scriir l fció pocil como f( ) rcorr q l sri Mclri l fció pocil s:, y 3 f( )! 3! Pomos vlr hor st sri - pr otr: 3 ( ) ( ) ( ) f ( )! 3! 5

7 Co sto otmos tocs l psió Tylor l fció clqir pto, i..: 3 ( ) ( ) f( ) ( ),! 3! q s l mism prsió oti l fiició. Ejmplo 3. Co l rprstció sri Tylor l fció pocil pomos otr tmié rprstcios pr otrs fcios,.g., smos q: y ycosh cosh( ) ( ) y sh( ) ( ) cosh( ) sh( ) fció pr fció impr. ysh Miplo l sri Tylor pomos osrvr q: ! 3! 4! 5! ! 4! 3! 5! cosh() sh() D ls fiicios (o qivltmt ls sris Tylor) pomos vr tmié q: cosh( ) sh( ), sh( ) cosh( ) Ejmplo 4. Epsió sri Tylor 0 pr f( ). Est fció stá fii como: Evlo ls rivs otmos: f( ) L 6

8 L f ( ) L L f L ( ) (L ) (L ) L 3 3 ( f ( ) (L ) (L ) f ) (0) (L ) ( ) L f ( ) (L ) (L ) L sri Mclri pr st fció s tocs: 3 ( ) 3 f ( ) f (0) (L ) L (L ) (L )!!! 3! 0 0 Ejmplo 5. Epsió sri Tylor pr f ( ) L. ( ) ( ) L form grl l sri q scmos s: f( ) L( ) f () 0! Evlo ls rivs otmos: f ( ) f ( ) f ( ) 3 iv 3 f ( ) 4 ( ) ( )! f ( ) ( ) 3 ( ) ( ) ( ) ( ) L( ) L() ( ) ( )! ( )! Altrtivmt, hcio y otmos: 3 4 y y y L( y) y

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