1 Ejemplos de Aproximaciones de Integrales con Sumas de Riemman

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Mercedes Venegas Silva
hace 6 años
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1 Ejmplos d Aproximacios d Itgrals co Sumas d Rimma Esta Ru Hurtado Cruz UNAM. Itrodució Estos jmplos d aproximacios d sumas d Rima s usaro l curso d Calculo II, durat l smstr 003- d la Facultad d Cicias d la UNAM. Ejmplo suitrvalos. Dmostrar qu x3 dx = cosidrado particios Solució. Cosidrmos la partició P={a, a +, a +, a + 3,..., a + k,..., a + = } como a + = tocs = a qu s la amplitud d los itrvalo d sta partició. tocs x3 dx = = = fx k x k = [a 3 + 3a k + 3ak + k 3 3 ] a 3 + 3a k + 3ak + k 3 3 = a3 + +3a +3 a a = a a3 + 3 a + a + a a + k a a a + a + 3 a a a + 3 a3 a++ + a +

2 = a a3 + 3 a a a + + a3 + a + + = a a a a + a a 3 + a =a 3 a + 3 a 3a a +a 3 3 a +3a 3 a + 3 a+ 3 a a 3 + a = a Ejmplo x dx = a cosidrado particios suitrvalos. Dmostrar qu Solució. Cosidrmos la partició P={a, aq, aq,..., aq k,..., aq = } como aq = tocs q = por lo qu si tocs q a xk = aq k aq k = aq k q la cual 0 si x dx = fx k x k = aq k q aq k = a q k aq k q = aq k q k q = a = q a q q k q k q q q = q q + q a q q q = q + a q a = q a q k k q = a = q q a q q q = a = q + a q a q = a

3 Ejmplo 3 Dmostrar qu Sxdx = Cos + Cosa cosidrado particios suitrvalos. Solució. Cosidrmos la partició P={a, a +, a +, a + 3,..., a + k,..., a + = } como a + = tocs = a qu s la amplitud d los itrvalo d sta partició. tocs Sxdx = fx k x k = = [Sa + + Sa Sa + ] Multiplicado por s otmos s s [ s s Sa + k ] [Sa + + Sa Sa + ] Sa + + s Sa s Utilizado la idtidad trigoomtrica Sx Sy = Cosx y Cosx + y y simpr qu o sa multiplo d π s oti s Cosa + Cosa Cosa + Cosa Cosa + Cosa + = Sa + s Cosa + Cosa Cosa + 3 Cosa Cosa + Cosa Pusto qu a + =, la itgral s covirt l limit s Cosa + Cosa + + = s Cosa + Cos + =Cosa Cos 3

4 Ejmplo Dmostrar qu Cosxdx = S Sa cosidrado particios suitrvalos. Solució. Cosidrmos la partició P={a, a +, a +, a + 3,..., a + k,..., a + = } como a + = tocs = a qu s la amplitud d los itrvalo d sta partició. tocs Cosxdx = fx k x k = = [Cosa + + Cosa Cosa + ] Multiplicado por s otmos s s [ s Cosa + k ] [Cosa + + Cosa Cosa + ] s Cosa + + s Cosa s Cosa + Utilizado la idtidad trigoomtrica S α S β = S α + β + S α β y l co d qu S α = S α s Sa+ 3 +S a +Sa+ 5 +S a Sa S a 5 + Sa S a S + + a+ +S a s S a + S + = S Sa Ejmplo 5 Dmostrar qu x xdx = a cosidrado particios suitrvalos. Solució. Cosidrmos la partició P={a, a +, a +, a + 3,..., a + k,..., a + = } como a + = tocs = a qu s la amplitud d los itrvalo d sta partició.

5 tocs x dx = fx k x k = a+k = a k = a k a k = 0 = a [ ] [ k = a ] a como = a y y = a a = = 0 = y = a = tmos qu a [ ] = a [ a a ] a Usarmos l co d qu α = Logα Por lo qu a = Log a = a asi pus a [ a a a ] [ a ] [ = a a a = a a a ] = a a Ejmplo Mdiat la dfiició, calcul x + dx cosidrado particios suitrvalos. Solució. Cosidrmos la partició P={a, a +, a +, a + 3,..., a + k,..., a + = } como a + = tocs = a qu s la amplitud d los itrvalo d sta partició. tocs 5

6 x + dx = + + [a + k + ] = fx k x k = a + k + a + k + = a + = a + + a + = a a a =a a + a + + a = a a + a + a = aa + a + = aa + + =a 3 a + 3 a 3a a +a 3 3 a +3a 3 a + 3 a+ 3 a a 3 + a = a Ejmplo 7 Mdiat la dfiició, calcul 5 x dx cosidrado particios suitrvalos. Solució. Cosidrmos la partició P={, +, +, + 3,..., + k,..., + = 5} como + = tocs = 5 = 3 qu s la amplitud d los itrvalo d sta partició. tocs x dx = = = fx k x k = + k [ ] +k+k = Si + = 5 = 3 = 3 por lo qu

7 =+ + + =+8+9= = =

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