El problema que trata de resolver el agente que actúa sobre el capital humano, puede expresarse:

Transcripción

1 CAPITAL FÍSICO CAPITAL HUMANO: UN JUEGO DIFERENCIAL Mª Dolors Soo Torrs Dprno d Econoí Aplicd Máics Univrsidd d lldolid -il: lolsoo@couvs Rón Frnánd Lchón Dprno d Econoí Aplicd Máics Univrsidd d lldolid -il: ronfr@couvs Rsun S pln un juo nr dos ns uno s ocup d drinr l cuulción d cpil físico y l oro d l cuulción d cpil huno El juo s forul coo un juo difrncil dond cd judor inn opiir un funcionl n cuy vlorción insnán s in n cun l ncsidd por pr d os judors d cpil físico d cpil huno y los coss ncsrios pr su cuulción L forulción d l vlorción insnán no siu ls iss crcrísics u prsnn los juos cudráicos Uilindo l prorción dináic lo u iplic l úsud d ls corrspondins funcions d vlor s ncunrn ls sris d invrsión d los judors suponindo u no cooprn nr sí Ls sris d invrsión función d los socs d cpil susiuids n ls cucions difrncils d cuulción d cpil drinn un sis dináico El rjo nli jo ué condicions l sis dináico sí foruldo di un solución scionri y l dpndnci d s solución rspco ciros práros xplícios n l plnino dl juo Plrs clv: Juos difrncils uilirio fdc d Nsh siss dináicos

2 Inroducción L orí d juos suinisr un hrrin podros pr sudir l coporino d disinos ns u cún dnro d un conxo conóico y/o políico l priirnos nr n cun l rdo d cooprción o in d noniso u sur nr llos Disins pliccions dnro dl cpo d l croconoí d l conoí púlic o d l conoí políic uilin los dsrrollos d l orí d juos pr rchr o surr cirs sis Alunos odlos plndos n sos cpos considrndo juos difrncils n los u prcn oprcions d cuulción d cpil pudn nconrrs n Shiour 99 Docr l 996 y Fiuirs nr oros Plndo un juo difrncil su forulción conllv un procso d nálisis si s prnd nconrr uilirios u ocn d l propidd d sr uilirios prfcos n los sujuos Así n cirs ocsions l forulción d los juos difrncils propusos s dpn pr u los funcionls u rn d opiir los judors s jusn funcions cudráics n ls vrils d sdo y conrol y si dás l dináic d ls vrils d sdo s ri por un coporino linl l solución d uilirio fdc dl juo u iplic rsolvr l cución d Hilon-Jcoi-Blln pud onrs rsolvindo n úlio érino un cución d Rici dsrrollo u no sá xno d dificulds En s rjo plnros y forulros un juo difrncil nr dos judors n un horion infinio Un judor s ocup d l cuulción d cpil físico y l oro d cuulr cpil huno L forulción d los funcionls d los judors s lj d un plnino cudráico hcho u v vnir condiciondo por l xprsión u drin l crciino dl cpil huno n un inno d uilir l proxición propus por Lucs 9 pr l volución d s cpil Pr s uor l coporino dináico dl cpil físico y dl cpil huno s disino y u si l priro s incrn din invrsión físic con un forulción linl l crciino dl sundo d d nr n cun no l sfuro coo l conco nr prsons con suficins conociinos Sindo ovio u cpil y conociinos inrcún con ojo d onr un rsuldo físico n s rjo prndos drinr l volución d cpil físico y cpil huno si los ns rprsnivos no cooprn D s odo nusro ojivo con l dsrrollo dl juo difrncil s nconrr conrols

3 fdc Nsh pr los ns lo u nos priirá drinr l volución dináic d los dos cpils si ls conrols son dopdos L úsud d l solución d uilirio dl juo propuso conllv un rn cnidd d oprcions y pr surrnos d su un hcr odo l procso s rli uilindo l vrsión ocho d Mpl El odlo El juo u proponos considr dos ns u vivn infinin Supondros u os judors sn u l oro judor conoc los ojivos consuir y ls forulcions uilids l coporino d ls cuulcions d los rspcivos soc d cpil y los vlors d sos socs n l ono inicil Cd uno d los judors prnd opiir un funcionl cuy vlorción insnán dpnd d los socs d cpil físico y d cpil huno y dond ién s incluyn los coss prciidos por cd uno d los judors ncsrios pr nrr los crciinos d los corrspondins cpils Un n drin l invrsión n cpil físico inrs u l oro n r d nconrr l invrsión n cpil huno did por l sfuro u conllv l procso d prndij El prol u r d rsolvr l n u cú sor l cpil huno pud xprsrs: dond r x J h i L h i d s : & h L h i h i consiuy l uilidd insnán d s judor vlord n unidds d cpil físico sindo l soc d cpil huno n l ono u sólo podrá or vlors no nivos y su vlor inicil > s conocido El soc d cpil físico n l ono vin dnodo por El práro rco l no d dprcición d cpil huno y s supon consn durn l dsrrollo dl juo El no d prfrnci r considrdo consn y posiivo s supondrá idénico pr os judors El érino h id l sfuro insnáno d prndij u

4 in un pondrción cudráic n l uilidd insnán y pricip n l crciino dl cpil huno siuindo ids propuss por Lucs El rso d los práros u surn n l xprsión u drin l uilidd insnán y n l volución dl cpil huno s considrrán posiivos y odos llos posn un dinsión propid pr u ls xprsions nn snido dsd un puno d vis dinsionl Por su pr l oro judor r d rsolvr l prol: r x J h i L h i d s : & i sndo su uilidd insnán drind por l xprsión: L h i i h i h sindo no nivo y > conocido El práro corrspond l no d dprcición dl cpil físico supuso consn n l horion dl juo El érino i u ién prcí n l plnino dl prol rsolvr por l oro n rco l invrsión insnán n cpil físico y l rso d los práros u surn n l funcionl ojivo s suponn posiivos y con l dinsión propid pr u l uilidd insnán n unidds d cpil físico Osrvos u l vlorción d ls uilidds insnáns por os judors no s l is; dás ninuno d llos supon u ss funcions son cudráics rspco los socs d cpil y os considrn vlorcions d coss d invrsión disins sindo los coss rinls d invrsión dpndins d ls invrsions rlids por l oro n; por oro ldo ls uilidds insnáns no son siérics rspco ls vrils d sdo Enconrr un sri d uilirio fdc uivl drinr vlors * d invrsión n cpil físico i i y n cpil huno so s n sfuro * h h lo u nos priirá nconrr l volución d los dos socs d cpil * * L uilidd d cd judor cd rsuldo h i s vlú por l cuní u lcn l corrspondin funcionl ojivo J i h i con i { } Un sri d uilirio fdc vrific l propidd d u siu

5 5 sindo un sri d uilirio pr culuir sujuo conndo n culuir [ Pr nconrr un uilirio fdc Nsh uilindo prorción dináic ncsios nconrr ls funcions d vlor d los dos judors Así pr l prir judor uscos u rsulv l cución d Hilon- Jcoi-Blln x i h i h L r h y pr l sundo judor uscos pr rsolvr x i h i h L r i Osrvos u ls xprsions nr llvs son cóncvs n los corrspondins conrols pr los judors l prir s sricn cóncv n h y l sund ién s sricn cóncv n i Por no ls condicions ncsris d ópio pr l pror áico rsolvr rsuln suficins d áxio lol único Considrndo condicions d prir ordn pr cd uno d los prors rsolvr nconros los conrols d cd uno d los judors: h i Susiuyndo n ls cucions d H-J-B sos vlors d invrsión físic y sfuro nos plnd un cución n drivds prcils y pr rsolvrl proponos coo solución pr cd uno d los judors funcions d vlor con curo indrinds Pr l prir judor proponos

6 6 nindo n cun l forulción d ls uilidds insnáns y por l iso oivo proponos pr l sundo judor un función d vlor u siu l xprsión: Si hor rlios oprcions y susiuios n l cución d H-J-B nconros ls xprsions d ls cucions u dn sisfcr ls indrinds u fcn ls corrspondins funcions d vlor pr u ls funcions d vlor propuss sn solución d l corrspondin cución n drivds prcils D s odo pr l prir judor onos: 6 r r r r Noos u ss indrinds slvo dpndn d l indrind y ién l vlor d in u sr considrdo pr nconrr y Dl iso odo si rlios oprcions n l cución pr l sundo judor nconros: 6 6 r r r Osrvos u si conocos l vlor d l indrind hros nconrdo ods ls dás no pr un judor coo pr l oro; hor in l indrind sisfc un cución d sundo rdo cuys solucions son: r r ±

7 y cuy xisnci sá rnid sipr u s vrifiu l rlción r Los práros u inrvinn n l úli dsiuldd sin considrr l no d prfrnci forn pr d l dfinición d l uilidd insnán dl judor u s ocup d l cuulción d cpil físico Suponindo u l úli rlción s cir podos cpr los dos posils vlors pr n cuyo cso ndros rnid l xisnci d dos funcions d vlor u rsulvn ls corrspondins cucions n drivds prcils y ndríos surd l xisnci dl uilirio fdc unu no su unicidd Es rsuldo u no s inusul n l úsud d sris d Nsh pud prsnr nurosos inconvnins Más dln coproros ls difrncis u surn l considrr uno u oro vlor pr l indrind El sis dináico Suponindo u hos slcciondo un vlor d los conrols fdc son * h por no consn indpndin d y l invrsión n cpil físico * i dpndin dl soc d cpil físico y d l indrind Drindos los conrols fdc d los judors y suponindo u os ns ls siun ls cuulcions d los socs d cpil vrificrán l sis dináico no linl: & & L sund cución s linl n l soc d cpil físico indpndin dl cpil huno inrs u l prir soln dpnd dl cpil huno y pr podr oprr n s úli d un for ás siplificd podos rlir l cio d vril linl: ω Oprndo nconros l nuvo sis dináico 7

8 ω ω & & u di un único sdo d uilirio ω si Pr sudir l silidd dl sdo d uilirio drinos l ri Jcoin d ls cucions dl sis dináico n dicho puno y por no si < l sdo d uilirio srá sinóicn sl y culuir rycori convrrá hci él Por l conrrio si > l cución crcrísic socid l ri Jcoin diirá dos rícs un posiiv y or niv y n s cso l sdo d uilirio srí un puno d sill luo soln l rycori siud sor l vridd sl ndrí hci él L volución d los cpils n función dl ipo podos onrls rsolvindo l sis dináico linl nos [ ] ω ω Análisis dl sdo d uilirio Hy u nr n cun u dido l sinificdo d ls vrils ls coponns dl sdo d uilirio ndrán u sr posiivs y por no ruriros u >

9 Pr rnir u l sdo d uilirio s un puno d sill podos lir ls dos posiilidds pr Si lios r r ncsiros u > r y < r Si slccionos r r pr u n snido l coponn d cpil físico ruriros dicionln u < r y dás < r o in > r y dás > r En culuir d los dos csos soln suponindo u ndros rnid l convrnci dl cpil físico rsuldo u s oin sin ás u osrvr l solución dl sis dináico Por su pr l cpil huno ind onóonn hci su vlor d uilirio Pr rnir u l sdo d uilirio nconrdo s sinóicn sl sólo podos considrr u r r suponindo u dicionln s vrific < r rlción u dás nos rni u s un núro rl El sdo d uilirio in snido si dás > y rlindo oprcions l dsiuldd nrior s cir si < r Con s slcción d nconros r r r r r y nos los siuins rsuldos: En sdo scionrio l cpil físico dcrc y l cpil huno crc si s odific l fcividd d l inrcción nr l sfuro y l conco nr prsons con conociinos: > < 9

10 En sdo scionrio l cpil físico crc y l cpil huno dcrc si s odific l pondrción dl sfuro n l scor dl conociino: > < En sdo scionrio l cpil físico dcrc y l cpil huno no s lr si s odific l pondrción d l inrcción nr l sfuro y l invrsión físic n l scor dl cpil físico: < En sdo scionrio l cpil físico dcrc y l cpil huno crc si s odific l pondrción dl cpil huno n l uilidd insnán d s scor: < > En sdo scionrio l cpil físico crc y l cpil huno no s odific si s odific l pondrción dl érino cudráico d cpil físico n l uilidd insnán d s scor: > En sdo scionrio l cpil físico dcrc y l cpil huno no s odific si s odific l pondrción dl érino cudráico d l invrsión n cpil físico n l uilidd insnán d s scor: < En sdo scionrio l cpil físico dcrc y l cpil huno no s odific si vrí l dprcición dl cpil físico: <

11 En sdo scionrio l cpil físico crc y l cpil huno dcrc si vrí l dprcición dl cpil huno: < > En ls ráfics siuins s usr l coporino dl cpil físico y dl cpil huno considrndo disins condicions inicils y dndo vlors spcíficos los práros Fiur Evolución dl cpil físico y huno En lls s pud osrvr l coporino onóono d ls rycoris hci los corrspondins sdos d uilirio sindo l convrnci dl cpil huno ucho ás rápid u l dl cpil físico 5 Conclusions Es rjo dsrroll un juo difrncil nr dos ns u s ocupn d l cuulción dl cpil físico y d l cuulción dl cpil huno cuy dináic siu ids propuss por Lucs Buscos un solución d uilirio fdc

12 Nsh pr l juo propuso onindo xplícin l cuulción dináic d os cpils si los dos judors cpn suir l solución d uilirio nconrd El coporino dináico d los cpils s crcri por l xisnci d un sdo d uilirio u jo cirs rsriccions sor vlors préricos rsul sr sinóicn sl En s cso s posil drinr ls vricions d cpil físico y huno rspco los práros u inrvinn n l forulción d ls cuulcions d cpil y rspco los práros u inrvinn n l dfinición d ls uilidds insnáns 6 Biliorfí Bsr T nd GJ Olsdr 995: Dynic Non Coopriv G Thory Acdic Prss Docnr E J N Lon nd G Sorr 996: Anlysis of Nsh Euiliri in Clss of Cpil Accuulion Gs Journl Econoic Dynics nd Conrol ol pp 9-5 Fiuirs C : Coplnriy Susiuiliy nd Sric Accuulion of Cpil Inrnionl G Thory Rviw ol nº pp 7-9 Lucs R E 9: On h Mchnics of Econoic Dvlopn Journl of Monry Econoics ol pp - 5 Shiour K 99: Th Fdc Euiliri of Difrnil G of Cpilis Journl of Econoic Dynics nd Conrol ol 5 nº pp 7-6 Yun DWK nd MT Chun 99: Cpil Accuulion Sujc o Polluion Conrol n Advncs in Dynic Gs nd Applicions T Bsr nd A Huri Ediors pp 9- Birhäusr Boson