Radicales. Un r a d i c a l e s u n a e x p r e s i ó n d e l a f o r m a, e n l a q u e n y a ; c o n t a l
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- César Castro Espejo
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2 Radicales Un r a d i c a l e s u n a e x p r e s i ó n d e l a f o r m a, e n l a q u e n y a ; c o n t a l q u e c u a n d o a s ea n e ga t i v o, n h a d e s e r i m pa r. P o t e n c i a s y r a d i c a l e s S e p u e d e e x p r e s a r u n r a d i c a l e n f o r m a d e p o t e n c i a : n a m =a m n R a diales equi valentes U t i l i z a n d o l a n o t a c i ó n d e e x p o n e n t e f r a c c i o n a r i o y l a p r o p i e d a d d e l a s f r a c c i o n e s q u e d i c e q u e s i s e m u l t i p l i c a n u m e r a d o r y d e n o m i n a d o r p o r u n m i s m o n ú m e r o l a f r a c c i ó n e s e q u i v a l e n t e, o b t e n e m o s q u e : S i s e m u l t i p l i c a n o d i v i d e n e l í n d i c e y e l e x p o n en t e de un radical p o r u n m i s m o n ú m e r o n a t u ral, s e o b t i e n e o t r o r a d i c a l e q u i v a l e n t e.
3 Simplifi caci ón de radicales S i e x i s t e u n n ú m e r o n a t u r a l q u e d i v i d a a l í n d i c e y a l e x p o n e n t e ( o l o s e x p o n e n t e s ) d e l r a d i c a n d o, s e o b t i e n e u n r a d i c a l s i m p l i f i c a d o. Reducción de radicales a índice común í n d i c e 1 H a l l a m o s e l m í n i m o c o m ú n mú l t i p l o d e l o s í n d i c e s, q u e s e r á e l c o m ú n 2 D i v i d i m o s e l c o m ú n í n d i c e p o r c ad a u n o d e lo s í n d ic e s y c a d a r e s u l t a do o b t e n i d o s e m u l t i p l i c a p o r s u s e x p o n en t e s c o r r e s p o n d i e n t e s. Extracción e introducción de factores en un radical S e d e s c o m p o n e e l r a d i c a n d o e n f a c t o r e s. S i : 1 Un e x p o n e n t e e s m e n o r q u e e l í n d i c e, e l f a c t o r c o r r e s p o n d i e n t e s e d e j a en e l r a d i c a n d o Un e x p o n e n t e e s ig u a l a l í n d i c e, e l f a c t o r c o r r e s p o n d i e n t e s a l e f u e r a d e l r a d i c a n d o. 5 5 = U n e x p o n e n t e e s m a y o r q u e e l í n d i c e, s e d i v i d e d i c h o e x p o n e n t e p o r el í n d i c e. E l c o c i e n t e ob t e n i d o e s e l e x p o n e n t e d e l f a c t o r f u e r a d e l r a d i c a n d o y e l r e s t o e s e l e x p o n e n te d e l f a c t o r d e n t r o d e l r a d i c a n d o.
4 Introducción de factores dentro del signo radical S e i n t r o d u c e n l o s f a c t o r e s e l e v a d o s a l í n d i c e c o r r e s p o n d i e n t e d e l r a d i c a l. Suma de radicales S o l a m e n t e p u e d e n s u m a r s e ( o r e s t a r s e ) d o s r a d i c a l e s c u a n d o s o n r a d i c a l e s s e m e j a n t e s, e s d e c i r, s i s o n r a d i c a l e s c o n e l m i s m o í n d i c e e i g u a l r a d i c a n d o.
5 Producto de radicales R a d i c a l e s d e l m i s m o í n d i c e P a r a m u l t i p l i c a r r a d i c a l e s c o n e l m is m o í n d ic e s e multiplican l o s r a d i c a n d o s y s e d e j a e l m i s m o í n d i c e. C u a n d o t e r m i n e m o s d e r e a l i z a r u n a o p e r a c i ó n e x t r a e r e m o s f a c t o r e s d e l r a d i c a l, s i e s p o s i b l e. R a d i c a l e s d e d i s t i n t o í n d i c e P r i m e r o s e r e d u c e n a í n d i c e c o mú n y l u e go s e m u l t i p l i c a n. Cociente de radicales R a dicales del mis m o índi ce P a r a d i v i d i r r a d i c a l e s c o n e l m i s m o í n d i c e s e d i v i d e n l o s r a d i c a n d o s y se d e j a e l m i s m o í n d i c e.
6 R a dicales de disti nto índice P r i m e r o s e r e d u c e n a í n d i c e c o mú n y l u e go s e d i v i d e n. e s p o s i b l e. C u a n d o t e r m i n e m o s d e r e a l i z a r u n a o p e r a c i ó n s i m p l i f i c a r e m o s e l r a d i c a l, s i Potencia de radicales P a r a e l e v a r un r a d i c a l a u n a p o t e n c i a, s e e l e v a a d i c h a p o t e n c i a e l r a d i c a n d o y s e d e j a el m i s m o í n d i c e.
7 Raíz de un radical L a r a í z d e u n r a d i c a l e s o t r o r a d i c a l d e i g u a l r a d i c a n d o y c u y o í n d i c e e s e l p r o d u c t o d e l o s d o s í n d i c e s. Racionalización de radicales L a r a c i o n a l i z a c i ó n d e r a d i c a l e s c o n s i ste e n q u i t a r l o s radicales d e l d e n o m in a d o r, l o q u e p e r m i t e f a c i l i t a r e l c á l c u l o d e o p e r a c i o n e s c o m o l a s u m a d e f r a c c i o n e s. P o d e m o s d i s t i n g u i r t r e s c a s o s.
8 1 R a c i o n a l i z a c i ó n d e l t i p o S e m u l t i p l i c a e l n u m e r a d o r y e l d e n o m i n a d o r p o r. 2 R a c i o n a l i z a c i ó n d e l t i p o S e m u l t i p l i c a n u m e r a d o r y d e n o m i n ad o r p o r. R a c i o n a l i z a c i ó n d e l t i p o, y e n g e n e r a l c u a n d o e l d e n o m i n a d o r s e a un b i n o m i o c o n a l m e n o s u n r a d i c a l. S e m u l t i p l i c a e l n u m e r a d o r y d en o m i n a d o r p o r e l c o n j u g ad o d e l d e n o m in a d o r.
9 E l c o n j u g a d o d e u n b i n o m i o e s i g u a l a l b i n o m i o c o n e l s i g n o c e n t r a l c a m b i a d o : T a m b i é n t e n e m o s q u e t e n e r e n c u e n t a q u e : " s u m a p o r d i f e r e n c i a e s i g u a l a d i f e r e n c i a d e c u a d r ad o s ".
10 EJERCICIOS DE RADICALES 1.- Sacar factores de: a) 50 sol: 5 2 b) 24 sol: 9 c) 125 sol: Calcular y simplificar: 4 a) sol: 6 e) sol: b) 5 12 sol: 0 f) c) 4 16 : 2 sol: g) sol: sol: d) 7 5 sol: 0 h) 50 2 sol: Calcular y simplificar: a) 7 sol: 7 7 d) 6 2 sol: b) 5 2 sol: 5 6 e) 7 2 sol: c) sol: f) 5 a a b sol: a a a a b b
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