CONTRASTES DE SIGNIFICACIÓN CONJUNTA EN EL MBRL

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1 Cotrasts d sgfcacó cojuta /4 APUNTE DE CLAE ECONOMETRÍA I. UDI ECONOMETRÍA E INFORMÁTICA CONTRATE DE IGNIFICACIÓN CONJUNTA EN EL MBRL Prof. Rafal d Arc Prof. Ramó Mahía rafal.darc@uam.s ramo.maha@uam.s Rvsado Nov. I. Cotrast d sgfcacó cojuta dl modlo a partr d ua F d dcor II. Cotrasts d sgfcacó cojuta a partr dl cofct d dtrmacó lal R III. Rlacó tr l cotrast cojuto d parámtros F dcor la R Apédc.- Cotrast d rstrccó d parámtros a partr dl tst d Wald mplmtacó E-Vws. I. CONTRATE DE IGNIFICACIÓN CONJUNTA DEL MODELO A PARTIR DE UNA F DE NEDECOR El objtvo qu s prtd st tpo d cotrast dl modlo, s podr dar ua mdda umérca rprstatva d la capacdad global d todas las varabls xplcatvas para sgur la volucó d la varabl dóga. Para llo, como s habtual toda cotrastacó stadístca, cubrrmos las sguts tapas:. Crar ua rato capaz d sumstraros formacó sobr todos los parámtros dl modlo co u solo úmro.. Dtrmar la fucó d dstrbucó d sta rato. 3. Cotrastar l cumplmto o rchazo d ua hpótss ula a partr d la utlzacó d la fucó d dstrbucó tórca coocda d la rato. E l caso dl MBRL hmos platado como hpótss d partda la dstrbucó ormal Gaussaa d las prturbacos alatoras; por lo qu lo úco qu habrá qu comprobar s qué dstrbucó sgu las ormals somtdas a las varats matmátcas qu platamos ua rato tutvamt comprsbl como l dl valor mdo stadarzado d todos los parámtros dl modlo. E ustro caso, t trés coocr ua rato qu glob la formacó cotda por todos los parámtros d u modlo. Para llo, partdo d la

2 Cotrasts d sgfcacó cojuta /4 otacó como vctor x qu hmos dado a los parámtros dl modlo scrto su forma matrcal, podríamos prstar ua mdda dl parámtro mdo stadarzado scrtos al cuadrado para qu o s comps sgos postvos gatvos como sgu: / dod o hmos calculado otra cosa qu la suma cuadrada d los parámtros stadarzados a cada uo s l ha rstado su mda s l ha dvddo por su dsvacó típca la suma d u vctor columa traspusto por l msmo o s más qu la suma d las compots al cuadrado. Coocr cuál s la fucó d dstrbucó dl valor mdo d todos los parámtros qu trv u modlo cosdrados d forma cojuta, como ocurr sta rato, s fáclmt dducbl a partr d la costaca d qu los parámtros stmados s dstrbu como ua ormal ; N. Volvdo a la rato scrta más arrba, para podr ralzar l cálculo u modlo cocrto habrá qu dar u valor stmado a la varaza d la prturbacó alatora. Ralzado ua sr d susttucos matmátcas qu l dsarrollo s comta scrtas tr llavs, obtdríamos la fucó d dsdad d la rato ats scrto: F N N,,, / / / / / / / χ χ Por lo qu la rato, qu hmos scrto como l coct tr dos χ, s dstrbu como u F,- cuado s cumpl la hpótss d qu las prturbacos alatoras s dstrbu como ua ormal. Coocda la rato qu os globa cojutamt la formacó d todos los parámtros dl modlo su fucó d dstrbucó, podríamos ahora platar u modlo rstrgdo o ua hpótss ula la qu puséramos a pruba l cumplmto d lo qu acabamos d dmostrar. Es dcr, podríamos comprobar

3 Cotrasts d sgfcacó cojuta 3 /4 s l cálculo d sta rato sgu comportádos como ua F d dcor cuado mpomos algua caractrístca a los parámtros dl modlo. A partr d las tablas d sta dstrbucó, podmos sabr tr qu valors s stúa ua varabl alatora d las caractrístcas d la rato qu hmos costrudo co u 95% d probabldad. l cálculo d sta rato u caso cocrto, aplcado las caractrístcas a los parámtros qu quramos s dcr; cotrastado ua hpótss ula, dja d star comprddo tr los valors los qu lo staría ua F, -, podrmos dcr qu, co u 95% d probabldads, la codcó qu hmos mpusto a los parámtros s falsa. Podmos platar, por jmplo, ua hpótss ula la qu sostgamos qu l valor ral d todos los parámtros s gual a cro, lo qu os srvría para dcr qu gua d las varabls cludas como xplcatvas l modlo s ralmt válda para xplcar la dóga. La hpótss a aplcar a la rato formulada sría tocs H..., qu s lo msmo qu dcr todo l vctor d parámtros d las bta rals s gual a cros, co lo qu la rato atror s podría scrbr como: PR [ ] [ ][ ] [ ] ε < < F ε ; E prcpo sta rato dbra sgur comprddo tr los valors tabulados para la F s la rstrccó mpusta s crta; s dcr, s acptamos la hpótss ula. E l caso l qu la mposcó d sta hpótss os dtrmara u valor fura d la F tabulada, staríamos dcdo qu dcha hpótss o s compatbl co lo qu coocmos a cca crta dl modlo a para su dmostracó o habíamos hcho gua hpótss adcoal, lugo dbríamos rchazarla. Esto sría lo msmo qu admtr la hpótss altratva lógca: por lo mos algua d las varabls xplcatvas lgdas sí srv para xplcar l comportamto d la dóga co u 95% d probabldads. Evdtmt, la hpótss d uldad d todos los parámtros dl modlo s dmasado psmsta cuato la spcfcacó dl modlo s haa ralzado co u mímo cudado. Evdtmt, la hpótss altratva srá mu fácl d lograr qu por lo mos algua d los parámtros sa sgfcatvamt dstto d cro. Admás, l térmo dpdt prst l modlo rcogría ua alta carga d xplcacó d la dóga s l rsto d las varabls spcfcadas o fura sgfcatvas, por lo qu, por lo mos ést, sí sría sgfcatvo st por d los casos. Dcho sto, l cotrast d sta rato dfíclmt s Cuado o xst formacó dstta para xplcar ua varabl, s fácl dmostrar qu l mjor valor d stmacó d la msma qu s pud dar sría l d su mda, valor qu rcogría l térmo dpdt dl modlo o costat l caso d qu l rsto d las varabls o srvra absoluto para dfr l comportamto d la dóga.

4 Cotrasts d sgfcacó cojuta 4 /4 cumplría co la hpótss majada, a qu l parámtro d la costat sría sgfcatvo. E dftva, st cotrast s práctcamt útl s, al ralzarlo, s plata u hpótss ula qu cotga l térmo dpdt dl modlo. Para podr ralzar sta msma rato sobr u modlo s térmo dpdt, s csaro scrbr dcho modlo lo qu s cooc como dsvacos a la mda qu o s s o ua combacó lal d las cuacos atrors, dl sgut modo: x x x x 3 x3 x3... x x u dado qu la varabl x s u vctor qu sólo clu uos para dar lugar a s térmo dpdt, su mda també srá uo la rsta platada la cuacó supror hará qu l parámtro sté multplcado por cro sta rscrtura quvalt dl modlo cal. El cálculo d la rato atror sría ahora s clur s térmo costat gual a: [ ] F, dod todas las varabls mpladas staría dsvacos a la mda hcho qu matdrmos d ahora adlat, a psar d qu sgamos llamado a las varabls. E sta rato s podría prstar ua hpótss ula a cotrastar más razoabl, qu sría la uldad d todos los parámtros mos l dl térmo dpdt H..., sdo d aplcacó todo lo dcho atrormt. La xprsó d la rato majada hasta l momto s pud scrbr d forma rápda d otro modo por ua smpl, auqu algo tdosa, susttucó d los valors stmados d los parámtros por su fórmula d cálculo MCO, d dod obtdríamos la sgut xprsó : Nóts uvamt qu las fórmulas tr llavs ta sólo so rcordatoros d las opracos aplcadas para obtr los rsultados prstados la dmostracó.

5 Cotrasts d sgfcacó cojuta 5 /4 / / MU U I M U F, / / Esta últma xprsó dl cotrast F s spcalmt tutva s s aalza cudadosamt cada uo d los lmtos qu la compo. Rcordmos qu l producto s la suma cuadrátca d la varabl dóga dsvacos a la mda, s dcr: & & Obsrvmos ahora qu la mda d, pud tdrs como la stmacó d u modlo d rgrsó l qu sólo utlcmos como xplcatva l térmo dpdt U c 3 Por lo tato, la xprsó & & rprsta la suma cuadrátca dl rror d u modlo guo l qu o utlcmos gua xóga; o dcho d otro modo, u modlo l qu supomos la rstrccó d qu cualqur varabl xóga adcoal o rsultaría sgfcatva 3.. volvmos tocs a la xprsó d la F, obsrvamos qu, l umrador d la xprsó, s stá comparado l rror d st modlo rstrgdo co l rror d ustro modlo 3 C C C C C C U C...

6 Cotrasts d sgfcacó cojuta 6 /4 orgal, l qu sí aparc las xógas o, dcho d otro modo, rrstrcto, l qu o s mpo gua rstrccó sobr la sgfcatvdad d las xógas cludas. El domador d la xprsó prmt xprsar sa dfrca d rrors térmos porctuals; adcoalmt, s corpora l umrado domador los grados d lbrtad corrspodts utlzados ambos cálculos 4. Es vdt tocs, qu la rato F así tdda, s aproxmará a cro la mdda qu l rror dl modlo rstrgdo & & s xógas sa smlar al l rror dl modlo s rstrgr co xógas. Cuado so ocurr, s vdt qu la rstrccó supusta s vrosíml, s dcr, s stadístcamt vrosíml qu todos los parámtros salvo l térmo dpdt d todas las xógas sa stadístcamt ulos: H : 3... E l caso cotraro, s dcr, cuado l rror d ustro modlo s claramt fror al qu comtmos mpodo la rstrccó d qu todos los parámtros salvo l t. dpdt sa ulos, dbmos rchazar la atror hpótss ula. Como s vrá l apartado sgut, sta forma d tdr l cotrast d uldad cojuta F s la más crcaa a la da gral qu coomtría xst dl cotrast F. E térmos grals, l cotrast F prmt comparar dos modlos, uo qu mpo algua rstrccó los parámtros por jmplo la hpótss atror d qu todos llos ra ulos frt a otro qu o mpo sa rstrccó. El cotrast s costru smpr dl msmo modo, comprado los rrors obtdos ambos modlos: s los rrors so smlars, las rstrccos srá vrosímls. Evdtmt, u modlo co strccos smpr comtrá maors rrors la rstrccó rsta lbrtad a la stmacó paramétrca pro s las rstrccos qu s mpo so vrosímls, l modlo stmado rstrgdo tdrá u rror smlar, sólo algo maor, qu l modlo lbr l qu o s t cuta. Por supusto, para comprobar s sa dfrca tr dos valors dl rror s sgfcatvamt dstta d cro, cstamos comparar l valor obtdo co valors stadístcos crítcos prdtrmados, s por llo por lo qu rcurrmos a ua xprsó d cálculo qu, admás d tdrs d forma tutva, s dstrbua como algo coocdo, ustro caso, ua rato F. 4 Para l umrador, los grados d lbrtad utlzados l modlo rstrgdo so - datos u úco parámtro stmado: l térmo dpdt los grados d lbrtad dl modlo o rstrgdo so, como a s sab, - ; d s modo, los grados d lbrtad dl umrador so Para l domador, los grados d lbrtad so los utlzados l modlo s rstrgr.

7 Cotrasts d sgfcacó cojuta 7 /4 F / q / r r Fq, dod : r r s la suma cuadrátca dl rror dl modlo rstrgdo s la suma cuadrátca dl rror dl modlo s rstrgr q s l úmro d rstrccos 5 Partmos d u modlo gral co trs varabls xplcatvas más la costat dl tpo: Mod. rstrgr t t t 3 3t ε t Podmos mpor ua rstrccó al modlo, por jmplo: Icorporado dcha rstrccó al modlo tmos: Oprado dspjado: Mod. rstrgdo t t t 3 3t ε t t t t t 3 3t ε t grado las uvas varabls qu mpo la rstrccó qu hmos mpusto, obtdrmos l modlo a stmar: Z t t t Z t t t Z t Z t 3 3t ε t Est sría ahora l modlo rstrgdo, qu pud sr stmado por MCO al gual qu la prmra cuacó qu habíamos platado. Ua forma gral para cotrastar la valdz d rstrccos lals sobr los parámtros s costrur l stadístco F : 5 El úmro d rstrccos s, raldad, l úmro d parámtros qu s dja d stmar l modlo rstrgdo por l hcho d mpor la rstrccó, por llo, s úmro d rstrccos cocd co l cálculo matmátco scllo d rstar los grados d lbrtad d ambos modlos. Por jmplo, l caso d la F aplcada al cotrast d uldad cojuta, sta hpótss supo raldad - rstrccos, o sa, l úmro d parámtros qu djamos d stmar al cosdrar la rstrccó.

8 Cotrasts d sgfcacó cojuta 8 /4 F r r r q El stadístco s dstrbu como ua F co q grados d lbrtad l umrador - l domador. Esta vrsó gral dl tst F pud utlzars para cualqur rstrccó qu mplqu ua combacó lal d parámtros. Por jmplo, pud tr trés comprobar s ua dtrmada fucó d produccó prsta rdmtos costats a scala, s dcr, s la suma d los parámtros dl captal al trabajo so guals a uo: Q K α L U H : α E st jmplo, l modlo s rstrccos, stmado lalmt, sría l sgut: logq α logk logl logu Modlo s rstrccos : logq α logk logl Como altratva, tmos l modlo qu dbmos stmar co la rstrccó qu supo la hpótss ula d rdmtos costats: H : α logq α logk logq logl αlogk Modlo co rstrccos : Q log L α logl logu logl logu K α log L logu r r El úmro d rstrccos s, st caso, gual a, porqu al supor qu α basta co stmar co úco parámtro α, a qu l otro, srá la rsta a. E todo caso, s o somos capacs d aplcar st razoamto, podmos rcurrr a la smpl matmátca: los grados d lbrtad dl modlo a stmar csaro para obtr r r so - sólo ha u parámtro a stmar, α, mtras qu para l modlo s rstrccos, los grados d lbrtad so - ha qu stmar α, lugo los grados d lbrtad d r r - so ---. E l apédc d sta ota, s rcog cómo ralzar u cotrast d st tpo drctamt -vws, s csdad d ralzar a mao los dos modlos rstrgdo s rstrgr.

9 Cotrasts d sgfcacó cojuta 9 /4 II. CONTRATE DE IGNIFICACIÓN CONJUNTA A PARTIR DEL COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN LINEAL R La R rprsta la proporcó d la varaza d la varabl dóga ral qu v xplcada por la varaza d la varabl stmada. Es dcr: R abdo qu l Modlo Básco d Rgrsó Lal s cumpl qu la varaza d la dóga cocd co la suma d la varaza d la stmada más la varaza dl rror 6 :, la xprsó d la R s sul xprsar dl sgut modo: R Exprsó d la qu s pud xtrar las sguts coclusos: 6 Partdo d las varabls dsvacos a la mda a cada ua d llas s ls habría sustraído prvamt su corrspodt mda: U U U I MU I M MU ` E dftva, llgamos a qu, dod, s dvdmos ambos lados d la gualdad por l úmro d datos dspjamos, obtmos:, a qu las varabls staba dsvacos a la mda, lugo las rsultats tdría mda cro 6.

10 Cotrasts d sgfcacó cojuta /4 - E l mjor d los casos posbls, la varaza d la dóga cocdría co la varaza d la stmada, caso qu l valor d la varaza dl rror sría gual a cro la R tomaría l valor gual a uo. - A mdda qu la varaza d la stmada sa más dfrt d la varaza d la dóga ral, rá aumtado l valor d la varaza dl rror, sdo l puto máxmo qu ésta puda tomar, dod la R valdría cro. - E dftva, la sguda xprsó d la R s pud trprtar como l porctaj d la varaza ral rcogda por la stmada a qu, d ést, s dduc l porctaj qu supo l rror. E cualqur caso, st porctaj d la varaza xplcada d la dóga stará claramt codcoado por l úmro d xplcatvas mpladas l modlo. Atédoos al prcpo d parqudad stadístca, parc adcuado qu para comparar tr dos modlos co dstto úmro d varabls s tga cuta st hcho, palzado aquél qu cuta co u maor úmro d xplcatvos. Por sta razó s mpla habtualmt la R ajustada, calculada dvddo cada valor stmado por sus grados d lbrtad la fórmula atror: R / / R A partr d sta xprsó, s fácl dtrmar qu l valor d la R cuadrado smpr srá supror al d la R cuadrado ajustada. III. RELACIÓN ENTRE EL CONTRATE DE NULIDAD CONJUNTA DE PARÁMETRO F NEDECOR LA R Partdo d la púltma xprsó aalzada para l cotrast d uldad cojuta d parámtros F-dcor: F, / / s tmos cuta, como dcíamos ats, qu la varaza o s ssbl a los cambos d org, s dvdmos umrador domador por l úmro d obsrvacos la xprsó atror: F, / / / / / / /

11 Cotrasts d sgfcacó cojuta /4 dvdmos ahora domador umrador por la varaza d la dóga: F, / / / / / / / / A partr d la xprsó d R : R R La F s podría scrbr como: F, / / R / / / R / podo así rlacó ambos cotrasts d sgfcacó cojuta. La rlacó tr la F la R o s sólo u dvrtmto matmátco, so qu scod ua coxó tórca trsat: cotrastar la hpótss d qu todos los parámtros dl modlo so ulos s stadístcamt quvalt a cotrastar la hpótss d uldad d la R. APÉNDICE.- CONTRATE DE RETRICCIÓN DE PARÁMETRO A PARTIR DEL TET DE WALD La propusta d Wald o s, raldad, dstta al cotrat F gral propusto más arrba; su aportacó cosst raldad ofrcr u procdmto matmátco scllo para laborar l cotrast d rstrccos s csdad d stmar los dos modlos por sparado. La rato d Wald s propo vrfcar la hpótss ula H R r, dod R s ua matrz d q x qu rcog las caractrístcas qu xgmos a los parámtros dl modlo p.., qu la suma d todos llos sa gual a uo 7. 7 E s jmplo, podríamos scrbr matrcalmt la rstrccó dl sgut modo:

12 Cotrasts d sgfcacó cojuta /4 gudo los msmo pasos qu ats, propo la sgut rato d la suma cuadrada d los parámtros stadarzados sujtos a la rstrccó mpusta: [ ] R r R r W Lo qu s dstrburía como ua χ co q grados d lbrtad sdo q l úmro d rstrccos xgdas al modlo. Dmostrado qu, s s mat la hpótss d qu las prturbacos alatoras s dstrbu como ua ormal l caso dl MBRL, tocs 8 : W / q / q r r Fq, / dod r r s la suma d los rsduos al cuadrado d la rgrsó rstrgda aqulla qu corpora las rstrccos sobr los parámtros. E prcpo, s stá cotrastado la dfrca tr los rsduos d ua rgrsó a la qu s l ha mpusto rstrccos, frt a la orgal. las rstrccos so asumbls l modlo, db habr ua dfrca mu pquña tr los rrors al cuadrado stmados uo u otro caso, por lo qu l valor d la F calculada dbrá sgur sdo pquño star comprddo tr los valors tabulados para ua cofaza dl 95% los grados d lbrtad spcfcados. Nóts qu sta últma xprsó s mu smlar a la obtda falmt como cotrast cojuto d parámtros F-dcor [... ] R. [... ] co ua rstrccó q:qu los parámtros sum uo. r 8 U U Como a s dmostró U MU, dod U N; I, por lo qu M χ

13 Cotrasts d sgfcacó cojuta 3 /4 Utlzacó dl tst d Wald E-vws Ua vz obtdo l rsultado d ua rgrsó -vws, sgú los procdmtos habtuals, l programa ofrc la posbldad d ralzar cotrasts dl tpo dl d Wald dtro d las opcos ua vz ralzada ua rgrsó: Vw - Coffct Tst Wald Coffct Rstrctos. Como jmplo d aplcacó, ttarmos stmar las lastcdads dl cosumo prvado gasto acoal d los hogars o GTOHOGNAC at los prcos d dcho cosumo LOGPRECI_CON la rta dspobl d los hogars dstada al cosumo LOGRENTA, para lo cual ralzamos la rgrsó d dchas varabls logartmos, obtédos así co los parámtros las lastcdads. Dpdt Varabl: LOGGTOHOGNAC Mthod: Last quars ampl: 98: : Icludd obsrvatos: 86 Varabl Coffct td. Error t-tatstc Prob. C LOGPRECI_CON LOGRENTA R-squard.9965 Ma dpdt var Adjustd R-squard.996.D. dpdt var.6897.e. of rgrsso.75 Aa fo crtro um squard rsd.8763 chwarz crtro Log llhood F-statstc 64. Durb-Watso stat.6993 ProbF-statstc. Estmada la lastcdad prco rta dl cosumo, s plata s la suma d ambas s gual a uo, hcho qu db cumplrs para qu s matga l prcpo d qu toda la rta dstada al cosumo fctvamt s gasta st f. La rstrccó sría tocs qu los parámtros d las varabls xplcatvas todos mos la costat ha d sumar uo. E l modlo qu hmos stmado, sgú lo rprsta -vws, la rstrccó qu dbmos cotrastar sría Dod: CC3 LOGGTOHOGNAC CC* LOGPRECI_CONC3* LOGRENTA Para obtr los rsultados dl tst d Wald, sgurmos los pasos ats ctados Vw - Coffct Tst Wald Coffct Rstrctos. qu s cutra la vtaa d la salda d rgrsó; abrédos tocs l cuadro d dálogo qu s obsrva la fgura d más abajo.

14 Cotrasts d sgfcacó cojuta 4 /4 E st cuadro habrá qu clur la rstrccó paramétrca a cotrastar; ustro caso: CC3 pulsar OK; obtédos la sgut salda: Wald Tst: Equato: Uttld Null Hpothss: CC3 F-statstc Probablt.335 Ch-squar Probablt.99 Podmos afrmar sta rstrccó dl modlo CC3 como crta co u 3% d probabldad a ssu cotraro, sólo podríamos rchazarla co u 7% d probabldads qu, como o llga al 95%, o s sufct.