3 Regresión lineal múltiple: estimación y propiedades

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1 3 Regresó leal múltple: estmacó y propedades Ezequel Urel Uversdad de Valeca Versó El modelo de regresó leal múltple Modelo de regresó poblacoal y fucó de regresó poblacoal 3.1. Fucó de regresó muestral 4 3. Obtecó de estmacoes de mímos cuadrados, terpretacó de los coefcetes, y otras característcas Obtecó de estmadores MCO Iterpretacó de los coefcetes Implcacoes algebracas de la estmacó Supuestos y propedades estadístcas de los estmadores de MCO Supuestos estadístcos del MLC e la regresó leal múltple Propedades estadístcas del estmador de MCO Más sobre formas fucoales Utlzacó de logartmos e los modelos ecoométrcos Fucoes polomales Bodad del ajuste y seleccó de regresores Coefcete de determacó R cuadrado ajustado Crtero de formacó de Akake (AIC) y crtero de Schwarz (SC) Ejerccos 5 Apédces 33 Apédce 3.1 Demostracó del Teorema de Gauss-Markov 33 Apédce 3. Demostracó: es u estmador sesgado de la varaza de la perturbacó 34 Apédce 3.3 La cossteca del estmador de MCO El modelo de regresó leal múltple El modelo de regresó leal smple o es adecuado para modelzar muchos feómeos ecoómcos, ya que para explcar ua varable ecoómca se requere e geeral teer e cueta más de u factor. Veamos alguos ejemplos. E la fucó keyesaa clásca el cosumo se hace depeder de la reta dspoble como úca varable relevate: cos reta u (3-1) 1 S embargo, hay otros factores que puede cosderarse relevates e el comportameto del cosumdor. Uo de esos factores podría ser la rqueza. Co la clusó de este factor se tedrá u modelo co dos varables explcatvas: cos c rqueza u (3-) 1 3 E el aálss de la produccó se utlza a meudo las fucoes potecales, que co ua especfcacó adecuada puede ser trasformadas (tomado logartmos aturales, e este caso) e modelos leales e los parámetros. Utlzado u solo put (trabajo), u modelo para explcar el output se especfca del sguete modo: l( output) l( trabajo) u (3-3) 1 El modelo ateror es claramete sufcete para el aálss ecoómco. Sería mejor utlzar el coocdo modelo de Cobb-Douglas, e el que se cosdera dos puts prmaros (trabajo y captal): 1

2 l( output) l( trabajo) l( captal) u (3-4) 1 3 De acuerdo co la teoría mcroecoómca, los costes totales (costot) se expresa como ua fucó de la catdad producda (catprod). Ua prmera aproxmacó para explcar el coste total podría ser u modelo co u úco regresor: costot catprod u (3-5) 1 S embargo, es muy restrctvo cosderar que, como sería el caso del modelo ateror, el coste margal permaece costate, depedetemete de la catdad producda. E la teoría ecoómca se propoe, ua fucó cúbca, lo que coduce al sguete modelo ecoométrco: costot catprod catprod catprod u (3-6) E este caso, a dfereca de los aterores, e el modelo sólo hay ua varable explcatva, pero que da lugar a tres regresores. Los salaros se determa por dferetes factores. U modelo relatvamete smple para explcar los salaros e fucó de los años de educacó y de los años de expereca es el sguete: salaros educ exper u (3-7) 1 3 De todos modos, otros factores mportates para explcar los salaros puede ser varables cuattatvas tales como el tempo de formacó y la edad, o varables cualtatvas, como el sexo, la rama de actvdad, etc. Por últmo, para explcar los gastos e cosumo de pescado los factores relevates puede ser su preco, el preco de u producto susttutvo como la care, y la reta dspoble. Es decr: gastopescado precopescado precocare reta u (3-8) Por lo tato, los ejemplos aterores ha puesto de releve la ecesdad de utlzar modelos de regresó múltple. El tratameto ecoométrco del modelo de regresó leal smple se hzo utlzado álgebra ordara. El tratameto de u modelo ecoométrco de dos varables explcatvas medate el uso de álgebra ordara es tedoso y egorroso; por otra parte, u modelo co tres varables explcatvas es práctcamete tratable co esta herrameta. Por esta razó, el modelo de regresó se va a presetar utlzado álgebra matrcal Modelo de regresó poblacoal y fucó de regresó poblacoal E el modelo de regresó leal múltple, el regresado -que puede ser la varable edógea o ua trasformacó de las varables edógeas-, es ua fucó leal de k regresores correspodetes a las varables explcatvas -o a trasformacoes de las msmas- y ua perturbacó aleatora o error. El modelo també cluye u térmo depedete. S desgamos por y al regresado, por x, x 3,..., x k a los regresores y por u al error o perturbacó aleatora, el modelo poblacoal de regresó leal múltple vedrá dado por la sguete expresó: y x x x u (3-9) k k+ Los parámetros 1,, 3,, k so fjos y descoocdos.

3 E el segudo membro de (3-9) se puede dstgur dos compoetes: u compoete sstemátco 1 x 3 x 3 k x k y la perturbacó aleatora u. Llamado y al compoete sstemátco, podemos escrbr: x x x (3-10) y k k Esta ecuacó es coocda como fucó de regresó poblacoal (FRP) o hperplao poblacoal. Cuado k=, la FRP es específcamete ua líea recta, cuado k=3, la FRP es específcamete u plao y, por últmo, cuado k>3, la FRP es deomada geércamete hperplao, que o es susceptble de ser represetado físcamete. De acuerdo co (3-10), y es ua fucó leal e los parámetros 1,, 3,, k. Ahora, supogamos que teemos ua muestra aleatora de tamaño, {( y, x, x31,, xk) : 1,,, }, extraída de la poblacó estudada. S expresamos el modelo poblacoal para todas las observacoes de la muestra, se obtee el sguete el sstema: y1 1x13x31 kxk1u1 y x x x u y x x x u k k k k (3-11) El ateror sstema de ecuacoes puede expresarse de ua forma más compacta usado la otacó matrcal. Así, vamos a deomar y1 y y... y 1 x1 x31... xk1 1 x x3... x k X 1 x x3... xk 1 3 k u1 u u... u La matrz X es la matrz de regresores. Etre los regresores també se cluye el regresor correspodete al térmo depedete. Este regresor, que a meudo se deoma regresor fctco, toma el valor 1 para todas las observacoes. El modelo de regresó leal múltple (3-11) expresado e otacó matrcal es el sguete: 1 y1 1 x1 x31... xk1 u1 y 1 x x3... x k u 3 y 1 x x3... x k u k (3-1) S se tee e cueta las deomacoes dadas a vectores y matrces, el modelo de regresó leal múltple puede ser expresado de forma compacta de la sguete maera: y=x +u (3-13) 3

4 dode, de acuerdo co la otacó utlzada, y es u vector 1, X es ua matrz k, es u vector k 1 y u es u vector Fucó de regresó muestral La dea básca de la regresó cosste e estmar los parámetros poblacoales 1,, 3,, k, a partr de ua muestra dada. La fucó de regresó muestral (FRM) es la cotrapartda de la fucó de regresó poblacoal (FRP). Dado que FRM se obtee de ua muestra dada, ua ueva muestra geerará dferetes estmacoes. La FRM, que es ua estmacó de la FRP, que vee dada por yˆ ˆ ˆ x ˆ x ˆ x 1,,, (3-14) k k os permte calcular el valor ajustado (ˆ y ) correspodete a cada y. E la FRM, ˆ 1, ˆ ˆ ˆ, 3,, k so los estmadores de los parámetros 1,, 3,, k. Se deoma resduo a la dfereca etre y e y. Esto es uˆ y yˆ y ˆ ˆ x ˆ x ˆ x (3-15) k k E otras palabras, el resduo u ˆ es la dfereca etre u valor muestral y su correspodete valor ajustado. El sstema de ecuacoes (3-14) puede expresarse de ua forma más compacta utlzado otacó matrcal. Así, vamos a deotar ˆ 1 yˆ 1 ˆ uˆ 1 yˆ y ˆ ˆ ˆ uˆ... 3 u ˆ... yˆ uˆ ˆk El modelo ajustado correspodete, para todas las observacoes de la muestra, será el sguete: ŷ=x ˆ (3-16) El vector de los resduos es gual a la dfereca etre el vector de valores observados y el vector de valores ajustados, es decr, uˆ y-y ˆ =y-x ˆ (3-17) 3. Obtecó de estmacoes de mímos cuadrados, terpretacó de los coefcetes, y otras característcas 3..1 Obtecó de estmadores MCO Deomado S a la suma de los cuadrados de los resduos, ˆ 4

5 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ k k (3-18) 1 1 S u y x x x para aplcar el crtero de mímos cuadrados e el modelo de regresó leal múltple, calculamos la prmera dervada de S co respecto a cada ˆ j e la expresó (3-18): S ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ y x x kx k 1 1 S ˆ ˆ ˆ ˆ k k ˆ y x x x x 1 S y ˆ ˆ ˆ ˆ 1 x 3x3 kxk x3 ˆ 3 1 S y ˆ ˆ ˆ ˆ 1 x 3x3 k xk ˆ xk k 1 (3-19) Los estmadores de mímos cuadrátcos se obtee al gualar a 0 las dervadas aterores: 1 1 y ˆ ˆ ˆ ˆ 1 x 3x3 kx k 0 y ˆ ˆ ˆ ˆ 1 x 3x3 kx k x 0 y ˆ ˆ ˆ ˆ 1 x 3x3 kx k x y ˆ ˆ 1x ˆ ˆ 3x3 kx k xk 0 (3-0) o, co otacó matrcal, XX ˆ Xy (3-1) Al sstema ateror se le deoma geércamete sstema de ecuacoes ormales del hperplao. E otacó matrcal amplada, el sstema de ecuacoes ormales es el sguete: x... xk y 1 1 ˆ 1 1 ˆ x x xxk x y ˆ k xk xkx x k xk y (3-) 5

6 Obsérvese que: a) a) XX / es la matrz de mometos muestrales de segudo orde, co respecto al orge, de los regresores, etre los cuales se cluye el regresor fctco (x 1 ) asocado al térmo depedete, que toma el valor x 1 =1 para todo. b) Xy / es el vector de mometos muestrales de segudo orde, co respecto al orge, etre el regresado y los regresores. E este sstema hay k ecuacoes y k cógtas ( ˆ ˆ ˆ ˆ 1,, 3,, k ). Este sstema puede resolverse fáclmete utlzado álgebra matrcal. Co el f de resolver uívocamete el sstema (3-1) co respecto a ˆ, es precso que el rago de la matrz XX sea gual a k. S esto se cumple, ambos membros de (3-1) puede ser premultplcados por XX 1 : ˆ 1 1 XX XX XX Xy obteédose la expresó del vector de estmadores de mímos cuadrados, o más exactamete, el vector de estmadores de mímos cuadrados ordaros (MCO), porque XX XX I. Por lo tato, la solucó es la sguete: 1 ˆ 1 ˆ 1 ˆ XX Xy (3-3) ˆk Como la matrz de segudas dervadas, XX, es ua matrz defda postva, la coclusó es que S preseta u mímo e ˆ. 3.. Iterpretacó de los coefcetes El coefcete ˆ j mde el efecto parcal del regresor x, mateedo los otros regresores fjos. Vamos a ver el sgfcado de esta expresó. El modelo estmado para la observacó -ésma vee dado por y ˆ ˆ x ˆ x ˆ x ˆ x (3-4) ˆ j j k k Cosderemos ahora el modelo estmado para la observacó h-ésma, e el que los valores de las varables explcatvas y, e cosecueca, de y habrá cambado co respecto a la (3-4): y ˆ ˆ x ˆ x ˆ x ˆ x (3-5) ˆh 1 h 3 3 h j jh k kh Restado (3-5) de (3-4), teemos que y ˆ x ˆ x ˆ x ˆ x (3-6) ˆ 3 3 j j k k ˆ ˆ ˆ,,,. dode y y yh x x xh x3 x3 x3h xk xk xkh La expresó ateror capta la varacó de ŷ debda a cambos e todos los regresores. S sólo camba x j, tedremos que 6

7 y ˆ x (3-7) ˆ j j S x k se cremeta e ua udad, teemos yˆ ˆ for x 1 (3-8) j E cosecueca, el coefcete ˆ j mde el cambo e y cuado x j aumeta e 1 udad, mateedo fjos los regresores x, x3,, xj 1, xj 1,, xk. Es muy mportate e la terpretacó de los coefcetes teer e cueta esta cláusula ceters parbus. Esta terpretacó o es válda, por supuesto, para el térmo depedete. EJEMPLO 3.1 Cuatfcado la flueca de la edad y del salaro sobre el absetsmo e la empresa Bueosares Bueosares es ua empresa dedcada a la fabrcacó de vetladores, habedo tedo resultados relatvamete aceptables e los últmos años. Los drectvos cosdera, s embargo, que los resultados habría sdo mejores s el absetsmo e la empresa o fuera ta alto. Para este propósto, el modelo que se propoe es el sguete: abset 1age 3teure 4wage u dode la auseca, abset, se mde e días por año, el salaro, wage, e mles de euros al año; los años trabajados e la empresa, teure, y la edad, age, se expresa e años. Utlzado ua muestra de tamaño 48 (fchero abset), se ha estmado la sguete ecuacó: abset = age teure wage (1.603) (0.048) (0.067) (0.007) R =0.694 =48 La terpretacó de ˆ es la sguete: mateedo fjo el salaro y los años trabajados e la empresa, s la edad se cremeta e u año, el absetsmo laboral se reducrá e días al año. La terpretacó de 3 ˆ es como sgue: mateedo fjo el salaro y la edad, s los años trabajados e la empresa se cremeta e u año, el absetsmo laboral se reducrá e días al año. Falmete, la terpretacó de 4 ˆ es la sguete: mateedo fja la edad y los años trabajados e la empresa, s el salaro se cremeta e 1000 euros al año, el absetsmo laboral se reducrá e días por año. EJEMPLO 3. Demada de servcos hoteleros Para explcar la demada de servcos hoteleros se formuló el sguete modelo: l( hostel) b1 bl( c) b3hhsze u j (3-9) dode hostel es el gasto e servcos hoteleros e c es la reta dspoble; ambas varables está expresadas e euros por mes. La varable hhze es el úmero de membros del hogar. La ecuacó estmada co ua muestra de 40 hogares, utlzado el fchero hostel, es la sguete: l( hostel ) l( c ) -0.53hhsze R =0.738 =40 A la vsta de estos resultados, podemos decr que los servcos hoteleros so u be de lujo, ya que la elastcdad de la demada/reta para este be es muy alta (4.44). Esto sgfca que s la reta se cremeta e u 1%, el gasto e servcos hoteleros se cremetará u 4.44%, mateedo fjo el tamaño de la famla. Por otro lado, s el tamaño del hogar aumeta e u membro, etoces el gasto e servcos hoteleros dsmurá e u 5%. EJEMPLO 3.3 Ua regresó hedóca para coches El modelo hedóco de medcó de precos se basa e el supuesto de que el valor de u be depede del valor de sus dferetes característcas. Así, el preco de u coche depederá del valor que el comprador asge a sus atrbutos: cualtatvos (por ejemplo, cambo automátco, poteca, desel, dreccó asstda, are acodcoado), y cuattatvos (por ejemplo, cosumo de combustble, peso, etc.). 7

8 La base de datos para este ejercco es el fchero hedcarsp (precos hedócos de los coches e España) y cubre los años 004 y 005. U prmer modelo basado sólo e atrbutos cuattatvos es el sguete: l( prce) 1volume 3fueleff u dode volume es logtud achura altura e m 3 y fueleff es la rato ltros por 100 km/caballos de vapor expresada e porcetaje. La ecuacó estmada co ua muestra de 14 observacoes es la sguete: l( prce) volume fueleff (0.151) (0.009) (0.010) R =0.765 =14 La terpretacó de ˆ y 3 ˆ es la sguete. Mateedo fueleff fjo, s aumeta volume e 1 m 3, el preco de los coches se cremetará e u 9.56%. Mateedo fjo volume, s la rato ltros por 100 km/caballos de vapor aumeta e u puto porcetual, el preco de los automóvles se reducrá e u 16,08%. EJEMPLO 3.4. Vetas y publcdad: el caso de Lyda E. Pkham E este caso se va a estmar u modelo co datos de seres temporales co objeto de medr el efecto que pueda teer los gastos de publcdad, realzados a lo largo de dsttos períodos de tempo, sobre las vetas del mometo actual. Desgado por V t y P t a las vetas y a los gastos e publcdad, realzados e el mometo t, el modelo plateado calmete para explcar las vetas, e fucó de los gastos e publcdad presetes y pasados, es el sguete: V P P P u (3-30) t 1 t t1 3 t t E la expresó ateror los putos suspesvos dca que los gastos e publcdad realzados e el pasado sgue ejercedo flueca de forma defda, auque, se supoe, que co u mpacto decrecete sobre las vetas del mometo actual. Naturalmete, el modelo ateror o es operatvo, ya que tee u úmero defdo de coefcetes. Para solucoar el problema se puede adoptar, e prcpo, dos efoques. El prmer efoque cosste e fjar a pror el úmero máxmo de períodos durate los cuales la publcdad matee sus efectos sobre las vetas. E el segudo efoque, se postula que los coefcetes se comporta de acuerdo co algua ley que permte determar su valor e fucó de u úmero reducdo de parámetros, posbltado además ua ulteror smplfcacó. E el prmer efoque el problema que surge es que e geeral o exste crteros precsos e formacó sufcete que permta la fjacó a pror del úmero máxmo de períodos. Por esta razó, vamos a ver u caso partcular del segudo efoque que tee gra terés por la plausbldad del supuesto y su fácl aplcacó. El caso que vamos a cosderar cosste e establecer que los coefcetes dsmuye de forma geométrca a medda que os alejamos haca atrás e el tempo segú el esquema: (3-31) A la ateror trasformacó se le deoma trasformacó de Koyck, ya que fue este autor el que la trodujo e 1954 para el estudo de la versó. Susttuyedo (3-31) e (3-30), se obtee que V P P P u (3-3) t 1 t 1 t1 1 t t El modelo ateror sgue teedo ftos térmos, pero sólo tres parámetros y además se puede smplfcar. E efecto, s expresamos la ecuacó (3-3) para el período t-1 y multplcamos ambos membros por se obtee que V P P P u (3-33) 3 t1 1 t1 1 t 1 t3 t1 Restado membro a membro (3-33) de (3-3), y teedo e cueta que los factores tede a 0 al teder a fto, se llega al sguete resultado: V (1 ) P V u u (3-34) t 1 t t1 t t1 El modelo ha quedado smplfcado de forma que solamete tee tres regresores, auque, a cambo, se ha pasado a u térmo de perturbacó compuesto. Ates de ver la aplcacó de este modelo 8

9 se va aalzar el sgfcado del coefcete y el problema de la duracó de los efectos de los gastos e publcdad sobre las vetas. El parámetro es la tasa a que decae los efectos de los gastos e publcdad presetes sobre las vetas presetes y futuras. Los efectos acumulados del gasto e publcdad de ua udad moetara sobre las vetas después de trascurrdos m períodos vee dados por (3-35) (1 3 m ) 1 Para calcular la suma acumulada de los efectos, dada e (3-35), vamos a teer e cueta que esta expresó es la suma de los térmos de ua progresó geométrca 1, co lo que se puede expresar de la sguete forma: (1 m ) 1 (3-36) 1 Cuado m tede a fto, etoces la suma de los efectos acumulados vee dada por 1 (3-37) 1 Ua cuestó teresate es determar cuátos períodos de tempo se requere para que se obtega el p% (por ejemplo, el 50%) del efecto total. Desgado por h el úmero de períodos requerdos para obteer dcho porcetaje, se puede establecer que h 1(1 ) Efecto e h perodos 1 h p 1 Efecto total 1 1 (3-38) Fjado p se puede calcular h de acuerdo co (3-38). E efecto, despejado h e esta expresó se obtee que l(1 p) h (3-39) l Este modelo lo utlzó Krsta S. Palda e su tess doctoral publcada e 1964, ttulada The Measuremet of Cumulatve Advertsg Effects, para aalzar los efectos acumulados de los gastos e publcdad, e el caso de la compañía Lyda E. Pkham. Este caso, así como el estudo de Palda, ha sdo la base a partr de la cual se ha desarrollado la vestgacó de los efectos de los gastos e publcdad. Vamos a ver a cotuacó alguas característcas de este caso: 1) La Lyda E. Pkham Medce Compay fabrcaba desde 1873 u extracto de herbas dludo e ua solucó alcohólca. Este producto se aucaba calmete como u aalgésco y també como u remedo para ua eorme varedad de efermedades. ) E geeral, e los dsttos tpos de productos suele haber competeca etre dsttas marcas, como pueda ser el caso paradgmátco de la Coca-Cola y la Peps-Cola e el campo de las colas. Cuado esto ocurre, para aalzar los efectos de los gastos e publcdad hay teer e cueta el comportameto de los prcpales competdores. Lyda E. Pkham teía la vetaja de o teer competdores, y de que, e su líea de producto, actuaba e la práctca como moopolsta. 3) Otra característca del caso Lyda E. Pkham era que la mayor parte de los gastos de dstrbucó se asgaba a la publcdad, ya que la compañía o teía agetes comercales, sedo muy elevada la relacó gastos e publcdad/vetas. 4) El producto pasó a lo largo del tempo por dsttos avatares. Así, e 1914 la Food ad Drug Admstrato (orgasmo de los Estados Udos que establece los cotroles para los productos 1 Desgado por a p, a u y r al prmer térmo, al últmo térmo y a la razó respectvamete, la suma de los térmos de ua progresó geométrca covergete vee dada por a p a 1 r u 9

10 almetcos y los medcametos) le acusó de publcdad egañosa por lo que tuvo que cambar sus mesajes publctaros. També la Iteral Reveue (ofca de mpuestos) le ameazó co aplcarle ua tasa sobre bebdas alcohólcas, ya que el cotedo alcohólco del producto era del 18%. Por todos estos motvos se produjero cambos e la presetacó y cotedo durate el período E 195 la Food ad Drug Admstrato prohbó que el producto se aucara como medca, pasado a dstrburse como bebda tóca. E el período se cremetaro cosderablemete los gastos e publcdad para después decaer. La estmacó del modelo (3-34) co datos desde 1907 a 1960, recogdos e el fchero pkham, es la sguete: vetas t = gpubt vetast - (95.7) (0.156) (0.0915) R =0.877 =53 La suma de los efectos acumulados de los gastos e publcdad sobre las vetas se obtee aplcado la fórmula (3-37): ˆ ˆ De acuerdo co dcho resultado, por cada udad moetara adcoal gastada e publcdad se obtee u efecto acumulado total e las vetas de udades moetaras. Dado que es mportate o solo determar el efecto total, so també como se dstrbuye estos efectos a lo largo del tempo, vamos a cotestar ahora a la sguete preguta: Cuatos períodos de tempo se requere para alcazar la mtad de los efectos totales? Aplcado la fórmula (3-39) para el caso de p=0,5, se obtee el sguete resultado: ˆ(0.5) l(1 0.5) h.517 l(0.7593) Implcacoes algebracas de la estmacó Las mplcacoes algebracas de la estmacó se derva exclusvamete de la aplcacó del método de MCO al modelo de regresó leal múltple: 1. La suma de los resduos de MCO es gual a 0: uˆ 0 (3-40) 1 De la defcó de resduos uˆ y yˆ y ˆ ˆ x ˆ x 1,,, (3-41) 1 k k S sumamos para las observacoes, obteemos: ˆ ˆ ˆ uˆ y 1x kxk (3-4) Por otro lado, la prmera ecuacó del sstema de ecuacoes ormales (3-0) es gual a y ˆ ˆ x ˆ x 0 1 k k (3-43) S comparamos (3-4) y (3-43), llegamos a la coclusó de que (3-40) se cumple. Tega e cueta que, s (3-40) se cumple, esto mplca que 10

11 y yˆ (3-44) 1 1 y, dvdedo (3-40) y (3-44) por, obteemos uˆ 0 y yˆ (3-45). El hperplao MCO pasa sempre a través del puto de medas muestrales yx,,, xk. E efecto, dvdedo la ecuacó (3-43) por se tee que: y ˆ ˆ 1x ˆk x k (3-46) 3. El producto cruzado muestral etre cada uo de los regresores y los resduos MCO es cero. Es decr, x ˆ ju = 0 j,3,, k (3-47) 1 Utlzado las últmas k ecuacoes ormales (3-0) y teedo e cueta que, por defcóu ˆ ˆ ˆ ˆ ˆí y 1x 3x3 k x k, podemos ver que ux ˆ 0 ux ˆ 0 3 ux ˆ 0 k (3-48) 4. El producto cruzado muestral etre los valores ajustados ( ŷ ) y los resduos MCO es cero. Es decr, yu ˆˆ í 0 (3-49) 1 Teedo e cueta (3-40) y (3-48), obteemos yˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ uí ( 1x kxk) uí 1 uí xuí k xkuí (3-50) ˆ 0 ˆ 0 ˆ 00 1 k 3.3 Supuestos y propedades estadístcas de los estmadores de MCO Ates de estudar las propedades estadístcas de los estmadores de MCO e el modelo de regresó leal múltple, ecestamos formular u cojuto de supuestos estadístcos. Específcamete, al cojuto de supuestos que vamos a formular se les deoma supuestos del modelo leal clásco (MLC). Es mportate destacar que los 11

12 supuestos estadístcos del MLC so muy smples, y que los estmadores de MCO tee, bajo estos supuestos, muy bueas propedades Supuestos estadístcos del MLC e la regresó leal múltple a) Supuesto sobre la forma fucoal 1) La relacó etre el regresado, los regresores y el error es leal e los parámetros: y x x u (3-51) 1 k k+ o, alteratvamete, para todas las observacoes, y=xβ +u (3-5) b) Supuestos sobre los regresores ) Los valores de x, x3,, xk so fjos e repetdas muestras, o la matrz X es fja e repetdas muestras: Este es u supuesto fuerte e el caso de las cecas socales, dode, e geeral, o es posble expermetar. Ua hpótess alteratva puede formularse así: *) Los regresores x, x 3,, xk se dstrbuye depedetemete de la perturbacó aleatora. Formulado de otra maera, X se dstrbuye de forma depedete del vector de perturbacoes aleatoras, lo que mplca que E( Xu)=0 Como hcmos e el capítulo, vamos a adoptar també el supuesto ). 3) La matrz de regresores, X, o cotee errores de medcó. 4) La matrz de regresores, X, tee rago gual a k: ( X ) k (3-53) Recordemos que la matrz de regresores cotee k columas, correspodetes a los k regresores del modelo, y flas, correspodetes al úmero de observacoes. El supuesto 4 tee dos mplcacoes: 1. El úmero de observacoes,, debe ser gual o mayor que el úmero de regresores, k. Itutvamete, esto tee setdo: para estmar k parámetros, ecestamos al meos k observacoes. Cada regresor debe ser lealmete depedete, lo que mplca que o exste relacoes leales exactas etre los regresores. S u regresor es ua combacó leal exacta de otros regresores, etoces se dce que hay multcolealdad perfecta, y el modelo o puede estmarse. S exste ua relacó leal aproxmada - es decr, o ua relacó exacta -, etoces se puede estmar los parámetros, auque su fabldad se verá afectada. E este caso, se dce que exste multcolealdad o perfecta. c) Supuesto sobre los parámetros 5) Los parámetros 1,, 3,, k so costates, o es u vector costate d) Supuestos sobre la perturbacó aleatora 6) La meda de las perturbacoes es cero, 1

13 Eu ( ) 0, 1,,3,, o E( u) 0 (3-54) 7) Las perturbacoes tee ua varaza costate (supuesto de homoscedastcdad): var u (3-55) ( ) 1,, 8) Las perturbacoes co dferetes subídces o está correlacoadas etre sí (supuesto de o autocorrelacó): E( uu ) 0 j (3-56) j La formulacó de los supuestos de homoscedastcdad y o autocorrelacó permte especfcar la matrz de covarazas del vector de perturbacoes: E ue( u) ue( u) E u0u0 E uu u1 u1 uu 1 uu 1 u uu 1 u uu E u1 u u E (3-57) u uu 1 uu u Eu ( 1) Euu ( 1 ) Euu ( 1 ) 0 0 Euu ( 1) Eu ( ) Euu ( ) 0 0 Euu ( 1) E( uu ) Eu ( ) 0 0 Para obteer la últma gualdad se ha tedo e cueta que la varaza de cada elemeto es costate e gual a, de acuerdo co (3-55), y que la covaraza etre cada par de elemetos es 0, de acuerdo co (3-56). El resultado ateror puede expresarse de forma compacta del sguete modo: E( ) uu I (3-58) A la matrz dada e (3-58) se le deoma matrz escalar, puesto que es u escalar (, e este caso) multplcado por la matrz detdad. 9) La perturbacó u tee ua dstrbucó ormal Teedo e cueta los supuestos 6 a 9, teemos que u NID, o ~ (0 ) 1,,, u~ N( 0, I ) (3-59) dode el NID sgfca que la perturbacó está ormal e depedete dstrbuda Propedades estadístcas del estmador de MCO Bajo los supuestos del MLC, el estmador de MCO posee bueas propedades. E las demostracoes de este apartado mplíctamete se tedrá e cueta sempre los supuestos 3, 4 y 5. 13

14 Lealdad e sesgadez del estmador de MCO Ahora, vamos a demostrar que el estmador de MCO es lealmete sesgado. E prmer lugar expresaremos ˆβ como ua fucó del vector u, utlzado el supuesto 1, de acuerdo co (3-5): ˆ β = XX Xy = XX X Xβ +u =β + XX Xu (3-60) El estmador de MCO puede expresarse del sguete modo co el f de ver de forma más clara la propedad de lealdad: dode -1 ˆ -1 β = β + XX Xu=β +Au (3-61) A= XX X es fja bajo el supuesto. Así pues, ˆβ es ua fucó leal de u y, cosecuetemete, es u estmador leal. Tomado las esperazas e (3-60) y aplcado el supuesto 6, se obtee -1 Eβ ˆ = β + XX X Eu =β Por lo tato, ˆβ es u estmador sesgado. Varaza del estmador de MCO (3-6) Para calcular la matrz de covarazas de ˆβ so ecesaros los supuestos 7 y 8, además de los 6 prmeros: var( β ˆ) = Eβˆ E( βˆ) βˆ E( β ˆ) = Eβˆ βˆβˆ βˆ = EXX XuuX XX = XX XE( uu) XXX (3-63) -1 E( -1 ) -1 = XX X I X XX = XX E el tercer paso de la demostracó ateror se ha tedo e cueta que, de -1 acuerdo co (3-60), βˆ β= XX Xu. El supuesto se ha tedo e cueta e el cuarto paso. Falmete, los supuestos 7 y 8 se ha utlzado e el últmo paso. Por lo tato, var( βˆ ) XX -1 es la matrz de covarazas del vector ˆβ. E esta matrz de covarazas, la varaza de cada elemeto ˆ j aparece e la dagoal prcpal, metras que las covarazas etre cada par de elemetos se ecuetra fuera de la dagoal prcpal. Específcamete, la varaza de ˆ j (para j=,3,,k) es gual a multplcada por el elemeto correspodete de la dagoal prcpal de XX -1. Después de operar, la varaza de ˆ j puede expresarse como var( ˆ j ) S (1 R ) j j (3-64) R j es el R cuadrado de la regresó de cada x j sobre el resto de regresores, es el dode tamaño de la muestra y S j es la varaza muestral del regresor x j. 14

15 La fórmula (3-64) es válda para todos los coefcetes de pedete, pero o para el térmo depedete. A la raíz cuadrada de (3-64) se le deoma desvacó estádar (de) de ˆ j : de( ˆ ) j S (1 R ) j j (3-65) Los estmadores de MCO so ELIO Bajo los supuestos 1 a 8 del MLC, que so deomados supuestos de Gauss- Markov, los estmadores de MCO so estmadores leales sesgados y óptmos (ELIO). El teorema de Gauss Markov establece que los estmadores MCO so estmadores óptmos detro la clase de los estmadores leales sesgados. E este cotexto óptmo, sgfca que es u estmador co la varaza más pequeña para u determado tamaño de muestra. Vamos ahora a comparar la varaza de u elemeto de ˆβ ( ˆ j ), co cualquer otro estmador j que sea leal (tal que j wy j ) e 1 sesgado (de forma que los pesos, w j, debe cumplr alguas restrccoes). La propedad de que ˆ j es u estmador ELIO tee las sguetes mplcacoes al comparar su varaza co la varaza de j : 1) La varaza de u coefcete j o es mayor que, o gual a, la varaza de ˆ j obtedo por MCO: var( ) var( ˆ ) j 1,,, (3-66) j j k ) La varaza de cualquer combacó leal de j es mayor que, o gual a, la varaza de la correspodete combacó leal de ˆ j. E el apédce 3.1 puede verse la demostracó del teorema de Gauss-Markov. Estmador de la varaza de la perturbacó Teedo e cueta el sstema de ecuacoes ormales (3-0), s coocemos k resduos, podemos obteer los otros k resduos utlzado las restrccoes que mpoe ese sstema a los resduos. Por ejemplo, la prmera ecuacó ormal os permte obteer el valor de u ˆ e fucó de los resduos restates: uˆ ˆ ˆ ˆ u u u 1 1 Por lo tato, sólo hay -k grados de lbertad e los resduos de MCO, a dfereca de los grados de lbertad e las perturbacoes. Recuerde que los grados de lbertad se defe como la dfereca etre el úmero de observacoes y el úmero de parámetros estmados. El estmador sesgado de se ajusta teedo e cueta los grados de lbertad: 15

16 uˆ 1 ˆ k Bajo los supuestos 1 a 8, se obtee que ˆ (3-67) E( ) (3-68) Véase el apédce 3. para la demostracó. A la raíz cuadrada de (3-67), ˆ se le deoma error estádar de la regresó y es u estmador de. Estmadores de la varazas de ˆβ y del coefcete de pedete ˆ j El estmador de la matrz de covarazas de ˆβ vee dado por Var( ˆ ) ˆ XX 1 var( ˆ 1) Cov( ˆ 1, ˆ ) Cov( ˆ 1, ˆ ˆ ˆ j) Cov( 1, ) k ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Cov( ˆ ˆ, 1) var( ) Cov(, j) Cov(, ) k ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Cov(, ˆ ˆ j 1) Cov( j, ) var( j) Cov( j, k) ˆ ˆ Cov(, ˆ ˆ ˆ k 1) Cov( k, ) Cov( k, ˆ ) var( ˆ j k) (3-69) La varaza del coefcete de la pedete ˆ j, dada e (3-64), es ua fucó del parámetro descoocdo. Cuado u estmador de la varaza de ˆ j : se susttuye por su estmador ˆ, se obtee var( ˆ j ) S ˆ (1 R ) j j (3-70) De acuerdo co la expresó ateror, el estmador de la varaza de ˆ j vee afectado por los sguetes factores: a) Cuato mayor es ˆ, mayor es la varaza del estmador. Esto o es sorpredete e absoluto: cuato más "rudo" exsta e la ecuacó, y, e cosecueca, más grade será ˆ, co lo que será más dfícl estmar co precsó el efecto parcal de cualquer regresor sobre y. (Véase fgura 3.1). b) A medda que se cremeta el tamaño de la muestra, la varaza del estmador se reduce. c) Cuato más pequeña sea la varaza muestral de u regresor, mayor es la varacó del coefcete correspodete. Mateedo los demás factores gual, para estmar j es preferble que la varacó muestral de x j sea lo más grade posble, tal como se lustra e la fgura 3.. Como se puede ver hay muchas líeas hpotétcas que podría ajustarse a los datos cuado la varaza muestral de x j, ( S ), es pequeña como puede j 16

17 verse e la parte a) de la fgura. E cualquer caso, o está permtdo por el supuesto 4 que S =0. j d) Cuato mayor sea R j, (es decr, cuato mayor sea la correlacó del regresor j-ésmo co el resto de los regresores), mayor será la varaza de ˆ j. y y x j a) ŝ grade b) ŝ pequeña FIGURA 3.1. Iflueca de ŝ sobre el estmador de la varaza. x j y y a) FIGURA 3.. Iflueca de x j S j pequeño b) S j grade S j sobre el estmador de la varaza. x j A la raíz cuadrada de (3-70) se le deoma error estádar (ee) de ˆ j : ee( ˆ ) j ˆ S (1 R ) j j (3-71) Otras propedades de los estmadores MCO Bajo los supuestos 1 a 6 del MLC, el estmador de MCO, ˆβ, es cosstete, como puede verse e el apédce 3.3, astótca y ormalmete dstrbudo, y també astótcamete efcete detro de la clase de los estmadores cosstetes y astótcamete ormales. Bajo los supuestos 1 a 9 del MLC, el estmador MCO es també el estmador de máxma verosmltud (MV), como se prueba e el apédce 3.4, y es el estmador de míma varaza sesgado (EMVI). Esto últmo sgfca que el estmador de MCO tee la meor varaza etre todos los estmadores sesgados, sea leales o o. 3.4 Más sobre formas fucoales E este apartado vamos a examar dos temas sobre formas fucoales: el uso de los logartmos e modelos ecoométrcos y las fucoes polomales. 17

18 3.4.1 Utlzacó de logartmos e los modelos ecoométrcos Alguas varables se utlza a meudo e forma logarítmca. Así es e el caso de las varables moetaras que, e geeral, so postvas o de otras varables co valores elevados. La utlzacó de modelos co trasformacoes logarítmcas tee además sus vetajas. Ua de ellas es que los coefcetes tee terpretacoes atractvas (elastcdades o sem-elastcdades). Otra es la varaca de los coefcetes de pedete cuado hay cambos de escala e las varables. Tomar logartmos puede ser coveete debdo a que reduce el rago de las varables, lo que hace que las estmacoes sea meos sesbles a los valores extremos de las varables. Los supuestos del MLC se satsface más a meudo e modelos que aplca logartmos a la varable edógea, que e los modelos que o aplca gua trasformacó. Así, sucede que la dstrbucó codcoal de y es frecuetemete heteroscedástca, metras que l(y) puede ser homoscedástca. Ua lmtacó de la trasformacó logarítmca es que o se puede utlzar cuado la varable orgal toma valores cero o egatvos. Por otro lado, alguas varables que se mde e años y e otras varables que so ua proporcó o u porcetaje, se utlza la varable orgal s gua trasformacó Fucoes polomales Las fucoes polomales se ha utlzado amplamete e la vestgacó ecoométrca. Cuado e el modelo solo hay regresores correspodetes a ua fucó polomal decmos que es u modelo polomal. La forma geeral del modelo polomal de grado k puede expresarse como Fucoes cuadrátcas y x x x u (3-7) k k + U caso teresate de fucoes polomales es la fucó cuadrátca, que es ua fucó polomal de segudo grado. Cuado hay sólo regresores correspodetes a la fucó cuadrátca, teemos u modelo cuadrátco: y x x u (3-73) Las fucoes cuadrátcas se utlza muy a meudo e ecoomía aplcada para captar la dsmucó o el aumeto de los efectos margales. Es mportate observar que, e tal caso, o mde el cambo e y co respecto a x, porque o tee setdo mateer x fjo, metras camba x. El efecto margal de x sobre y, que depede lealmete del valor de x, es el sguete: dy em 3x (3-74) dx E ua aplcacó específca, este efecto margal se evaluará para valores específcos de x. S y 3 tee sgos opuestos el puto de cambo está stuado e * x (3-75) 3 S >0 y 3 <0, el efecto margal de x sobre y es postvo al prcpo, pero será * egatvo cuado x sea mayor que x. S <0 y 3 >0, el efecto margal de x sobre y es * egatvo al prcpo, pero será postvo para x mayor que x. 18

19 Ejemplo 3.5 Salaros y años de atgüedad e la empresa Utlzado los datos de ceosal para estudar el tpo de relacó etre el salaro (salary) de los cosejeros delegados (CEO) e Estados Udos y los años de permaeca e la empresa como CEO de la compañía (ceote), se estmó el sguete modelo: l( salary) profts ceote 0.001ceote (0.086) (0.0001) (0.0156) (0.0005) R = =177 dode los beefcos de las compañías (profts) está expresados e mlloes de dólares y el salaro es la remueracó aual expresada e mles de dólares. El efecto margal de ceote sobre salary expresado e porcetaje es el sguete: em salaro/ ceote % ceote Así, para u cosejero delegado co 10 años e su compañía, s está u año más e la empresa, su salaro se cremetará e u %. Igualado a cero la expresó ateror y despejado ceote, os ecotramos co que el efecto máxmo de permaeca como cosejero delegado sobre el salaro se alcaza a los 18 años. Es decr, hasta los 18 años como CEO el efecto margal del salaro co respecto a los años de permaeca e la compañía es postvo. Por el cotraro, desde los 18 años e adelate, este efecto margal es egatvo. Fucoes cúbcas Otro caso teresate es la fucó cúbca o fucó polomal de tercer grado. S e el modelo hay sólo regresores correspodetes a la fucó cúbca, teemos u modelo cúbco: y x x x u (3-76) Los modelos cúbcos se utlza muy a meudo e ecoomía aplcada para captar varacoes e los efectos margales, partcularmete e las fucoes de costes. El efecto margal (em) de x sobre y, que depede, segú ua forma cuadrátca, del valor de x, será el sguete: dy em x x dx El mímo de em se producrá cuado dem 3 64x 0 (3-78) dx Por lo tato, 3 34 (3-77) 3 emm (3-79) 34 E u modelo cúbco de ua fucó de costes, debe cumplrse la restrccó para garatzar que em m sea postvo. Otras restrccoes que la fucó de costes debe cumplr so las sguetes: 1,, ad 4 >0; y 3 <0. Ejemplo 3.6 Efecto margal e ua fucó de costes Utlzado los datos de 11 empresas de platas de celulosa (fchero costfuc) para estudar la fucó de costes, se estmó el sguete modelo: 3 cost output output output (1.60) (0.167) (0.0081) ( ) R = =11 19

20 dode output es la produccó de pasta de papel e mles de toeladas y cost es el coste total e mlloes de euros. El coste margal es el sguete: marcost output output Por lo tato, e ua empresa co ua produccó de 30 ml toeladas de pasta de papel, s la empresa aumeta la produccó de celulosa e ml de toeladas, el coste se cremetará e mlloes de euros. Calculado el mímo de la expresó ateror y resolvedo para el output, os ecotramos co que el coste margal mímo es gual a ua produccó de 3 toeladas de pasta de papel. 3.5 Bodad del ajuste y seleccó de regresores Ua vez que se ha aplcado los mímos cuadrados, es coveete teer algua medda de la bodad del ajuste del modelo a los datos. E el caso de que se haya estmado varos modelos alteratvos, las meddas de la bodad del ajuste podría ser utlzadas para seleccoar el modelo más apropado. E la lteratura ecoométrca exste umerosas meddas de bodad del ajuste. La más popular es el coefcete de determacó, que se desga por R o R-cuadrado, y el coefcete de determacó ajustado, que se desga por R o R-cuadrado ajustado. Dado que estas meddas tee alguas lmtacoes, os referremos també al crtero de formacó de Akake (AIC) y al crtero de Schwarz (SC) Coefcete de determacó Como vmos e el capítulo, el coefcete de determacó se basa e la sguete descomposcó: SCT SCT SCR (3-80) dode SCT es la suma de cuadrados totales, SCE es la suma de cuadrados explcados y SCR es la suma de cuadrados resdual. Basádose e esta ecuacó, el coefcete de determacó se defe como: SCE R (3-81) SCT Alteratvamete, y de ua forma equvalete, el coefcete de determacó se puede defr como SCR R (3-8) SCT Los valores extremos del coefcete de determacó so: 0, cuado la varaza explcada es cero, y 1, cuado la varaza resdual es cero, es decr, cuado el ajuste es perfecto. Por lo tato, 0 R 1 (3-83) U R pequeño mplca que la varaza de la perturbacó ( ) es grade e relacó a la varacó de y, lo que sgfca que j o puede ser estmada co precsó. Pero hay que recordar, que ua varaza de la perturbacó grade puede compesarse co u tamaño muestral elevado, de forma que s es sufcetemete grade, podemos ser capaces de estmar los coefcetes co precsó a pesar de que o se haya cotrolado muchos de los factores o observados. 0

21 Para terpretar el coefcete de determacó adecuadamete, se debe teer e cueta las sguetes cautelas: a) Cuado se añade uevas varables explcatvas, el coefcete de determacó aumeta su valor o, al meos, matee el msmo valor. Esto sucede a pesar de que la varable o varables añaddas o tega relacó co la varable edógea. Así pues, sempre se verfca que R ³ R - (3-84) j j 1 R - R j dode j 1 es el R cuadrado e u modelo co j-1 regresores, y es el R cuadrado e u modelo co u regresor adcoal. Es decr, s se añade varables a u modelo determado, R uca dsmurá, cluso s estas varables o tee ua flueca sgfcatva. b) S el modelo o tee térmo depedete, el coefcete de determacó o tee ua terpretacó clara, porque la descomposcó dada (3-80) o se cumple. Además, las dos formas de cálculo mecoadas -(3-81) y (3-8)- por lo geeral coduce a resultados dferetes, que e alguos casos puede quedar fuera del tervalo [0,1]. c) El coefcete de determacó o se puede utlzar para comparar modelos e los que la forma fucoal de la varable edógea es dferete. Por ejemplo, R o se puede aplcar para comparar dos modelos e los que el regresado es la varable orgal e uo, y, y l(y) e el otro R cuadrado ajustado Para superar ua de las lmtacoes del R, este coefcete se puede "ajustar" de maera que tega e cueta el úmero de varables cludas e u modelo dado. Para ver cómo el R usual podría ajustarse, es útl expresarlo como SCR / R = 1 - SCT / (3-85) dode, e el segudo térmo del segudo membro, aparece la varaza resdual dvdda por la varaza del regresado. El R, tal como está defdo e (3-85), es ua medda muestral. Ahora be, s deseamos ua medda poblacoal ( R ), ésta se podría defr como POB R POB (3-86) u 1 y S embargo, hay que teer e cueta que se dspoe de ua mejor estmacó de las varazas, u y y, que las utlzadas e (3-85). E su lugar, vamos a utlzar estmacoes sesgadas de estas varazas: /( ) 1 R = 1- SCR -k = 1 -(1-R ) - (3-87) SCT /( -1) -k Esta medda se deoma R cuadrado ajustado, o R. El prcpal atractvo del R es que mpoe ua pealzacó al añadr otros regresores a u modelo. S se añade u regresor al modelo la SCR decrece o, e el peor de los casos queda, gual. Por otra 1

22 parte, los grados de lbertad de la regresó (k) sempre dsmuye. Por ello, el puede crecer o decrecer cuado se añade u uevo regresor al modelo. Es decr: R ³ R - o j j 1 j j 1 R R R - (3-88) U resultado algebraco teresate es el hecho de que s añadmos u uevo regresor a u modelo, el R se cremeta s, y solo s, el estadístco t del uevo regresor es mayor que uo e valor absoluto. Así, vemos medatamete que R podría ser utlzado para decdr s u determado regresor adcoal debe ser cludo e el modelo. El R tee ua cota superor que es gual a 1, pero estrctamete o tee ua cota feror, ya que puede tomar u valor egatvo, auque muy cerca de 0. Las observacoes b) y c) hechas para el R cuadrado sgue sedo váldas para el R cuadrado ajustado Crtero de formacó de Akake (AIC) y crtero de Schwarz (SC) Estos dos crteros -crtero de formacó de Akake (AIC) y crtero de Schwarz (SC)- tee ua estructura muy smlar. Por esta razó, se examará cojutamete. El estadístco AIC, propuesto por Akake (1974) y basado e la teoría de la formacó, tee la sguete expresó: l k AIC =- + (3-89) dode l es el logartmo de la fucó de verosmltud (supoedo que las perturbacoes tega ua dstrbucó ormal) evaluada para los valores estmados de los coefcetes. El estadístco SC propuesto por Schwarz (1978), tee la sguete expresó: l kl( ) SC =- + (3-90) Los estadístcos AIC y SC, a dfereca de los coefcetes de determacó (R y R ), dca mejores ajustes cuato más bajos sea sus valores. Es mportate destacar que los estadístcos AIC y SC o tee cotas, a dfereca del R. a) Los estadístcos AIC y SC pealza la troduccó de uevos regresores. E el caso de AIC, como puede verse e el segudo térmo del segudo membro de (3-89), el úmero de regresores k aparece e el umerador. Por lo tato, el crecmeto de k cremetará el valor del AIC y por lo tato empeorará la bodad del ajuste, s o se ve compesado por u crecmeto sufcete de l. E el caso del SC, como puede verse e el segudo térmo del segudo membro de (3-90), el umerador es kl(). Para >7, ocurre lo sguete: kl()>k. Por lo tato, el SC mpoe ua pealzacó mayor a la troduccó de regresores que el AIC cuado el tamaño de la muestra es mayor de 7. b) Los estadístcos AIC y SC se puede aplcar a modelos estadístcos s térmo depedete. c) Los estadístcos AIC y SC o so meddas relatvas como lo so los coefcetes de determacó. Por lo tato, su magtud, e sí msma, o ofrece gua formacó.

23 d) Los estadístcos AIC y SC se puede aplcar para comparar modelos e los que las varables edógeas tee dferetes formas fucoales. E partcular, vamos a comparar dos modelos e los que los regresados so y y l(y). Cuado el regresado es y, se aplca la fórmula (3-89) e el caso del AIC, o (3-90) e el caso del SC. Cuado el regresado es l(y), y además queremos comparar co otro modelo e el que el regresado es y, hay que corregr esos estadístcos de la sguete maera: AIC = AIC + l( Y ) (3-91) C SC = SC + l( Y) (3-9) C dode AIC C y SC C so los estadístcos corregdos, y AIC y SC so los estadístcos que sumstra cualquer paquete ecoométrco como, por ejemplo, el E-vews. Ejemplo 3.7 Seleccó del mejor modelo Para aalzar los determates del gasto e productos lácteos, se ha cosderados los sguetes modelos alteratvos: 1) dary 1c u ) dary l( ) 1 c u 3) dary 1c 3puder5 u 4) dary c 3puder5 u 5) dary 1c 3hhsze u 6) l( dary) 1c u 7) l( dary) 1 c 3puder5 u 8) l( dary) c 3puder5 u dode c es la reta dspoble de los hogares, hhsze es el úmero de membros del hogar y puder5 es la proporcó de ños meores de cco años e el hogar. Utlzado ua muestra de 40 hogares (fchero demad), y teedo e cueta que l( dary ) =.3719, los estadístcos de bodad del ajuste obtedos para los 8 modelos se muestra e el cuadro 3.1. E partcular, el estadístco AIC corregdo para el modelo 6) se ha calculado como sgue: AICC = AIC + l( Y ) = =5.03 Coclusoes a) El R-cuadrado puede ser utlzado para comparar los sguetes pares de modelos: 1) co ), y 3) co 5). b) El R-cuadrado ajustado sólo se puede utlzar para comparar los modelos 1) co ), 3) y 5); y 6) co 7. c) El mejor de los ocho modelos es el modelo de 7) de acuerdo co los crteros AIC y SC. 3

24 CUADRO 3.1. Meddas de bodad de ajuste de ocho modelos. Número de modelo Regresado dary dary dary dary dary l(dary) l(dary) l(dary) Regresores tercept c tercept l(c) tercept c puder5 c puder5 tercept Ic househsze tercept c tercept c puder5 c puder5 R-cuadrado R-cuadrado ajustado Crtero de formacó de Akake Crtero de Schwarz Crtero de formacó de Akake corregdo Crtero de Schwarz corregdo

25 Ejerccos Ejercco 3.1 Cosdere el modelo de regresó leal y=xβ +u, dode X es ua matrz Coteste de forma razoada a las sguetes cuestoes: a) Cuáles so las dmesoes de los vectores y, β, u? b) Cuátas ecuacoes hay e el sstema de ecuacoes ormales XXβ ˆ =Xy? c) Qué codcó debe cumplrse para poder obteer ˆβ? Ejercco 3. Dado el modelo y los sguetes datos: y =β 1 +β x +β 3 x 3 +u y x x a) Estme β 1, β y β 3 por MCO. b) Calcule la suma de los cuadrados de los resduos. c) Obtega la varaza resdual. d) Obtega la varaza explcada por la regresó. e) Obtega la varaza de la varable edógea. f) Calcule el coefcete de determacó. g) Obtega ua estmacó sesgada de σ. h) Estme la varaza de ˆ. Para respoder a estas pregutas puede utlzar Excel. Véase el recuadro

26 Recuadro 3.1 a) Cálculo de X X y X y Explcacó para X'X a) Itroduzca las matrces X' y X: B5:K6 y N:O11 e Excel b) El producto X'X se calculaa seleccoado prevamete las celdas dode deseaa colocar la matrz resultate (R5:S6). c) Ua vez seleccoadas las celdas c para la matrz resultate, y metras aú está resaltada, escrba la fórmula sguete: = MMULT (B5:K6;N:O( 11) d) Cuado la fórmula se haya troducdo, pulse la tecla Ctrl y la l tecla Shft smultáeamete, etoces, teedo presoadas estas dos teclas, pulse la tecla Eter també. ) Cálculo of (X X) -1 a) Itroduzca la matrz X'X e Excel: R5:S6 b) Ecotramos la versa de laa matrz X'X, seleccoadoo prevametee las celdas dode deseamoss colocar la matrz resultate (AS5:AT6) c) Ua vez seleccoadas las celdas para la matrz resultate, y metrass aú está resaltada, escrbaa la fórmula sguete: = MINVERSA (AO5:AP6). d) Cuado la fórmula se haya troducdo, pulse la tecla Ctrl y la tecla Shft S smultáeamete, etoces, teedo presoadas estas dos teclas, pulse la tecla Eter també. 3) Cálculo de vector ˆβ 4) Cálculo de ˆˆ ' uu y σ uu ˆˆ ' ' ' ' = yy- yy ˆˆ= - ˆ' ' yy β X Xˆ ' Xβ = yy-βˆ' ' Xy = R. 5-R. 6 = =70 s ˆ uu ˆˆ 70 = = = ) Cálculo de la matrz de covarazas de ˆβ ' var( ˆ β) = sˆ é - ê X X ù 1 æ = ç ö æ ö = ë úû çè ø çè ø ' 6

27 Ejercco 3.3 El sguete modelo ha sdo estmado para explcar las vetas auales de empresas fabrcates de productos de lmpeza doméstca e fucó de u ídce de precos relatvo (pr) y de gastos de publcdad (gpub): vetas 1pr 3gpu u dode las vetas está expresadas e mlloes de euros, p es u ídce de precos relatvos (precos de la empresa/precos de la empresa 1 de la muestra) y gpub so los gastos auales realzados e publcdad y campañas de promocó y dfusó, expresados també e mlloes de euros. Para ello se dspoe de los sguetes datos sobre dez empresas fabrcates de productos de lmpeza doméstca: frm vetas rp gpub Utlzado ua hoja excel: a) Estme los parámetros del modelo propuesto. b) Estme la matrz de covarazas. c) Calcule el coefcete de determacó. Nota: E el recuadro 3.1 se estma el modelo vetas 1rp u utlzado Excel. Allí també puede verse las struccoes para hacerlo. Ejercco 3.4 U vestgador, que está elaborado u modelo ecoométrco co el que desea explcar el comportameto de la reta, formula la sguete especfcacó: reta=α+βcos+γahorro+u [1] dode reta es la reta dspoble de las famlas, cos es el cosumo total y ahorro es el ahorro total de las famlas. El vestgador o tuvo e cueta que las tres magtudes aterores está lgadas por la detdad reta=cos+ahorro [] La equvaleca etre los modelos [1] y [] exge que, además de desaparecer el térmo de perturbacó, los parámetros del modelo [1] tome los sguetes valores: α =0, β =1, γ =1 S se emplea los datos de u país para ajustar la ecuacó [1] por MCO, Se puede esperar, e geeral, que las estmacoes obtedas tome los valores ˆ 0, ˆ 1, ˆ 0? Justfíquese la respuesta, utlzado otacó matemátca. 7

28 Ejercco 3.5 U vestgador platea el sguete modelo ecoométrco para explcar los gresos totales por tursmo e u país determado (gtotur): gtotur 1gmetur 3umtur u dode gmetur es el gasto medo por tursta y umtur es el úmero total de turstas. a) Es obvo que turtot, turmea y umtur está lgados també por la relacó gtotur=turmea umtur; afectará este hecho de algua forma a las estmacoes de los parámetros del modelo propuesto? b) Exste otra forma fucoal del modelo que mplque restrccoes más fuertes sobre los parámetros? S la hubera, díquela. c) Le parece razoable utlzar el modelo dcado para explcar el comportameto de los gresos por tursmo? Ejercco 3.6 Supogamos que se tee que estmar el modelo l( y) 1l( x) 3l( x3) 4l( x4) u utlzado las sguetes observacoes: x x 3 x Qué problemas puede platear la estmacó de este modelo? Ejercco 3.7 Coteste a las sguetes pregutas: a) Explque que mde los coefcetes de determacó (R ) y de determacó corregdo ( R ). Para qué se puede utlzar? Razoe la respuesta. b) Dados los modelos l(y)=β 1 +β l(x)+u (1) l(y)=β 1 +β l(x)+β 3 l(z)+u () l(y)=β 1 +β l(z)+u (3) y=β 1 +β z+u (4) dque qué medda de bodad del ajuste es adecuada para comparar los sguetes pares de modelos: (1)-(); (1)-(3); y (1)-(4). Razoe su respuesta. Ejercco 3.8 Se estma por MCO el sguete modelo: l( y) l( x) l( z) u 1 3 a) Puede ser todos los resduos mímo cuadrátcos postvos? Razoe la respuesta. b) Bajo la hpótess básca de o autocorrelacó de las perturbacoes, so depedetes los resduos mmocuadrátcos? Razoe la respuesta. c) Supoedo que las perturbacoes o tega dstrbucó ormal, los estmadores mmocuadrátcos so sesgados? Razoe la respuesta. 8