Cadenas de Markov de tiempo continuo

Transcripción

1 Cocpts foamtals d xarxs d computadors. U focamt aalítc. Cadas d Markov d tmpo cotuo Qué propdads db cumplr u procso stocástco para sr ua MC d tmpo cotuo? Los stados db formar u couto umrabl E caso cotraro podmos tr u procso d Markov. S X s l vto {E l stat t l sstma s cutra stado } s db cumplr: P{Xt Xt, Xt 2 k, } PXt Xt } para cualqur t > t > t 2 > t 3 46 Cocpts foamtals d xarxs d computadors. U focamt aalítc. Cadas d Markov d tmpo cotuo Probabldad d trascó: p s, P{X Xs } E forma matrcal matrz d probabldad d trascó: p s, p2 s, P s, p2 s, p22 s, S la cada s homogéa: p τ P{Xs+ τ Xs } P{Xτ X } p2 P 2 p22 p 2 p

2 Cocpts foamtals d xarxs d computadors. U focamt aalítc. Cadas d Markov d tmpo cotuo Para cotrar ua cuacó aáloga al caso dscrto π π P, π, dfmos la tasa d trascó trasto rat dl stado al : q lm t {p / t}, y la tasa d prmaca l stado : q lm t {p - / t} - q q s gatvo porqu la probabldad d prmacr l msmo stado dcrc al aumtar t. q s postvo porqu la probabldad d cambar d stado aumta co t. 48 Cocpts foamtals d xarxs d computadors. U focamt aalítc. Cadas d Markov d tmpo cotuo S df la matrz d tasa d trascó trasto rat matrx o grador ftsmal d la cada: q q2 P I Q q2 q22 lm t t Todas la flas d Q cumpl qu sus lmtos suma. Ua cada d Markov d tmpo cotuo s spcfca dado su matrz d tasa d trascó, rprstada gráfcamt como las tasas q o s po l dagrama: q 2 q 3 q q 32 49

3 Cocpts foamtals d xarxs d computadors. U focamt aalítc. Cadas d Markov d tmpo cotuo Las cuacos d Chapma-Kolmogorov so ahora: p τ Σ k p k τ-α p k α D dod: p τ+ - p τ Σ k [ p k τ+ t -α - p k τ-α] p k α tomado α τ, t : p k τ-α, k; p τ-α, lugo: dp τ/dτ Σ k q k p k τ y forma matrcal: dpτ/dτ Q Pτ També pud obtrs: dpτ/dτ Pτ Q La cuacó matrcal dfrcal atror mplca: Pτ Qτ I + Q τ + Q 2 τ 2 / 2! + Q 3 τ 3 / 3! + 5 Cocpts foamtals d xarxs d computadors. U focamt aalítc. Cadas d Markov d tmpo cotuo La probabldad d star l stado l stat t s: π P{X } Σ k P{X X k} P{X k} Σ k p k π k E forma matrcal: π π P Supogamos qu xst l límt: lm t π π π P pusto qu: lm t dpτ/dτ, dpτ/dτ Pτ Q P Q Obtmos así la cuacó para la dstrbucó stacoara: π Q, π 5

4 Cocpts foamtals d xarxs d computadors. U focamt aalítc. Cadas d Markov d tmpo cotuo Tmpo d prmaca u stado k Soour or holdg tm: Es la V.A. H k gual al tmpo d prmaca l stado k: X k H x H x 2 t La propdad d Markov mplca qu l tmpo d prmaca l stado t ua dstrbucó xpocal d parámtro q : H x P{H x} - xp{q x} 52 Cocpts foamtals d xarxs d computadors. U focamt aalítc. Cadas d Markov d tmpo cotuo Comprobacó d qu l tmpo d X H prmaca co dstrbucó xpocal cumpl la propdad d Markov ausca t d mmora: t t 2 P{Xt 2 Xt, X } P{Xt 2 Xt } P{H t 2 H > t } P{H t 2 - t } Comprobacó: P{H t 2 H > t } P{H t 2, H > t } / P{H > t } P{t 2 H > t } / P{H > t } [P{H t 2 } - P{H t }] / P{H > t } [ - xp{q t 2 }--xp{q t }] / xp{q t } - xp{q t 2 - t } P{H t 2 - t }. La dstrbucó xpocal s la úca qu cumpl sta propdad. 53

5 Cocpts foamtals d xarxs d computadors. U focamt aalítc. Cadas d Markov d tmpo cotuo Trascó tr stados ua cada d Markov d tmpo cotuo: Todas las trascos, k ;,k, ocurr dstrbudas xpocalmt co tasas q, q k rspctvamt y dpdts tr s. 54 Cocpts foamtals d xarxs d computadors. U focamt aalítc. Cadas d Markov d tmpo cotuo Gralzacó d ua cada d Markov d tmpo cotuo: procso sm-markov: Dfmos la V.A cotua H gual al tmpo d prmaca l stado ats d saltar al stado. E u procso sm-markov damos qu la dstrbucó d H sa arbtrara. S H stá dstrbuda xpocalmt, tmos ua cada d Markov d tmpo cotuo. OTA: S H o stá dstrbudo xpocalmt, cosdrar sólo l stado actual o cumpl la propdad d Markov d ausca d mmora pus la volucó dl procso dpd dl stado actual y l tmpo d prmaca st stado, t. Cosdrar, t s cumplría la propdad d Markov, pro tdríamos u procso d Markov pus t o s ua varabl dscrta. 55

6 Cocpts foamtals d xarxs d computadors. U focamt aalítc. Cadas d Markov d tmpo cotuo Cada d Markov tra d u procso sm-markov mbddd Markov cha: S u procso sm-markov o famos sólo los stats dod s produc u cambo d stados obtmos la cada d Markov tra dl procso. Torma: s π s la probabldad stacoara d la cada tra, π s la probabldad stacoara dl procso sm-markov, y E[H ] s l tmpo mdo d prmaca l stado : E[ H ] E[ H ] 56 Justfcacó d Cocpts foamtals d xarxs d computadors. U focamt aalítc. Cadas d Markov d tmpo cotuo E[ H ] E[ H ] π s la fraccó d tmpo qu l procso stá l stado y π /M la cada tra. Dfmos: f : fraccó d tmpo qu l procso stá l stado saltos d la cada tra. úmro d vcs qu la cada tra vsta l stado stos saltos. H l: tmpo d prmaca l stado la vsta l qu s hac a s stado durat los saltos. 57

7 58 Cocpts foamtals d xarxs d computadors. U focamt aalítc. Cadas d Markov d tmpo cotuo Justfcacó d k k k k k k k k H H H H f Justfcacó d H H ] E[ ] E[ Pusto qu: f ] E[ H H M / Substtuydo s ustfca la cuacó. 59 Cocpts foamtals d xarxs d computadors. U focamt aalítc. Cada d Markov tra d ua cada d Markov d tmpo cotuo. Las probabldads d trascó p d la cada tra val la probabldad d qu haya ua trascó dl stado al la cada d tmpo cotuo. Estas probabldads val: p q / Σ q, p Cadas d Markov d tmpo cotuo La dstrbucó stacoara d la cada a tmpo cotuo π ι pud calculars a partr d la dstrbucó stacoara d la cada tra co la fórmula: q q q q, / /

8 Cocpts foamtals d xarxs d computadors. U focamt aalítc. Cadas d Markov d tmpo cotuo Justfcacó: la probabldad d qu haya ua trascó dl stado al la cada d tmpo cotuo s la probabldad qu qu la dstrbucó xpocal d tasa q sa la d valor mor d las dstrbucos xpocals {q k }. Esta probabldad val q /Σ q C.Q.D. La dstrbucó dl tmpo d prmaca l stado d la cada a tmpo cotuo s la dstrbucó dl mímo d las dstrbucos xpocalmt dstrbudas d tasas {q }. Esta dstrbucó s ua dstrbucó xpocal d tasa Σ q. Lugo E[H ] /Σ q. Substtuydo: E[ H ] E[ H ] / q / q, q q 6 Cocpts foamtals d xarxs d computadors. U focamt aalítc. Toría d colas quug thory otacó d Kdal: A/S/k/c/p c llgadas 2 saldas A: procso d llgadas, k S: procso d srvcos, k: úmro d srvdors, c: tamaño d la cola, p: poblacó s c o p o s dca, sgfca ftos. Procsos habtuals: G: gral o s supo u procso cocrto, M: Markovao dstrbucó xpocal, D: dtrmsta, Er: Erlag 6

9 Cocpts foamtals d xarxs d computadors. U focamt aalítc. Toría d colas quug thory Torma d Lttl: A Dfmos los procsos stocástcos: A: úmro d llgadas hasta l stat t. T : tmpo l sstma dl usuaro. : úmro d usuaros l sstma l stat t. Y las catdads: t úmro mdo d usuaros l sstma: lm s ds t t Tasa mda d llgada: λ lm t A / t Tmpo mdo l sstma: T lm t Σ T / A S cumpl qu: λ T T 62 t t Cocpts foamtals d xarxs d computadors. U focamt aalítc. Toría d colas quug thory Dmostracó gráfca dl torma d Lttl: A llgadas A 5 T 4 4 T D 3 3 T 2 2 T úmro d llgadas A úmro d saldas D saldas Dl gráfco: s ds t A T A T A t A t t T Tomado l límt: λ T D 63

10 Cocpts foamtals d xarxs d computadors. U focamt aalítc. Toría d colas quug thory Podmos aplcar l torma d Lttl a la cola d spra y al srvdor: Espra la cola: W Tmpo d srvco: S A D Tmpo l sstma: T W + S úmro mdo d usuaros la cola: Q λ W úmro mdo d usuaros l srvdor: ρ λ S ρ s la utlzacó o carga dl srvdor. OTA: Q + ρ λ W + S λ T 64 La cola M/M/: Cocpts foamtals d xarxs d computadors. U focamt aalítc. Toría d colas quug thory A λ S µ Llgadas Markovaas d tasa λ tmpo tr llgadas xpocalmt dstrbudo d mda /λ: P{A x} - -λ x A s u procso d Posso d parámtro λ x: P{A } λ x -λ x /!. Srvcos Markovaos d tasa µ tmpo d srvo xpocalmt dstrbudo d mda /µ: P{S x} - - µ x. 65

11 Cocpts foamtals d xarxs d computadors. U focamt aalítc. Toría d colas quug thory La cola M/M/: El procso úmro d usuaros l sstma l stat t s ua cada d Markov. OBSERVACIÓ: para u srvco o Markovao, l procso o sra ua cada d Markov! Dagrama d tasas d trascó: A S λ λ λ λ µ λ µ l µ 2 µ 3 µ Matrz d tasa + d trascó: Q Cocpts foamtals d xarxs d computadors. U focamt aalítc. Toría d colas quug thory La cola M/M/, cálculo d la dstrbucó stacoara: Q π λ + π µ π λ π λ+µ + π 2 µ π - λ π λ+µ + π + µ! Global balac quatos : π Q, π π ρπ π 2 +ρ π - ρπ ρ 2 π π + +ρ π - λ ρπ ρ + π ormalzacó: Σ k π k π Σ k ρ π - ρ π - ρ ρ 67

12 Cocpts foamtals d xarxs d computadors. U focamt aalítc. Toría d colas quug thory La cola M/M/, propdads: úmro mdo d usuaros l sstma: lm t t t! s ds -!! -! Tmpo mdo l sstma: Aplcado Lttl: λ T T / λ ρ/[λ - ρ] /µ - λ Tmpo mdo la cola: W T -/µ ρ/µ - λ úmro mdo la cola: Q λ W ρ 2 / - ρ úmro mdo l srvdor: s - Q ρ OTA: ρ - π 68 Cocpts foamtals d xarxs d computadors. U focamt aalítc. Toría d colas quug thory La cola M/M/, stabldad cuado ρ :, T so / - ρ cuado ρ ;, T úmro mdo l sstma: ρ/ - ρ Utlzacó: ρ 69

13 Cocpts foamtals d xarxs d computadors. U focamt aalítc. Toría d colas quug thory Gralzacó d la cola M/M/, procsos d acmto y murt brth dath procsss : so procsos dod sólo pud habr trascos tr stados adyacts. El úmro d stados pud sr fto o fto. λ λ λ 2 λ 3 λ Ν µ l 2 µ 2 3 µ 3 µ - µ 7 Cocpts foamtals d xarxs d computadors. U focamt aalítc. Toría d colas quug thory Método dl balac d fluos para la solucó d cadas d Markov. Dfmos l fluo tr stados d ua cada d Markov: Fluo dl stado u al v: Fu,v π u q uv Fluo tr dos coutos d stados U, V: F U, V u U, v V F u, v D las Global balac quatos π Q s pud dducr: FU,U c FU c,u Para cadas d tmpo dscrto s obt l msmo rsultado cambado las tasas q uv por las probabldads d trascó u salto p uv. 7

14 Cocpts foamtals d xarxs d computadors. U focamt aalítc. Toría d colas quug thory Dstrbucó stacoara d u procsos d acmto y murt: U λ λ λ λ λ Ν l µ µ - µ µ - µ U c El balac d fluos tr U y U c mplca: λ π µ π + Itrado y ormalzado s obt:,. dod: Ψ - k!, k k k!,,, - 72 Cocpts foamtals d xarxs d computadors. U focamt aalítc. Toría d colas quug thory Emplo probabldad d pérdda ua ctralta tlfóca: Hpótss: ctralta co m crcutos dspobls co llamada prdda, poblacó fta, llgadas Markovaas d tasa λ y duracó d las llamadas xpocal d mda / µ cola M/M/m/. c llgadas 2 saldas Llamadas prddas m Pusto qu la suprposcó d VA xpocalmt dstrbudas d tasas λ,.., λ s ua VA xpocal d tasa λ + + λ : λ λ λ λ l µ 2µ µ +µ mµ m λ 73

15 Cocpts foamtals d xarxs d computadors. U focamt aalítc. Toría d colas quug thory Dstrbucó stacoara d la cola M/M/m/: Aplcado la solucó obtda para u procso d acmto y murt:,.!,,, m - Ψ + -!, k k!! m m k k k k k! 74 Cocpts foamtals d xarxs d computadors. U focamt aalítc. Toría d colas quug thory Torma PASTA: Posso Arrvals S Tm Avrag. El tmpo mdo qu la cada stá l stado s π por PASTA, la probabldad d qu ua llgada Marcovaa cutr l sstma l stado s π. Emplo: l modlo d la ctralta tlfóca co m crcutos, la probabldad d tr ua llamada prdda s la probabldad d qu la cola M/M/m/ st l stado m: m m! m k Fórmula d Erlag B m k k! 75

16 Cocpts foamtals d xarxs d computadors. U focamt aalítc. Toría d colas quug thory La cola M/G/: El procso úmro d usuaros l sstma l stat t gral O s ua cada d Markov sólo s G s Markovao. Supogamos qu los srvcos s complta los stats t t so també los stats d salda. Dfmos l procso stocástco d tmpo dscrto: Xt úmro d usuaros l sstma l stat t mdatamt dspués dl srvco. El procso Xt s ua cada d Markov d tmpo dscrto. Justfcacó: l valor d Xt dpd sólo dl úmro d llgadas trvalos qu o s solapa, qu s u procso s mmora. Xt s la cada tra dl procso sm-markov, t, dod t s l tmpo tr los srvcos y Cocpts foamtals d xarxs d computadors. U focamt aalítc. Toría d colas quug thory La cola M/G/: dduccó d la matrz d probabldad d trascó u salto: Sa f S x la fucó d dsdad d la V.A. S gual al tmpo d srvco. Dfmos la V.A. V {úmro d llgadas u tmpo d srvco}, y las probabldads: v P{V }. Codcoado a la duracó dl srvco: llgadas x -x v P S x fs x dx fs x dx u tmpo x! x x Las probabldads d trascó u paso p val:, < -, la cola sólo pud dcrmtars p v,,, s la cola staba vacía, quda los qu llga v -+, >, -.s la cola o staba vacía, s dcrmta 77

17 Cocpts foamtals d xarxs d computadors. U focamt aalítc. Toría d colas quug thory La cola M/G/: hmos obtdo qu la matrz d probabldad d trascó: v v v2 v3, < -, v v v2 v3 p v,,, P v v v2 v -+, >, -. v v Propdads d la solucó stacoara π π P, π : Aplcado l torma Lvl Crossg Law : ua cola co llgadas y saldas utaras s cumpl qu la P{u usuaro al llgar cutra l sstma} P{u usuaro al salr da l sstma} π P{u usuaro al llgar cutra l sstma}. Aplcado PASTA: π P{ l sstma hay usuaros u stat arbtraro}. 78 Cocpts foamtals d xarxs d computadors. U focamt aalítc. Toría d colas quug thory Justfcacó dl torma Lvl Crossg Law : Sa: A {úmro d llgadas qu cutra l sstma co usuaros} D {úmro d saldas qu da l sstma co usuaros} P{u usuaro al llgar cutra l sstma} lm t A / A P{u usuaro al salr da l sstma} lm t D / D U usuaro qu llga y v l sstma provoca ua trascó +, u usuaro qu da provoca ua trascó +. Pusto qu las llgadas y saldas so utaras, l úmro d trascos + y + pud dfrr como máxmo : A - D A D A D D D A lm lm t A D t A D A 79

18 Cocpts foamtals d xarxs d computadors. U focamt aalítc. Toría d colas quug thory Cálculo dl tmpo mdo la cola M/G/:W fórmula d Pollaczk-Khch, P-K. Método d los momtos: W E[S] Q + ρ R dod: E[S] s l tmpo mdo d srvco, Q s l úmro mdo la cola, R s l tmpo mdo rsdual E[tmpo qu quda al usuaro qu s stá srvdo al habr ua llgada]. ρ λ E[S] s la probabldad d qu l srvdor sté ocupado. Aplcado Lttl a la cola: Q λ W W E[S] λ W + ρ R W ρ R / - ρ. 8 Cocpts foamtals d xarxs d computadors. U focamt aalítc. Toría d colas quug thory La cola M/G/, fórmula d Pollaczk-Khch P-K: cálculo dl tmpo mdo rsdual: Tmpo rsdual r S 3 S 3 t D la fgura: Substtuydo: Saldas D R lm t D S D D r2d2 S D 2 lm t t D S S D W ρ R / - ρ W 2 2 E[ S ] 2E[ S] 2 E[ S ], ρ λ E[S]. 2 -! 8

19 Cocpts foamtals d xarxs d computadors. U focamt aalítc. Toría d colas quug thory La cola M/G/, fórmula d Pollaczk-Khch, P-K: coscucas: 2 E[ S ] Tmpo mdo l sstma: T E[ S] + W E[ S] + 2-! Para la cola M/M/: E[S 2 ] 2/ µ 2! W -! Para la cola M/D/: E[S 2 ] / µ 2! W 2 -! Obsrvacos: La cola M/M/ t W, Q gual a la mtad d la M/D/ y T, guals para valors ρ y la mtad para ρ. La cola M/D/ t l valor mímo posbl d E[S 2 ] s ua cota míma d W, T, Q y para ua M/G/. 82 Cocpts foamtals d xarxs d computadors. U focamt aalítc. Toría d colas quug thory Dstrbucó d la cola la cola M/G/: Dfmos V {úmro d llgadas u tmpo d srvco dl usuaro }. {úmro d usuaros l sstma al falzar l srvco dl usuaro } V. S hacmos, td a la V.A. gual al úmro d usuaros l sstma al fal d u srvco. Por l torma Lvl Crossg Law sto s gual al úmro d usuaros al habr ua llgada y por PASTA, també s gual al úmro d usuaros l sstma. La trasformada z d val: z Σ P[] z E[z ] E[z^{ + + V}] E[z^ + ] E[z V ] 83

20 Cocpts foamtals d xarxs d computadors. U focamt aalítc. Toría d colas quug thory Cálculo d z E[z^ + ] E[z V ] E[z^ + ] Σ P[ + ] z P[ + ] P[ ] + P[ ], P[ +]+, > x E[z Σ E[z^ + ] P[ ] + /z Σ > P[ ] z P[ ] + /z {z - P[ ]} V ] P[ V xz! ] z -x f S Σ v x dx z x Σ x - z x f S x! -t f S x dx L S x dx z 84 Cocpts foamtals d xarxs d computadors. U focamt aalítc. Toría d colas quug thory Cálculo d z E[z^ + ] E[z V ] Substtuydo y tdo cuta qu P[ ] -ρ Ecuacó trasformada d Pollaczk-Kch z L S ρ z z L z z S Usado la gualdad -x - Σ x, podmos scrbr la cuacó atror como: z ρ z z L S z 85

21 Cocpts foamtals d xarxs d computadors. U focamt aalítc. Toría d colas quug thory Dstrbucó dl tmpo l sstma rspos tm la cola M/G/. Hmos dducdo qu s X s ua V.A. cotua co trasformada d Laplac L X s, l úmro d llgadas d u procso d posso co tasa λ durat sucsvos valors d X val: E[z X ] L X λ-z Para calcular l tmpo d rspusta T maqumos u usuaro J. El úmro d usuaros l sstma a la salda d J s l úmro d usuaros llgados durat T J. Por lvl crossg law, s gual al úmro d usuaros a la llgada d J, qu por PASTA s gual al úmro d usuaros la cola u stat arbtraro:. Así pus: E[z X ] E[z ] z L T λ-z 86 Cocpts foamtals d xarxs d computadors. U focamt aalítc. Toría d colas quug thory Dstrbucó dl tmpo l sstma rspos tm la cola M/G/. Substtuydo: E[z X ] E[z ] z L T λ-z! z z LS z LT z L z z Co l cambo: s λ-z; -z s/λ; z - s/λ S L T s L S s! s / L s + s / - S 87

22 Cocpts foamtals d xarxs d computadors. U focamt aalítc. Toría d colas quug thory Emplo dstrbucó d la cola la colam/m/: P[S x]- -µx L s s µ/µ+s ; L s λ-zµ/µ+λ-z/+ρ-z Pusto [ +!- z] z z! z! z z LS z! z z! - z!! - z + z!! z ota: s ha usado las rlacos: Pusto qu z Σ P[ ] z P[ ] -ρ ρ + + z z z + z + k x, + k x z 88 Cocpts foamtals d xarxs d computadors. U focamt aalítc. Toría d colas quug thory Emplo: dstrbucó dl tmpo d rspusta la cola M/M/: P[S x]- -µx ; L s s µ/µ+s L T s L S s! s / L s + s / - S! s + - Usado L s - [/s+α] - αx : f T x L! s - +! -! x, P[ T x] -! x Cuyo valor mdo val: T /[µ- ρ] /µ - λ 89