Control 3. Lunes 23 de Junio 2008

Transcripción

1 Universidad de Chile Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas Departamento de Ingeniería Industrial IN44A: Investigación Operativa Profesores: R. Caldentey, R. Epstein, P. Rey Prof. Aux.: J. Gacitúa, L. Valdés, D. Wilson Control 3 Lunes 23 de Junio 2008 Pregunta 1 Pasajeros llegan a un paradero de taxis según un proceso de Poisson de tasa λ pasajeros por hora. Los taxis llegan al paradero también según un proceso de Poisson de tasa µ taxis por hora. Los taxis forman una fila a la espera de un pasajero. Cuando llega un pasajero, toma el primer taxi de la fila y se va a su destino. Si no hay taxis en la fila, el pasajero se va y busca otro medio de transporte. Calcule, para el largo plazo, lo siguiente: 1. Número promedio de taxis esperando en fila (0,5 puntos). Estamos frente a una cola M/M/1. Los pasajeros actúan como servidor y los taxistas como clientes. Sea {X(t), t 0} la cadena de Markov representa el número de taxistas esperando pasajeros. X(t) N 0. El generador infinitesimal de la cadena es µ i = j = 0 (λ + µ) i = j, i 1 Q = (q ij ) = µ j = i + 1, λ j = i 1, i 1 Para hacer cálculos en el largo plazo, debemos obtener las probabilidades estacionarias. Se plantean las ecuaciones de equilibrio, µπ 0 = λπ 1 (µ + λ)π i = µπ i 1 + λπ i+1 i = 1, 2.. π i = 1 i=0 Sea ρ = µ λ (Se asume ρ < 1). Con las ecuaciones anteriores se llega a En esta pregunta se pide L = i=0 iπ i = µ λ µ π 0 = 1 ρ π i = ρ i π 0 2. Tiempo promedio que debe esperar un taxi para encontrar pasajero (0,5 puntos). Se busca el tiempo promedio que un taxi esta en el sistema, W. Ocupando Little y la parte anterior se obtiene W = L µ = 1 λ µ

2 3. Fracción de los pasajeros que no encuentra taxi (0,5 puntos). casos favorables Se hace un análisis de casos totales por unidad de tiempo. La totalidad de los pasajeros llega al paradero a tasa λ. En el largo plazo, pasajeros llegan a un sistema vacío con tasa π 0 λ, por lo tanto la fracción pedida es π 0 λ λ = π 0 Considere que cada pasajero que se retira supone un costo C al sistema taxis. También, suponga que cada taxi en la fila significa un costo de T por hora de espera al sistema taxis. Adicionalmente, cada pasajero que toma un taxi representa un beneficio esperado de B al sistema taxis. 4. Si el sistema taxis puede regular la tasa de llegada µ, plantee las ecuaciones que permitan encontrar el µ óptimo para los taxistas (0,6 puntos). Se define la función de utilidad Π = B(1 π 0 )λ Cπ 0 λ T L El µ óptimo se obtiene al resolver δπ δµ = 0 Pregunta 2 Un centro médico atiende pacientes graves y pacientes leves. Los pacientes graves llegan al centro según un proceso de Poisson de tasa α pacientes por hora. Los pacientes leves llegan también según un proceso de Poisson de tasa β pacientes por hora. La sala de espera para pacientes graves es muy grande (para efectos prácticos infinta), pero la sala de espera para pacientes leves acepta hasta 2 pacientes como máximo. Si llega un paciente leve al centro y la sala de espera está llena, el paciente se retira y se atiende en otro servicio. El centro sólo puede atender a un enfermo a la vez. El tiempo de atención de un enfermo distribuye exponencialmente con tasa µ pacientes por hora, independiente si el paciente está grave o leve. El centro atiende a los pacientes leves sólo cuando no hay pacientes graves en el centro, es decir, los pacientes graves tienen la prioridad. Incluso, si cuando están atendiendo a un paciente leve llegara un paciente grave, la atención al paciente leve es suspendida y este paciente leve es enviado a su sala de espera (si la sala de espera está llena el paciente leve se va del centro) y se atiende inmediatamente al paciente grave. 1. Exprese en función de los parámetros del problema, el tiempo promedio que debe esperar un paciente grave para empezar a ser atendido. (0,5 puntos) Sea {X(t), t 0} cadena de Markov en tiempo continuo que representa el número de pacientes graves y leves dentro del hospital. El conjunto de estados es E = {N 0 {0, 1, 2}} (0, 3). El primer índice indica el n mero de pacientes graves en el hospital; el segundo, los pacientes leves. El diagrama de estados es el siguiente:

3 Las ecuaciones que permiten encontrar las probabilidades estacionarias son las siguientes: (α + β)π 0,0 = µ(π 1,0 + π 0,1 ) (µ + α + β)π 0,1 = βπ 0,0 + µ(π 1,1 + pi 0,2 ) (µ + α + β)π 0,2 = βπ 0,1 + µ(π 1,2 + pi 0,3 ) (µ + α)π 0,3 = βπ 0,2 (µ + α + β)π i,0 = απ i 1,0 + µπ i+1,0 i 1 (µ + α + β)π i,1 = απ i 1,1 + βπ i,0 + µπ i+1,1 i 1 (µ + α)π i,2 = απ i 1,2 + βπ i,1 + µπ i+1,2 i 2 (µ + α)π 1,2 = α(π 0,2 + π 0,3 ) + βπ 1,1 + µπ 2,2 π i,j = 1 ({i,j) E} La respuesta a esta pregunta es W q, de la cola de pacientes graves. Calculamos entonces L q : L q = {(i,j) E:i 1} (i 1)π i,j La tasa efectiva de entrada de pacientes graves es α, por lo tanto, W q = L q α 2. Exprese en función de los parámetros del problema, la fracción de los pacientes leves que se retiran del centro habiendo sido atendidos satisfactoriamente. (1,0 puntos) En el largo plazo, pacientes leves aparecen con una tasa β por hora en el sistema. Cuando la cadena está en los estados (0,1),(0,2),(0,3) están siendo atendidos pacientes leves, por lo tanto la tasa efectiva a la cual salen pacientes leves del hospital es (π 0,1 + π 0,2 + π 0,3 )µ. La fracción de pacientes leves que se retiran siendo atendidos satisfactoriamente es entonces (π 0,1 + π 0,2 + π 0,3 )µ β

4 Responda SOLO UNA de las dos preguntas siguientes Pregunta 3 A un call-center llegan llamadas telefónicas a tasa λ llamadas por minuto. En el centro hay n operadoras, esperando atender las consultas de los clientes. Cada operadora tarda un tiempo exponencial de tasa µ llamadas por minuto en atender a un cliente. Si todas las operadoras están ocupadas, las llamadas van haciendo cola en el sistema telefónico. 1. En el largo plazo, cuántas personas hay en el sistema esperando a ser atendidas? (0,8 puntos) Estamos frente a una cadena M/M/C. Se desarrollará el modelo via cadenas de Markov en tiempo contínuo. Sea {X(t), t 0} cadena de Markov en tiempo continuo que representa el número de llamadas en el call-center. El conjunto de estados es E = N 0. El generador infinitesimal de la cadena es λ i = j = 0 (λ + iµ) i = j, 0 < i n (λ + nµ)) i = j, i > n Q = (q ij ) = iµ j = i 1, i n nµ j = i 1, i > n λ j = i + 1 Las ecuaciones que permiten resolver las probabilidades estacionarias son: λπ 0 = µπ 1 (λ + iµ)π i = λπ i 1 + (i + 1)µπ i+1 0 < i < n (λ + nµ)π j = λπ j 1 + nµπ j+1 j n π i = 1 i E El número promedio de personas esperando a ser atendidas en el largo plazo es L q = (i n)π i i E:i n 2. Suponga que hay n clientes siendo atendidos y ninguno esperando y acaba de llegar una nueva llamada al call-center. En promedio, en cuanto tiempo más este cliente terminará su diligencia con el call-center? (0,8 puntos) Sea A el tiempo que debe esperar el cliente en ser atendido. Sea B el tiempo durante el cual es atendido. Tenemos A exp(nµ) y B exp(µ). Buscamos E[A+B]: E[A + B] = E[A] + E[B] = 1 nµ + 1 µ = 1 + n nµ 3. Sabemos que existe un costo por hora de operadora que es igual a C µ. Además, si un cliente tiene que esperar se incurre en un costo de L, independiente del lapso que el cliente ha tenido que esperar.

5 Si el gerente puede regular la tasa de atención de las operadoras, plantee como podemos encontrar la tasa óptima de atención, aquella que minimiza los costos horarios en el largo plazo. (0,8 puntos) El costo por hora del conjunto de secretarias es ncµ. La tasa efectiva a la cual llegan clientes que deben esperar es i>n π iλ. Debemos entonces minimizar, min µ>0 ncµ + L i>n π i λ Pregunta 4 Un proceso de producción puede estar en tres estados: 1. Operacional (O): En este estado el proceso genera una producción con un valor econónimco de $I por hora. 2. Mantenimiento (M): La mantención dura un tiempo exponencialmente distribuido con una media de 1 hora. El costo de una mantención es de $m por mantención. 3. Reparación (R): Un equipo en estado Operacional puede fallar antes de una mantención. En este caso el equipo debe ser reparado, lo que toma un tiempo exponencialmente distribuido con una media de 5 horas. El costo de una reparación es de $r por reparación. Después de una Mantención o una Reparación el equipo vuelve a su estado Operacional. El tiempo de falla de un equipo operacional esta expoenencialmente distribuido con una media de 10 horas. Por otro lado, la política de mantención de la empresa es tal que el tiempo para la próxima mantención de un equipo Operacional está exponencialmente distribuido con una media de 5 horas. Estos tiempos de falla y mantención son independientes. a) Si el sistema se encuentra inicialmente en operación, cuál es la probabilidad que este en mantención despues de 10 horas de operación. b) Qué relación debe existir entre I, m y r para que el proceso de producción sea rentable al considerar su operación de largo plazo?