Investigación Operativa II
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- Monica Luna Murillo
- hace 8 años
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1 Investigación Operativa II
2 Capítulo 1: Colas de Espera o Filas de Espera
3 1.01 Introducción a la Teoría de Colas TEORÍA DE COLAS: cuerpo de conocimientos sobre las líneas de espera (colas). LINEAS DE ESPERA: artículos o personas en una cola, a la espera de un servicio. UNIVERSIDAD DEL AZUAY 4
4 1.01 Introducción a la Teoría de Colas UNIVERSIDAD DEL AZUAY 5
5 1.01 Introducción a la Teoría de Colas Los modelos de líneas de espera son útiles tanto en servicios como en fabricación. El análisis de las colas en términos de longitud de la cola, de tiempo de espera y otros factores nos ayuda a comprender los sistemas de servicios (tales como los puestos de los cajeros de bancos), las actividades de mantenimiento (que deben reparar la máquina averiada) y las actividades de control en los talleres. UNIVERSIDAD DEL AZUAY 6
6 UNIVERSIDAD DEL AZUAY 7
7 Características de un Sistema de Colas (1) UNIVERSIDAD DEL AZUAY 8
8 Características de un Sistema de Colas (2) 1. Características de las Llegadas: Las fuentes de entradas que originas las llegadas o clientes a un sistema de servicios tiene tres características principales: a. Tamaño de la población de llegada (origen) b. Comportamiento de las llegadas c. Patrón de las llegadas (distribución estadística) UNIVERSIDAD DEL AZUAY 9
9 Características de un Sistema de Colas (3) 1. Características de las Llegadas: a. Tamaño de la población de llegada (origen): Los tamaños de la población pueden ser, o bien ilimitados (básicamente infinitos), o bien limitados (finitos). Población ilimitada o infinita: Cola en la que un número prácticamente ilimitado de personas o artículos podría solicitar un servicio, o en la que el número de clientes o llegadas presentes en cualquier momento dado es una proporción muy pequeña de las llegadas potenciales. Población limitada o finita: Cola en la que sólo hay un número limitado de usuarios potenciales del servicio. UNIVERSIDAD DEL AZUAY 10
10 Características de un Sistema de Colas (4) 1. Características de las Llegadas: b. Patrón de Llegadas al sistema: Los clientes llegan a las instalaciones del servicio, bien siguiendo una programación conocida (por ejemplo, 1 paciente cada 15 minutos o 1 estudiante cada media hora), o bien llegan aleatoriamente. Las llegadas son aleatorias cuando son independientes unas de otras y no pueden precisarse con exactitud su ocurrencia. Frecuentemente, en los problemas de colas, se puede estimar el número de llegadas por unidad de tiempo mediante una distribución de probabilidad conocida como la Distribución de Poisson. * Distribución de Poisson: Distribución de la probabilidad discreta que, a menudo, describe la tasa de llegadas en la teoría de colas. UNIVERSIDAD DEL AZUAY 11
11 Características de un Sistema de Colas (5) 1. Características de las Llegadas: b. Patrón de Llegadas al sistema (2): Dada una tasa de llegadas (como dos clientes a la hora o cuatro camiones por minuto), se puede establecer una distribución de Poisson discreta mediante la siguiente fórmula: P x = e λ λ x para x = 0,1,2,3. x! Donde: P x = probabilidad de x llegadas x = número de llegadas por unidad de tiempo ƛ = ritmo medio de llegadas e = * UNIVERSIDAD DEL AZUAY 12
12 Características de un Sistema de Colas (6) UNIVERSIDAD DEL AZUAY 13
13 Características de un Sistema de Colas (7) UNIVERSIDAD DEL AZUAY 14
14 Características de un Sistema de Colas (7) c. Comportamiento de las llegadas: La mayoría de los modelos de colas dan por sentado que un cliente que llega es un cliente paciente. Los clientes pacientes son personas o máquinas que esperan en la cola hasta que les atienden y no pasan de una cola a otra. Los clientes que renuncian no se ponen en la línea de espera por que es demasiado larga para ajustarse a sus necesidades o intereses. Los clientes que desisten son aquellos que se ponen en la cola pero luego se impacientan y se van sin realizar su transacción. UNIVERSIDAD DEL AZUAY 15
15 Característica de las Colas (1) a) La línea de espera en sí misma es el segundo componente de un sistema de colas. La longitud de la cola puede ser también limitada o ilimitada. 1. Cola limitada: cuando no puede, bien por ley o bien por restricciones físicas, aumentar hasta una longitud infinita. 2. Cola ilimitada: cuando su tamaño no tiene restricciones. UNIVERSIDAD DEL AZUAY 16
16 Característica de las Colas (2) b) La segunda característica de las colas hace referencia a la disciplina de la cola. Esto se refiere a la regla por la que se va a atender a los clientes en la cola. La mayoría de los sistemas utilizan la disciplina de la cola conocida como FIFO UNIVERSIDAD DEL AZUAY 17
17 Característica del Servicio (1) Son importantes dos propiedades básicas: 1. Diseño del sistema de servicio 2. Distribución de los tiempos de servicio UNIVERSIDAD DEL AZUAY 18
18 Característica del Servicio (2) 1. Diseños básicos de los sistemas de colas: los sistemas de servicio se clasifican habitualmente según su número de canales (por ejemplo: número de servidores) y el número de fases (por ejemplo: número de paradas de servicio que deben hacerse). UNIVERSIDAD DEL AZUAY 19
19 Característica del Servicio (3) a) Sistema de cola de canal único: Sistema de servicio con una cola y un servidor UNIVERSIDAD DEL AZUAY 20
20 Característica del Servicio (3) b) Sistema de cola de múltiples canales (multicanal): Sistema de servicio con una sola línea de espera pero con varios servidores UNIVERSIDAD DEL AZUAY 21
21 Característica del Servicio (4) a) Sistemas de fase única: Sistema en la que el cliente recibe el servicio de un solo puesto o estación y a continuación sale del sistema. UNIVERSIDAD DEL AZUAY 22
22 Característica del Servicio (5) b) Sistema multifase: Sistema en el que el cliente recibe el servicio en varios puestos o estaciones antes de salir del sistema. UNIVERSIDAD DEL AZUAY 23
23 Ejemplos UNIVERSIDAD DEL AZUAY 24
24 Ejemplos UNIVERSIDAD DEL AZUAY 25
25 Ejemplos UNIVERSIDAD DEL AZUAY 26
26 Ejemplos UNIVERSIDAD DEL AZUAY 27
27 Características del Servicio (6) 2. Distribución del tiempo de servicio: Los patrones de servicio son como los patrones de llegadas en que pueden ser constantes o aleatorios. Si el tiempo de servicio es constante, lleva el mismo tiempo atender a cada cliente, ejemplo: lavado automático de automóviles. Mas frecuentemente, los tiempos de servicios se distribuyen aleatoriamente. En muchos casos, podemos asumir que los tiempos de servicio aleatorios se describen mediante la distribución de probabilidad exponencial negativa. UNIVERSIDAD DEL AZUAY 28
28 Distribución Exponencial Negativa UNIVERSIDAD DEL AZUAY 29
29 Medidas de Rendimiento de Colas (1) Los modelos de colas ayudan a los directivos a tomar decisiones que equilibren los costes del servicio con los costes de las líneas de espera. El análisis de las colas puede proporcionar muchas medidas del rendimiento de un sistema de líneas de espera, entre las que se incluyen las siguientes: UNIVERSIDAD DEL AZUAY 30
30 Medidas de Rendimiento de Colas (2) 1. Tiempo medio que cada cliente u objeto pasa en la cola. 2. Longitud media de la cola. 3. Tiempo medio que cada cliente pasa en el sistema (tiempo de espera más tiempo de servicio). 4. Número medio de clientes en el sistema. 5. Probabilidad de que la instalación de servicio esté inactiva. 6. Factor de utilización del sistema. 7. Probabilidad de que haya un número específico de clientes en el sistema. UNIVERSIDAD DEL AZUAY 31
31 Costes de las Colas Los directores de operaciones deben buscar el equilibrio que tiene lugar entre dos costes: el coste de proporcionar un buen servicio y el coste del tiempo de espera del cliente o de las máquinas. Los directivos quieren colas que sean lo suficientemente cortas para que los clientes no se sientan descontentos y, bien se vayan sin comprar, o bien compren pero no vuelvan más. Sin embargo, los directivos podrían estar dispuestos a admitir cierta espera si ésta se equilibra con un ahorro significativo de los costes de servicio. UNIVERSIDAD DEL AZUAY 32
32 Costes de las Colas Un medio para evaluar una instalación de servicio es determinar su coste estimado total. El coste total es la suma de los costes de servicios esperados más los costes estimados de la espera. UNIVERSIDAD DEL AZUAY 33
33 Sistemas de Colas de Espera UNIVERSIDAD DEL AZUAY 34
34 Notación Teoría de Colas En notación de la Teoría de Colas la primera letra hace referencia a las llegadas (donde M representa la Distribución de Poisson); la segunda letra hace referencia al servicio (donde M, es de nuevo, la Distribución de Poisson, que es lo mismo que una tasa exponencial de servicio, y D es una tasa de servicio constante); el tercer símbolo hace referencia al número de servidores. Así pues, un sistema M/D/1 (nuestro modelo C) tiene unas llegadas que siguen la Distribución de Poisson, un servicio constante y un servidor. UNIVERSIDAD DEL AZUAY 35
35 Modelo A (M/M/1): Modelo de cola de canal único con llegadas de Poisson y tiempos de servicio exponenciales El caso más habitual de problemas de colas es el de línea de espera de canal único, o de servidor único. En esta situación, las unidades que llegan una cola única que será atendida por un puesto o estación única. Partimos del supuesto de que se dan las siguientes condiciones en este tipo de sistema: UNIVERSIDAD DEL AZUAY 36
36 Modelo A (M/M/1) (2) 1. Las llegadas son atendidas sobre la base del el primero que entra el primero que sale (FIFO), y cada llegada espera ser atendida, independiente de la longitud de la cola. 2. Las llegadas son independientes de las llegadas anteriores, pero el número medio de llegadas (ritmo de llegadas) no cambia en el tiempo. 3. Las llegadas siguen una distribución de probabilidades de Poisson y proceden de una población infinita ( o muy muy grande). 4. Los tiempos de servicio varían de un cliente a otro y son independientes uno de otro, pero se conoce un ritmo medio. 5. Los tiempos de servicio siguen una distribución de probabilidades exponencial negativa El ritmo de servicio es más rápido que el ritmo de llegada. UNIVERSIDAD DEL AZUAY 37
37 Modelo A (M/M/1) (3) Cuando se cumplen estas condiciones, se puede usar la siguiente ecuación: λ = Número medio de llegadas por periodo de tiempo μ = Número medio de personas o artículos atendidas por periodo de tiempo L s = Número medio de unidades clientes en el sistema (esperando a ser atendidas) Por lo tanto, L s = λ μ λ UNIVERSIDAD DEL AZUAY 38
38 Modelo A (M/M/1) (3) W s = tiempo medio que una unidad pasa en el sistema tiempo de espera más tiempo de servicio W s = 1 μ λ UNIVERSIDAD DEL AZUAY 39
39 Modelo A (M/M/1) (4) L q = número medio de unidades esperando en la cola L q = λ2 μ(μ λ) UNIVERSIDAD DEL AZUAY 40
40 Modelo A (M/M/1) (5) W q = tiempo medio que una unidad pasa esperando en la cola W q = λ μ(μ λ) UNIVERSIDAD DEL AZUAY 41
41 Modelo A (M/M/1) (6) ρ = Factor de utilización del sistema ρ = λ μ UNIVERSIDAD DEL AZUAY 42
42 Modelo A (M/M/1) (7) P 0 = probabilidad de que haya 0 unidades en el sistema es decir, la unidad de servicio esté parada P 0 = 1 λ μ UNIVERSIDAD DEL AZUAY 43
43 Modelo A (M/M/1) (8) P n>k = probabilidad de más de k unidades en el sistema, donde n es el número de unidades en el sistema P n>k = ( λ μ )k+1 UNIVERSIDAD DEL AZUAY 44
44 Modelo A (M/M/1) (9) EJEMPLO: Tom Jones, el mecánico de Golden Muffler Shop, está preparado para instalar nuevos tubos de escape a un ritmo medio de 3 por hora (o aproximadamente 1 cada 20 minutos), según una distribución exponencial negativa. Los clientes que buscan este servicio llegan al taller a un promedio de 2 por hora, siguiendo una Distribución de Poisson. Se los atiende sobre la base del primero que entra, primero que sale, y proceden de una población de posibles clientes muy grande, casi infinita. A partir de esta descripción, podemos obtener las características del funcionamiento del Sistema de Colas de Golden Muffler. UNIVERSIDAD DEL AZUAY 45
45 Modelo A (M/M/1): Análisis Económico El propietario de Golden Muffler Shop estima que el coste del tiempo de espera del cliente, en cuanto a insatisfacción del cliente y pérdida de reputación, es de 10 dólares por hora consumido esperando en la cola. Dado que el automóvil medio tiene una espera de 2/3 de hora (W q ), y dado que hay aproximadamente 16 automóviles atendidos al día (2 llegadas por hora por 8 horas de trabajo al día), el número total de horas que los clientes consumen esperando cada día para que les instalen un tubo de escape es: = 32 3 = hora Por lo tanto, en este caso, Coste del tiempo de espera de los clientes = 10 $ (10 2 ) = 106,67 dólares al día 3 UNIVERSIDAD DEL AZUAY 46
46 Ejercicios (1) UNIVERSIDAD DEL AZUAY 48
47 Ejercicios (2) UNIVERSIDAD DEL AZUAY 49
48 Ejercicios (3) Suponga que en una estación con un solo servidor llegan en promedio 45 clientes por hora, ser tiene capacidad para atender en promedio 60 clientes por hora. Se solicita: A. Tiempo medio que un cliente pasa en el sistema. B. Número promedio de clientes en la cola C. Número promedio de clientes en el sistema en un momento dado. UNIVERSIDAD DEL AZUAY 50
49 Modelo B: (M/M/S) Modelo de Cola con Múltiples Canales Sistema de cola de múltiples canales en los que dos o más servidores o canales están disponibles para atender a los clientes que llegan. Seguiremos dando por sentado que los clientes a la espera de ser atendidos forman una cola única y a continuación pasan al primer servidor disponible. UNIVERSIDAD DEL AZUAY 51
50 Modelo B: (M/M/S) El sistema multicanal da por sentado que las llegadas siguen una distribución de probabilidad de Poisson y que los tiempos de servicio se distribuyen exponencialmente. El servicio es FIFS, y todos los servicios funcionan al mismo ritmo. Las ecuaciones del sistema de colas M/M/S son las siguientes: UNIVERSIDAD DEL AZUAY 52
51 Modelo B: (M/M/S) (2) UNIVERSIDAD DEL AZUAY 53
52 Modelo B: (M/M/S) (3) UNIVERSIDAD DEL AZUAY 54
53 Modelo B: (M/M/S) (4) UNIVERSIDAD DEL AZUAY 55
54 Modelo B: (M/M/S) (5) UNIVERSIDAD DEL AZUAY 56
55 Modelo B: (M/M/S) (6) UNIVERSIDAD DEL AZUAY 57
56 Modelo B: (M/M/S) (7) UNIVERSIDAD DEL AZUAY 58
57 Modelo B: (M/M/S) (8) EJERMPLO: UNIVERSIDAD DEL AZUAY 59
58 Utilización de tablas de colas UNIVERSIDAD DEL AZUAY 69
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