S = N λ = 5 5 = 1 hora.

Transcripción

1 Teoría de Colas / Investigación Operativa 1 PROBLEMAS DE INVESTIGACIÓN OPERATIVA. Hoja 5 1. Al supercomputador de un centro de cálculo llegan usuarios según un proceso de Poisson de tasa 5 usuarios cada hora. Sabiendo que éstos consumen un tiempo de cómputo aleatorio cuya distribución puede suponerse exponencial de media 1 de hora y que la disciplina de atención es FIFO. Se 6 pide: a) El número medio de clientes en el sistema y el número medio de usuarios que están usando el supercomputador. b) Si en la sala de espera hay 4 sillas, cuál es la probabilidad de que un usuario que llega a la sala tenga que esperar de pie? c) Calcula el tiempo medio total de respuesta de un usuario. Solución. El proceso de cómputo del supercomputador se puede modelizar con una M/M/1. Los parámetros del sistema son λ = 5 y µ = 6; por tanto, el factor de utilización es ρ = 5 6 < 1 y el sistema es estable. a) El número medio de clientes en el sistema es N = ρ 1 ρ = 5 usuarios y el número medio de usuarios que están usando el supercomputador es: B = λ µ = 5 6 b) Como en la sala de espera hay 4 sillas, para que un usuario que llegue tenga que esperar de pie en el sistema tiene que haber 5 o más usuarios, entonces la probabilidad que nos piden es: p{n 5} = 1 P {N 4} = 1 4 n=0 ρ n (1 ρ) = 1 (1 ρ) (1 ρ5 ) (1 ρ) = ρ5 0.4 c) Aplicando la Ley de Little, el tiempo medio total de respuesta de un usuario es S = N λ = 5 5 = 1 hora.

2 Teoría de Colas / Investigación Operativa 2 2. Considera una cola con tasa de llegadas λ, y 5 servidores idénticos en paralelo, cada uno de los cuales tiene tasa de servicio µ. Sabemos que la proporción media de servidores ocupados es 0.6, que el número medio de clientes en espera (en cola) es y que el tiempo medio de respuesta (espera en cola + servicio) es de Se pide: a) El número medio de servidores ocupados y el factor de utilización del sistema. b) La tasa de llegada y la tasa de servicio. c) El tiempo medio que un cliente permanece en espera y el número medio de clientes en el sistema. d) En el caso de que los tiempos entre llegadas de clientes y los tiempos de servicio fuesen variables aleatorias exponenciales, representa el diagrama de tasas de transición entre estados, y formula las ecuaciones de balance de flujo correspondientes. Solución. a) La proporción media de servidores ocupados es ρ = 0.6 y hay 5 servidores, entonces el número medio de servidores ocupados es = 3 = B b) Conocemos el tiempo medio de respuesta S = Si conociéramos el número medio de clientes en el sistema N, entonces aplicando la Ley de Little, podríamos obtener λ. Para calcular N tenemos en cuenta que: N = Q + B = = Como N = λs, entonces λ = N = 6. S La tasa de servicio µ = λ = 6 = 2. 5ρ 3 c) El tiempo medio que un cliente permanece en espera W = S 1 = = y µ el número medio de clientes en el sistema es N = d) En ese caso se trata de una cola M/M/5 con tasa de llegadas λ = 6 y tasa de servicio µ = 2, entonces el diagrama de tasas de transición es:

3 Teoría de Colas / Investigación Operativa 3 y la ecuaciones de balance de flujo son: 2p 1 = 6p 0 6p 0 + 4p 2 = 6p 1 + 2p 1 6p 1 + 6p 3 = 6p 2 + 4p 2 6p 2 + 8p 4 = 6p 3 + 6p 3 6p p 5 = 6p 4 + 8p 4 6p p 6 = 6p p 5. 6p n p n+1 = 6p n + 10p n, para todo n 5 3. En una fábrica existe una oficina de la Seguridad Social a la que los obreros tienen acceso durante las horas de trabajo. El jefe de personal, que ha observado la afluencia de obreros a la ventanilla, ha solicitado que se haga un estudio relativo al funcionamiento de este servicio. Se designa a un especialista para que determine el tiempo medio de espera de los obreros en la cola y la duración media de la conversación que cada uno mantiene con el empleado de la ventanilla. Este analista llega a la conclusión de que durante la primera y la última media hora de la jornada la afluencia es muy reducida y fluctuante, pero que durante el resto de la jornada el fenómeno se puede considerar estacionario. Del análisis de 100 periodos de 5 minutos, sucesivos o no, pero situados en la fase estacionaria, se dedujo que el número medio de obreros que acudían a la ventanilla era de 1.25 por periodo y que el tiempo entre llegadas seguía una distribución exponencial. Un estudio similar sobre la duración de las conversaciones, llevó a la conclusión de que se distribuían exponencialmente con duración media de 3.33 minutos. Determina: a) Número medio de obreros en cola. b) Tiempo medio de espera en la cola. c) Compara el tiempo perdido por los obreros con el tiempo perdido por el oficinista. Calcula el coste para la empresa, sin una hora de inactividad del oficinista vale 250 euros y una hora del obrero 400 euros. Sería rentable poner otra ventanilla? Solución. Sistema M/M/1 con λ = 0.25 y µ = 0.3. a) Q = obreros. b) W = minutos. c) Durante cada hora hay, en media, Q = clientes haciendo cola. Es decir, el coste horario por obreros ociosos es de = euro. Por otro lado, 1 ρ = 0.166, de forma

4 Teoría de Colas / Investigación Operativa 4 que el coste del tiempo que el oficinista está ocioso es de = 41.5 euros horarios, que es mucho inferior. Si se pusiera otra ventanilla, el sistema sería M/M/2. En ese caso, el número medio de clientes en servicio es de B = λ = Por tanto, como hay 2 ventanillas, el tiempo de µ oficinista que se perdería cada hora sería, en media, 2 B = horas. Lo que supone un coste de euros cada hora. Por otro lado, cada hora habría, en media, Q = 1.01 obreros en la cola. De forma que el tiempo perdido por los obreros tendría un coste de = 404 euros la hora. La suma de los dos costes es mucho menor en este segundo caso, de forma que sí sería rentable poner otra ventanilla. 4. En un centro de salud con tres médicos, los pacientes llegan de forma aleatoria (tiempos de llegada exponenciales) a razón de 12 por hora. Éstos son atendidos en orden de llegada por el primer médico que esté libre. Cada médico tarda una media de 13 minutos en atender a cada paciente (tiempos de atención exponenciales). a) Calcula la proporción de tiempo que está cada médico atendiendo a pacientes. b) Calcula el número medio de pacientes que están en la sala de espera. Calcula el tiempo medio total de espera de un paciente. c) Qué ocurriría en el centro si uno de los 3 médicos se ausenta? Solución. a) Es un modelo M/M/3 donde se sabe que la tasa de llegadas es λ = 12 pacientes por hora y la tasa de servicio es de µ = 60/13 = 4.62 pacientes por hora. Por tanto, la tasa de utilización del centro es ρ = λ 3µ = 13/15 = b) Q = 4.93 pacientes, W = 0.41 horas y S = 0.63 horas. c) En este caso ρ > 1 por lo que el sistema no es estacionario y la línea de espera aumenta indefinidamente. 5. Un centro de atención primaria tiene que administrar la vacuna de poliomelitis a los niños de un barrio. El centro está organizado de forma que los padres van llegando con los niños, forman una cola, y se atienden 40 por hora, con una distribución exponencial, por cualquiera de las enfermeras que están de servicio. Este servicio de vacunación se ofrece una vez a la semana, y en este día las llegadas se realizan con una tasa igual a 40 niños por hora. El director del centro sabe que la mayoría de los padres vienen durante sus horas de trabajo y por ello quiere limitar el tiempo

5 Teoría de Colas / Investigación Operativa 5 total de administración de la vacuna a 15 minutos (incluyendo la espera) Cuántas enfermeras tendrá que usar el gerente? Solución El proceso de vacunación se puede modelizar con una M/M/s, donde s es el número de enfermeras. Los parámetros del sistema son λ = 40 y µ = 40; por tanto, el factor de utilización es ρ = 40 40s = 1 s. Para que el sistema tenga estado estacionario y éste sea independiente del estado inicial es necesario que ρ < 1; por tanto, s 2. (No puede haber una única enfermera). Cuanto mayor sea el número de enfermeras, menor será el tiempo medio en el sistema; por tanto, calcularemos los tiempos medios de administración de la vacuna para valores crecientes de s (desde s = 2) hasta que este quede debajo de 15. Para s = 2, entonces p 0 = !0.5 = 1 3, Q = (0.5) = Por tanto, por las leyes de Little, se tiene que W = Q = 1. Como el tiempo de respuesta λ 120 S = W + 1, entonces µ S = = 1 30 horas; es decir S = 2 minutos. Por tanto, 2 enfermeras serán suficientes para conseguir los propósitos del director del centro. 6. (septiembre, 2007) Consideremos un sistema informático que se representa como un sistema de colas con 10 procesadores idénticos en paralelo, cada uno de los cuales procesa una cierta tarea en 3 segundos. Los usuarios del sistema le envían órdenes para realizar esa tarea cada cierto tiempo. Se observa que el tiempo medio de respuesta, desde que se envía una orden para realizar la tarea hasta que ésta se completa es de 10 segundos. Además, se observa que la utilización del sistema es de un 90 %. (a, 5 puntos) Cuál es el número medio de procesadores ocupados? Puedes afirmar que el sistema es estable? (b, 5 puntos) Cuál es la tasa media a la que se envían órdenes al sistema para realizar la tarea? (c, 5 puntos) Cuál es el número medio de tareas en espera o en proceso en el sistema? Y el número medio de tareas en espera? Y el tiempo medio en espera por tarea?

6 Teoría de Colas / Investigación Operativa 6 (d, 10 puntos) Supongamos que los tiempos entre envíos de tareas son variables aleatorias (v.a.) Solución con función de distribución 0 si x 0 x 2 si 0 < x 1 F (x) = 2 (2 x)2 1 si 1 < x si x > 2. Nos proponemos realizar una simulación del sistema, para lo cual necesitamos generar v.a. X con la distribución dada. Indica cómo generar una v.a. X con tal distribución a partir de una v.a. U Uniforme[0, 1], aplicando el método de la transformada inversa. (a) Se trata de un sistema de colas con K = 10 servidores (procesadores) en paralelo. Nos indican que µ = 1/3 segs. S = 10 segs. y ρ = 0.9. Por tanto, el número medio de procesadores ocupados es B = Kρ = = 9. (b) La tasa media a la que se envían órdenes al sistema para realizar la tarea es λ = Bµ = 9 1/3 = 3 tareas/seg. (c) El número medio de tareas en espera o en proceso en el sistema es N = λs = 3 10 = 30. El número medio de tareas en espera es Q = L B = 30 9 = 21. El tiempo medio en espera por tarea es W = S 1 µ = 10 3 = 7 segs. (d) Dada U U[0, 1], resolvemos la ecuación en U F (X) = U.

7 Teoría de Colas / Investigación Operativa 7 Para 0 X 1, la ecuación es Observamos que X 2 2 = U = X = 2U. 0 2U 1 0 U 1 2. Para 1 < X 2, la ecuación es (2 X)2 1 2 Observamos que = U = (2 X) 2 = 2(1 U) = 2 X = 2(1 U) = X = 2 2(1 U). 1 < 2 2(1 U) 2 0 2(1 U) < U < < U 1. Por tanto, generamos X como sigue: 2U si U 1/2 X = 2 2(1 U) si U > 1/2. 7. (enero 2009) Considera un sistema de multiproceso en el que cada trabajo requiere una media de 100 milisegundos de ejecución, con una tasa de llegadas de 60 trabajos por segundo. Responde a las siguientes preguntas: a, 5 puntos Cuál es el mínimo número de procesadores que se requieren para atender la demanda sin que el sistema se sature? Si se instalan precisamente ese número de procesadores, cuál es el factor de utilización del sistema y qué indica su valor es este sistema? b,10 puntos Sabiendo que para ese sistema se ha obtenido que el número medio de trabajos en cola es 3 683, calcula: (1) el número medio de procesadores ocupados, (2) el número medio de trabajos en el sistema, (3) el tiempo medio de espera, y (4) el tiempo medio de respuesta. c,10 puntos En el caso de que los tiempos entre llegadas de trabajos y los tiempos de ejecución fuesen variables aleatorias (v.a.) exponenciales, representa el diagrama de tasas de transición entre estados. Sabiendo que la probabilidad de que el sistema esté vacío es de , calcula la probabilidad de que haya más de 4 procesadores ociosos. Pare ello formula y resuelve las ecuaciones de balance de flujo que necesites.

8 Teoría de Colas / Investigación Operativa 8 Solución Tomando como unidad de tiempo el segundo, la información que nos han proporcionado es: i) la tasa de llegadas: λ = 60, ii) el tiempo medio de servicio: X = 1 µ = segundos. Nos piden a) El mínimo número de procesadores que se requieren para atender la demanda sin que el sistema se sature: ρ = Con 6 procesadores ρ es exactamente 1. λ mµ = 60 m10 < 1 m = 7 Instalando 7 procesadores, el factor de utilización del sistema es: ρ = = 0.857, lo que nos indica que se emplea el 85 7 % de la capacidad de procesamiento del sistema. También, nos indica de que, en promedio, el 85 7 % de los procesadores están trabajando. b) Nos dicen que el número medio de trabajos en cola, Q = 3 683, para obtener el resto de medidas es suficiente con ir aplicando las leyes de Little. Por ejemplo, el tiempo medio de espera es W = Q λ = = El tiempo medio de respuesta se obtiene sumando al anterior el tiempo medio de ejecución de un trabajo, entonces S = W + X = = , De donde, aplicando las leyes de Little, obtenemos el número medio de trabajos en el sistema: N = λs = = Así, el número medio de servidores ocupados es: B = N Q = = Nos habría dado 6, si no hubiera sido por los redondeos. De hecho B = λx = = 6 También se podría haber obtenido B primero, y luego N = Q + B = c) El diagrama de tasas de transición entre estados es:

9 Teoría de Colas / Investigación Operativa 9 Nos proporcionan p 0 = y tenemos que calcular la probabilidad de que haya más de 4 procesadores ociosos, es decir, que el número de trabajos en el sistema sea de 2 a lo sumo: P {N 2} = p 0 + p 1 + p 2 Luego, necesitamos calcular p 1 y p 2. Para ello, planteamos las ecuaciones de balance de flujo correspondientes a los estados 0 y 1: p 1 10 = p 0 60 p 1 = 6p 0 = p p 0 60 = p p 1 60 como p 1 10 = p 0 60, entonces p 2 = 3p 1 = Así, P {N 2} = = (febrero 2007) Una compañía aérea ha montando un sistema de reservas por teléfono, atendido por 4 agentes, en el que las llamadas que llegan cuando los agentes están ocupados, quedan en espera y son después atendidas en estricto orden de llegada. Se sabe que las llamadas son aleatorias y que, en promedio, reciben 20 llamadas por hora. También se sabe que el tiempo medio de respuesta (que una llamada permanece en el sistema) es de 6.51 minutos y que el número medio de llamadas en espera es de Con esta información, contesta a las siguientes preguntas que se plantea la empresa: (a, 5 puntos) Cuál es el tiempo medio que una llamada ha de esperar hasta ser atendida por uno de los agentes? (b, 5 puntos) Cuál es el nivel de uso del sistema?, qué ocurriría si despidieran a 2 agentes? (c, 5 puntos) Si la compañía ha valorado la hora de inactividad de cada agente en 300 euros, a qué cantidad asciende la pérdida media por hora debida a la inactividad de los agentes? (d, 10 puntos) En el caso de que los tiempos entre llamadas y los tiempos de atención fuesen variables aleatorias (v.a.) exponenciales, representa el diagrama de tasas de transición entre estados. Sabiendo que la probabilidad de que el sistema esté vacío es de 3, calcula la probabilidad de que una llamada quede en espera. Pare ello formula y resuelve las ecuaciones de balance de flujo que necesites. Solución La información que nos han proporcionado es: i) la tasa de llegadas: λ = 20, ii) el tiempo medio de respuesta: S = piden = , y iii) el número medio de clientes en cola: Q = Nos

10 Teoría de Colas / Investigación Operativa 10 a) El tiempo medio de espera en cola, W, que aplicando las leyes de Little es: W = Q λ = = b) El nivel de uso del sistema es ρ = λ 4µ Como acabamos de obtener el tiempo medio de espera y nos daban el tiempo medio de respuesta, entonces podemos obtener la tasa de servicio, µ, como: tiempo medio de servicio = 1 µ = S W = = 0.1 µ = = 10 Por tanto, ρ = 20 = 1. Si despiden a 2 agentes el sistema se vuelve inestable c) El número medio de agentes ocupados es B = λ = 2. Entonces, en media el número de agentes µ ociosos es de 4 2 = 2, y así, la pérdida media por hora debida a la inactividad de los agentes asciende a 600 euros. d) El diagrama de tasas de transición entre estados es: Nos proporcionan p 0 = 3 y tenemos que calcular la probabilidad de que una llamada quede en espera, es decir, que cuando llegue todos los agentes estén ocupados: P {N 4} = 1 P {N 3} = 1 p 0 p 1 p 2 p 3 Luego, necesitamos calcular p 1, p 2 y p 3. Para ello, planteamos las ecuaciones de balance de flujo correspondientes a los estados 0,1 y 2: p 1 10 = p 0 20 p 1 = p 0 = 2 3 = 6 p p 0 20 = p p 1 20 como p 1 10 = p 0 20, entonces p 2 20 = p 1 20 y p 2 = p 1 = 6 p p 1 20 = p p 2 20 como p 1 20 = p 2 20, entonces p 3 30 = p 2 20 y p 3 = p 2 = 4 Así, P {N 4} = = 1 19 = 4