TEORIA DE COLAS. Investigación Operativa II

Transcripción

1 TEORIA DE COLAS Investigación Operativa II

2 TEORIA DE COLAS Las COLAS o LINEAS DE ESPERA son realidades cotidianas: Personas esperando para realizar sus transacciones ante una caja en un banco, Estudiantes esperando por obtener copias en la fotocopiadora, Vehículos esperando pagar ante una estación de peaje o continuar su camino, ante un semáforo en rojo, Máquinas dañadas a la espera de ser rehabilitadas. Se forman debido a un desequilibrio temporal entre la demanda del servicio y la capacidad del sistema para suministrarlo.

3 TEORIA DE COLAS Los Modelos de Colas son de utilidad tanto en las áreas de Producción como en las de Servicio. Los Análisis de Colas relacionan: La longitud de la línea de espera, El promedio de tiempo de espera y otros factores como: La conducta de los usuarios a la llegada y en la cola. Los Análisis de Colas ayudan a entender el comportamiento de estos sistemas (la atención de los cajeros de un banco, las actividades de mantenimiento y reparación de maquinaria, el control de las operaciones en planta, etc.)

4 TEORIA DE COLAS Desde la perspectiva de la Investigación de Operaciones, los pacientes que esperan a ser atendidos por el odontólogo o las máquinas dañadas esperando su reparación, tienen mucho en común. Ambos (gente y máquinas) requieren de recursos humanos y recursos materiales (como equipos de reparación), para que se los cure o se los haga funcionar nuevamente.

5 Costos de Servicio y Costos de Espera Debe haber un equilibrio entre el COSTO de proporcionar un buen SERVICIO y el COSTO del tiempo DE ESPERA del cliente o de la máquina a ser atendidos. Es deseable que las colas sean lo suficientemente cortas con la finalidad de que los clientes no se irriten o se retiren sin utilizar el servicio, o lo usen pero no retornen más. Es factible tener una longitud de cola razonable en espera, que sea balanceada, para obtener ahorros significativos en el COSTO DEL SERVICIO

6 Costos de Servicio vs Nivel de Servicio Los COSTOS DE SERVICIO se incrementan si se mejora el NIVEL DE SERVICIO. Ciertos centros de servicio pueden variar su capacidad teniendo personal o máquinas adicionales que son asignados para incrementar la atención cuando crece la cantidad de clientes. En supermercados se habilitan cajas adicionales cuando es necesario. En bancos y puntos de chequeo de aeropuertos, se contrata personal adicional para atender en ciertas épocas del día o del año.

7 Costos de Servicio vs. Nivel de Servicio Cuando el servicio mejora, entonces, disminuye el costo de tiempo perdido en las líneas de espera. Este costo puede reflejar pérdida de productividad de los operarios que están esperando que compongan sus equipos o puede ser simplemente un estimado de los clientes perdidos a causa de mal servicio y colas muy largas. En ciertos servicios (ESSALUD, Hospitales, Bancos) el costo de la espera puede ser intolerablemente alto.

8 Costos de Servicio y Costos de Espera Equilibrio entre Costos de Espera y Costos de Servicio Costo COSTO TOTAL ESPERADO Costo Total Mínimo Costo por proporcionar el SERVICIO Costo por TIEMPO DE ESPERA Nivel Óptimo de Servicio Nivel de Servicio

9 Elementos de un Sistemas de colas Un Sistema de colas está compuesto de tres elementos: 1. Las llegadas, arribos o ingresos al sistema 2. La cola 3. El servicio Estos tres componentes tienen ciertas características que deben ser examinadas antes de desarrollar el aspecto matemático de los modelos de cola.

10 Elementos de un Sistemas de colas 1. CARACTERISTICAS DE LAS LLEGADAS: La fuente de ingreso que genera las llegadas o arribos de clientes al servicio tiene tres características principales: a. Tamaño de la población que arriba b. Patrón de llegada a la cola c. Comportamiento de las llegadas. 1.a.Tamaño de la Población: El tamaño de la población puede ser: infinito (ilimitado) o limitado (finito).

11 Elementos de un Sistemas de colas 1. CARACTERISTICAS DE LAS LLEGADAS: 1.b. Patrón de llegada al sistema: Los clientes arriban para ser atendidos de una manera programada (por ejemplo, un paciente cada 15 minutos) o de una manera aleatoria. Se consideran que los arribos son aleatorios cuando éstos son independientes de otros y su ocurrencia no puede ser predicha exactamente. Frecuentemente, en problemas de colas, el número de arribos por unidad de tiempo puede ser estimado por medio de la distribución discreta Poisson.

12 Elementos de un Sistemas de colas 1. CARACTERISTICAS DE LAS LLEGADAS: DISTRIBUCION POISSON: P e x x! x para _ x 0,1,2,3,4,... P(x) = Probabilidad de x llegadas por unidad de tiempo x= número de llegadas por unidad de tiempo = tasa promedio de llegadas o arribos e =

13 PROBABILIDAD Elementos de un Sistemas de colas 1. CARACTERISTICAS DE LAS LLEGADAS: DISTRIBUCION DE POISSON PARA TASA PROMEDIO DE LLEGADAS = DISTRIBUCION ARRIBOS/UNIDAD DE TIEMPO

14 PROBABILIDAD Elementos de un Sistemas de colas 1. CARACTERISTICAS DE LAS LLEGADAS: DISTRIBUCION DE POISSON PARA TASA PROMEDIO DE LLEGADAS = DISTRIBUCION ARRIBOS/UNIDAD DE TIEMPO

15 Elementos de un Sistemas de colas 1. CARACTERISTICAS DE LAS LLEGADAS: 1.c. Comportamiento de las llegadas: La mayoría de los modelos de colas asume que los clientes tienen mucha paciencia, que esperan en la cola hasta ser servidos y que no se pasan entre colas. Desafortunadamente, en la vida real, esto no siempre se cumple, mucha gente se impacienta por la espera y se retiran de la cola sin completar su transacción. Esta situación sirve para acentuar el estudio de la teoría de colas y el análisis de las líneas de espera, ya que un cliente no servido es un cliente perdido y hace mala propaganda al negocio.

16 Elementos de un Sistemas de colas 2. CARACTERISTICAS DE LAS COLAS: La LINEA DE ESPERA o COLA, es el segundo componente de un sistema de colas. La característica principal de las colas es su longitud, la cual puede ser limitada o ilimitada. Otras característica de las colas se refiere a la disciplina de la cola mediante la cual los clientes reciben el servicio. La mayoría de los sistemas usan la regla FIFO: Primero en Entrar Primero en Salir (PEPS o FIFO First In First Out). Una alternativa es LIFO (Last In First Out)

17 Elementos de un Sistemas de colas 3. CARACTERISTICAS DEL SERVICIO: El tercer elemento de un sistema de colas es el SERVICIO. En él son importantes dos propiedades básicas: 1. La configuración del sistema de servicio. Los sistemas para el servicio son clasificados en función del numero de canales (servidores) y el número de fases (número de paradas o etapas que se deben realizar durante el servicio). 2. Los patrones de tiempos de servicio, son similares a los patrones de llegada, pueden ser constantes o aleatorios.

18 Elementos de un Sistemas de colas 3. CARACTERISTICAS DEL SERVICIO: 3.1. Configuraciones básicas para el Servicio Sistema de cola de un solo canal: tiene un solo servidor. Sistema de cola multicanal (múltiples servidores) : por ejemplo, los cajeros de un banco en los cuales hay una sola cola. Sistema de una sola fase: es aquel en el cual el cliente recibe el servicio en una sola fase, etapa ó estación y luego abandona el sistema. Un restaurante de comida rápida en el cual el empleado que toma la orden también le entrega el alimento y cobra, es un sistema de una sola fase Sistema multifase: por ejemplo, cuando se pone la orden en una estación, se paga en una segunda y se retira lo adquirido en una tercera.

19 Elementos de un Sistemas de colas 3. CARACTERISTICAS DEL SERVICIO: 3.2. Distribución del Tiempo de Servicio Los patrones de tiempos de servicio son similares a los patrones de llegada. Pueden ser constantes o aleatorios. El tiempo de servicio distribuído aleatoriamente es el caso más común, se representa por la DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD EXPONENCIAL de la forma e -x para x 0. Esta es una hipótesis matemática muy conveniente, cuando los llegadas siguen la distribución de Poisson.

20 Medición del Rendimiento de las Colas Los modelos de colas ayudan a tomar decisiones para balancear los costos de servicio con los costos de espera. Estos son los principales factores que se evalúan: 1. Tiempo promedio en la cola 2. Longitud promedio de cola (cantidad de clientes) 3. Tiempo promedio en el sistema: (tiempo de espera en la cola + tiempo de servicio) 4. Número de clientes promedio en el sistema 5. Probabilidad de que el servicio se quede vacío 6. Factor de utilización del sistema (de los servidores) 7. Probabilidad de la presencia de un número específico de clientes en el sistema o en la cola.

21 Notación de los Modelos de Colas Kendall (1953) propuso un sistema de notación que ha sido adoptado universalmente. Una versión resumida de esta notación está basada en el formato (A/B/s):(PEPS/N/K). Estas letras representan las siguientes características del sistema: A = Distribución de tiempo entre llegadas. B = Distribución del tiempo de servicio s = número de servidores paralelos N = Capacidad del sistema K = Tamaño de la población.

22 Notación de los Modelos de Colas (A/B/s):(PEPS/N/K) Los siguientes son símbolos comunes para A y B: M = exponencial o Markoviano (1) D = constante o determinística G = General A causa de las suposiciones de distribución exponencial en los procesos de llegada, éstos modelos son llamados MARKOVIANOS

23 Notación de los Modelos de Colas Por ejemplo: (M/M/1):(PEPS//) significa un solo servidor, capacidad de cola ilimitada y población de arribos potenciales infinita. Los tiempos entre llegadas y los tiempos de servicio son distribuídos exponencialmente. Cuando N y K son infinitos, pueden ser descartados de la notación. Así, (M/M/1):(PEPS//) es reducido a M/M/1.

24 Ejemplo (M/M/1):(PEPS/N/ ) En una sala de espera que tiene capacidad para 3 personas. Las personas arriban al sistema de acuerdo con una tasa de 8 por hora con distribución Poisson y son atendidas por una recepcionista en promedio en 10 minutos con distribución exponencial. Si alguien llega y el sistema está lleno, se retira sin entrar. s=1 servidor N=3 (capacidad del sistema) K=

25 Ejemplo (M/M/s):(PEPS/N/ ) En una sala de espera que tiene capacidad para 3 personas. Las personas arriban al sistema de acuerdo con una tasa de 8 por hora con distribución de Poisson y son atendidas en una sola cola por dos recepcionistas en promedio 10 minutos con distribución exponencial para cada una de ellas. Si alguien llega y el sistema esta lleno, se retira sin entrar. s=2 servidores N=3 (capacidad del sistema) K=

26 Ejemplo (M/M/s):(PEPS/ / ) o simplemente M/M/s La llegada de barcos al muelle de un puerto, sigue una distribución de Poisson con una tasa promedio de 20 barcos por semana. El muelle cuenta con 3 espacios, cada uno para un barco, donde se realizan las labores de descarga con sus respectivas grúas en un tiempo con distribución exponencial de media 1 día. Si un barco llega y los espacios están ocupados, espera en mar abierto hasta que llegue su turno de ocupar un espacio para la descarga. s=3 servidores N= (capacidad del sistema) K=

27 Modelo M/M/1 Asumimos que existen las siguientes condiciones: 1. Los clientes son servidos con una política PEPS y cada cliente que llega espera a ser servido sin importar la longitud de la cola. 2. Las llegadas son independientes de llegadas anteriores, pero el promedio de llegadas es conocido. 3. Las llegadas son descritas mediante la distribución de probabilidad de Poisson y proceden de una población muy grande o infinita. 4. Los tiempos de servicio varían de cliente a cliente y son independientes entre sí, pero su tasa promedio es conocida. 5. Los tiempos de servicio se representan mediante la distribución de probabilidad exponencial. 6. La tasa de servicio es más rápida que la tasa de llegadas.

28 Modelo M/M/s Asumimos que existen las siguientes condiciones: 1. Dos o más servidores o canales están disponibles para atender a los clientes que arriban. 2. Los clientes forman una sola cola y se los atiende de acuerdo al servidor que quede libre. 3. Las llegadas siguen la distribución de probabilidad de Poisson y los tiempos de servicio son distribuidos exponencialmente. 4. Los servicios se hacen de acuerdo a la política primero en llegar primero en ser servido (PEPS) y todos los servidores atienden a la misma tasa. 5. La tasa de servicio conjunta es más rápida que la tasa de llegadas.

29 Fórmulas de Little W L / λ p W q L q / λ p W s L S / λ p W = W q +W s L = L q + L S ρ λ P /μ λ p n λ n1 n P n Subíndice q: queue Subíndice s: servicio Subíndice p: promedio Subíndice n: cuando hay n clientes Sin subíndice: del sistema : λ P λ

30 Análisis Económico: Costos de Servicio y Costos de Espera Equilibrio entre Costos de Espera y Costos de Servicio Costo COSTO TOTAL ESPERADO Costo Total Mínimo Costo por proporcionar el SERVICIO Costo por TIEMPO DE ESPERA Nivel Óptimo de Servicio Nivel de Servicio

31 Análisis Económico de Colas 1. Costo de servicio: Es el costo de operación del servicio y es más sencillo de determinar. Está relacionado a la operación de cada servidor. Podría incluir el salario, prestaciones de los servidores y cualquier otro costo directo asociado a los servidores. 2. Costo de espera: Representa el costo de oportunidad por el tiempo perdido del cliente. No es un costo directo para quien brinda el servicio, sin embargo, si se ignora y se permiten colas largas, los clientes se irán a otra parte, inclusive darán malas referencias del servicio, lo cual, en realidad, será costoso para quien brinda el servicio. Objetivo: Minimizar el costo total 31

32 Análisis Económico de Colas Costo total = Costo del servicio + costo de espera Costo total = C s *s + C w *L Considerando: C s = Costo de servicio por período de tiempo de cada servidor (service cost) s = Cantidad de servidores C w = Costo de esperar por período de tiempo de cada cliente (wait cost) L = Cantidad promedio de clientes en el sistema Nota: C w es evaluado a priori por el analista. 32

33 Análisis Económico de Colas: Problema Una pastelería que opera bajo el modelo M/M/1 analizó los datos sobre llegadas de clientes y concluyó que la tasa de llegadas es de 45 clientes por hora. Además, revisando el proceso de toma y entrega de pedido encontró que un despachador puede procesar un promedio de 60 pedidos por hora. La pastelería paga al despachador $6 por hora. Se han analizado los costos de hacer esperar al cliente y se asignó un costo de $10 por hora de espera de un cliente. Mediante un análisis económico de colas, la pastelería desea evaluar la cantidad óptima de despachadores, bajo modelos M/M/s. 33

34 Problema: Una empresa de alquiler de camiones de carga subcontrata el mantenimiento de sus vehículos, pero debido a los retrasos, se encuentra evaluando si brindar ellos el servicio de limpieza y mantenimiento en su taller. El taller opera 42 horas por semana. Actualmente se encuentra evaluando las siguientes alternativas: i) Un operario que cobra 100 dólares a la semana y utiliza un equipo especial a un costo de 60 dólares a la semana. El tiempo necesario para dar servicio a un camión tiene una distribución exponencial con media de 3 horas. ii) Contratar a dos operarios, cada uno cobra 100 dólares a la semana (sin equipo especial) y atiende cada uno a un vehículo por separado. El tiempo necesario para dar servicio a un camión tiene una distribución exponencial con media de 5 horas. Los camiones llegan según proceso Poisson con tasa media de llegada de 0.3 camiones por hora. La empresa considera que si un camión no se encuentra disponible, representa un costo de 2.5 dólares por hora. Evalúe cuál es la mejor alternativa. 34