Teoría de Colas o Teoría de Líneas de Espera Cursada 2015 Ing. Sandra González Císaro

Transcripción

1 Investigación Operativa I Facultad Ciencias Exactas. UNICEN Teoría de Colas o Teoría de Líneas de Espera Cursada 2015 Ing. Sandra González Císaro Cursada 2015

2 Teoría de Colas: Donde?...

3 Teoría de colas Desarrollaremos modelos matemáticos para líneas de espera o colas cuando ueremos responder: Qué fracción de tiempo cada cajero está desocupado. Cuál es el largo esperado de la cola. Cuál es el tiempo promedio de espera en cola. Cuál es la distribución de probabilidad del tiempo de espera? Cuantos servidores debo tener para garantizar una espera menor de 3 ms? Si el gerente de un banco uiere garantizar ue los clientes esperarán más de 5 minutos, cuántos cajeros debe tener?

4 Teoría de colas Existen varios modelos según las características. Algunos son calculables analíticamente y otros no, sólo pueden analizarse a través de la simulación de cada caso. Unacolaesunalíneadeespera La teoría de colas es un conjunto de modelos matemáticos ue describen sistemas de líneas de espera particulares El objetivo es encontrar el estado estable del sistema y determinar una capacidad de servicio apropiada a un costo razonable.

5 Modelo básico Un sistema de colas puede dividirse en dos componentes principales: La cola El servicio Los clientes o llegadas vienen en forma individual para recibir el servicio: Personas Automóviles Máuinas ue reuieren reparación Productos ensamblados Los clientes al llegar se unen a la cola, si no hay nadie pasan directamente a ser atendidos.

6 Algunas definiciones Arribos: Proceso estocástico ue modeliza la llegada de clientes al sistema. Se supone ue no hay arribos simultáneos y ue la tasa de arribos no depende del largodelacola. Servicio: Proceso ue modeliza el tiempo de servicio a los clientes. También se asume independiente del largo de la cola. Los servidores pueden estar en paralelo o en serie (cajeros de banco / línea de montaje). Disciplina: Puede ser FCFS, LCFS,

7 Disciplina de la cola Los clientes en la cola son atendidos según distintas disciplinas: FCFS: first come first served, banco con un solo LCFS:lastcomefirstserved SIRO: service in random order Priority levels: varias categorías con distintas prioridadesydentrodecadaunaesfcfs.

8 Modelo más simple Cola Arribos Cola Disciplina de la cola Servidor Salida

9 Una cola un servidor Cola Arribos Cola FCFS Servidor Salida

10 Una cola, múltiples servidores Sistema Servidor Salida Arribos Cola Servidor Salida Servidor Salida

11 Varias colas, múltiples servidores Sistema de colas Cola Servidor Salida Arribos Cola Servidor Salida Cola Servidor Salida

12 Una cola, servidores en serie Arribos Sistema de colas Cola Servidor Cola Servidor Salida

13 Modelos de arribos Se llama tiempo interarribo al tiempo ue transcurre entre dos llegadas sucesivas. Se llama tasa media de arribos al número esperado de arribos por unidad de tiempo. Senotaengeneralpor. Deahíeltiempointerarriboesperadoes. Supongamos ue la tasa de arribos es de 10 clientes por hora, entonces el tiempo interarribo medio es 6 minutos. Pero cómo se distribuyen estas variables?

14 Distribución de arribos Sea () el largo de la cola al tiempo t, las propiedades uesondeseables paraladistribucióndeson: N(0)0 Incrementos independientes, el número de arribos contado en distintos intervalos disjuntos es independiente. Incrementos estacionarios: el número de arribos en un intervalo de tiempo sólo depende de la longitud del intervalo No hay arribos simultáneos.

15 Proceso de Poisson Las propiedades anteriores definen unívocamente una distribución de probabilidad para el proceso () conocida como distribución de Poisson. La distribución de probabilidad del tiempo interarribos resulta exponencial. Las ocurrencias de los arribos están distribuidos uniformemente en el tiempo.

16 Distribución de Poisson! P 0,2 0,18 0,16 0,14 0,12 0,1 Acc. 1,2 1 0,8 0,6 Se puede probar ue ,08 0,06 0,04 0, ,4 0,2 0

17 Distribución exponencial Distribución exponencial de parámetro 0,25 P Acc. 1 0,2 0,9 0,8 0,7 1 0,15 0,6 0,5 0,1 0,4 0,3 0,05 0,2 0,

18 Modelo de servicio Puede haber uno o más servidores La tasa de servicio se llama y es el valor medio de clientes atendidos por unidad de tiempo. Por lo tanto el tiempo esperado de servicio de cada clientees. Si se atienden en promedio 20 clientes por hora, el tiempo esperado es 3 minutos. El tiempo de servicio varía de cliente a cliente según cierta distribución (de media 1 ) ue puede ser: constante, exponencial o de Erlang.

19 La distribución de Erlang Erlang fue el padre de la teoría de colas, publicó el primer paper sobre ellas en 1909: "The Theory of Probabilities and Telephone Conversations" Esta distribución posee un parámetro de forma k ue determina su desviación estándar:

20 Distribución de Erlang Si 1, la dist. de Erlanges exponencial Si 1< es una distribución unimodalcuya forma varía con. Cuando se acerca a una distribución normal Euivale a la suma de variables exponenciales La expresión de la fdppara &~Er es 1! El valor medio es & Su varianza es Var &,

21 Evolución del largo de la cola Cuando el modelo es estable <- Se observa primero un estado transitorio Luego el sistema se va estabilizando Sobre el estado estable (límite cuando ) podemos obtener fórmulas ue ayudan al análisis N

22 Índices de funcionamiento Para diseñar el modelo se tiene en cuenta: Definimos: El largo de la cola El tiempo esperado en la cola El tiempo total entre la entrada y la salida del sistema.. / el largo promedio de la cola.. la cantidad promedio de clientes en cola+servicio 0 / el tiempo promedio de espera en la cola. 0 el tiempo promedio entre entrada y salida. tasa de arribo de clientes (c/h). tasa de servicio (c/h). - cantidad de servidores. 1 -

23 Fórmulas de Little John D. C. Little probó en 1960 ue.0. / 0 / 00 / / + 3 Independientemente de las distribuciones!!!

24 Ejemplos Suponga una estación de servicio a la cual llegan en promedio 45 clientes por hora. Se tiene capacidad para atender en promedio a 60 clientes por hora. Se sabe ue los clientes esperan en promedio 3 minutos en la cola. es 45 c/h o 45/60 0,75 clientes por minuto es 60 c/h o 60/60 1 cliente por minuto 0 / 3 min min..0,75 43 clientes. / 0,75 32,25 clientes

25 Notación de Kendall Para clasificar las distintas posibilidades Kendall propone una notación ( luego extendida por otros) : Donde las letras representan A: Proceso de arribo B: Distribución del tiempo de servicio C: Nro. de servidores K: Nro. de lugares A/B/C/K/N/D N: Cantidad total de clientes Los procesos en A y B pueden ser: M: (Markoviano) Proceso de Poisson D: Determinístico o constante Ek: Erlang de parámetro k G: distribución general D: Disciplina. Los clientes en la cola son atendidos según distintas disciplinas.

26 Modelos con un servidor M/M/1: Un servidor con interarribosexponenciales y tiempos de servicio exponenciales M/G/1: Un servidor con interarribosexponenciales y una distribución general de tiempos de servicio M/D/1: Un servidor con interarribosexponenciales y una distribución determinística de tiempos de servicio M/E k /1: Un servidor con interarribosexponenciales y una distribución Erlang de tiempos de servicio Cola Arribos Cola FCFS Servidor Salida

27 Cola M/M/1 1 0, ) ( ) ( ) ( ) (1 ) ( 1 ) ( ) (1 ) (1 1 2 < > > > + t e t P W e t P W n L P P W W L L t t n n n

28 Modelo M/M/1: ejemplo Un lava-autos puede lavar un auto cada 5 minutos y la tasa media de llegadas es de 9 autos por hora. Obtenga todos los índices de acuerdo con el modelo M/M/1. Además calcule: la probabilidad de tener 0 clientes en el sistema, la probabilidad de tener una cola de más de 3 clientes la probabilidad de esperar más de 30 min. en la cola y en el sistema Informática de Gestión

29 Modelo M/M/1: ejemplo / 60) ( / 60) ( ) ( 0.25 ) (1 15min 0.25 ) ( 20min ) ( , 9, ) (1 ) ( > > > + t t e P W e P W L P P hrs W hrs W clientes L clientes L

30 Modelo M/G/1 L L W L + 2 σ (1 ) W 1 + W P 0 1 P w < 1

31 Modelo M/G/1: ejemplo Un lava-autos puede atender un auto cada 5 min. y la tasa media de llegadas es de 9 autos/hora, σ2min. Obtenga los índices de acuerdo con el modelo M/G/1. Además calcule: la probabilidad de tener 0 clientes en el sistema la probabilidad de ue un cliente tenga ue esperar por el servicio

32 Modelo M/G/1: ejemplo min min ) 2( σ w P P hrs L W hrs W W clientes L clientes L L

33 W W L W < 1 Modelo M/D/1 L W 2 L 2(1 ) 1 +

34 Modelo M/D/1: ejemplo Un lava-autos puede atender un auto cada 5 min. La tasa media de llegadas es de 9 autos/hora. Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo L W 1.875clientes M/D/1 L W W clientes 2(1 ) W L hrs 0.125hrs 12.5min 7.5min

35 Modelo M/E k /1 W L W L 2 ( k + 1) 2k(1 ) W 1 + L W < 1

36 Modelo M/E k /1: ejemplo Un lava-autos puede atender un auto cada 5 min. Supongamos σ 3.5 min (aprox.). La tasa media de llegadas es de 9 autos/hora. Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo L W clientes M/E k /1 L 2 ( k + 1) 2 k (1 ) clientes W W hrs min W L hrs min

37 Modelos de un servidor M/M/1 M/G/1 M/D/1 M/E k /1.. /+1. / +1. / +1. / +1. / 1 D D E D +1 D D D /+ 1 0 / / / /. /. /. /. /

38 Modelo con varios servidores M/M/s: s servidores con llegadas de Poisson y tiempos de servicio exponenciales M/D/s: s servidores con tiempos entre llegadas exponenciales y una distribución degenerada de tiempos de servicio M/E k /s: s servidores con tiempos entre llegadas exponenciales y una distribución Erlang de tiempos de servicio Informática de Gestión

39 Modelo M/M/s F H JF HI! + HI K H! I. / IKL2 H K H! I, F M - IK H K H! I F 0 / M - exp Informática de Gestión

40 Costos

41 Teoría de colas El tiempo de espera disminuye con la cantidad de servidores El costo operativo aumenta con la cantidad de servidores. Se debe encontrar un euilibrio entre ambos.

42 Para Recordar!!! El objetivo de la teoría de colas es encontrar el estado estable del sistema y determinar una capacidad de servicio apropiada. Si<la cola es infinita. Little probó ue independientemente de las distribuciones:.0. / 0 / 00 / / + 3 A mayor cantidad de servidores mayor es el costo operativo del servicio pero menor el tiempo de espera. Hay ue buscar una solución ue minimice eltiempodeesperayelcostooperativo.

43 Referencias Taha H. (2010) Investigación de Operaciones. Prentice Hall HillierF. (2014). IntroductiontoOperationsresearch. McGraw-Hill Science Winston W. (2003) Operations Research: Applications and Algorithms. Cengage Learning Material del curso Procesos estocásticos y teoría de colas del Prof. Dr. Pablo Lotito. DMCI, UNICEN, Informática de Gestión