Teoría a de Colas o Filas de Espera. M. En C. Eduardo Bustos Farías

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1 Teoría a de Colas o Filas de Espera M. En C. Eduardo Bustos Farías as

2 Introducción Una línea de espera es la resultante de un sistema cuando la demanda por un bien o servicio supera la capacidad que puede proporcionar dicho sistema. Un sistema está formado por un conjunto de entidades que en paralelo proporcionan el bien o servicio donde las transacciones ingresan aleatoriamente al sistema Investigación de Operaciones M. En C. Eduardo Bustos Farías 2

3 TEORIA DE COLAS COLAS MAS COMUNES SITIO Supermercado Peaje Consultorio Sistema de CómputoC Compañí ñía a de teléfonos Banco Mantenimiento Muelle ARRIBOS EN COLA Compradores Vehículos Pacientes Programas a ser corridos Llamadas Clientes Máquinas dañadas adas Barcos SERVICIO Pago en cajas Pago de peaje Consulta Proceso de datos Efectuar comunicación Depósitos y Cobros Reparación Carga y descarga Investigación de Operaciones M. En C. Eduardo Bustos Farías 3

4 Introducción Elementos de estudio de dichas líneas de espera serán entonces: a) los tiempos asociados a cada uno de los procesos que se desarrollan y b) las llegadas de las transacciones al sistema. Debido a que las variables están fuera del control del tomador de decisiones, será necesario realizar el modelado utilizando procesos estocásticos. Investigación de Operaciones M. En C. Eduardo Bustos Farías 4

5 Esquema Líneas de Espera Población o Fuente de Entrada de Clientes Al Sistema Clientes que entran al Sistema de Servicio y Esperan ser Atendidos SISTEMA Instalaciones de Servicio Clientes Servidos salen del Sistema de Servicio y vuelven a la Población Algunos Clientes pueden no entrar al sistema de Servicio Investigación de Operaciones M. En C. Eduardo Bustos Farías 5

6 Definición Básica Una línea de espera puede modelarse como un proceso estocástico en el cual la variable aleatoria se define como el número de transacciones en el sistema en un momento dado. El conjunto de valores que puede tomar dicha variable es { 0, 1, 2, 3, 4,...,N } y cada uno de ellos tiene asociada una Probabilidad de ocurrencia {P 0, P 1, P 2..., P N } Investigación de Operaciones M. En C. Eduardo Bustos Farías 6

7 Investigación de Operaciones Objetivo del Estudio Determinar el nivel de desempeño del sistema: Cantidad de entidades presente Velocidad del Servicio en el sistema Interesa minimizar el costo total del sistema Los costos de transacciones dan cuenta de la pérdida por tiempo de espera o la pérdida de clientes por abandono del sistema. Los costos de proporcionar el servicio, dan cuenta de los salarios, energía, mantención, etc. M. En C. Eduardo Bustos Farías 7

8 Sistemas de colas: modelo básicob Las llegadas van a la instalación n del servicio de acuerdo con la disciplina de la cola Generalmente ésta es primero en llegar, primero en ser servido Pero pueden haber otras reglas o colas con prioridades Investigación de Operaciones M. En C. Eduardo Bustos Farías 8

9 Sistemas de colas: modelo básicob Sistema de colas Llegadas Cola Disciplina de la cola Instalación del servicio Salidas Investigación de Operaciones M. En C. Eduardo Bustos Farías 9

10 Estructuras típicas t de sistemas de colas: una línea, l un servidor Sistema de colas Llegadas Cola Servidor Salidas Investigación de Operaciones M. En C. Eduardo Bustos Farías 10

11 Estructuras típicas t de sistemas de colas: una línea, l múltiples m servidores Sistema de colas Servidor Salidas Llegadas Cola Servidor Salidas Servidor Salidas Investigación de Operaciones M. En C. Eduardo Bustos Farías 11

12 Estructuras típicas t de colas: varias líneas, múltiples m servidores Sistema de colas Cola Servidor Salidas Llegadas Cola Servidor Salidas Cola Servidor Salidas Investigación de Operaciones M. En C. Eduardo Bustos Farías 12

13 Estructuras típicas t de colas: una línea, servidores secuenciales Llegadas Sistema de colas Cola Servidor Cola Servidor Salidas Investigación de Operaciones M. En C. Eduardo Bustos Farías 13

14 Costos de un sistema de colas 1. Costo de espera: Es el costo para el cliente al esperar Representa el costo de oportunidad del tiempo perdido Un sistema con un bajo costo de espera es una fuente importante de competitividad Investigación de Operaciones M. En C. Eduardo Bustos Farías 14

15 Costos de un sistema de colas 2. Costo de servicio: Es el costo de operación n del servicio brindado Es más m s fácil f de estimar El objetivo de un sistema de colas es encontrar el sistema del costo total mínimom Investigación de Operaciones M. En C. Eduardo Bustos Farías 15

16 Objetivo del estudio Matemáticamente : donde S = 1,2,3,4... L q = f {S,E(t),...} Investigación de Operaciones Min {C t } = C e S + C q L q Donde: S: Número de entidades que proporcionan servicio (servidores). E(t): tiempo promedio de Servicio. L q : : Número de transacciones en espera. C e : Costo de servicio por entidad - tiempo. C q : Costo de servicio por transacción - tiempo. C t : Costo total por unidad de tiempo M. En C. Eduardo Bustos Farías 16

17 Optimización de Costos $/tiempo Costo de servicio C t C t mínimo Costo de servicio C e.s Costo de espera C q.l q S* No. de Servidores Investigación de Operaciones M. En C. Eduardo Bustos Farías 17

18 Sistemas de colas: Las Investigación de Operaciones llegadas El tiempo que transcurre entre dos llegadas sucesivas en el sistema de colas se llama tiempo entre llegadas El tiempo entre llegadas tiende a ser muy variable El número n esperado de llegadas por unidad de tiempo se llama tasa media de llegadas (λ)( M. En C. Eduardo Bustos Farías 18

19 Sistemas de colas: Las llegadas El tiempo esperado entre llegadas es 1/λ Por ejemplo, si la tasa media de llegadas es λ = 20 clientes por hora Entonces el tiempo esperado entre llegadas es 1/λ = 1/20 = 0.05 horas o 3 minutos Investigación de Operaciones M. En C. Eduardo Bustos Farías 19

20 Sistemas de colas: Las llegadas Además s es necesario estimar la distribución n de probabilidad de los tiempos entre llegadas Generalmente se supone una distribución n exponencial Esto depende del comportamiento de las llegadas Investigación de Operaciones M. En C. Eduardo Bustos Farías 20

21 Sistemas de colas: Las llegadas Distribución n exponencial P(t) 0 Media Tiempo Investigación de Operaciones M. En C. Eduardo Bustos Farías 21

22 Sistemas de colas: Las llegadas Investigación de Operaciones Distribución n exponencial La distribución n exponencial supone una mayor probabilidad para tiempos entre llegadas pequeños En general, se considera que las llegadas son aleatorias La última llegada no influye en la probabilidad de llegada de la siguiente M. En C. Eduardo Bustos Farías 22

23 Proceso de llegada a la cola. - Existen 2 tipos de procesos de llegada: * Proceso de llegada deterministico. * Proceso de llegada aleatoria. - El proceso aleatorio es más m s común n en la empresa. - Bajo tres condiciones, una distribución Poisson puede describir el proceso aleatorio.

24 Las tres condiciones necesarias para la existencia del proceso de llegada Poisson : * Continuidad: Al menos un cliente debe llegar a la cola durante un intervalo de tiempo. * Estacionario: Para un intervalo de tiempo dado, la probabilidad de que llegue un cliente es la misma que para todos los intervalos de tiempo de la misma longitud. * Independencia: La llegada de un cliente no tiene influencia sobre la llegada de otro. - Estas condiciones no restringen el problema y son satisfechas en muchas situaciones.

25 Distribución n de llegada Poisson e P X = k = λ λ ( ( ) k! t) k t Donde: λ = esperanza de llegada de un cliente por unidad de tiempo t = intervalo de tiempo. e = (base del logaritmo natural). k! = k (k -1) (k -2) (k -3) (3) (2) (1).

26 Sistemas de colas: Las llegadas - Distribución n de Poisson Es una distribución n discreta empleada con mucha frecuencia para describir el patrón n de las llegadas a un sistema de colas Para tasas medias de llegadas pequeñas es asimétrica y se hace más s simétrica y se aproxima a la binomial para tasas de llegadas altas Investigación de Operaciones M. En C. Eduardo Bustos Farías 26

27 Sistemas de colas: Las llegadas - Investigación de Operaciones Distribución n de Poisson Su forma algebraica es: Donde: P( k) = P(k) : probabilidad de k llegadas por unidad de tiempo λ : tasa media de llegadas e = 2, λ k λ e k! M. En C. Eduardo Bustos Farías 27

28 Sistemas de colas: Las llegadas - Distribución n de Poisson P 0 Investigación de Operaciones Llegadas por unidad de tiempo M. En C. Eduardo Bustos Farías 28

29 Sistemas de colas: La cola El número n de clientes en la cola es el número de clientes que esperan el servicio El número n de clientes en el sistema es el número n de clientes que esperan en la cola más m s el número n de clientes que actualmente reciben el servicio Investigación de Operaciones M. En C. Eduardo Bustos Farías 29

30 Sistemas de colas: La cola La capacidad de la cola es el número máximo m de clientes que pueden estar en la cola Generalmente se supone que la cola es infinita Aunque también n la cola puede ser finita Investigación de Operaciones M. En C. Eduardo Bustos Farías 30

31 Sistemas de colas: La cola La disciplina de la cola se refiere al orden en que se seleccionan los miembros de la cola para comenzar el servicio La más m s común n es PEPS: primero en llegar, primero en servicio Puede darse: selección n aleatoria, prioridades, UEPS, entre otras. Investigación de Operaciones M. En C. Eduardo Bustos Farías 31

32 Sistemas de colas: El servicio El servicio puede ser brindado por un servidor o por servidores múltiplesm El tiempo de servicio varía a de cliente a cliente El tiempo esperado de servicio depende de la tasa media de servicio (μ)( Investigación de Operaciones M. En C. Eduardo Bustos Farías 32

33 Sistemas de colas: El servicio El tiempo esperado de servicio equivale a 1/μ Por ejemplo, si la tasa media de servicio es de 25 clientes por hora Entonces el tiempo esperado de servicio es 1/μ = 1/25 = 0.04 horas, o 2.4 minutos Investigación de Operaciones M. En C. Eduardo Bustos Farías 33

34 Sistemas de colas: El servicio Es necesario seleccionar una distribución n de probabilidad para los tiempos de servicio Hay dos distribuciones que representarían an puntos extremos: La distribución n exponencial (σ=media) Tiempos de servicio constantes (σ=0) Investigación de Operaciones M. En C. Eduardo Bustos Farías 34

35 Sistemas de colas: El servicio Una distribución n intermedia es la distribución Erlang Esta distribución n posee un parámetro de forma k que determina su desviación n estándar: σ = 1 k media Investigación de Operaciones M. En C. Eduardo Bustos Farías 35

36 Sistemas de colas: El servicio Si k = 1, entonces la distribución Erlang es igual a la exponencial Si k =,, entonces la distribución Erlang es igual a la distribución degenerada con tiempos constantes La forma de la distribución Erlang Investigación de Operaciones M. En C. Eduardo Bustos Farías 36 varía a de acuerdo con k

37 Sistemas de colas: El servicio P(t) k = k = 8 k = 1 k = 2 0 Investigación de Operaciones Media Tiempo M. En C. Eduardo Bustos Farías 37

38 Distribución Investigación de Operaciones Sistemas de colas: Distribución Erlang Desviación n estándar Constante 0 Erlang, k = 1 media Erlang, k = 2 Erlang, k = 4 1/2 media Erlang, k = 8 Erlang, k = 16 1/4 media Erlang,, cualquier k 1/ 1/ 1/ 2 media 8 media media M. En C. Eduardo Bustos Farías 38 k

39 HARDWARE HANK S Un problema que ilustra la distribución Poisson. - Los clientes llegan a Hank s de acuerdo a una distribución Poisson. - Entre las 8:00 y las 9:00 a.m. llegan en promedio 6 clientes al local comercial. - Cuál l es la probabilidad que k = 0,1,2... clientes lleguen entre las 8:00 y las 8:30 de la mañana? ana?

40 SOLUCION Valores de entrada para la Dist. Poisson λ= = 6 clientes por hora. t = 0.5 horas. λ t = (6)(0.5) = PX ( = 1k) = 32 ( λ e λ t) k t 0 = k0!! 3! 2! 1!

41 La fila de espera. - Factores que influyen en el modelo de colas: * Configuración n de la fila * Tramposos * Contrariedades * Prioridades * Colas Tándem (simultáneas) * Homogeneidad.

42 - Configuración n de la fila * Una sola cola de servicio * Múltiples M colas de servicio con una sola fila de espera * Múltiples M colas de servicio con múltiples m filas de espera. * Colas Tándem (sistema de servicios múltiples) m - Tramposos * Corresponden a clientes que se mueven a través s de la cola sin seguir los criterios de avance. - Contrariedades * Ocurre cuando los clientes evitan llegar a la fila porque perciben que esta es demasiada larga.

43 - Reglas de prioridad * Las reglas de prioridad definen la disciplina en la fila. * Estas reglas seleccionan el próximo cliente en ser atendido * Criterios de selección n comúnmente usados: - Primero en entrar primero en salir (FIFO). - Ultimo en entrar primero en salir (LIFO). - Tiempo estimado de atención - Atención n de clientes aleatoria. - Homogeneidad * Una población n homogénea de clientes es aquella en la cual los clientes requieren esencialmente el mismo servicio. * Una población n no homogénea es aquella en la cual los clientes pueden ser ordenados de acuerdo : + A los patrones de llegada + Al tipo de servicio requerido.

44 El proceso de servicio - Alguno sistemas de servicio requieren de un tiempo de atención n fijo. - Sin embargo, en muchos casos, el tiempo de atención n varía a de acuerdo a la cantidad de clientes. - Cuando el tiempo de atención n varía, a, este se trata como una variable aleatoria. - La distribución n exponencial es usada, en algunos casos, para modelar el tiempo de atención n del cliente.

45 Distribución n exponencial del tiempo de atención f(x) = μe -μx donde μ = es el número de clientes promedio que pueden ser atendidos por período de tiempo. Probabilidad que el tiempo de atención X sea menor que t. P(X t) = 1 - e -μt

46 f(x) Ilustración esquemática de la distribución exponencial Probabilidad de que la atención sea completada dentro de t unidades de tiempo X = t

47 Medida del desempeño o de los sistemas de colas El desempeño o puede ser medido concentrandose en: - Los clientes en la cola - Los clientes en el sistema Los períodos transitorios y estáticos ticos complican el análisis del tiempo de atención. n.

48 Un período transitorio ocurre al inicio de la operación. - Un comportamiento transitorio inicial no es indicado para un largo período de ejecución. Un período estacionario sigue al período transitorio. - En un período estacionario, la probabilidad de tener n clientes en el sistema no cambia a medida que transcurre el tiempo. - De acuerdo a lo anterior, la tasa de llegada puede ser menor que suma de las tasas de atención n efectiva. λ< μ λ< μ 1 +μ 2 + +μ+μ κ λ< kμ Para un servidor Para k servidores Para k servidores con tasa se serv. μ cada uno

49 Medida del desempeño o en períodos estacionarios. P 0 = Probabilidad de que no existan clientes en el sist. P n = Probabilidad de que existan n clientes en el sistema. L = número n de clientes promedio en el sistema. L q = número n de clientes promedio en la cola. W = Tiempo promedio de permanencia de un cliente en el sistema. W q = Tiempo promedio de permanencia de un cliente en la cola. P w = Probabilidad de que un cliente que llega deba esperar para ser atendido. ρ = Tasa de uso de cada servidor (porcentaje del tiempo que cada servidor es ocupado).

50 Fórmulas - Las fórmulas f representan las relaciones entre L, L q, W, y W q. - Estas fórmulas f se aplican a sistemas que cumplen con las siguientes condiciones: * Sistemas de colas simples * Los clientes llegan según n una tasa finita de llegada * El sistema opera bajo las condiciones de períodos estacionarios. L = λ W L q = λ W q L = L q + λ / μ Para el caso de una población n infinita.

51 Clasificación n de las colas. - Los sistemas de colas pueden ser clasificados por: + Proceso de llegada de clientes + Proceso de atención + Número N de servidores + Tamaño o (lineas( de espera finitas/infinitas) + Tamaño o de la población Ejempo: M // M // 6 // 10 - Notación + M (Markovian( Markovian)= Proceso de llegada Poisson o tiempo de atención n exponencial. +D (Determin( Determinístico) ) = Tasa constante de llegada o de atención +G (General) = Probabilidad general de llegada o de atención

52 Sistema de colas M/M/1 Características - Proceso de llegada Poisson. - El tiempo de atención n se distribuye exponencialmente - Existe un solo servidor - Cola de capacidad infinita - Población n infinita.

53 Medidas de desempeño o para la cola M / M /1 P 0 = 1-1 (λ / μ) P n = [1 - (λ / μ)] (λ/( μ) n L = λ / (μ - λ) L q = λ 2 / [μ(μ - λ)] W = 1 / (μ - λ) W q = λ / [μ(μ - λ)] P w = λ / μ ρ = λ / μ La probabilidad de que un cliente espere en el sistema más de t es P(X>t)= e-(μ - λ)t

54 Zapatería Mary s Los clientes que llegan a la zapatería Mary s son en promedio 12 por minuto, de acuerdo a la distribución Poisson. El tiempo de atención n se distribuye exponencialmente con un promedio de 8 minutos por cliente. La gerencia esta interesada en determinar las medidas de performance para este servicio.

55 SOLUCION Datos de entrada λ = 1/ 1 12 clientes por minuto = 60/ 12 = 5 por hora. μ = 1/ 1 8 clientes por minuto = 60/ 8 = 7.5 por hora. P 0 = 1- Calculo 1- (λ (λ// μ) μ) = del 1 - performance -(5 (5// 7.5) = P n = [1 [1--(λ (λ// μ)] (λ/ μ) μ) = (0.3333)(0.6667) n L = λ //(μ (μ--λ) = 2 P w = λ / μ = L q = λ 2 //[μ(μ --λ)] = ρ = λ / μ = W = 1 //(μ (μ--λ) = 0.4 horas = 24 minutos W q = λ //[μ(μ --λ)] = horas = 16 minutos

56 USANDO WINQSB Investigación de Operaciones M. En C. Eduardo Bustos Farías 56

57 Investigación de Operaciones M. En C. Eduardo Bustos Farías 57

58 μ Datos de entrada para WINQSB λ

59 Medidas de desempeño Medidas de desempeño Medidas de desempeño Medidas de desempeño Medidas de desempeño

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61 Sistema de cola M/M/k Características - Clientes llegan de acuerdo a una distribución Poisson con una esperanza λ. - El tiempo de atención n se distribuye exponencialmente. - Existen k servidores, cada uno atiende a una tasa de μ clientes. - Existe una población n infinita y la posibilidad de infinitas filas.

62 Medidas de Medidas de performance performance P n k k k n k n k = + =!! λ μ λ μ μ μ λ P n P kk P n n n n k = = λ μ λ μ!! 0 0 for n k. P for n > k. n Para n<= k Para n > k

63 ( ) ( ) W k k P k = + λ μ μ μ λ μ ! Las medidas del performance L, L q, W q,, pueden ser obtenidas por las formulas. P k k k P w k = 1 0! λ μ μ μ λ ρ λ = kμ

64 OFICINA POSTAL TOWN La La gerencia oficina desea postal conocer Town las atiende las medidas público p relevantes los Sábados Sal servicio en en orden entre a: a: las 9:00 a.m. y la 1:00 p.m. La La evaluación del del nivel nivel de de servicio prestado. Datos - En El El promedio, efecto de de reducir 100 el clientes el personal por en en un hora un dependiente. visitan la oficina postal durante este período. La oficina tiene tres dependientes. - Cada atención n dura 1.5 minutos en promedio. - La distribución Poisson y exponencial describen la llegada de los clientes y el proceso de atención n de estos respectivamente.

65 SOLUCION Se trata de un sistema de colas M / M / 3. Datos de entrada λ = 100 clientes por hora. μ = 40 clientes por hora (60 / 1.5). Existe un período estacionario (λ( < kμ )? λ = 100 < kμ = 3(40) 3 = 120.

66 USANDO EL WINQSB Investigación de Operaciones M. En C. Eduardo Bustos Farías 66

67 Investigación de Operaciones M. En C. Eduardo Bustos Farías 67

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70 Sistemas de colas M/G/1 Supuestos - Los clientes llegan de acuerdo a un proceso Poisson con esperanza λ. El tiempo de atención n tiene una distribución n general con esperanza μ. Existe un solo servidor. - Se cuenta con una población n infinita y la posibilidad de infinitas filas.

71 Formula para L de Pollaczek - Khintchine. L = ( λσ) λ μ λ μ 2 + λ μ - Nota : No es necesario conocer la distribución n particular del tiempo de atención. n. Solo la esperanza y la desviación n estándar son necesarias.

72 TALLER DE REPARACIONES TED Ted repara televisores y videograbadoras. Datos - El tiempo promedio para reparar uno de estos artefactos es de 2.25 horas. - La desviación n estándar del tiempo de reparación n es de 45 minutos. - Los clientes llegan a la tienda en promedio cada 2.5 horas, de acuerdo a una distribución Poisson. - Ted trabaja 9 horas diarias y no tiene ayudantes. - El compra todos los repuestos necesarios. + En promedio, el tiempo de reparación n esperado debería ser de 2 horas. + La desviación n estándar esperada debería a ser de 40 minutos.

73 Ted desea conocer los efectos de usar nuevos equipos para: Mejorar el el tiempo promedio de reparación de los artefactos; Mejorar el el tiempo promedio que debe esperar un cliente hasta que su artefacto sea reparado.

74 SOLUCION Se trata de un sistema M/G/1 (el tiempo de atención no es exponencial pues σ = 1/μ). Datos Con el sistema antiguo (sin los nuevos equipos) λ = 1/ = 0.4 clientes por hora. μ = 1/ = clientes por hora. σ = 45/ 60 = 0.75 horas. Con el nuevo sistema (con los nuevos equipos) μ = 1/21 2 = 0.5 clientes por hora. σ = 40/ 60 = horas.

75 Sistemas de colas M/M/k/F Se deben asignar muchas colas, cada una de un cierto tamaño o límite. l Cuando una cola es demasiado larga, un modelo de cola infinito entrega un resultado exacto, aunque de todas formas la cola debe ser limitada. Cuando una cola es demasiado pequeña, se debe estimar un límite l para la fila en el modelo.

76 Características del sistema M/M/k/F - La llegada de los clientes obedece a una distribución Poisson con una esperanza λ. - Existen k servidores, para cada uno el tiempo de atención n se distribuye exponencialmente, con esperanza μ. El número n máximo m de clientes que puede estar presente en el sistema en un tiempo dado es F. - Los clientes son rechazados si el sistema se encuentra completo.

77 Tasa de llegada efectiva. - Un cliente es rechazado si el sistema se encuentra completo. - La probabilidad de que el sistema se complete es P F. - La tasa efectiva de llegada = la tasa de abandono de clientes en el sistema (λ e ). λ e = λ(1 - P F )

78 COMPAÑÍ ÑÍA A DE TECHADOS RYAN Ryan atiende a sus clientes, los cuales llaman y ordenan su servicio. Datos - Una secretaria recibe las llamadas desde 3 líneas l telefónicas. - Cada llamada telefónica toma tres minutos en promedio - En promedio, diez clientes llaman a la compañí ñía a cada hora.

79 Cuando una línea l telefónica esta disponible, pero la secretaria esta ocupada atendiendo otra llamada, el cliente debe esperar en línea l hasta que la secretaria este disponible. Cuando todas las líneas l están n ocupadas los clientes optan por llamar a la competencia. El proceso de llegada de clientes tiene una distribución Poisson,, y el proceso de atención n se distribuye exponencialmente.

80 La gerencia desea diseñar el siguiente sistema con: - La menor cantidad de líneas l necesarias. - A lo más m s el 2% de las llamadas encuentren las líneas l ocupadas. La gerencia esta interesada en la siguiente información: n: El porcentaje de tiempo en que la secretaria esta ocupada. EL número n promedio de clientes que están n es espera. El tiempo promedio que los clientes permanecen en línea l esperando ser atendidos. El porcentaje actual de llamadas que encuentran las líneas l ocupadas.

81 SOLUCION Se sistema trata de M un M / M / sistema M / 1 / 1 / 5 / 4 M / M / 1 / 3 Datos de entrada λ = 10 por hora. μ = 20 por hora (1/ 3 por minuto). WINQSB entrega: P , , = 0.533, , P 1 = 0.133, 0.065, P = 0.508, P 1 = 0.254, P 2 = 0.127, P = 0.063, P 3 4 = P 5 = % 1.6% 3.2% de de los clientes cltes. clntes. encuentran encuentran las las linea líneas las ocupadas líneas l ocupadas La ocupadas. meta Aún del se puede 2% puede alcanzar ser alcanzada. la meta del 2% Esto es alrededor de la meta del 2%.

82 Otros resultados de WINQSB Con 5 líneas telefónicas 4 clientes pueden esperar en línea Datos de entrada para WINQSB

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84 Sistemas de colas M/M/1//m En este sistema el número n de clientes potenciales es finito y relativamente pequeño. Como resultado, el número n de clientes que se encuentran en el sistema corresponde a la tasa de llegada de clientes. Características - Un solo servidor - Tiempo de atención n exponencial y proceso de llegada Poisson. - El tamaño o de la población n es de m clientes (m finito).

85 CASAS PACESETTER Casas Pacesetter se encuentra desarrollando cuatro proyectos. Datos - Una obstrucción n en las obras ocurre en promedio cada 20 días de trabajo en cada sitio. - Esto toma 2 días d en promedio para resolver el problema. - Cada problema es resuelto por el V.P.. para construcción Cuanto tiempo en promedio un sitio no se encuentra operativo? -Con 2 días d para resolver el problema (situación n actual) -Con días d para resolver el problema (situación n nueva).

86 SOLUCION Se trata de un sistema M/M/1//4 Los cuatro sitios son los cuatro clientes El V.P.. para construcción n puede ser considerado como el servidor. Datos de entrada λ = 0.05 (1/ 20) μ = 0.5 (1/ 2 usando el actual V.P). μ = (1/ usando el nuevo V.P).

87 Resultados obtenidos por WINQSB Medidas del del V.P V.P V.P V.P Performance Actual Actual Nuevo Nuevo Tasa efectiva del del factor de de utilización del del sistema ρ 0,353 0,334 Número promedio de de clientes en en el el sistema L 0,467 0,435 Número promedio de de clientes en en la la cola cola Lq Lq 0,113 0,100 Número promedio de de dias dias que que un un cliente esta esta en en el el sistema W 2,641 2,437 Número promedio de de días días que que un un cliente esta esta en en la la cola cola Wq Wq 0,641 0,562 Probabilidad que que todos los los servidores se se encuentren ociosos Po Po 0,647 0,666 Probabilidad que que un un cliente que que llega llega deba esperar en en el el sist. sist. Pw Pw 0,353 0,334

88 Análisis económico de los sistemas de colas Las medidas de desempeño o anteriores son usadas para determinar los costos mínimos m del sistema de colas. El procedimiento requiere estimar los costos tales como: - Costo de horas de trabajo por servidor - Costo del grado de satisfacción n del cliente que espera en la cola. -Costo del grado de satisfacción n de un cliente que es atendido.

89 SERVICIO TELEFONICO DE WILSON FOODS Wilson Foods tiene un línea l 800 para responder las consultas de sus clientes Datos - En promedio se reciben 225 llamadas por hora. Qué - Una llamada cantidad toma de aproximadamente representantes 1.5 minutos. - Un cliente para debe la la esperar atención línea l de a los más mclientes s 3 minutos. -A A un representante deben que atiende a un cliente se le paga $16 ser usados para minimizar por hora. -Wilson paga el el costo a la compañí de las ñía a telefónica horas de $0.18 operación? por minuto cuando el cliente espera en línea l o esta siendo atendido. - El costo del grado de satisfacción n de un cliente que espera en línea es de $20 por minuto. -El costo del grado de satisfacción n de un cliente que es atendido es de $0.05.

90 Costo total por horas de trabajo de k representantes para la atención de clientes SOLUCION Costo total del modelo Total horas para sueldo Costo total del grado de satisfacción de los clientes que permanecen en línea CT(K) = C w k + C t L+ g w L q + g s (L - L q ) Costo total de las llamadas telefónicas Costo total del grado de satisfacción de los clientes que son atendidos CT(K) = C w k + (C t + g s )L + (g w -g s )L q

91 Datos de entrada C w = $16 C t = $10.80 por hora [0.18(60)] g w = $12 por hora [0.20(60)] g s = $0.05 por hora [0.05(60)] Costo total del promedio de horas TC(K) = 16K + (10.8+3)L + (12 ) = 16K + (10.8+3)L + (12-3)L q = 16K L + 9L = 16K L + 9L q

92 Asumiendo una distribución n de llegada de los clientes Poisson y una distribución n exponencial del tiempo de atención, n, se tiene un sistema M/M/K λ = 225 llamadas por hora. μ = 40 por hora (60/ 1.5). El valor mínimo m posible para k es 6 de forma de asegurar que exista un período estacionario (λ<k( <Kμ). WINQSB puede ser usado para generar los resultados de L, L q, y W q.

93 En resumen los resultados para K= 6,7,8,9,10. K L Lq Wq CT(K) 6 18, ,5 0, ,62 7 7,6437 2,0187 0, ,62 8 6,2777 0,6527 0, ,50 9 5,8661 0,2411 0, , ,7166 0,916 0, ,70 Conclusión: se deben emplear 8 representantes para la la atención de clientes

94 Sistemas de colas Tándem En un sistema de colas Tándem un cliente debe visitar diversos servidores antes de completar el servicio requerido Se utiliza para casos en los cuales el cliente llega de acuerdo al proceso Poisson y el tiempo de atención se distribuye exponencialmente en cada estación. Tiempo promedio total en el el sistema = suma de todos los tiempo promedios en las estaciones individuales

95 COMPAÑÍ ÑÍA A DE SONIDO BIG BOYS Big Boys vende productos de audio. El proceso de venta es el siguiente: - Un cliente realiza su orden con el vendedor. - El cliente se dirige a la caja para pagar su pedido. - Después s de pagar, el cliente debe dirigirse al empaque para obtener su producto.

96 Datos de la venta de un Sábado S normal - Personal + 8 vendedores contando el jefe + 3 cajeras + 2 trabajadores de empaque. - Tiempo promedio de atención Cuál l es la la cantidad promedio de tiempo,, que un cliente que viene a comprar + El tiempo promedio que un vendedor esta con un cliente es demora 10 minutos. en el el local? + El tiempo promedio requerido para el proceso de pago es de 3 minutos. + El tiempo promedio en el área de empaque es de 2 minutos. -Distribución + El tiempo de atención en cada estaci exponencialmente. Solamente 75% de los clientes que llegan hacen una compra n en cada estación n se distribuye + La tasa de llegada tiene una distribución Poisson de 40 clientes por hora.

97 SOLUCION Estas son las tres estaciones del sistema de colas Tándem M / M / 2 M / M / 8 M / M / 3 λ = 30 λ = 30 λ = 40 W 1 = 14 minutos W 2 = 3.47 minutos W 3 =2.67 minutos Total = minutos.

98 Balance de líneas l de ensamble Una línea l de ensamble puede ser vista como una cola Tándem,, porque los productos deben visitar diversas estaciones de trabajo de una secuencia dada. En una línea l nea de ensamble balanceada el tiempo ocupado en cada una de las diferentes estaciones de trabajo es el mismo. El objetivo es maximizar la producción

99 RESUMEN DE LOS MODELOS DE COLAS DESCRITOS MODELO NOMBRE N DE CANA LES N DE FASES PATRÓN DE ARRIBO PATRÓN DE SERVICI O TAMAÑO O DE LA POBLACIÓN DISCIPLI NA DE COLA A SIMPLE M/M/1 UNO UNA POISSON EXPONEN CIAL INFINITA PEPS B MULTI- CANAL M/M/S MULTI CANAL UNA POISSON EXPONEN CIAL INFINITA PEPS C SERVICIO CONSTANTE (M/D/1) UNO UNA POISSON CONSTAN TE INFINITA PEPS D POBLACION LIMITADA UNO UNA POISSON EXPONEN CIAL FINITA PEPS Investigación de Operaciones M. En C. Eduardo Bustos Farías 99

100 Problemas Investigación de Operaciones M. En C. Eduardo Bustos Farías 100

101 Investigación de Operaciones M. En C. Eduardo Bustos Farías 101

102 Investigación de Operaciones M. En C. Eduardo Bustos Farías 102

103 Investigación de Operaciones M. En C. Eduardo Bustos Farías 103

104 Investigación de Operaciones M. En C. Eduardo Bustos Farías 104

105 Investigación de Operaciones M. En C. Eduardo Bustos Farías 105

106 Investigación de Operaciones M. En C. Eduardo Bustos Farías 106

107 Investigación de Operaciones M. En C. Eduardo Bustos Farías 107

108 Investigación de Operaciones M. En C. Eduardo Bustos Farías 108

109 10. Medidas del desempeño o del sistema de colas Suponga una estación n de gasolina a la cual llegan en promedio 45 clientes por hora Se tiene capacidad para atender en promedio a 60 clientes por hora Se sabe que los clientes esperan en promedio 3 minutos en la cola La tasa media de llegadas λ es 45 clientes por hora o 45/60 = 0.75 clientes por minuto La tasa media de servicio μ es 60 clientes por hora o 60/60 = 1 cliente por minuto Calcule las medidas de desempeño o del sistema Investigación de Operaciones M. En C. Eduardo Bustos Farías 109

110 11. Medidas del desempeño o del sistema de colas: ejercicio Suponga un restaurante de comidas rápidas al cual llegan en promedio 100 clientes por hora Se tiene capacidad para atender en promedio a 150 clientes por hora Se sabe que los clientes esperan en promedio 2 minutos en la cola Calcule las medidas de desempeño del sistema Investigación de Operaciones M. En C. Eduardo Bustos Farías 110